Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho.. Tìm phân số đó.[r]
(1)TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN (VÒNG 3) Bài (4 điểm) ( 1−x 1−x −x : 1−x 1−x−x + x ) Cho biểu thức A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm) 2 a b b c c a Cho với x khác -1 và =−1 4 a b c ab ac bc Chứng minh a=b=c Bài (3 điểm) Giải bài toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đơn vị và tăng mẫu lên đơn vị thì phân số nghịch đảo phân số đã cho Tìm phân số đó Bài (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a −2 a +3 a −4 a+5 Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 (2) ĐÁP ÁN Bài 1( điểm ) a, ( điểm ) Với x khác -1 và thì : 0,5đ 1−x −x +x : 1−x (1+x )(1−x+x )−x (1+x ) A= (1−x )(1+x +x 2−x ) (1−x )(1+x ) : 1−x (1+ x )(1−2 x+x ) = (1+ x2 ): (1−x ) = (1−x )(1+x ) 0,5đ 0,5đ = (1+ x )(1−x ) b, (1 điểm) Tại x = −1 = 25 (1 )(1 ) = = − 0,5đ thì A = [ 5 1+(− )2 − 1−(− ) 3 ][ 0,25đ ] 0,25đ 34 272 = =10 27 27 0,5đ c, (1điểm) Với x khác -1 và thì A<0 và (1+ x )(1−x )<0 (1) Vì 1+ x >0 với x nên (1) xảy và 1−x <0 0,25đ ⇔ x >1 KL 0,5đ 0,25đ Bài (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để 2 2 2 2 a +b −2 ab+b +c −2 bc+ c +a +2 ac=4 a + b +4 c −4 ab−4 ac−4 bc 0,5đ Biến đổi để có (a2 + b2 −2 ac )+(b +c −2 bc )+(a +c −2 ac )=0 0,5đ Biến đổi để có (a−b ) +(b−c ) +(a−c ) =0 2 2 2 0,5đ (*) Vì (a−b ) ≥0 ; (b−c ) ≥0 ; (a−c ) ≥0 ; với a, b, c 2 nên (*) xảy và (a−b ) =0 ; (b−c ) =0 Từ đó suy a = b = c và (a−c ) =0 ; 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài (3 điểm) Gọi tử số phân số cần tìm là x thì mẫu số phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là x x+11 0,5đ (x là số nguyên khác -11) x−7 Khi bớt tử số đơn vị và tăng mẫu số đơn vị ta phân số x +15 (x khác -15) 0,5đ (3) x x +15 Theo bài ta có phương trình x+11 = x−7 0,5đ Giải phương trình và tìm x= -5 (thoả mãn) 1đ 0,5đ Từ đó tìm phân số Bài (2 điểm) − 2 2 Biến đổi để có A= a (a + 2)−2 a (a +2 )+(a +2)+3 2 2 = (a + 2)(a −2 a+1 )+3=(a +2)(a−1) +3 2 0,5đ 0,5đ ∀a và (a−1) ≥0 ∀ a nên (a +2)(a−1) ≥0 ∀ a đó (a2 +2)(a−1)2 +3≥3 ∀ a ⇔a=1 Dấu = xảy và a−1=0 Vì a +2>0 KL Bài (3 điểm) 0,5đ 0,25đ 0,25đ B M N A I D a,(1 điểm) Chứng minh tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh AN=MI, từ đó suy tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) √3 √3 cm cm 3 Tính AD = ; BD = 2AD = √3 cm BD= AM = √3 cm Tính NI = AM = √3 √3 cm cm DC= 3 DC = BC = , MN = √3 cm Tính AI = Bài C 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5,0 (4) H C B 0,25 F O A E D K a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) 1,5 0,25 0,25 => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành 0,25 0,25 1,5 Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) 0,5 b CH CK CH CD CK CB CB CD c, 0,5 0,5 1,75 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC 0,25 0,25 0,25 0,25 CF AH AB AH CF AC AB AC Mà : CD = AB Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,5 0,25 (5)