a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm b.Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm Giải :Ta thấy[r]
(1)“SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I- CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT (CÓ HỆ SỐ b = HOẶC c = 0) Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai ) là phương trình có dạng : ax bx c 0 Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0 Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai : a) 5x2 - 3x - = có a = 5, b = - 3, c = - b) 7x2 - = có a = 7, b = 0, c = -7 c) 9x - 9x = có a = 9, b = -9, c = Một số ví dụ giải phương trình bậc hai có hệ số b = c = * Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax2 + bx = A 0 B 0 Phương pháp giải: Đặt thừa số chung để đưa phương trình tích: A.B = x 0 x=0 x( ax +b)=0 x b ax+b=0 a Ta có: ax2 + bx = VD 1: Giải phương trình: 4x2 – 8x = Giải x 0 x 0 4x2 – 8x = ⇔ 4x( x-2) = ⇔ [ x=0 [ [ x=2 ⇔ Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = *Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax2 + c=0 Nếu a.c > thì phương trình vô nghiệm Nếu a.c < phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển vế và đưa phương c a ± √ trình dạng x2 = giải, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,2= Víi c = 0, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = + NÕu b = c = (ph¬ng tr×nh khuyÕt b vµ c) th× ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng ax2 = + NÕu b; c 0: C1: Đa phơng trình tích học sinh lớp 7, C2: NhÈm nghiÖm b»ng viÐt C3: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän (/) C4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän () VD 2: Phương trình x2 + = vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = > VD 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = Giải: 5x2 – 100 = ⇔ 5x2 = 100 ⇔ ±2 √5 x2 = 20 ⇔ x = √5 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = ; x2 = - √5 VÝ dô ¸p dông: Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! c a (2) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” BT: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ? Xác định các hệ số a, b, c phương trình đó: a) 4x3 + 2x2 + 7x - = b) 6x2 + 2x - = 4x2 + c) 7x2 + 2x = + 2x d) −2 √ x + √ x +8=8 Giải : a) Phương trình 4x + 2x2 + 7x - = không phải là phương trình bậc hai b) Phương trình 6x2 + 2x - = 4x2 + ⇔ 6x2 + 2x – - 4x2 - = ⇔ 2x2 + 2x - = Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - c) Phương trình 7x2 + 2x = + 2x ⇔ 7x2+2x -3 -2x = ⇔ 7x2 – =0 Là phương trình bậc hai có a = 7, b = , c = -3 d) Phương trình −2 √ x + √ x +8=8 ⇔ −2 √2 x + √ x +8−8=0 ⇔ -2 √2 x2 + √2 √2 x =0 Là phương trình bậc hai có a = -2 ,b= Dạng 2: Giải phương trình: BT: Giải các phương trình sau: a) 2x2 + 5x = 0, b) 5x2 - 15 = 0, Giải a) 2x2 + 5x = √2 ,c=0 c) x2 + 2010 = [ x=0 ⇔ x (2x + ) = [ x=− ⇔ Vậy phương trình có hai nghiệm : x = và x = b) 5x2 - 15 = ⇔ 5x2 = 15 ⇔ x2 = 5[ ⇔ x= Vậy phương trình có hai nghiệm : x = √ và x = c) x2 + 2010 = Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > Vậy phương trình vô nghiệm Bài tập đề nghị ±√ √3 Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, rõ các hệ số a, b, c chúng a) 2x2 + 5x + = 0, b) 2x2 – 2x = c) −√ 3x = 0, d) 4x + = Giải: a, 2x + 5x + = là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = b) 2x2 – 2x = là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = c) −√ 3x = là phương trình bậc hai có a = - √ , b = 0, c = d) 4x + = không phải là phương trình bậc hai Bài 2: Đưa các phương trình sau phương trình dạng ax bx c 0 và giải các phương trình đó: a) 5x2 + √ 8x = 2( x 2) , b) Giải GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! √ x +7 x−86=−( x+86 ) (3) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” a) 5x x x 5x x x 0 x 0 x Vậy phương trình có hai nghiệm b, x và x 5 √ x +7 x−86=−( x+86 ) x x 86 x 86 x x 0 x x 0 x 0 x x 86 x 86 0 x 0 x 0 x Vậy phương trình có hai nghiệm x 0 và II áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiªm ph¬ng tr×nh bËc hai Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax +bx+c=0(a 0) b 4ac NÕu b =2b ' th× ' = b ' - ac Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Ta cã thÓ xÐt hai trêng hîp: +Trêng hîp 1: x c NÕu a = 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b +Trêng hîp : a 0 0 hoÆc a 0 ' 0 a 0 0 a 0 ' 0 hoÆc 2.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt b b b' ' b' ' ; ; 2a 2a a a x1= x2= x1 = ; x2= => a 0 0 hoÆc 3.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp b b' => x1= x2= - 2a x1= x2= - a Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! a 0 0 hoÆc a 0 ' 0 a 0 ' 0 (4) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 2 VD1:Cho phơng trình 2x -(4m+3)x+2m -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm 2 Gi¶i: =(4m+3) -4.2(2m -1)=24m+17 a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm a 0 0 b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp 0 17 24m 17 0 m 24 a 0 0 0 24m 17 0 m 17 24 17 20 m 24m 17 0 24 17 0 224m m 17 0 24 a 0 0 a 0 0 d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VD :Cho phơng trình mx -2(m-1)x+(m-4)=0 Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ' '2 2 (m 1) Gi¶i: Ta cã :a m , = b -ac= -m(m-4)=m -2m+1-m +4m=2m+1 a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm +Trêng hîp 1: c m NÕu a=0 m=0 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= b 2(m 1) =2 +Trêng hîp : a 0 0 m0 m m 0 2m 10 b.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp d Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm a 0 0 a 0 0 a 0 0 m 0 2m 10 m 0 2m 10 mo 1 m m 0 m 12 m 0 2m 10 m 0 1 m III- Cách giải Một số bài toán liên quan đến phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1) đó a,b,c phụ thuộc tham số m GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (5) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 1/ Dạng toán : Biện luận có nghiệm phương trình (1) a/ Phương pháp giải: Xét hệ số a * Nếu a =const ( số ) = b2- 4ac ’ = b’2 – ac Lập biệt thức + Nếu > (suy điều kiện m ) (1) có hai nghiệm phân biệt b b ; ; 2a 2a x1 = x2= b x1= x2= - 2a +Nếu =0 (suy điều kiện m ) (1) có nghiệm kép + Nếu < (suy điều kiện m ) (1) vô nghiệm trên R * Nếu hệ số a có chứa tham số ta xét : + Giả sử a = m = mo phương trình (1) trở thành bx +c = (2) c - Nếu b 0 ( với m = mo) thì (2) có nghiệm x = - b là nghiệm (1) - Nếu b = và c = ( với m = mo) (2) vô định (1) vô định - Nếu b = và c 0 ( với m = mo) (2) vô nghiệm (1) vô định + Nếu a = b2- 4ac ’ = b’2 – ac Lập biệt thức - Nếu > (suy điều kiện m ) (1) có hai nghiệm phân biệt b b ; ; 2a 2a x1 = x2= b -Nếu =0 (suy điều kiện m ) (1) có nghiệm kép x1= x2= - 2a - Nếu < (suy điều kiện m ) (1) vô nghiệm trên R Sau đó tóm tắt phần biện luận trên b/ Ví dụ : VD1 Biện luận có nghiệm phường trình sau theo tham số m: x2 – 4x + m = (1) ’ = b’2 – ac = – m Giải: Ta có ’ + Nếu > – m > m < (1) có hai nghiệm phân biệt ( 2) m ( 2) m 2 m 2 m 1 x1= ; x2= + Nếu ’ = – m = m = (1) có nghiệm kép 2 x1=x2=- = ’ < – m < m < (1) vô nghiệm + Nếu Vậy :Với m < phương trình đã cho có his nghiệm phân biệt x1= m ; x2 = m Với m = phương trình có nghiệm kép x1=x2 =2 Với m > phương trình vô nghiệm GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (6) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình (m+1) x2 + 2mx + m -3 =0 (1) Giải *Nếu (m+1) = m = -1 phương trình (1) trở thành -2x – = 4 x =- = - là nghiệm (1) *Nếu m +1 m - ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 Ta có + Nếu ’ > 2m + > m > - thì phương trình có hai m 2m m 2m m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = + Nếu ’ = 2m + = m =- thì phương trình có nghiệm kép ’ < 2m +3 < m < - thì phương trình vô nghiệm + Nếu Vậy : Với m =-1 phương trình (1) có nghiệm x =-2 Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m x = x2 = - m m 2m m 2m m 1 m 1 x1= ; x2 = m Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x = x2 = - m Với m < - phương trình (1) vô nghiệm (Trong qua trình thực HS có thể mắc sai lầm sau ’ = m2 – (m+1)(m-3) = m2- (m2 -3m +m – 3) = 2m +3 Ta có ’ + Nếu > 2m + > m > - thì phương trình có hai m 2m m 2m m 1 m 1 nghiệm phân biêt : x1= ; x2 = m + Nếu ’ = 2m + = m =- thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - m + Nếu ’ < 2m +3 < m < - thì phương trình vô nghiệm Vậy : Với m > - phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 2m m 2m m 1 m 1 x1= ; x2 = m Với m = - phương trình(1) có nghiệm kép x = x2 = - m Với m < - phương trình (1) vô nghiệm Như h/s đã bỏ sót nghiêm “trong trương hợp m = - 1” là x = - ) VD3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : (m - 1)x2 + (2m – x + m + = (1) Giải:TH1: NÕu m – = m = Lúc đó (1) - x + = x = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (7) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” TH2: Nếu m - m thì phơng trình (1) là phơng trình bậc hai x có = (2m - 3)2 – (m – 1) (m+ 2) = - 16m + 17 NÕu NÕu Δ< m ≠1 ⇔ ¿ 17 m > 16 m ≠1 17 ⇔ m > 16 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ th× ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm Δ= m ≠1 17 ⇔ m= 16 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ −2 m+3 =7 2( m−1) th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp: x1= x2 = Δ >0 m ≠1 ⇔ 1≠ m < NÕu {¿ ¿ ¿ 17 16 ¿ ¿ −2m+3±√−16 m+17 2(m−1 ) th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ph©n biÖt: x1,2 = VËy VD4: BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 - m (x + 2) + = (1) theo m Giai: Bµi to¸n nµy míi nh×n häc sinh cho lµ ph¬ng tr×nh bËc cha biÕt c¸ch gi¶i Hớng dẫn các em đa (1) dạng tích đó có nhân tử bậc và nhân tử bậc hai (1) (x + 2) (x2 - 2x + - m) Nh vËy sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sÏ phô thuéc vµo sè nghiÖm cña: F(x) = x2 - 2x + - m C¸c em ph¶i biÖn luËn ' = m - NÕu m < ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x = -2 x + 2=0 f (−2 )≠0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ NÕu m = vµ th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = -2, x = 1; m = Nếu m > thì f(x) có hai nghiệm phân biệt khác - đó (1) có nghiệm phân biệt / Dạng toán Tìm điều kiện tham số m để phương trình (1) có nghiệm GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (8) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” a/ Phương pháp giải Để phương trình (1) có nghiệm thì : a 0 a 0 ( ' ) 0 b Hoặc (I) (II) (Nếu hệ số a là số thì ta giải hệ (II) ,nếu hệ số a có chứa tham số ta phải giải (I) và (II) các giá trị m cần tìm là tất các giá tri m thoả mãm (I) (II) b/ Ví dụ VD1: Với giá trị nào m thì phương trình x2 + 3x – m = có nghiệm Giải Ta có : = b2- 4ac = + 4m Để phương trình trên có nghiệm thì : + 4m m - Vậy với m - thì phương trình (4) luôn có nghiệm VD2 Tìm điều kiện m để phương trình (m+1) x2 – (2m + 1)x + m = (4) có nghiệm Giải: Để phương trình (4) có nghiệm thì : m 0 Hoặc (2m 1) 0 (I) m 0 Giải (I) (2m 1) 0 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! m 0 ( (2m 1)) 4( m 1)m 0 (II) (9) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ta có m+1=0 m = - 1, và -(2m+1) 0 suy m - phương trình có nghiệm m 0 ( (2m 1)) 4( m 1)m 0 Giải (II) Ta có m +1 0 m -1 = (-(2m+1))2 – 4(m+1)m 0 4m2 + 4m +1 – 4m2 – 4m 0 m Vậy với m - m -1 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm VD3: Cho ph¬ng tr×nh: (m2 - 4) x2 + x + = (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Giai: Để giải câu (a) cần lu ý học sinh xét trờng hợp a = vì đó hệ số a chứa tham số A=0m=2 Khi nµy (1) chØ cã nghiÖm m = cßn m = - th× (1) v« nghiÖm a≠0 §Ó gi¶i c©u (b); thêng häc sinh chØ xÐt trêng hîp: Δ'≥0 a=0 Bá qua trêng hîp b≠0 { { Mµ ë c©u (a) trêng hîp m = th× a = vµ b ≠ − Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt m = VD4 Cho ph¬ng tr×nh (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham sè m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Gi¶i a) + NÕu m-1 = m = th× (1) cã d¹ng 2x - = x = (lµ nghiÖm) + Nếu m ≠ Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm ’ = 3m-2 m + KÕt hîp hai trêng hîp trªn ta cã: Víi m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b) + NÕu m-1 = m = th× (1) cã d¹ng 2x - = x = (lµ nghiÖm) + Nếu m ≠ Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) cã nghiÖm nhÊt ’ = 3m-2 = m = (tho¶ m·n m ≠ 1) 1 − =− =3 m−1 −1 Khi đó x = +VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = 2 víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (10) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” c) Do ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = nªn ta cã: (m-1)22 + 2.2 - = 4m – = m = − Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0) −3 −3 = =12⇒ x =6 m−1 − Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = VËy m = vµ nghiÖm cßn l¹i lµ x2 = 3/Dạng toán Tìm điều kiện m để (1) có hai nghiệm phân biệt a/ Phương pháp giải a 0 ' ( ) 0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và b/ Ví dụ VD1: Tìm điều kiện m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = (5) có hai nghiệm phân biệt GiảiPhương trình (5) có hai nghiệm phân biệt và m 0 ( (2m 1)) 4(m 3) m Ta có m +3 0 m - và = (-(2m+1))2 – 4(m+3)m > 4m2 +4m + – 4m2 – 12m > - 8m +1 > m < Vậy với m - và m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt VD2: Tìm điều kiện m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = (6) có hai nghiệm phân biệt Giải Để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt thì > Thật ta có = (-3)2 – 4.2(m+1) > – 8m – > m < Vậy với m < thì phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân biệt 4/ Dạng toán Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệ a/ Phương pháp giải Phương trình (1) có nghiệm và a 0 b 0 a 0 0 b/ Ví Dụ VD1 : tìm điều kiện m để phương trình mx2 + (m + )x +3m = (7) có nghiệm Giải: Phương trình (7) có nghiệm và m 0 m 0 m 0 (I) (m 1) 4m3m 0 (II) GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 10 (11) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Giải (I): m 0 m 0 m 0 m Giải (II):Ta có m 0 và = (m + 1)2 – 4m3m =0 m2 +2m +1 – 12m2 = -11m2 +2m +1 = (*) Có = 12 –(-11)1 = 12 suy (*) có hai nghiệm phân biệt 12 12 m1= 11 ; m2 = 11 m 0 12 12 Vậy với m m 0 và m1= 11 ; m2 = 11 thì phương trình đã cho có nghiệm VD2 : Với giá trị nào m thi phương trình x2 – 2mx +4 = (8) có nghiệm Giải: Phương trình (8) có nghiệm và = m2 – = (m +2 )( m – ) = m = m = - Vậy với m = m = - thi phương trình (8) có nghiệm 5/ Dạng toán : Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu a/ Phương pháp giải ` Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu thì : 0 và P > b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện m để phương trình 2x2 – 3x + m +1 = (9) có hai nghiệm cùng dấu ( 3) 4.2( m 1) 0 m 1 0 P Giải: Phương trình (9) có hai nghiệm cùng dấu và : Ta có = (- 3) - 4.2 (m + ) – 8m – - 8m + m m 1 Và P = > m + > m > - 1 Vậy với -1 < m thì phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu 6/ Dạng toán : Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dương a/ Phương pháp giải , ( ' ) 0 c P a b S a Để phương trình (1) có hai nghiệm dương thi : b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện m để phương trình x2 – 4x +m = (10) có hai nghiệm dương GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 11 (12) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ' 4 m 0(1) P m 0(2) 4 S 0(3) Giải: Để phương trình (10) có hai nghiệm dương thì : (1) – m m (2) m > (3) > m Vậy với < m thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương 7/ Dạng toán 7: Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm âm a/ Phương pháp giải , ( ' ) 0 c P a b S a Để phương trình (1) có hai nghiệm âm thì : b/ Ví Dụ VD: Tìm điều kiện m để phương trình (m+3)x2 – (2m +1)x +m = (11) có hai nghiệm âm ( (2m 1)) 4(m 3)m 0(1) m 0(2) P m 3 (2m 1) S m 0(3) Giải: Phương trình (11) có hai nghiệm âm và : (1) (-(2m + 1))2 – 4(m + )m 4m2+ 4m + -4m2 – 12m 0 - 8m +1 m m m m (2) m > m (m + ) > m (I) m (II) (I) m > và m + > m > - (II) m < và m + < m < -3 Vậy m(m + ) > m > m < - (2m 1) (3) m < - ( 2m + ) (m + ) < 2m 2m m (*) m (**) (*) 2m + > m > - và m + > m > - (**) 2m + < m < - và m + < m < - Vậy -(2m + )( m + ) < m > - GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 12 m < - (13) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Vậy phương trình trên có hai nghiệm âm và ; < m m < - 8/ Dạng toán Tìm điều kiện m để (1) có hai nghiệm trái dấu a/ Phương pháp giải Phương trinh (1) có hai nghiệm trái dấu và : >0 và P < a.c < b/ Ví Dụ VD1 : Tìm điều kiện m để phương trình x2 + 3x + m + = có hai nghiệm trái dấu Giải 32 4.2( m 1) m 1 0 P Phương trình trên có hai nghiệm trái dấu và : Ta có = 32 - 4.2(m+1) > – 8m – > -8m + > m < m 1 <0 m+1<0 m<-1 Và 2( m+ 1) < m < - Vậy để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : m < -1 VD2 : Với giá trị nào m thì phương trình : mx2 + 2(m+1)x + (m – 1) = có hai nghiêm trái dấu Giải ' (m 1) m(m 1) m 0 P m Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : Ta có ’= (m+1)2 – m(m-1) > m2 + 2m + – m2 + m > 3m + > m > - m m m m Và P = m < m < (m-1)m < m m m m m +, m m +, m m m Vậy với - < m < < m < thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu VD3: Tìm các giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm không âm : x2+ mx + (2m – ) = (1) Giai: C¸ch 1: Ta cã = (m- 4)2 P = 2m – S = -m Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ∀m Phơng trình có nghiệm âm khi: GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 13 (14) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” P > S < ⇔ ¿ m −4 > −m < ⇔ ¿ m > m > ⇔ m > ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ { Vậy điều kiện để phơng trình (1) có ít nghiệm không âm là m C¸ch 2: = (m- 4)2 P = 2m – S = -m NÕu P m th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n nghiÖm kh«ng ©m NÕu P > th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm cïng dÊu §Ó tho¶ m·n bµi to¸n th× S > P > S > ⇔ ¿ m > m < ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Do đó (kh«ng x¶y ra) VËy m C¸ch 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1): = (m- 4)2 ⇒ x1 = - m x2 = - ph¶i cã x1 m VËy m 9/Dạng toán Tìm điều kiện tham số để (1) có nghiệm x = x1 tìm nghiệm a/ Phương pháp giải Thay x = x1 vào (1) ta có: ax12 + bx1+ c = Thay giá trị m = mo vào (1) x1,x2 P Hoặc tính x = S – x x = x1 m = mo b/ Ví Dụ VD1 Định m để phương trình x2 +3x – m = có nghiệm -2 Tìm nghiệm Giải+ Do phương trình trên có nghiệm -2 nên ta có : (-2)2 + 3(-2) – m = – – m = m=-2 Vậy với m = -2 thì phương trình trên có nghiệm – + Tìm nghiệm còn lại Cách : Thay m = -2 vào (1) ta x2 + 3x + = Phương trình trên có dạng a-b + c = nên có hai nghiệm -1 và -2 Vậy nghiệm thứ hai là x = - Cách 2:Ta có x1 + x2 = -3 x2= - – x1 = -3 –(-2) = - 2 Cách 3:Ta có : x1x2= -m = x2 = = - VD2: Với giá trị nào m thì phương trình : x2 + mx +3 = có nghiệm ? Tìm nghiệm Giải* Do phương trình đã cho có nghiệm nên ta có : 12 + m.1 + = m + = m = - Vậy với m = - thì phương trình đã cho có nghiệm * Tìm nghiệm còn lại x2 = – x1 = -1 = Ta có : x1+x2 = - m = VD3 : Biết phương trình : x2 + 2(d – 1)x + d2 + = (Với d là tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm còn lại phương trình này Giải * Do phương trình đã cho có nghiệm nên ta có : 12 + 2( d- ) + d2 + = d=-1 d2 + 2d + = (d + )2 = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 14 (15) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” *Tìm nghiệm còn lại Ta có x1 + x2 = - 2(d- 1) = -2 (-1 – ) = x2 = – x1 = – = x2 = 10/Dạng toỏn 10: Biểu thức đối xứng hai nghiệm - Nhắc lại biểu thức F (x1; x2) gọi là đối xứng - Nếu F (x2; x2) đối xứng biểu diễn qua hai biểu thức đối xứng S = x1 + x2 vµ P = x1x2 - NÕu ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã hai nghiÖm th×: − b a S = x1 + x2 vµ vµ P = x1x2 = c/a VD cho f(x) = 2x2 + (m + 1) x + m2 + 4m + Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña f(x) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 - 2x1 - 2x2 Giai:- Häc sinh thêng m¾c sai lÇm kh«ng cÇn xem xÐt f(x) cã nghiÖm hay kh«ng mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc: S = x1 + x2 = - (m + 1) vµ P = - CÇn lu ý c¸c em f(x) cã nghiÖm ≥ (m + 1) (-m-5) ≥ Khi đó áp dụng hệ thức m +4 m+3 - ≤ m ≤ -1 m +4 m+3 S = -(m +1) vµ P = BiÓu thÞ A theo S vµ P m2 +8 m+7 | | A= Đến đây học sinh lại quên điều kiện có m khử dấu trị tuyệt đối Vì - ≤ m ≤ -1 nên m2 + 8m + ≤ đó m2 + m+7 9−(m+ ) = ≤ 2 A=9 X¶y dÊu b»ng m = -4 VËy mµ A = m = -4 VD 2: Tìm m để phơng trình: 3x2 + (m-1)x + m2 - 4m + = 1 + = ( x 1+ x ) x x2 Cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n Giai: Với bài toán này học sinh bỏ qua không xét xem với điều kiện nào m thì phơng trình đã cho cã nghiÖm mµ ¸p dông lu«n hÖ thøc 4( m−1) m −4 m+1 3 S = x1 + x2 = vµ P = Tríc hÕt ph¶i xÐt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ' > m2 + 4m + > m < - - √3 1 , x x2 Điều kiện thứ là P ≠ để có hoÆc m > - + √3 (*) m ≠ +2 √ Một sai lầm học sinh thờng mắc phải đó là tính 1 + = ( x +x ) x x2 2 2(x +x ) = (x +x )x x hai vế đẳng thức 2 x1 + x2 liÒn rót gän ®i Điều đó không thể đợc vì có thể có giá trị m làm cho x1 + x2 = - Nh¾c cho häc sinh ph¶i chuyÓn vÕ ®a vÒ d¹ng tÝch: (x1 + x2)(2 - x1x2) = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 15 (16) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 4(m - 1)(-m2 + 4m + 5) = m=1 m = -1 Lo¹i v× §K (*) m=5 VËy m = hoÆc m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n ®Çu bµi 11/Dạng toán 11: Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn x1 + x2 = (*) a/ Phương pháp giải Để (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: b (**) và x1 x2 a (1) (2) c (3) x1 x2 a x1,x2 x1 x2 Giải hệ Thay các giá trị x1 và x2 vào (2) m Chọn các giá trị m thoả mãn (**) b/ Ví Dụ VD1 Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : 2x1 + 3x2 = (*) Giải Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì ( a 2) a (1) x1 x2 = (a – ) – 4.1.( - 2a) và 2a (2) 2a x1.x2 (3) x x a2 + 4a + (a + )2 a R x1 x2 a x1 x2 2(a 2) x x2 0 x1 3x2 0 x2 = - 2(a – ) Từ (1) và (2) ta có hệ Thay x2 vào (1) ta x1 = 3(a – ) Thay x1,x2 vào (2) ta -2(a – )3(a – 2) = - 2a 6(a – )2 = 2a 6a2 – 24a + 24 = 2a 6a2 – 26a + 24 = 3a2 – 13a + 12 = = a1 = , a2 = - Có = 132 -4.3.12 = 169- 144 = 25 Vậy với a = a = -3 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2: Với giá trị nào m thì phương trình : x2 -8x + m + = (I) có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 10 (*) Giải Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) là: ’ = (-4)2 – (m+5) và (1) (2) x x 1 (3) x1.x2 m 2 x 3x 10 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 16 (17) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ’ (-4)2 –(m + 5) 16 - m – 11 – m m 11 x1 x2 8 2 x1 x2 16 x x2 10 2 x1 x2 10 Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình x2=- thay x2 vào phương trình (1) ta x1 = 14 Thay x1,x2 vào phương trình (2) ta có 14(-6) = m + m = -89 kết hợp với (1’) giá trị m cần tìm là : m = -89 Ta có Tìm m để phương trình : mx2 +2(m- 1)x +m – = (I) có hai nghiệm thoả mãn 3x1 – x2 = (*) Giải: Để phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì: ’ = (m- )2 – m(m- 2) và 2(m 1) (1) x1 x2 m (2) m x1.x2 m (3) 3x1 x2 2 VD3 (3) Ta có ’ m2 – 2m +1 – m2 +2m m (1’) 2(m 1) x1 x2 m (m 1) 3x1 x2 2 4x1 = - m Từ (1) và (3) ta cóv hệ phương trình 4m 4x1 = m x1= 2m thay x1 vào (3) ta x2 = 2m Thay x1,x2 vào (2) ta : 4m m 4m m 4m 2m 2m = m m – 4m = 2m(m-2) 2m2 =3 m = Kết hợp với (1’) suy giá trị m cần tìm là m = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 17 (18) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD4 : T×m m cho: x2 - (2m + 1)x + m2 + = cã nghiÖm x1, x2 víi = 2x2 Giai: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ≥ 4m - ≥ m ≥3/4 BiÓu thÞ S = x + x 2=2 m + P = x x =m + ⇔ ¿ x 2=2 m + x { ¿ 2 =m + ¿ ¿ ¿ ¿ Rút x2 theo m đợc hệ thức m2 - 8m + = Từ đó ta có m = m = VD5: Chøng minh hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) Giai: Là điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lÇn nghiÖm Hớng dẫn học sinh xác định điều kiện cần, điều kiện đủ bài toán + §iÒu kiÖn cÇn: Ph¬ng tr×nh ax2 + bx = c = (a ≠ 0) Gi¶ sö cã nghiÖm x1, x2 vµ x1 = kx2 Th× ta cã hÖ thøc: (k + 1)2 ac = kb2 (víi k ≠ -1) BiÓu thÞ S = x1 + x2 = -b/a P = x1 x2 = c/a ⇔ ( k +1 ) x =−b / a kx 2 =c / a ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ (Sö dông ®iÒu kiÖn x = kx ) Khử x2 đợc hệ thức cần chứng minh: (k + 1)2 ac = kb2 +Điều kiện đủ: Ta có hệ thức (k + 1)2 ac = kb2 Ph¶i chøng minh ph¬ng thøc ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm x1 = kx2 Rút ac từ hệ thức đã có (liên quan đến ) kb Vì k ≠ - đó ac = (b+1 ) 2 b ( k−1) ≥0 (k +1 ) = Do đó phơng trình có hai nghiệm −b− √ Δ kb = 2a a(k+1 ) x1 = −b+ √ Δ b =− 2a a(k+1) x2 = VËy x1 + kx2 VD6: Tìm m để phơng trình có nghiệm: mx2 - (m - 1) x + (m - 2) = Cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 tho¶ m·n x1 + 2x2 = 2− √ Giai: BiÓu thÞ ⇔ Δ ' > a ≠0 ⇔ ¿ <m <2 +√ m≠ ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ ( m−1) m 3( m−2 ) P = x x 2= m ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S= x + x = BiÓu thÞ x1 theo x2 tõ hÖ thøc x1 + x2 = Tính x2 theo m để khử x2 đợc: 3m2 - 8m + = m = hoÆc m = 2/3 12/Dạng toán 12: Tìm điều kiện m để phương trình (I)có hai nghiệm thoả mãn x12 + x22 = k (*) a/ Phương pháp giải GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 18 (19) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) thì : và x 21 x 2 ( x1 x2 ) x1 x2 k (1) (2) b x1 x2 a (3) c x1.x2 a Thay (2),(3) vào (1) ta có : S2- 2P = k (4) giải (4) m Chọn m thoả mãn (*’) b/ Ví Dụ VD1: Tìm tất các giá trị m để phương trình : x2 +mx +m +7 = (I) x12 x22 10 có hai nghiệm thoả mãn GiảiĐiều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 = m2- 4(m + 7) m2 – 4m – 28 (+) 2 Ta có : x1 x2 ( x1 x2 ) x1.x2 = 10 (1) mà x1 x2 m (2) x x m 1 Thay (2) vào (1) ta : m2 - 2(m+7) = 10 m2 – 2m - 14 = 10 m2 – 2m – 24 = (4) Phương trình (4) có hai nghiệm là m1=6 , m2= - Thay các giá trị m vao (+) ta có : Với m1= thay vào (+) ta có : 62 - 4.6 – 28 0 vô lý Với m2 =-4 thay vào (+) ta có : 42 – 4.(-4) -28 =4 Vậy với m = -4 thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2: Hảy xác định các giá trị m để phương trình : 2 x2 + (m- )x - (m2 + 1) = (I) có hai nghiệm thỏa mãn : x1 x2 5 (*) Giải : Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: 0 (m – 2)2 + 4(m2 + 1) m (**) phương trình (I) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Ta có : x1 x2 (x + x )2 – 2x x = (1’) đó 2 x1+ x2 = –(m-2) và x1.x2 =-(m + ) thay vào (1’) ta : (m – 2)2 + 2(m2 + 1) = m2 – 4m + + 2m2 +2 – = 3m2 – 4m + = 1 m1 = V m2 = Kết hợp với (**) Vậy giá trị m cần tìm là : m = V m = VD3: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) 2 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện : x1 x2 =8 (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : 0 (a- 2)2 – 4.1.(-2a) a2- 4a +4 + 8a 0 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! a2 + 4a + 19 (20) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” (a + )2 a R 2 Ta có x1 x2 = (x1+x2 )2 – 2x1x2 = (1) đó x1+x2 = a-2 và x1.x2 = - 2a Thay vào (1) ta : (a- 2)2 – 2(-2a) = a2 – 4a +4 + 4a = a2 = a = Vậy với a = a = - thì phương trình (I) có hai nghiệm thoả mãn (*) 13/ Dạng toán 13 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn 1 x1 x2 = n (*) a/ Phương pháp giải Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 1 0 (1’) và x1 x2 = n x +x = nx x (1’’) 2 b c Trong đó x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy điều kiện m b/ Ví Dụ VD1 Tìm các gia trị m để phương trình : 1 (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – = (I) có hai nghiệm thoả mãn : x1 x2 = (*) ' Giải: Điều kiện để (I) có hai nghiệm là : (m – 1)2 – (m+1)(m-2) m2 – 2m +1 – m2 +m +2 - m + m (1’) 1 x1 x2 4(x + x ) = 7x x (2’) Ta có x1 x2 = x1 x2 2 2( m 1) m Mà x1+ x2 = m và x1x2 = m thay vào (2’) ta : 2(m 1) m m =7 m 8(m – 1) (m + 1) = (m – 2)( m + 1) ( m - 1) (*’) 8m2 – = 7m2 – 7m – 14 m2 +7m + = m1 = - và m2 = - Kết hợp với (1’) và (*’) giá trị m cần tìm là : m = - VD2: Tìm a để phương trình : x2 - (a-2)x - 2a = (I) 1 có hai nghiệm x , x thoả mãn điều kiện : x1 x2 k (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : (a – )2 – 4.1.( - 2a) a2- 4a +4 + 8a 0 a2 + 4a + (a + )2 a R (1’) 1 Ta có : x1 x2 k x + x = k x x (*’) 2 Mà x1+ x2 = a – và x1x2 = - 2a Thay vào (*’) ta : a – = k (- 2a) 2ka + a – = (2k + 1)a– = a = 2k Kết hợp với (1’) suy giá trị a cần tìm là : a = 2k GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 20 (21) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” 14/ Dạng toán 14 Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn 3 điều kiện : x1 x2 t (*) a/ Phương pháp giải GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 21 (22) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) là : 3 2 0 (1’) và x1 x2 t (x1+x2 )( x1 x1 x2 x2 ) = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = t (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = t (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = t (1’’) b c Trong đó x1+x2 =- a , x1.x2 = a Giải (1’’) kết hợp với (1’) suy điều kiện m b/ Ví Dụ VD1 Với giá trị nào m thì phương trình : x2 -8x + m + = (I) 3 có hai nghiệm x ,x thỏa mãn x1 x2 (*) GiảiĐiều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là: ’ (-4)2 –(m + 5) 16 - m – 11 – m m 11 (1’) 3 2 x1 x2 Ta có (x1+x2 )( x1 x1 x2 x2 ) = (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = (1’’) Trong đó x1+x2 =8 , x1.x2 = m + Thay vào (1’’) ta : 83 – 3.8 (m + 5) = 512 – 124 – 24m = 388 – 24m = 388 97 m = 24 Kết hợp với (1’) Vậy không có giá trị nào m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn (*) VD2 : Xác định m để phương trình : x2 + 3x - m +10 = (I) 3 có hai nghiệm thoả mãn x1 x2 3 (*) Giải: Điều kiện để phương trình (I) có hai nghiệm là : ’ 32 - ( - m + 10) + m – 10 m – m (1’) 3 2 Ta có : x1 x2 3 (x1+x2 )( x1 x1 x2 x2 ) = (x1 + x2 )((x1 + x2)2-2x1x2 – x1x2) = (x1 + x2 )((x1 + x2)2- 3x1x2) = (x1+ x2)3 – 3x1x2(x1+ x2) = (1’’) Trong đó x1+x2 =- , x1.x2 = - m + 10 Thay vào (1’’) ta : (- 3)3 – (-3) (-m + 10) = -27 - 9m + 90 = 20 -9m + 60 = m= 20 Kết hợp với (1’) suy giá trị m cần tìm là : m = 15/Dạng toán 15 : Tìm điều kiện m để phương trình (1) vô nghiệm a/ Phương pháp giải a 0 b 0 a 0 c 0 Phương trình (1) vô nghiệm và : (I) , ( ') (II) Giải (I) và (II) suy giá tri m cần tìm b/ Ví Dụ VD: Tìm các giá trị m để phương trình : (m + 1) x2 – 2(m – 1)x +m – = (1) vô nghiệm Giải GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 22 (23) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” m 0 m 0 m 0 m 0 Phương trình (I) vô nghiệm và : (I) ' (II) Giải (I) suy m = và m (2) Giải (II) Ta có: m + 0 m -1 và ’ < (m – 1)2 – (m+1)(m-2) <0 m2 – 2m +1 – m2 +m +2 < -m+3< m > (3) Từ (2) và (3) suy Vậy với m = và m 2 m > thì phương trình đã cho vô nghiệm 16/Dạng toán 16 : NghiÖm h÷u tû cña ph¬ng tr×nh bËc VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2+ mx + n = (*) (m, n Z) a, Chứng minh rằng: phơng trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số nguyên b, T×m nghiÖm h÷u tØ cña ph¬ng tr×nh (*) n = Gi¶i : a, NÕu (1) cã nghiÖm x = th× tho¶ m·n a ≠0 NÕu (1) cã nghiÖm h÷u tØ x = b đó a; b Z; bZ*+ ; (a; b) = a a +m +n=0 b b () Ta cã a2 = -mab –nb2 a2: b mà (a; b) = nên b = đó xZ b, Khi n = ph¬ng tr×nh (*) cã d¹ng x2 + mx + = = m2 – 12 §Ó (*) cã nghiÖm h÷u tØ th× chÝnh ph¬ng §Æt m2 – 12 = k2 (kN) m2 – k2 = 12 (m-k) (m+k) = 12 ¿ m+ k =6 m−k = ¿ [ ¿ m+ k =−2 m− k =− ¿ [ {¿ ¿ ¿ ¿ V× m+ k , m-k lµ íc cña 12, cïng tÝnh ch½n lÎ, m+k ¿ m-k [m=4 [ [m=−4 nªn Víi m = ph¬ng tr×nh (*) lµ x2 + 4x + = cã nghiÖm x1 = -1 x2 = - Víi m= -4 ph¬ng tr×nh (*) lµ : x2 - 4x + = cã nghiÖm x1 = x2 = VD2: Cho biÕt: x = √ lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 + ax2 + bx + c = (a, b, cQ) T×m c¸c nghiÖm cßn l¹i? Gi¶i:Ta cã = n2 + 16 > NÕu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ c¸c sè nguyªn th× n2 + 16 chÝnh ph¬ng §Æt n2 + 16 = k2 (kZ) n2 – k2 = 16 (n-k) (n+k) = 16 Ta thÊy (n+k), (n-k) cïng tÝnh ch½n lÎ (n+k) – (n –k) = 2k mµ tÝch=16 (ch½n) nªn (n+k) vµ (n-k) cïng ch½n n+k n-k nªn n+k n-k -2 -8 -4 n -3 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 23 (24) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Víi n = th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-7x+6 = x1 = x2 = Víi n = -3 th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2-x- = 0 x1 = -2 x2=3 Víi n = th× ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x - 4x = x1 = x2 = Vậy n 3; -3;0 thì phơng trình đã cho có nghiệm nguyên 17/Dạng toán 17 : Quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai - XÐt ba mèi quan hÖ quan träng Hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung Hai phơng trình tơng đơng Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm xen kÏ A- Hai ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: ax2 + bx + c = vµ a'x2 + b'x + c' = cã nghiÖm chung nÕu hÖ ax + bx + c = a'x + b'x + c' = ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ cã nghiÖm NÕu hÖ cã chøa tham sè c¶ hai Èn ay + bx + c = a'y + b'x + c' = ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ đặt y = x2 đợc Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung hÖ hai Èn x, y cã hÖ tho¶ m·n y = x2 VD 1: Tìm m để hai phơng trình: x2 + mx + = và x2 + x + m = có nghiệm chung y + mx + = y+ x + m =0 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Giai: §Æt y = x2 ≥ hÖ cã nghiÖm chung Tính định thức (học sinh thờng tìm ≥ cho hai phơng trình đã cho giả sử (x0; y0) là nghiệm chung cña hai ph¬ng tr×nh) D = m - HÖ cã nghiÖm nhÊt nÕu D ≠ m ≠ Tìm đợc x = -1; y = -m - V× y = x2 - m - = m = -2 D = m = hai phơng trình vô nghiệm nên không có nghiệm chung VD 2: Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh.x2 + p1x + q1 = vµ x2 + p2x + q2 = cã nghiÖm chung th× (q1 - q2) + (p1 - p2) (q2p1 - q1p2) = C¸ch lµm t¬ng tù vÝ dô 1: Trêng hîp D = p1 = p2 hÖ cã nghiÖm q1 = q2 VD3: Tìm các giá trị a để phơng trình sau có ít nghiệm chung x2+ ax + = (1) x2 + x + a = (2) Gi¶i: Giả sử xo là nghiệm chung phơng trình Khi đó ta có: x02 + ax0 + = (1/) x02+ x0 + a = (2/) (a-1)x0 + - a = a−8 NÕu a th× x0 = a−1 .Thay vµo (2/) vµ rót gän ta cã a - 24a +72 = (a + 6) (a2- 6a +12) = [a+6=0 [ [a −6a+12=0 a=-6 Víi a = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh : x2- 6x + = 0, cã nghiÖm x1 = x 2= ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh: x2+x- = cã nghiÖm x1 = x2 = - đó (1) và (2) có nghiệm chung là x = Víi a = th× (1) trë thµnh x2 +x+8 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm (2) trë thµnh x2 +x+1 = 0, ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy víi a = -6 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm chung B- Hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình vô nghiệm là tơng đơng Hai phơng trình có nghiệm dựa vào định lý Viét để suy điều kiện phải tìm tham số GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 24 (25) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD 1: Tìm m để hệ hai phơng trình.x2 - mx + 2m - = (1) và x2 - (m2 + m - 4) x + = (2) Giai: Tơng đơng hai phơng trình vô nghiệm (học sinh thờng bỏ qua trờng này) Δ1 < Δ2 < ⇔ ¿ [ − < m <− [ [ <m <2 <m <6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ §iÒu nµy kh«ng x¶y x + x 2= m=m + m− x x 2=2 m−3 =1 ⇔ m= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (1) vµ (2) cã nghiÖm x1, x2 th× VD 2: Tìm m và n để hai phơng trình.x2- (m + n)x - = (1) và x2 - 2x + 3m - n - = Giai: Tơng đơng XÐt (1) cã nghiÖm = (m + n)2 + 12 > Gọi x1, x2 là nghiệm Để (1) và (2) tơng đơng thì (2) có nghiệm x1, x2 Dùng hệ thức Viét để tìm m n x + x =m + n =2 x x =−3 =3− n−5 ⇔ ¿ m =1 n =1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 18/Dạng toán 18 : T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè Ph¬ng ph¸p chung: B1: Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm x1, x2 B2: Ap dông hÖ thøc viÐtta cã x1+x2 = f(m) x1.x2 = g(m) B3: Khử m ta đợc hệ thức cần tìm VD1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx – m2 = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m Gi¶i: / - Ta thấy = 2m đó phơng trình đã cho có nghiệm x1, x2; ∀ m - Ta cã x1 + x2 = 2m (1) x1 x2 = - m2 (2) x 1+ x 2 Tõ (1) m = x 1+ x 2 Thay m = vµo (2) ta cã : (x1+x2)2 + 4x1x2 = VËy hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc m lµ: (x1+x2)2 + 4x1x2 = VD 2: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (2m + 3) x + m - = a) T×m m ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1x2 kh«ng phô thuéc tham sè Giai: - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt − - > 28m + > m > 28 m−4 m - BiÓu thÞ S = x1 + x2 = + m vµ P = x1x2 = - Khử tham số đợc: 4(x1+x2) + 3x1x2 = 11 19/Dạng toán 19 : ThiÕt lËp ph¬ng tr×nh bËc hai NÕu cã hai sè x1, x2 mµ x1 + x2 = S vµ x1x2 = P th× x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = VD: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = cã hai nghiÖm x1, x2 kh¸c H·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x 1 vµ x ; Giai: Với bài toán này không cần điều kiện ≠ vì đầu bài đã giả sử phơng trình có nghiệm x1, x2 khác ¸p dông hÖ thøc ViÐt: x1 + x2 =− p x x2 =q ⇔ ¿ 1 p + =− x1 x2 q 1 = x1 x2 q ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 25 (26) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” p x+ =0⇔ qx +px +1=0 q Ph¬ng tr×nh cÇn lËp: x2 + q 20/Dạng toán 20: Ph¬ng tr×nh quy vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai A) Phương trình trùng phương VD 1: Giải phương trình sau : a) x4 -13x2 +36 = (1) Cách giải: -Đặt x2 = t với điều kiện t 0 Khi đó phương trình (1) trở thành : t2 -13t +36 = (2) -Giải phương trình (2) =b2 4ac = 25 Vì >0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là : t1=9 ( giá trị này thỏa mãn điều kiện t 0) t1=4 ( giá trị này thỏa mãn điều kiện t 0) - Thay trở lại cách đặt ẩn phụ đặt ban đầu +) Với t=t1=9 x2 = x= x= 3 x1=3 x2=-3 +) Với t=t2=4 x2 = x= x= 2 x3=2 x4=-2 - Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt là : x1=3; x2=-3; x3=2 ; x4=-2 b) x4 -15x2 -16 = (1) KQ: x1=4; x2=-4 c) x +26x +25 = (1) KQ: Phương trình vô nghiệm d) x4 -12x2 +36 = (1) KQ:x1= ; x2=- e) x4 - 9x2 + = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 ; x4=-2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau : 1 a ) 4x4 - 5x2 + = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= ; x4=- b) x - 5x + = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 ; x4=-2 c) x - 48x -49 = (1) KQ: x1=7; x2=-7 d) x - 19x + 18 = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=3 ; x4=-3 e) 4x4 + x2 -5 = (1) KQ: x1=1; x2=-1 f) 3x4 + 4x2 + = (1) KQ: Phương trình vô nghiệm g) 2x4 - 3x2 -2 = (1) KQ: x1= ; x2=- h) 3x +10x + = (1) KQ: Phương trình vô nghiệm 1 i ) 9x4 - 10x2 + = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= ; x4=- k) 5x4 +2x2 -16 = 10-x2 (1) KQ: x1= ; x2=- GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 26 (27) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” l) 0,3x4 - 1,8x2 +1,5 = (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= ; x4=- 1 m) 4x2 +1 = 4- x (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3= ; x4=- n) x2 - = 1- x (1) KQ: x1=1; x2=-1; x3=2 ; x4=-2 B Phơng trình: sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a ≠0) c ≤0 NÕu P = a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm NÕu P > xÐt ®iÒu kiÖn ≥ − b a NÕu P > th× xÐt dÊu cña S = cho biết kết so sánh giá trị tuyệt đối các nghiệm VD 1: Tìm m để phơng trình: x2 - 2mx + (m + 1) x - m + = (1) có nghiệm Giai: §Æt Èn phô ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai: X = x - m với ≤ X ta đợc phơng trình X2 + (m = 1) X - m2 + = 0(2) Tìm điều kiện để (2) có nghiệm ≥ m ≤ -1 hoÆc m ≥ NÕu X lµ nghiÖm cña (2) th× X = x - m x = X + m XÐt X = x = m X≠0x=mX Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nhÊt (2) cã nghiÖm X1, X2 tho¶ m·n X1≤ X2 = §a vÒ ph¬ng tr×nh hçn hîp: P= S ≤ ⇔ ¿ 1− m2 = − m − 1≤ ⇔ ¿ m= ±1 m≥ −1 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ VËy m = Trong thực tế ta có thể sử dụng phơng trình bậc hai để giải loại phơng trình sau: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu Ph¬ng tr×nh bËc ba: ax3 + bx2 + cx + d = Ph¬ng tr×nh bËc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx = ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: ax4 + bx2+ c = Ph¬ng tr×nh håi quy: ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+ a)(x+b)(x+c)(x+d) = m víi a+b = c+ d Ph¬ng tr×nh d¹ng: (x+a)4 + (x+b)4 = c Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ph¬ng tr×nh v« tû 10 Phương trình tích GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 27 (28) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” VD1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x −3 x+ = x −3 x −9 a, b, 3x4 + 4x2 + = c, x3 + 3x2 – 2x – = d, (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = VD2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 x +2 x +2 − +2= 2 a, x −2 x+2 x +3 x 4x =5 b, x2+ ( x+2) 21/Dạng toỏn 21: Hệ đối xứng hai ẩn Hệ đối xứng hai ẩn x, y biểu diễn phơng trình theo x + y và x.y; Đặt S = x + y và P = x y đợc hệ chứa các ẩn S và P Gi¶i hÖ t×m S vµ P C¸c sè x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 - SX + P = Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh chøa Èn X VD 1: Gi¶i hÖ x + y =2 x + y =26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x + y =2 ( x+ y )3 −3 xy ( x + y )=26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S =2 S −3 SP =26 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Giai: Làm xuất x + y và x y đợc Đặt S = x + y = 2, P = xy đợc T×m S = vµ P = -3 NghiÖm cña hÖ (-1; 3) vµ (3; -1) Chú ý: Nếu hệ đối xứng nêu trên có nghiệm (a; b) nó có nghiệm (b; a) x √ y + y √ x=30 x √ x+ y √ y=35 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ VD 2: Gi¶i hÖ Giai: Trớc hết đặt điều kiện x ≥ và y ≥ §Æt Èn phô U = §a hÖ vÒ √x vµ V = √y (U, V ≥ 0) UV ( U +V )=30 ( U +V ) −3 UV ( U +V )=25 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ SP =30 S +3 SP=35 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Đặt S = U + V và P = U V đợc hệ Chó ý U vµ V lµ nghiÖm kh«ng ©m cña ph¬ng tr×nh t2 - 5t + = t = vµ t = √ x= √ y =3 ®a vÒ {¿ ¿ ¿¿ ¿ VD 3: Tìm m để Giải tìm đợc S = và P = √ x =3 √ y =2 ¿ ¿¿ ¿ hoÆc NghiÖm √ x +1 + √ y−1=m x + y =m −4 m+6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ hÖ {¿ Giai: Tìm điều kiện để tồn các câu §Æt Èn phô u = √ x+1 vµ v y−1 u2 = x + và v2 = y - đợc hệ √ GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! cña hÖ (4; 9) vµ (9 ; 4) cã nghiÖm x ≥−1 y ≥1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ (víi u ≥ 0, v ≥ 0) 28 (29) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” u2 + v { u + v =m = m 2− m + ⇔ ¿ S= m P=u v ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ S= m S −2 P =m 2− m +6 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ S =m P=2 m−3 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - mt + 2m - = (*) v× u ≥ vµ v ≥ nªn (*) kh«ng cã nghiÖm ©m Δ ≥0 P≥ S≥ ⇔ ¿ m − m + 12 ≥ m − 3≥ m ≥0 ⇔ ¿ [ m ≥6 [ [ ≤m ≤2 { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i hÖ bÊt ph¬ng tr×nh VD 4: BiÕt r»ng c¸c sè x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: F = x3 + y3 Giai: Tìm điều kiện F để có nghiệm (thờng học sinh bỏ qua điều kiện này) Từ đó có thể tìm đợc F x + y =2 + y 3= F ⇔ ¿ x + y =2 ( x+ y ) − xy ( x + y )= F ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x HÖ cã nghiÖm S =2 − PS = F ⇔ ¿ S =2 8− F P = ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ S Đặt S = x + y và P = xy đợc x, y lµ nghiÖm cña t2 - 2t + Cã nghiÖm ' ≥ VËy F = x = y = 8−F =0(∗) 8−F ≥0 , F≥2 22/Dạng toỏn 22: Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng bậc hai Cho đờng bậc hai y = f(x) và đờng thẳng y = ax + b Hoành độ điểm chung hai đờng là nghiệm phơng trình f(x) = ax + b (*) - Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì hai đờng cắt hai điểm - Nếu (*) có nghiệm kép thì hai đờng thẳng tiếp xúc điểm có hoành độ là nghiệm kép Khi đó đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến đồ thì hàm số y = f(x) - Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng không có điểm chung VD 1: Chứng minh đờng thẳng y = -x luôn cắt parabol y = x2 - (m + 2)x + m2 + 3m = -x có hai nghiÖm ph©n biÖt vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm kh«ng phô thuéc vµo m Giai: - Ph¬ng tr×nh x2 - 2(m +2) x + m2 + 3m = -x cã hai nghiÖm ph©n biÖt ' > ' = > - Hoành độ giao điểm xA, xB là nghiệm phơng trình, đó xA = m và xB = m + - Tìm tung độ A và B: yA = -m - - ¸p dông c«ng thøc kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm AB = √( x B−x A )2+( y A− y B )2=√18=3 √ 2 x −2 x x−1 VD 2: Cho hµm sè y = kh«ng phô thuéc vµo m a) Chứng minh đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thì hai điểm phân biệt A, B b) T×m k cho OA OB Giai: Ph¬ng tr×nh x2 - 2x = (x - 1) (-x + k) cã hai nghiÖm ph©n biÖt (k - 1)2 + > 0k OA OB tÝch c¸c hÖ sè b»ng - Hệ số OA, OB là tỷ số tung độ và hoành độ tơng ứng y A −x A + k y A −x+ k = = xA xA a = yB a = yB a1a2 = - x A x B−( x A + x B )k +k =−1(∗) xA xB GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 29 (30) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” k +3 k x B= ¿ x A + x B= xA {¿ ¿¿ ¸p dông hÖ thøc ViÐt: Tõ (*) k2 - k = k = hoÆck = Loại k = vì đó a1a2 = ¿ BÀI TẬP TỔNG HỢP BT 1.Cho phơng trình (m-4)x -2mx+m-2=0,trong đó m là tham số a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=3 b.Tìm m để phơng trình có nghiệm x= c.Tìm m để -ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp -ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Gi¶i : a.víi m=3 ta cã -x -6x+1=0 ' ' =(-3) +1=10; = 10 10 ; x =-3+ 10 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x =-3- b Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= ,thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã (m-4)2-2 m+m-2=0 m=10(3+2 ) m4 m 4 m4 a 0 'm (m 4)(m 2) 0 0 c.-Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ' m ' b m 4 4 Ta cã x = x = a = -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt a 0 ' 0 m 4 m m m m C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = BT 2.Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh a 2x - (2-k)x=k(k-2) m ; x2 = m m b (2k-1) x -4kx+1=0 Giải : a.Phơng trình đã cho có thể viết 2x -(2-k)x-k(k-2)=0 =(2-k) +8k(k+2)=4-4k+k +8k +16k=9k +12k+4=(3k+2) 0 víi mäi k Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với k 1 b.- NÕu 2k-1=0 hay k= th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiÖm x= GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 30 (31) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ' 2 2 - Nếu 2k-1 0 hay k thì ta tìm đợc =(-2k) -(2k-1) =4k -4k +4k-1=4k-1 0 Tøc lµ k ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 1 VËy víi k > vµ k ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2k 4k 2k 4k 2 x = (2k 1) ;x = (2k 1) 2k b (2k 1) 1 ( 1) Víi k = ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp x = x =- a = Víi k < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ' BT 3.Cho ph¬ng tr×nh x +7x-5=0.Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm b.Tổng các nghịch đảo hai nghiệm c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm Giải :Ta thấy phơng trình đã cho luôn có nghiệm vì các hệ số avà c khác dấu a.Tæng cña hai nghiÖm lµ S=x +x =-7 vµ tÝch cña hai nghiÖm lµ P= x x =-5 1 x x1 7 x x x x 5 2 b Tổng các nghịch đảo hai nghiệm là x x 2 (x1 x ) 2x1x ( 7) 2( 5) 49 10 59 c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm lµ (x1 x ) x12 x 2 2x1.x 59+10=69 e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm lµ x13 x 23 (x1 x )3 3x1.x (x1 x ) ( 7)3 3( 5)( 7) 343 105 448 BT 4.Cho ph¬ng tr×nh 2x +(2p-1)x+p-1=0 a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b.Tìm p để hai nghiệm dơng c.T×m mét hÖ thøc kh«ng phô thuéc vµo p Gi¶i :a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt =(2p-1) - 4.2(p-1)=(2p-3) > p 2 b.Phơng trình có hai nghiệm dơng ta giải hệ phơng trình x x ab 0 1 22p 0 p 12 x x c 0 p 10 p 1 a 2 1 2 Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào p để hai nghiệm dơng 2p p 1 2p 2p x1 x vµ P= x1.x = nªn ta cã :S+2P= + 2 c Do S= x1 x 2x1.x VËy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo p lµ BT 5.Cho ph¬ng tr×nh x - mx + m-1=0 víi m lµ tham sè a.Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 31 (32) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” x1 x 2 b.Gäi x ,x lµ c¸c nghiÖm T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A= Gi¶i a.Ta cã mäi m m 4(m 1) m 4m (m 2) 0m ,vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi 2 2 2 b A= x1 x = x1 x +2x x -2x x =(x +x ) - 2x x = m -2(m-1)= m -2m+2= 2 m -2m+1+1=(m-1) +1 1 m A nhá nhÊt b»ng (m-1) =0 m=1 BT 6.Cho ph¬ng tr×nh x - 2x + m =0 víi m lµ tham sè a.Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x ,x là số dơng x1 x 10 x x1 b T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x ,x tháa m·n : Giải: a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng là : ' 0 S0,P 0 1 m 0 0,m 0 m 1 m 0 m 1 ' b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt =1-m > m<1(1) Khi đó S=x +x =2 và P= x x = m nên : x1 x 10 x12 x 2 10 (x1 x ) 2x1x 10 x1 x x x1 x1.x 2 S 2P 10 2m 10 P m §iÒu kiÖn m 0 (2) Ta cã 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3 tháa m·n (1),(2) 2 BT Cho ph¬ng tr×nh x + 2(m+1)x + m =0 ,víi m lµ tham sè a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=2 b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiệm (-2) Gi¶i:a.Khi m=2 thay vµo ph¬ng tr×nh ,ta cã x + 6x + 4=0 ' =3 -4=5, = Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x = -3+ , x =-3- 1 b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt =(m+1) - m =2m+1>0 m > ' 2 c.Phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiệm (-2) 1 - Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt >0 m > ' - Theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã x x ab x x c a 1 2 x1 x 2( m 1) x1 x m (1) - Theo gi¸ thiÕt , ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng (-2) , gi¶ sö x =-2 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (1) ta cã GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 32 (33) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” x 2(m 1)2 (2) m x 2 2 2 -Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (2), rót gän hai vÕ ta cã m +4m=0 m(m+4)=0 m 0 m 1 Víi m=-4 (lo¹i),m=0 (tháa m·n) ®iÒu kiÖn m > Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và đó có nghiệm (-2) 2 BT Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x + 5x + m -1=0 ,víi m lµ tham sè a.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu b.Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm đó có nghiệm b»ng Gi¶i:a.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a 0 m 10 x x c 0 m a m 1 0 m m 10 m m 1 b.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm đó có nghiệm -¸p dông hÖ thøc Vi-Ðt ta cã x x ab x x c a 1 2 x x m51 (I) m 1 x x m 1 2 2 Thay gi¸ trÞ x =4 vµo (I) ta cã m +16m+35=0 m =-8+ 29 ;m =-8- 29 Các giá trị m , m thỏa mãn điều kiện m<1 và m -1 Vậy m=-8+ 29 ;m=-8- 29 phơng trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm đó có nghiệm b»ng BT 9.Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x - 2(m-10x + m-3 =0 ,víi m lµ tham sè a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m kh¸c (-1) b.Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu c Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiÖm Gi¶i :a.Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt a 0 ' 0 (m 1) ( m 1)(m 3) 0 m 10 m 0 VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m -1 b.-Theo câu a ,ta đã có >0 với giá trị m -1 -Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu c m x1.x 0 a m 1 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 33 (34) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” mm31 mm3 m 30 m 10 m 3 m VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu m>3 hoÆc m<-1 m 30 m 10 c x1.x a c.Theo c©u a ,b ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu >0 vµ ta cã m>3 hoÆc m<-1 MÆt kh¸c theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã : x x ab x x c a 2 1) x x 2(m x x m 3m 1 (I) m1 2 Víi gi¶ thiÕt cho x =2x ,thay vµo (I) ta cã 3x 2(mm11) x m m 1 2 2(m 1) m 3(m 1) 2(m 1) Rút ta đợc : m - 2m- 35 = m =-5 ;m =7 Với giá trị m ;m thỏa mãn điều kiện m >3 và m <1 Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm m=-5 m=7 BT 10.Cho ph¬ng tr×nh m(x -4x+3)+2(x-1)=0 a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=- b Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c.Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm nguyên Gi¶i: a.Víi m=- Ta cã x -8x+7=0 c Cã a+b+c = 1+(-8)+7 = x =1;x = a =7 b.Phơng trình đã cho trở thành : mx -2(m-1)x+3m-2=0 (1) + Víi m=0 ,(1) 2x-2=0 x=1 ' 4m 4m 3m 2m m 2m (m 1) 0 m + Víi m 0 : VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m c.Ta cã m(x -4x+3)+2(x-1)= (x-1) XÐt ph¬ng tr×nh m(x-3)+2 = m(x 3) 2 0 3m 2 §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm th× m 0 mx-3m+2=0 x= m =3- m §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn th× 2m hay m= 1;m= 2 BT 11.Cho ph¬ng tr×nh x - (m+2)x+2m = (1) a.Gi¶i ph¬ng tr×nh m=-1 b.Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x ,x thỏa mãn (x +x ) - x x 5 Gi¶i:a.Víi m=-1 Ta cã x - x-2 = Cã a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0 x =-1,x =2 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 34 (35) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” b Ta cã: =(m+2) -4.2m=m + 4m + 4- 8m = m - 4m + = ( m- 2) 0 m VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm m 2 2 2 2 Ta cã (x +x ) - x x =m +2m+4 5 m +2m+ 1+3 5 m +2m+ 5-3 (m+1) - m+1 -1- m -1 BT 12.Cho ph¬ng tr×nh x - px + p-1 = a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña p 2 b.TÝnh theo p gi¸ trÞ biÓu thøc M=x +x - 6x x c.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M Gi¶i:a.Ta cã trÞ cña p p 4p (p 2) 0p Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ 2 2 b.Ta cã M=x +x - 6x x =(x +x ) -2x x - 6x x =(x +x ) -8x x 2 2 = p - 8(p-1) = p - 8p + = p - 8p + 16 - = (p-4) - 2 c.M=(p-4) - -8,vậy M đạt giá trị nhỏ M=-8 (p-4) =0 p-4=0 p=4 BT 13.Chøng minh r»ng nÕu c¸c hÖ sè cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p x+q =0 vµ x +p x+ q =0 ,liªn hÖ víi bëi hÖ thøc p p =2(q +q ) th× Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghÞªm 2 Gi¶i : Gäi ph¬ng tr×nh x +p x+q =0 (1) vµ x +p x+ q =0 (2) 2 p Ta cã 1 =p -4 q ; = -4 q ; 1 + = p -4 q + p 2 -4 q = p + p 2 - 4(q + q ) V× 2(q +q )= p p 4(q + q ) = 2p p 2 2 p p2 0 Do đó 1 + = p + p - 4(q + q )= p + p -2p p = §iÒu nµy chøng tá Ýt nhÊt mét hai biÖt thøc 1 hoÆc ph¶i >0 VËy Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm BT 14.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax + bx + c = cã nghiÖm nÕu mét hai ®iÒu kiÖn sau a) a( a + 2b + 4c ) < b) 5a + 3b + 2c = Gi¶i:Ta cã b 4ac 2 2 2 a( a + 2b + 4c ) = a +2ab+4ac < a +b +2ab < b -4ac b -4ac > ( a+b) 0 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2 2 b) 5a + 3b + 2c = 10a +6ab+4ac=0 (3a+b) + a = b -4ac 0 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2 BT 15.Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh bËc hai x +p x+q =0 vµ x +p x+ q =0 cã nghiÖm chung th× : (q - q ) +(p -p )(q p -q p )=0 Giai:Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung x p1x q1 0 x p x q 0 §Æt y=x ,ta cã cã nghiÖm y p1x q1 0 y p x q 0 p p1 q1p p1q p p vµ y= p p1 Do y=x suy -NÕu p p ,gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã x= GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 35 (36) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” q1p2 p1q p p1 p p1 =( p1 p ) ,khai triển biến đổi ta có :(q -q ) +( q -q )( q p -q p )=0 p1x y q1 p1x y q -NÕu p =p ta cã hÖ dạng = 0, hiến nhiên đúng GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! Hệ này có nghiệm ,suy q =q Do đó đẳng thức cần chứng minh có 36 (37) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 37 (38) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 38 (39) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 39 (40) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 40 (41) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” x m x m 0 Bài 8: Cho phương trình a) Tìm m biết x = là nghiệm phương trình ? b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m? Giải: a) Phương pháp: Vì x0 là nghiệm phương trình nên ax bx0 c phải Vì phương trình nhận x=3 là nghiệm nên: 2.32 m m 0 18 3m 12 m 0 2m m 3 Vậy với m = phương trình đã cho nhận x = là nghiệm b) Để phương trình ax bx c 0 luôn có nghiệm thì 0 Ta có: m4.2 m816 m16 Vì m 0 với m đó m 16 với m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với m Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: x2 -2(m-1)x – – m = ( Èn sè x) a) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm d) T×m m cho nghiÖm sè x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tho¶ m·n x12+x22 ¿ e) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m f) H·y biÓu thÞ x1 qua x2 Gi¶ia) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– – m ) = 15 + ( ) m− 12 15 ≥0 >0 víi mäi m; > víi mäi m ( ) m− Do Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Hay ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm (®pcm) b) Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu a.c < – – m < m > -3 VËy m > -3 c) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < và P > ⇔ ( m − )< −( m + )> ⇔ ¿ m < m < −3 ⇔ m< −3 ¿ ¿ { ¿ ¿ ¿ VËy m < -3 d) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bµi A 10 4m2 – 6m 2m(2m-3) GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 41 10 (42) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” ⇔ ¿ m ≥0 m − 3≥ ¿ [ ¿ m ≤0 m − 3≤ ¿ [ ⇔ ¿ ¿ m ≥0 m≥ ¿ ¿ [ ¿ m ≤0 m≤ ¿ [ VËy m hoÆc m { ¿ ¿ ¿ e) Theo ý a) ta cã ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 + x 2= ( m − ) x x2 =− ( m + ) ⇔ ¿ x + x =2 m − 2 x x 2=− m − ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Theo định lí Viet ta có: x1 + x2+2x1x2 = - VËy x1+x2+2x1x2+ = lµ hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc m 8+ x x 1=− 1+2 x2 f) Tõ ý e) ta cã: x1 + x2+2x1x2 = - x1(1+2x2) = - ( +x2) 8+x x 1=− x 2≠− 1+2 x ) VËy ( Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + m-1= ( m lµ tham sè) a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = y =x1 + x2 ; y =x2 + c) LËp ph¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n tr×nh ë trªn Gi¶i a) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = – m Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo x1 víi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng ⇔ ' Δ ≥0 P =1 ⇔ ¿ 2− m ≥ m −1 =1 ⇔ ¿ m ≤2 m =2 ⇔ m =2 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ VËy m = b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = – m Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm – m m (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bµi: 3x1+2x2 = (3) x + x 2= − x + x 2= ⇔ ¿ x + x = − x + x 2= ⇔ ¿ x = x + x 2= − ⇔ ¿ x = x = − ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ Tõ (1) vµ (3) ta cã: ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1 m = - 34 (tho¶ m·n (*)) VËy m = -34 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m d) Với m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) x1+ x2 1 −2 2m y + y =x + x + + =x + x + =−2+ = x x x x m−1 1−m 2 Khi đó: y y =( x + 1 1 m )( x2 + )=x x + + 2=m−1+ + 2= x2 x1 x1 x2 m−1 m−1 2m m y1; y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: y2 - 1−m y + m−1 Ph¬ng tr×nh Èn y cÇn lËp lµ: (m-1)y2 + 2my + m2 = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 42 = (m≠1) (m≠1) (m≠1) (43)