ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2) Năm học 2009 - 2010 Bài 1: Cho biểu thức M = + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x : + − +− 2 10 2 2 x x x a) Rút gọn M b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x 2 - 2xy + 2y 2 - 4y + 5 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh: AE 2 =EF.EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Bài 5: Chứng minh rằng nếu )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx − − = − − Với x ≠ y ; xyz ≠ 0 ; yz ≠ 1 ; xz ≠ 1. Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) HD: Bài 1: a) Rút gọn M M= + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x : + − +− 2 10 2 2 x x x = + + − − +− 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x : 2 6 +x M = 6 2 . )2)(2( 6 + +− − x xx = x−2 1 b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 x = 2 1 ⇔ x = 2 1 hoặc x = - 2 1 Với x = 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 − = 2 3 1 = 3 2 Với x = - 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 + = 2 5 1 = 5 2 Bài 2a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Ta có : A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - (2bc) 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 -2bc)( b 2 + c 2 - a 2 +2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0 Bài 3: a) Ta có : A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y +4 + 1 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 Do (x-y) 2 ≥ 0 ; (y - 2) 2 ≥ 0 Nên A= (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 1 ≥ 1 Dấu ''='' xãy ra ⇔ x = y và y = 2 Vậy GTNN của A là 1 ⇔ x = y =2 b) B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x = 1)1( )1(3 2 +++ + xxx x = )1)(1( )1(3 2 ++ + xx x = 1 3 2 +x Do x 2 +1>0 nên B = 1 3 2 +x ≤ 3 Dấu ''='' xãy ra ⇔ x = 0 Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0 Bài 4: a) Do AB//CD nên ta có: ED EB EG EA = = DG AB (1) Do BF//AD nên ta có: ED EB EA EF = = FB AD (2) Từ (1) và (2) ⇒ EA EF EG EA = Hay AE 2 = EF. EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Từ (1) và (2) ⇒ AD FB DG AB = Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) Bài 5: Từ GT ⇒ (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y 2 - xz) ⇔ x 2 y- x 3 yz-y 2 z+xy 2 z 2 = xy 2 -x 2 z - xy 3 z +x 2 yz 2 ⇔ x 2 y- x 3 yz - y 2 z+ xy 2 z 2 - xy 2 +x 2 z + xy 3 z - x 2 yz 2 = 0 ⇔ xy(x-y) +xyz(yz +y 2 - xz - x 2 )+z(x 2 - y 2 ) = 0 ⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 ⇔ (x -y) [ ] yzxzzyxxyzxy ++++− )( = 0 Do x - y ≠ 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm) E F A B D C G . ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 (lần 2) Năm học 2009 - 2010 Bài 1: Cho biểu thức M = + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x . F và cắt tia DC tại G. a) Chứng minh: AE 2 =EF.EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Bài 5: Chứng minh rằng nếu )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx − − = − − Với. (2) Từ (1) và (2) ⇒ EA EF EG EA = Hay AE 2 = EF. EG b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi. Từ (1) và (2) ⇒ AD FB DG AB = Hay BF.DG = AB.AD = ab