DE THI HSG TOAN 8 CO ĐAP AN

Câu I: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức: + = + ữ + 2 2 1 1 x 1 A : x x x 1 x 2x 1 b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = + + 3 x ax b chia hết cho đa thức + 2 x x 6 Câu II: (2 điểm) Giải các phơng trình sau: a) = + + + + 2 15x 12 4 1 x 3x 4 x 4 x 1 b) ( ) ( ) ( ) + =x x 2 x 1 x 1 24 Câu III: (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn: + + = 1 1 1 0 x y z . Tính giá trị của biểu thức: = + + + + + 2 2 2 yz xz xy A x 2yz y 2xz z 2xy . b) Cho biểu thức M = + 2 2 x 2x 2011 x với x > 0 Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu IV: (3 điểm ) Cho hình thoi ABCD có ã = 0 BAD 120 . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng: a) AMD CDN và = 2 AC AM.CN b) AME CMB . Câu V: (1 điểm) Cho a , b là các số dơng thỏa mãn: + = + 3 3 5 5 a b a b . Chứng minh rằng: + + 2 2 a b 1 ab Đáp án và biểu điểm: Phần Nội Dung Điểm a) 1 đ ĐKXĐ Rút gọn A: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ữ + + = + ữ ữ + = + = 2 2 2 2 1 1 x 1 A : x x x 1 x 2x 1 1 1 x 1 A : x x 1 x 1 x 1 x 1 1 x A . x x 1 x 1 x 1 A x 0,25 đ ,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) 1 đ f(x) chia hết cho + 2 x x 6 f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 0 + = 3a b 27 (1) Tơng tự ta có f(2) = 0 + = 2a b 8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 = a 7 Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) 1 đ ĐKXĐ: x 4 ; x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + = + + + + = + + + + + = = + = = 2 2 2 15x 12 4 1 x 3x 4 x 4 x 1 15x 12 4 1 x 4 (x 1) x 4 x 1 15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4 x 4x 0 x 0 x x 4 0 x 4 x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) 1 đ ( ) ( ) ( ) + = x x 2 x 1 x 1 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = 2 2 x x 1 x 2 x 1 24 x x x x 2 24 Đặt 2 x x = t . Phơng trình trở thành: ( ) = = 2 t t 2 24 t 2t 24 0 Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6 * Với t = - 4 => = 2 x x 4 + = + = ữ 2 2 1 15 x x 4 0 x 0 4 4 (ph- ơng trình vô nghiệm) * Với t = 6 => ( ) ( ) = + = 2 x x 6 x 2 x 3 0 Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) 1 đ Từ giả thiết: + + + + = = + + = 1 1 1 yz xz xy 0 0 yz xz xy 0 x y z xyz (vì x,y,z >0) ( ) ( ) = + = + = 2 2 yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y Tơng tự ta có: + 2 z 2xy = ( ) ( ) z x z y + 2 y 2xz = ( ) ( ) y z y x Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + yz xz xy A x z x y y z y x z x z y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + = + = = = = yz y z xz z x xy x y x z x y y z yz y z xz x z xy x z y z x z x y y z yz y z xz x z xy x z xy y z x z x y y z x x z y z y y z x z x z x y y z x z x y y z 1 x z x y y z 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) 1 đ Ta có: M = + + = 2 2 2 2 2 x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011 x 2011x 0,25 đ ( ) ( ) + + + = + = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2.2011x 1 2011 2010x 2011x x 2011 2010x x 2011 2010 2010 2011x 2011x 2011 2011 Dấu = xấy ra ( ) = = 2 x 2011 0 x 2011 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2010 2011 đạt đợc khi =x 2011 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) 1,5 đ M A B C D N E 0,25 đ * Xét AMD và CDN có ã ã =AMD CDN ( so le trong) ã ã =ADM CND ( so le trong) AMD CDN ( g. g ) * Vì AMD CDN AM . CN = AD . CD Vì ã ã = = 0 0 BAD 120 CAD 60 ACD đều AD = CD = AC AM . CN = AC 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b) 1,25 đ Vì AM . CN = AC 2 theo (a) = AM AC AC CN Chứng minh ã ã = = 0 MAC ACN 60 MAC CAN ( c . g . c) ã ã =ACM CNA Mà ã ã + = 0 ACM ECN 60 ã ã + = 0 CNA ECN 60 ã = 0 AEC 60 Xét AME và CMB có ã ã =AME BMC ( đối đỉnh); ã ã = = 0 AEM MBC 60 AME CMB ( g . g) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 đ + + 2 2 a b 1 ab ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5 4 2 2 4 a b ab 1 a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b 2a b ab a b ab a 2a b b 0 ( ) 2 2 2 ab a b 0 đúng a, b > 0 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu: 1;0 =++=++ c z b y a x z c y b x a thì 1; 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x Giải: 000 =++⇒= ++ ⇒=++ cxybxzayz xyz cxybxzayz z c y b x a 1 1.2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =++⇒ = ++ +++=       ++⇒=++ c z b y a x abc cxybxzayz c z b y a x c z b y a x c z b y a x 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. 12 2 −− xx b. 158 2 ++ xx c. 166 2 −− xx d. 3 23 ++− xxx 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : ( ) ( ) 152 2 2 2 −−−− xxxx . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y 3 - (a - y)x 3 + (x - y)a 3 . 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz. 4. Tìm x,y thỏa mãn: x 2 + 4y 2 + z 2 = 2x + 12y - 4z - 14. 5. Cho a +| b + c + d = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)( ab + cd). 6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ). 7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì : A = y 4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) là số chính phương. 8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau: ( ) ( ) ( ) 1311 22 +−−+−−+ baababbbaa 9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:      =++ =++ =++ 1 1 1 333 222 zyx zyx zyx . Hãy tính giá trị biếu thức P = ( ) ( ) ( ) 1997917 111 −+−+− zyx . 10. a.Tính 2222222 10110099 4321 +−++−+− . b.Cho a + b + c = 9 và a 2 + b 2 + c 2 = 53. Tính ab + bc + ca. 11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1) 2005 + (y - 1) 2006 + (z+1) 2007 12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : cbacba ++ =++ 1111 . Tính Q = (a 25 + b 25 )(b 3 + c 3 )(c 2008 - a 2008 ). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. ( )( ) 3412 2 +−=−− xxxx b. ( )( ) 53158 2 ++=++ xxxx c. ( )( ) 82166 2 −+=−− xxxx d. ( ) ( ) 3213 223 +−+=++− xxxxxx 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : ( ) ( ) ( )( ) 35152 222 2 2 +−−−=−−−− xxxxxxxx . 3. Phân tích đa thức thành nhân tử 1.(a - x)y 3 - (a - y)x 3 + (x-y)a 3 ( )( )( )( ) ayxayaxyx ++−−−= 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc ( )( )( ) accbba +++= 3.x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz ( )( )( ) xzzyyx +++ 4. x 2 + 4y 2 + z 2 = 2x + 12y - 4z - 14 ( ) ( ) ( ) 222 2|321 −+−+−⇔ zyx 5. Từ a + b + c + d = 0 ( ) ( ) 33 dcba +−=+⇒ Biến đổi tiếp ta được :a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)( ab + cd). 6. Nếu x + y + z = 0 thì : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 222555 222555 222222333 333 2 *;622 3 3 3 zyxxyzzxyzxyxyz zyxxyzzxyzxyxyzzyx zyxxyzzxyzxyxyzzyx zyxxyzzyxzyx xyzzyx ++=++− ++=++−++⇔ ++=++−++⇔ ++=++++ ⇒=++ Nhưng: ( ) ( ) 222 2 20 zyxzxyzx yxyzzyx ++=++−⇒=++ (**) Thay (**) vào (*) ta được: 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ). 7. Với x,y nguyên thì : A = y 4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) ( ) 2 22 55 yxyx ++= 8. Biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11311 2 22 +−−=+−−+−−+ bababaababbbaa 9. Từ    =++ =++ 1 1 333 zyx zyx ( ) ( )( )( ) xzzyyxzyxzyx +++=−−−++⇒ 3 333 3      =+ =+ =+ 0 0 0 xz zy yx 2 −=⇒ P 10. a. Sử dụng hằng đẳng thức a 2 - b 2 ; S -=5151 b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c) 2 ; P = 14 11. Từ giả thiết suy ra: x 2 + y 2 + z 2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0 12. Từ: cbacba ++ =++ 1111 . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Tính được Q = 0 . (a 25 + b 25 )(b 3 + c 3 )(c 20 08 - a 20 08 ). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. ( )( ) 3412 2 +−=−− xxxx b. ( )( ) 531 58 2 ++=++ xxxx c. ( )( ) 82 166 2 −+=−− xxxx d. ( ) ( ) 3213 223 +−+=++− xxxxxx 2 f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 0 + = 3a b 27 (1) Tơng tự ta có f(2) = 0 + = 2a b 8 (2) Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 = a 7 Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6 0,25. = 2 x x 6 x 2 x 3 0 Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a) 1 đ Từ giả thi t: + + + + = = + + = 1 1 1 yz xz xy 0 0 yz xz xy 0 x y z xyz (vì x,y,z >0) ( ) ( )