Chứng minh rằng:.[r]
(1)Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2 21
:
4 12 13 20 4
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
1
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c)
2 3 5
x
Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phương trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bài (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
9 16
PD
PB Tính cạnh hình chữ
nhật ABCD
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
(2)
2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
Đáp án biểu điểm
Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x
0,5đ a) Rút gọn P =
2
2
x x
2đ
b)
1
x
2
x
1
x
+)
1
x
… P =
1 +)
1
x
…P =
3 1đ
c) P =
2
2
x x
=
2
5
x
Ta có: 1Z Vậy PZ
2
5 Z
x
x – Ư(2)
Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TMĐK) x – = -1 x = (KTMĐK) x – = x = (TMĐK) x – = x = (TMĐK)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ
d) P =
2
2
x x
=
2
5
x
(3)Để P > 2
5
x > x – > x > 0,5đ
Với x > P > 0,25 Bài 2:
a)
2
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
15 1 1
1 12
4 1 4 3 1
x
x x x x
ĐK: x 4;x 1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) = 0
3x = x + = 0
+) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK)
S = { 0} 1đ
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 169 186 199
1 2 3 4 0
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1
25 23 21 19
= 0
Do
1 1
25 23 21 19
>
Nên 123 – x = => x = 123
S = {123} 1đ
c)
2 3 5
x
(4)
2 5
x
x = – 3 x = 2
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / ) 1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ =
1 3
3 h ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là:
3
5 / 10
x
km h
0,25đ Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
0,5đ
x =150 0,5đ
Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là:
3.150
45 /
10 km h
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ
A B
C D
O M
P
I E
(5) PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên
MF AD
FA AB không đổi (1đ) d)
Nếu
9 16 PD
PB 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
Nếu CPBD
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
1đ CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ
do BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ
Bài 5:
a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có đpcm
b) 2
1 1 2
(6)
2
2
2
2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
Vì x1;y 1 => xy1 => xy1 0
