DE THI HSG TOAN 7 co dap an

UBND HUYỆN PHÚC THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán Ngày thi: 21 - - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ THI CHÍNH Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau 3 11 11 ) : ( + 2, 75 + − 2, 2) − ( −1) 2016 13 13 a) M = ( (0, 75 − 0, + + b) N= a3 + a2b – ab – b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0 Bài 2: (4 điểm) a) Tìm x , y, z biết: 3x y z = = 2x2 + 2y2 - z2 =10 16 b) Cho hai đa thức sau: P(x) = 2x3 – ax2 + (a + 1)x + Q(x) = 4x5 – 2x3 + ax2 – x – a – 15 Xác định hệ số a biết P(x) + Q(x) = 4x5 + ax Bài 3: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức : (S – P)2015 + (S – P)2016 , biết rằng: 1 1 1 S = − + − + + − + 2013 2014 2015 1 1 P= + + + + + 1008 1009 1010 2014 2015 Bài 4: (6,5 điểm) Cho ∆ABC vuông A, (AB < AC) Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường vuông góc với tia phân giác góc BAC I, cắt AB AC D, E Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DE K a) Tính góc BKD b) Chứng minh rằng: AE = AB + AC c) Kẻ AH vuông góc với BC Biết BH = 18km, CH = 32km Tính độ dài AB AC d) Nếu đặt H máy phát sóng truyền có bán kính hoạt động 30km thành phố địa điểm A C có nhận tín hiệu không? Vì sao? Bài 5: (3,5 điểm) 2 a) Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn : x + x + y − 25 = b) Chứng minh có sáu số nguyên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thỏa mãn điều kiện: 2 a1 + a2 + a32 + a4 + a5 = a6 sáu số không đồng thời số lẻ - Hết (Giám thị coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN (2015 – 2016) Bài Bài (4 điểm) Nội dung 3 11 11 ) : ( + 2, 75 + − 2, 2) − ( −1) 2016 13 13 a) M = ( (0,75 − 0, + + Ta viết lại M sau: 3 3 3 0, 75 − 0, + + − + + 13 − (−1) 2016 13 − − = − M= = 11 11 11 11 11 11 = 11 11 + 2, 75 + − 2, − + + 13 13 b) N = a3 + a2b - ab - b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0 Ta có N = a2(a+b) - b(a+b) - 2a2 + a + 3b + 2015 = 2a2 - 2b - 2a2 + a + 3b + 2015 ( a + b =2) = a + b + 2015 = 2+ 2015 =2017 Bài (4 điểm) Biểu điểm 3x y z = = 2x2 + 2y2 - z2 =10 16 3x y z x y z 2x2 y z2 2x2 + y2 − z 10 = = = = = = = Từ => = = => 12 16 16 128 288 256 128 + 288 − 256 160 16 x = ⇒ x = ±2; 64 16 y2 = ⇒ y = ±3 144 16 z2 = ⇒ z = ±4 256 16 3x y z = = Từ suy x, y, z dấu 12 16 2,0(điểm) 2,0(điểm) a) Tìm x , y, z biết: Vậy (x;y;z) = (-2;-3;-4) ; (2; 3; 4) b) Cho hai đa thức sau: P(x) = 2x3- ax2 +(a+1)x+3 Q(x) = 4x5 -2x3 + ax2 – x – a – 15 Xác định hệ số a biết P(x) + Q(x) = 4x5 + ax Ta có P(x) + Q(x) = 4x5 + ax => 2x3 - ax2 + (a + 1)x + + (4x5 - 2x3 + ax2 – x – a - 15) = 4x5 + ax => => (a+1)x – x - ax = 15 – + a => ax + x – x - ax =12+ a => a = -12 2,0(điểm) 2,0(điểm) Bài (2 điểm) Tính giá trị biểu thức : (S - P)2015 + (S - P)2016 , biết rằng: 1 1 1 S = − + − + + − + 2013 2014 2015 1 1 P= + + + + + 1008 1009 1010 2014 2015 Ta biến đổi biếu thức S sau: 1 1 1 S = − + − + + − + 2013 2014 2015 1 1 1  1 S = + + + + + + + −  + + + ÷ 2013 2014 2015 2014  2 S = 1+ S= 2(điểm) 1 1 1   1 + + + + + + − 1 + + + ÷ 2013 2014 2015  1007  1 1 + + + + + = P => S - P = 1008 1009 2013 2014 2015 Vậy (S - P)2015 + (S - P)2016 = Bài a Tam giác vuồng ADE có DI vừa đường cao vừa phân giác nên ∆ADE (6,5 vuông cân A ⇒ ∠AED = ∠ADE = 450 điểm) BK // AE nên ∠BKD = ∠AED =450 2(điểm) A B D H K E I M C b C/m ∆MBK = ∆MCE (g.c.g) nên BK = CE BK//AC, AC ⊥ AD ⇒ BK ⊥ AD Do tam giác BKD vuông cân B ⇒ BK = BD mà BK = EC ⇒ EC = BD Ta có AB + AC = AD - BD +AE + EC= AD + EA = AE ⇒ AE = 2(điểm) AB + AC c Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có: AB2 + AC2 = BC2 = 502 (1) AH2 = AB2 - BH2 = AC2 -CH2 AB2 - 182 = AC2 - 322 => AC2 -AB2 = 322 - 182 (2) từ (1); (2) ta có: 2.AC2 = 502 + 322 - 182 = 3200 ⇒ AC2 = 1600 ⇒ AC = 40 km ⇒ AB = 30 km 1,5(điểm) d Tính AH = 24 km Vì AH < 30km, CH > 30km nên đặt máy phát sóng H địa điểm A nhận tín hiệu, địa điểm C không nhận tín hiệu Bài a) Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn : (3,5 điểm) x + x + y − 25 = 1(điểm) 2,0(điểm) 2 Ta có x + x ≥ 0; y − 25 ≥ với x, y 2 2 Để có x + x + y − 25 = x + x = y − 25 =  x( x + 2) = ⇒  x = 0; x = −2 ⇒  y = 5; y = −5   y − 25 = có cặp số (x;y) cần tìm là(0;5); (0;-5); (-2;5);(-2;-5) b) Chứng minh có sáu số nguyên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 thỏa mãn điều 1,5(điểm) kiện: a12 + a2 + a32 + a4 + a52 = a6 sáu số không đồng thời số lẻ Giả sử số số lẻ ⇒ số hạng VT chia cho có số dư 1⇒ VT chia cho dư VP chia lại dư 1.( mâu thuẫn) Vậy số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 đồng thời số lẻ Chú ý: - Điểm lấy đến 0.25 - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa