a Tính độ dài cạnh MN.. c Tính diện tích tứ giác AMHN.. d Trên tia HC lấy diểm D sao cho HA = HD, từ D kẻ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E.. Lấy I là trung điểm của BE.. Gọi P l
Trang 1UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán
Ngày thi: 21 - 4 - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (4,5 điểm)
Cho biểu thức: 3 2
: ( 2)
x
+
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A >1
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A.B với B =
3 2 2
( 1)
x
− + +
Bài 2: (4 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn abc = 1
và
b + c +a = c + a + b Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 2 2 2
3
b + c + a ≥
Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x – 1 = 0
b) Giải phương trình sau: ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1)
Bài 4: (6,5 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm Kẻ đường cao AH, (H∈BC), kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC, (M∈AB, N∈AC)
a) Tính độ dài cạnh MN
b) Chứng minh rằng AM AB = AN AC
c) Tính diện tích tứ giác AMHN
d) Trên tia HC lấy diểm D sao cho HA = HD, từ D kẻ đường thẳng song song với
AH cắt AC tại E Lấy I là trung điểm của BE Gọi P là giao điểm của HI với AD Tính tỉ số
AP
PD
Bài 5: (2 điểm) Cho abc ≠ ± 1, abc ≠ 0, thỏa mãn: ab 1 bc 1 ac 1
Chứng minh rằng: a = b = c
Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
ĐỀ THI CHÍNH
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 8 (2015 – 2016)
Bài 1
(4,5
điểm)
: ( 2)
x
+
với x ≠ -1; x ≠ -2.
=
2
2
: ( 2)
x
− + + + − − +
=
2
1,5(điểm)
b) với x ≠ - 1; x ≠ - 2
A > 1 2 1 1 2 2 0
− +
Do x2 - x + 1 > 0 với mọi x nên (*) ⇔ - x2 + x > 0
⇔ 0 < x < 1 Kết luận
1,5(điểm)
c) với x ≠ - 1; x ≠ - 2 Ta có: P = A.B = ( )
3 2 2
1
x x x− + = x
Đặt t = x + 1 ⇔ x = t - 1
t
t− = − − + + = − − + ≤t t t ⇒ GTLN của P = 1/4
⇔ t = 2 ⇔ x = 1 (t/m)
1,5(điểm)
Bài 2
(4
điểm)
Ta có:
b + c +a = c + a + b
⇔ a c3 2+b a3 2+c b3 2=b c c a a b3 + 3 + 3 (do a b c2 2 2=abc=1)
(a b c2 2 2 a c3 2) (b a3 2 a b3 ) (c b3 2 c a3 ) (b c abc3 ) 0
a c b a ba b a c b a bc b a
(b2 a) ( a c2 2 ba2) (c3 bc) 0
(b2 a c)( 2 b a)( 2 c) 0
⇔ − − − = ⇒ =a b2 hoặc b c= 2 hoặc c a= 2
Vậy ít nhất một trong ba số a, b, c phải là bình phương của một số hữu tỉ
2(điểm)
Trang 3b) Do a, b > 0 và 1+ ≥b2 2b a b∀ , nên:
1 2
a b
+ =
2
ab
a−
Đẳng thức xảy ra ⇔b = 1
Chứng minh tương tự ta cũng có:
2
1
b
c
bc
b− ; 1 2
c a
ca
c− Đẳng thức xảy ra ⇔c = 1; b = 1.
a b c
+ +
+ +
Mặt khác, do a + b + c = 3 ⇒ (a + b + c)2 = 9
⇔ a2+ + +b2 c2 2(ab bc ca+ + ) =9 (2)
Mà a2+ +b2 c2 = 1 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
2 a +b + b +c + c +a ≥ab bc ca+ + (3)
Đẳng thức xảy ra ⇔a = b = c
Từ (2)và (3)⇒ 9 ≥3 ab bc ca( + + ) ⇔ 3 ≥(ab bc ca+ + ) (4)
Từ (1) và (4) ⇒ 2 2 2 3 3
b + c + a ≥ −
3
b + c + a ≥ + + + Dấu = sảy ra ⇔a = b = c = 1
2(điểm)
Bài 3
(3
điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 4x - 1= 0
Ta có: 2x2 + y2 + 4x – 1 = 0 ⇔ 2.(x + 1)2 = 3 - y2 (*)
Vì: 2.(x + 1)2 ≥ 0 với mọi x, và 2.(x + 1)2 là số chẵn với x nguyên nên từ
(*) ta có Nếu PT (*) có nghiệm thì 3- y2 ≥ 0 và chẵn ⇒ y2 lẻ mà y nguyên
⇒ y = ± 1 Khi đó x = 0 ; x = - 2
Vậy tìm được 4 cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đề bài là
(0, 1); (0, -1); (-2, 1); (- 2, -1)
1,5(điểm)
b) Giải phương trình sau: ( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1)
( x2 + x + 1)2 = 3.(x4 + x2 + 1) ⇔ ( x2 + x + 1)2 =3((x2 +1)2 - x2)
⇔ ( x2 + x + 1)2 = 3(x2 – x + 1)( x2 + x + 1)
⇔ ( x2 + x + 1)(x2 + x + 1- 3x2 + 3x - 3) = 0
⇔ -2(x2 + x + 1)(x2 - 2x + 1) = 0
Lập luận để tìm được x = 1 Kết luận
1,5(điểm)
Trang 4D M
N
B
A
Bài 4
(6,5
điểm)
a) Vẽ hình và tính MN
Tính được BC =10 cm
- Lập luận để có AMHN là hình chữ nhật
⇒ MN = AH
- Tính được AH = 4,8cm
⇒ MN = 4,8cm
2(điểm)
b) Chứng minh ∆AMN ∼∆ACB (g.g) AM AN AM AB. AN AC.
c) ∆AMN ∼∆ACB (g.g)
4,8 144
AMN ABC
SABC =
2
1
AH.BC = 24 cm ⇒ SAMN = 5,5296cm2 ⇒ SAMHN = 11,0592 cm2.
1,5(điểm)
d) Tam giác ABE vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI=
2
1
BE
Tương tự DI=
2
1
BE
⇒ AI = DI Do đó: ∆AHI = ∆DHI c c c( ) nên suy ra được HI là tia phân giác
của góc AHD ⇒ P là trung điểm của AD ⇒ PD AP = 1
1,5(điểm)
Bài 5
(2
điểm)
Cho abc ≠ ± 1 và abc ≠ 0 thỏa mãn: ab 1 bc 1 ac 1
Chứng minh rằng : a = b = c
HD: Từ ab 1 bc 1 ac 1
⇒ a 1 b 1 c 1
+ = + = +
Do đó : a b 1 1 b c
−
− = − = (1)
Tương tự: b c c a;c a a b
⇒ (a - b)(b - c)(c - a) = 2 2 2
(a b b c c a).( ).( )
a b c
⇔ (a - b)(b - c)(c - a)(a2b2c2 - 1) = 0
Do có abc ≠ ± 1 nên (a - b)(b - c)(c - a) = 0
- Nếu a – b = 0 ⇒ a = b thay vào (1) ta có b = c => a = b= c
Tương tự các TH còn lại ta luôn có a = b= c
2(điểm)
Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.