Số học trên vành các sô nguyên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lê Quang Hào SỐ HỌC TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ Chuyên ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Mỵ Vinh Quang Tp Hồ Chí Minh – 2005 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn qúy Thầy Cô tổ Đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho trình viết luận văn Đặc biệt tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang người trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn qúy Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến qúy báu cho luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Khoa học Công nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông chuyên Huỳnh Mẫn Đạt tỉnh Kiên Giang giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi qúa trình học tập Tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, anh em bạn bè hỗ trợ giúp đỡ tinh thần vật chất để tơi hồn thành luận văn MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chương : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 : Nửa nhóm với phân tích thành nhân tử nguyên tố 1.2 : Nhóm Abel hữu hạn sinh 1.3 : Chuẩn vết số đại số 12 1.4 : Ideal vành giao hốn có đơn vị 14 1.5 : Thặng dư bậc hai 16 Chương : CÁC IDEAL TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ 18 2.1 : Vành số nguyên đại số trường mở rộng hữu hạn Q 18 2.2 : Một số tính chất vành D 19 2.3 : Nửa nhóm Ideal vành D 22 Chương : SỐ HỌC TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ 31 3.1 : Các khái niệm 31 3.2 : Hàm chuẩn N – Các tính chất hàm chuẩn 32 3.3 : Hàm Euler – Các tính chất hàm Euler 34 3.4 : Các định lý số học vành D 39 Chương : SỐ HỌC TRÊN VÀNH D = {a + b − |a, b ∈ Z} 42 4.1 : Vành D = { a+b − | a,b ∈ Z} 42 4.2 : Thuật tốn phân tích thừa số ngun tố - Các ví dụ 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 55 LỜI MỞ ĐẦU Vành D số nguyên đại số trường mở rộng hữu hạn K Q nói chung khơng phải vành Gauss (xem ví dụ chương 4), số học khó nghiên cứu Cụ thể vành D, định lý số học khơng cịn nữa, số phân tích thành tích phần tử nguyên tố theo nhiều cách khác (xem ví dụ chương 4) Mục đích luận văn dựa vào phân tích ideal D thành tích ideal tối đại, xây dựng số học vành số nguyên đại số Bố cục luận văn chia thành chương : • Chương : Các kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến đề tài : nửa nhóm với phân tích thành phần tử nguyên tố; nhóm abel hữu hạn sinh; chuẩn vết số đại số; thặng dư bậc hai • Chương : Các ideal vành số nguyên đại số Mục đích chương nghiên cứu tính chất ideal vành số nguyên đại số D chứng minh ideal vành D phân tích thành tích ideal tối đại • Chương : Số học vành số nguyên đại số trường mở rộng hữu hạn Q Dựa vào phân tích ideal vành D thành ideal tối đại từ chúng tơi xây dựng số học vành số nguyên đại số • Chương : Số học vành D = {a + b − | a, b ∈ Z } Mục đích chương khảo sát cách chi tiết số học vành D = {a + b − |a, b ∈ Z}, cụ thể ta mô tả ideal tối đại vành D; mơ tả thuật tốn phân tích phần tử D thành tích ideal tối đại Đồng thời đưa số ví dụ minh họa Vì khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến đề tài : Nửa nhóm với phân tích thành nhân tử nguyên tố; Nhóm Abel tự do; Chuẩn vết số đại số ; Thặng dư bậc hai 1.1 NỬA NHĨM VỚI SỰ PHÂN TÍCH THÀNH CÁC NHÂN TỬ NGUYÊN TỐ 1.1.1 Định nghĩa : Cho P nửa nhóm nhân giao hốn có đơn vị E Ta nói B|A tồn C ∈ P cho A = B.C • Nếu B|A; B ≠ A ; B ≠ E ta nói B ước thực A • P ∈ P gọi phần tử ngun tố P khơng có ước thực • Phần tử C ∈ P gọi USCLN A, B C|A, C|B C chia hết cho ước chung của A B, ký hiệu C = (A, B) • Phần tử C ∈ P gọi BSCNN A, B C # A, C # B C ước bội số chung A, B, ký hiệu C = [A, B] Hồn tồn tương tự ta có khái niệm USCLN; BSCNN nhiều phần tử 1.1.2 Định nghĩa : Nửa nhóm giao hốn có đơn vị P gọi nửa nhóm với phân tích thành nhân tử nguyên tố với ∀ A ∈ P, A ≠ E viết nhất, không kể thứ tự, dạng k k k A = P 1 P 2 P n n ; n ≥ 1; Pi nguyên tố , ki ≥ Từ sau ta quy ước nhân tử nguyên tố P nửa nhóm với phân tích thành Ta có nhận xét sau : α β α β Nếu A = P 1 P n n , αi ≥ ; B = P 1 P n n , βi ≥ Khi đó, A|B αi ≤ βi , ∀ i 1.1.3 Mệnh đề : Trong P hai phần tử có USCLN BSCNN Chứng minh : Giả sử A ∈ P, B ∈ P với k l l k A = P 1 P n n ;B = P 11 P nn ; ki ≥ 0, li ≥ α α ⊕ Xét phần tử C = P 1 P n n αi = { ki, li}, i = 1, n rõ ràng m1 C ∈ P , C|A, C|B Lấy phần tử D cho D|A, D|B ⇒ D = P m Pn n với mi ≤ ki; mi ≤ li, i = 1, n ⇒ mi ≤ αi ∀ i = 1, n ⇒ D|C Vậy ta có C = (A,B) C giả sử D = (A,B), D = P 1γ1 P nγ n Do D|C => γi ≤ αi , mặt khác C|D => αi ≤ γi Vậy αi = γi, từ suy D = C α α ⊕ Xét phần tử C = P 1 P n n αi = max {ki, li}, i = 1, n Rõ ràng C∈ P t t , C # A, C # B Lấy phần tử D # A, D # B ⇒ D = P 11 P nn với ti ≥ k i, ti ≥ li, i = 1, n => ti ≥ αi, i = 1, n => D # C Vậy ta có C = [A, B] Tương tự ta chứng minh C 1.1.4 Mệnh đề : Nếu (A, C) = E B tùy ý (AB, C) = (B,C) Chứng minh Do (A,C) = E nên khơng tính chất tổng qt ta giả sử k k l A = P 1 P t t ; C = P kt +t1+1 P kn n giả sử B = P 11 P ltt P lnn min{k t +1 , l t +1} (B,C) = P t +1 min{k n , l n } Pn Mặt khác A B = P 1k1 +l1 P kt t +lt P kn n +ln min{k t +1 , l t +1} => (AB,C) = P t +1 min{k n , l n } Pn 1.1.5 Mệnh đề : A, B, C ∈ P hay (AB, C) = (B,C) ; AB # C (A,C) = E B # C Chứng minh Do AB # C => (AB,C) = C Mặt khác theo mệnh đề 1.1.3 ta có (AB, C) = (B, C) hay (B, C) = C => B # C 1.1.6 Mệnh đề : A, B, C ∈ P A # B , A # C, (B, C) = E A # BC Chứng minh Giả sử A = P 1k1 P kn n ; B = P 1l1 P ltt ; C = P ltt++11 P lnn (do (B,C) = E) Mặt khác A # B, A # C nên (A,B) = B; (A, C) = C hay (A,B) = P 1l1 P ltt ; (A, C) = P ltt++11 P lnn ta lại có B.C = P 1l1 P lnn min{k1,l1} (A, BC) = P .P min{k , l } n n = P l1 P l t P ln hay (A, BC) = BC t n n 1.1.7 Mệnh đề : P nguyên tố, P|AB P|A P|B Chứng minh Giả sử P|A, P|B suy phân tích A khơng chứa P phân tích B khơng chứa P AB khơng chứa P Suy P|AB(trái giả thiết) Vậy P|A P|B 1.1.8 Mệnh đề ∀ A, B, C ∈ P a ) [A,B]C = [AC, BC] b) (A, B)C = (AC, BC) c) [A, B](A, B) = AB Chứng minh Giả sử A = P 1k1 P kn n ; B = P 1l1 P lnn ; C = P 1t1 P nt n max{k1 , l1} a) Ta có [A,B] = P max{k1 , l1}+ t1 ⇒ [A, B].C = P max{k n , l n } Pn max{k1 + t1 , l1 + t1} [AC, BC] = P max{k1 , l1}+ t1 = P1 max{k n , l n }+ t n Pn max{k n + t n , l n + t n } Pn max{k n , l n }+ t n Pn Vậy [A, B]C = [AC, BC] b) Tương tự (A, B)C = (AC, BC) max{k1, l1}+ min{k1 , l1} c) Ta có [A, B](A, B) = P max{k n , l n }+ min{k n , l n } Pn = P 1k1 +l1 P kn n +ln = AB 1.2 NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH 1.2.1 Định nghĩa : Cho G nhóm Abel, hệ {αi }i ∈ I ⊂ G gọi độc lập tuyến tính ∑ a i α i = với ∀ ∈ Z i∈I hữu hạn ≠ aiαi = ∀ i 1.2.2 Định nghĩa : Hệ {αi}i ∈ I ⊂ G gọi hệ sinh nhóm abel G G = i ∈ I tức với ∀ g ∈ G viết dạng g = ∑ a iαi i∈I với ∀ ∈ Z hữu hạn ≠ Hệ {αi}i ∈ I ⊂ G gọi sở G độc lập tuyến tính hệ sinh G Từ định nghĩa sở nhóm abel ta có kết : Nhóm abel G có sở {αi} i ∈ I G phân tích thành tổng trực tiếp nhóm xiclic sinh αi, tức G = ∑ < αi > i∈I Trong lý thuyết môn dun ta biết nhóm abel (có thể xem modun Z) nhóm abel tự phân tích thành tích nhóm xiclic cấp vơ hạn Do đó, G nhóm abel tự G nhóm abel khơng xoắn, có sở 1.2.3 Định lý : G nhóm abel tự sở có lực lượng Chứng minh : Giả sử α = {αi}i ∈ I sở G giả sử p số nguyên tố, từ ta có Z pZ trường Khi nhóm thương G gian vectơ trường Z ϕ: Z pZ pZ × G pG có cấu trúc khơng với tích vô hướng xác định sau : pG →G pG (a + pZ, g + pG) ag + pG Ta thấy phép nhân không phụ thuộc đại diện lớp : a + pZ = a′ + pZ g + pG = g′ + pG => a′ = a+ pZ, z ∈ Z g′ = g + pu , u ∈ G Khi a′g′ = (a + pz) (g + pu) = ag + pau + pzg + pzpu ∈ ag + pG Vậy a′g′ + pG = ag + pg Vì {αi)i ∈ I sở G nên với ∀ g ∈ G ta biểu diễn cách dạng g = ∑ a iαi i∈I phần tử g + pG ∈ G với ∀ ∈ Z hữu hạn ≠ Từ suy pG dạng : 41 s ∏ ξi = (- 1)s (- 1) (2) Giả sử trường hữu hạn D i =1 P có đặc số p • Nếu p = : | D | = 2n số chẵn nên s lẻ suy (2) P trở thành s ∏ ξi = (-1)(-1) = = - i =1 • Nếu p > : | D | = pn số lẻ nên s chẵn suy (2) trở thành P s ∏ ξi = (-1 ) = - Vậy i =1 r ∏ ξi i =1 = - (mpd P) 42 CHƯƠNG SỐ HỌC TRÊN VÀNH D = {a + b − |a, b ∈ Z} Mục đích chương khảo sát cách chi tiết số học vành D = {a + b − /a, b ∈ Z}, cụ thể ta mô tả ideal tối đại vành D; mơ tả thuật tốn phân tích phần tử D thành tích ideal tối đại Đồng thời đưa số ví dụ minh họa 4.1 VÀNH D = {a + b − /a, b ∈ Z} Trước khảo sát tính chất số học vành D, ta chứng minh D vành Gauss khái niệm USCLN D khơng tồn Do đó, số học vành D nói chung khó nghiên cứu 4.1.1 Các ví dụ : a) Các phần tử 2; 3; − phần tử bất khả qui D b) D vành Gauss c) USCLN − không tồn Chứng minh : a) • Giả sử = α.β với α, β ∈ D ta chứng minh α β khả nghịch Vì = α.β => N(2) = N(α).N(β) => = N(α).N(β) Ta xét khả năng: KN1 : N(α) = ; N(β) = N(α) = => a2 + b2 = => a = ± 1, b = => α khả nghịch KN2 : N(α) = 4, N(β) = Tương tự KN3 : N(α) = 2; N(β) = a2 + b2 = điều khơng xảy • Giả sử = α.β với α, β ∈ D Khi N(3) = N(α).N(β) 43 => = N(α) N(β) Ta xét khả năng: KN1 : N(α) = 1, N(β) = Do N(α) = nên a2 + b2 = 1, tương tự α khả nghịch KN2 : N(α) = ; N(β) = Tương tự KN3 : N(α) = ; N(β) = Do ta có a2 + b2 = Điều khơng xảy • Giả sử − = α.β với α, β ∈ D Khi N( − ) = N(α).N(β) => = N(α).N(β) Ta xét khả KN1 : N(α) = ; N(β) = N(α) = 6, N(β) = Tương tự KN2 : N(α) = 2, N(β) = Do a2 + 6b2 = Khơng xảy KN3 : N(α) = 3; N(β) = Không xảy Vậy 2, 3, − phần tử bất khả quy D b) Ta thấy có hai phân tích thành tích phần tử bất khả qui D = 2.3 = - −6 − nên D vành Gauss Từ ta có D khơng phải vành c) Ta thấy có ước số ±1; ±2; ±3; ± − − có ước số ±1; ±2; ± − ; ± − Từ USC − ±1; ±2; ± − Rõ ràng USC khơng có USC chia hết cho USC cịn lại 4.1.2 Mệnh đề : D = {a + b − /a, h ∈ Z} vành số nguyên đại số K = Q( − ) Q Chứng minh : Gọi D′ vành số nguyên đại số K = Q( − ) Q 44 Với α = a + b − ∈ D α nghiệm đa thức f(x) = (x – a)2 + b2 suy α ∈ D′ Vậy D ⊂ D′ rõ ràng phần tử α ∈ D′ ta biểu diễn dạng α = (a + b − )/c a, b, c ∈ Z (a, b, c) = Giả sử f(x) đa thức tối thiểu α Do α số nguyên đại số nên f(x) ∈ Z[x] 2a a + 6b f(x) = (x – α) (x - α ) => f(x) = x f(x) ∈ Z[x] suy x+ c c2 24b 4a 24b 2a 2a ∈Z ∈ Z => ∈ Z ∈ Z => ∈ Z c2 c c c c Giả sử p ước nguyên tố lớn cùa c suy p|2a nên p|a; p2|24 b2 suy p|b2 => p|b Từ (a, b, c) # p (vơ lý) Vì c khơng có ước số ngun tố lớn Ta thấy c ≠ ngược lại c = 4|2a => 2|a; 16|24 b2 => 2|3 b2 => 2|b Từ (a, b, c) # (vơ lý) Vậy c = c = • Với c = : Ta có 4|a2 + b2 Nếu a # b2 # => b2 # => b # suy (a, b, c) = (vô lý) Nếu a ≡ (mod 2) => a2 ≡ (mod 4) mà b2 chẵn nên a2 + b2 lẻ => a2 + b2 # (vơ lý ) • Với c = : Khi α = a + b − với a, b ∈ Z => α ∈ D => D′ ⊂ D Tóm lại ta có: D = D′ hay D vành số nguyên đại số K = Q − Q 4.1.3 Mệnh đề : Nếu α = a + b − ∈ D N() = N(α) = a2 + b2 Chứng minh Giả sử f(x) đa thức tối thiểu α • = a2 + b2 Nếu α ∈ Q f(x) = x – α N(α) = α(1).α(2) = α.α = α2 45 • Nếu α ∉ Q deg f = Từ f(x) = (x – α ) (x - α ) N(α) = α(1) α(2) = α α = a2 + b2 Trước tiên ta thấy | D | = |D | Thật vậy, ta có a ∈ a ∈ < α > Vì S hệ thặng dư đầy đủ theo mod S = { s /s ∈ S } hệ thặng dư đầy đủ theo mod < α > Từ N() = |S| = |S| = N(< α >) Mặt khác N(α) = α α nên = < α > hay N( ).N(< α >) = N() = N(α)2 = (a2 + b2)2 => N()2 = (a2 + b2)2 => N() = a2 + b2 = N(α ) 4.1.4 Bổ đề : Cho A Δ D N(A) = p số nguyên tố A ideal tối đại D Chứng minh : Giả sử A ⊂ B ⊂ D Thế B| A => N(B)|N(A) hay N(B)|p => N(B) = N(B) = p Nếu N(B) = ⇒ B = D Nếu N(B) = p N(A) = N(B) Giả sử A = B.C ⇒ N(C) = Theo ta có C = D suy A = B.D = B Vậy A ideal tối đại Định lý sau cho phép mô tả tất các ideal tối đại D 4.1.5 Định lý : Cho p số nguyên tố đó, : a)Với p = 2; : • = M 22 với M2 = M2 ideal tối đại N(M2) = • = M 32 với M3 = M3 ideal tối đại 46 b) Với p > Nếu −6 p = tồn a ∈ Z để a2 + ≡ (mod p) ta có phân tích

= Mp M p Mp = ; M p = Mp, M p ideal tối đại D N(Mp) = N( M p ) = p c) Với p > Nếu ( −6 ) = -1

= Mp ideal tối đại D p N(Mp) = p2 Ngược lại, ideal tối đại D trùng với ideal Mp M p với p số nguyên tố Chứng minh: a) Ta có = −6 −6 − + 2.4 ∈ M 22 => ⊂ M 22 Mặt khác − = -6 = 2(-3) ∈ Với ∀ α , β ∈ M2 mà α = 2α1 + với α1, α2 ∈ D β = β1 + α β = 2(2 α1β1 + − α2 − β2 với β1, β2 ∈ D − α1β2 + − α2β1 ) – β1 β2 ∈ => M 22 ⊂ Vậy = M 22 Ta lại có N(M 22 ) = N() = 22 => N(M2) = mà số nguyên tố nên M2 ideal tối đại • Ta có = −6 − + 3.3 ∈ M 32 => ⊂ M 32 Mặt khác −6 − = -6 = (-2) ∈ Với ∀ α β ∈ M3 mà α = 3α1 + với α1, α2 ∈ D; β = β1 + α β = (3α1β1 + − α2 − β2 với β1, β2 ∈ D − α2 β1) – β1 β2 ∈ => M 32 ⊂ Vậy = M 22 Ta lại có N(M 32 ) = N() = 32 => N(M3) = mà số nguyên tố nên M3 ideal tối đại 47 b) Nếu ( −6 ) = 1, p>3 tồn a ∈ Z để a2 + ≡ (mod p) p nên (2a, p) = => ∃ r, s ∈ Z cho 2ar + ps = ta lại có − ) + p(a - p(a + − ) ∈ Mp M p ⇒ 2pa ∈ Mp M p => p = p(2ar + ps) = par + p2s ∈ Mp M p (1) Ngược lại giả sử α ∈ Mp, β ∈ M p α = px + (p + a − )y; β = pz + (a - − )t => α.β = pω + (a2 + 6) y t (trong ω = pxz + xta + zya + (zy – xt) −6) = pω + pmyt ∈

( với pm = a2 + a2 + ≡ (mod p)) Mp M p = { ∑ α iβi /I hữu hạn, αi ∈ Mp, βi ∈ M p } ⊂

(2), từ (1) (2) i∈I ta có

= Mp M p Từ N(

) = N(Mp M p ) => N(Mp) N M p ) = p2 (*) Mặt khác N(Mp) N( M p ) khác Vì giả sử N(Mp) = => Mp = D => M p = D ⇒ N(Mp) N( M p ) = ( vơ lý với (*)) Vì từ (*) ta có N(Mp) = N( M p ) = p mà p số nguyên tố nên Mp , M p ideal tối đại c) Xét B = với α = a + b − , a, b ∈ Z Bây ta chứng minh (a, p ) = (b, p) = B = D Thật vậy, • Nếu (b, p) = ∃ r, s ∈ Z cho br + ps = => − ps + r(a + b − ) = (ps + br) a′ = ar Rõ ràng ⊂ B Mặt khác a2 + # p nên (a2 + 6, p) = => ∃ m, n ∈ Z cho (a2 +6)m + pn = (**) mà (a2 + 6) m + np = m (a′ + − )(a′ - nên từ (**) ta có ∈ − > = D hay B = D 48 • Nếu (a, p) = 1, ta xét (b, p) ≠ suy b # p nên b − ∈ B Từ ⊂ B Ta lại có (a, p) = nên a = a + b − - p b tồn u, v ∈ Z cho au + pv = => ∈ hay = D Điều dẫn tới B = D Trường hợp a # p, b # p a + b − # p suy B =

Bây ta chứng minh

ideal tối đại Giả sử M Δ D

⊂ M Theo mệnh đề 2.2.10 tồn α, β ∈ D* cho M = (, = với α=a+b −6,β=c+d − Ta xét hai trường hợp TH1 : Nếu a, b, c, d # p ⇒ M = TH2 : Nếu tồn số a, b, c, d không chia hết cho p Giả sử a # p = D mà ⊂ = M Từ M = D Vậy

ideal tối đại Ngược lại, ta chứng minh ideal tối đại D phải có dạng Mp M p Giả sử M ideal tối đại D Lấy α ∈ M N(α) # α nên N(α ) ∈ ⊂ M => ⊂ M => M| Mặt khác N(α) ∈ N nên N(α) = p 1k1 p kr r pi số nguyên tố, i = 1, r Do = k1 k r Mà , i = 1, r có thừa số nguyên tố ideal tối đại có dạng Mp M p mà M lại thừa số nên M phải có dạng Mp M p 4.1.6 Hệ : Cho p số nguyên tố, xảy ba khả : a) • Với p = = M 22 với M2 = • Với p = = M 32 với M3 = b) Với p có dạng 24k + ; 24k + 5; 24k + 7; 24k + 11 tồn a ∈ Z để a2 + ≡ (mod p) ta có phân tích

= Mp M p với 49 Mp = , M p = < p, a - − > Mp, M p ideal tối đại N(Mp) = N( M p) = p c) Với p có dạng 24k + 13; 24k + 17; 24k + 19; 24k + 23

= Mp ideal tối đại N(Mp) = p2 Các số nguyên tố dạng a ), b) gọi số nguyên tố loại I, số nguyên tố dạng c ) gọi số nguyên tố loại II Chứng minh a) Ta suy từ định lý Ta cần chứng minh b), c) Áp dụng tính chất cơng thức Lagrăng ta có p −1 p −1 ⎛−6⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ mà ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) ; ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎝p⎠ ⎝p⎠ ⎝ p ⎠ ⎝p⎠ p −1 3−1 p −1 ⎛3⎞ ⎛− 6⎞ ⎛p⎞ ⎛p⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) 2 ⎜ ⎟ Từ ta có ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) ⎜ ⎟ (*) ⎝p⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝ p ⎠ b) • Xét p = 24k + 5; p = 24k + 11 p2 −1 Khi lẻ, p ≡ -1 (mod 3), kết hợp (*) ta có ⎛− 6⎞ ⎛ −1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ p ⎠ • Xét p = 24k + 1; p = 24k + p2 −1 chẵn, p ≡ (mod 3), kết hợp (*) ta có Khi ⎛ − 6⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ = ⎝ p ⎠ ⎝ 3⎠ c) • Xét p = 24k + 17; p = 24k + 23 p2 −1 chẵn, p ≡ -1 (mod 3), kết hợp (*) ta có Khi ⎛− 6⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ p ⎠ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ =-1 ⎝ ⎠ • Xét p = 24k + 13; 24k + 19 p2 −1 lẻ, p ≡ (mod 3), kết hợp (*) ta có Khi ⎛− 6⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = (-1) ⎜ ⎟ = -1 ⎝ 3⎠ ⎝ p ⎠ 50 4.2 THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ CÁC VÍ DỤ 4.2.1 Thuật tốn phân tích thừa số ngun tố Trong phần này, thuật toán để phân tích ideal A thành ideal tối đại a) Trước hết ta xét A ideal A = với α = a + b − , a, b ∈ Z (a,b) = Giả sử N (α) = p1 pk pi, i = 1, k số nguyên tố trùng nhau, = hay < α > = ta chứng minh pi (i = 1, k ) số nguyên tố loại I Thật giả sử tồn pi số nguyên tố loại II suy ideal nguyên tố Do / < α > nên / < α > < pi> / < α > suy pi/α pi / α từ ta có a # p, b # p (vơ lý) *, (a, b) = d > Đặt a = da′, b = db′ (a′,b′) = Giả sử d = q1 qm (qi số nguyên tố trùng nhau) = = < a′ + b′ −6> = < a′ + b′ − > • Nếu qi số nguyên tố loại I < qi> = Mqi M qi • Nếu qi nguyên tố loại II tối đại • phân tích b) Giả sử A ideal D Thế tồn α = a + b −6, 51 β=c+d − cho A = ( , ) Theo thuật tốn ta phân tích = P 1k1 P kr r = P 1l1 P lrr min{k1,l1} Do A = P .P min{k , l } r r r 4.2.2 Một số ví dụ Sau chúng tơi đưa số ví dụ minh họa phân tích ideal vành D thành ideal tối đại a) Phân tích thừa số nguyên tố = Tính ϕ() Ta có = +) 13 có dạng 24k + 13 nên = M13 +) 11 có dạng 24k+11 nên = = M11 M 11 − Ta có (3, 1) = 1, N(β) = 32 + = 15 = 3.5 = M 32 = = M5 M − ) ∈ = M5 Vậy = M3 M M11 M 11 M13 ϕ() = ϕ(M3)ϕ( M 5)ϕ(M11)ϕ M 11ϕ(M13) hay ϕ() = (3 – 1) (5 – 1) (11 – 1) (11 – 1) (132 – 1) = 134400 b) Phân tích thừa số nguyên tố = 52 +) 17 có dạng 24k + 17 nên = M17 +) Đặt β = + − Ta có (2, 3) = 1, N(β) = + 54 = 58 = 2.29 = M 22 = 2 = = M29 M 29 − ) ∈ M 29 Vậy = M2.M5 M 5.M7 M 7.M17 M 29 ϕ() = ϕ(M2).ϕ(M5).ϕ( M 5).ϕ(M7).ϕ( M 7).ϕ(M17).ϕ( M 29) hay ϕ() = (2 – 1)(5 – 1)(5 – 1)(7 – 1)(7 – 1)(172 – 1)(29 – 1) = 4644864 c) Phân tích thừa số nguyên tố = Tính 53 KẾT LUẬN Ký hiệu D vành số nguyên đại số trường mở rộng hữu hạn Q Sau nghiên cứu cấu trúc ideal vành D thu số kết sau : Tập ideal khác vành D nửa nhóm giao hốn, có đơn vị, với phân tích thành phần tử nguyên tố, phần tử nguyên tố ideal tối đại Xây dựng số học vành số nguyên đại số D, cụ thể xây dựng nghiên cứu tính chất với cơng thức tính hàm số học sau: + Hàm chuẩn : N : P → N* A N(A) = | D + Hàm Euler A | ϕ : P → N* A ϕ(A) = |( D A )*| định lý số học vành D : + Định lý Euler : a ∈ D, A Δ D cho (a, A) = E Khi aϕ(A) ≡ (mod A) + Định lý Fecma : P ideal tối đại D aN(P) ≡ a (mod P) + Định lý Winlson : Cho P ideal tối đại D s = ϕ(P) = N(P) – Nếu {ξ1, ,ξ s} hệ thặng dư thu gọn theo mod P ξ1 ξ s ≡ -1(mod P) 54 Như ví dụ minh họa cho kết trên, xét trường hợp đặc biệt K = Q( − ) vành số nguyên đại số D = {a + b − |a,b ∈ Ζ} Mặc dù D vành Gauss, áp dụng lý thuyết xây dựng số học vành D Tính tốn cụ thể hàm chuẩn, hàm Euler D; đưa thuật tốn phân tích phần tử D thành tích ideal tối đại ví dụ cụ thể 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Ngô Thúc Lanh - Đại số tuyến tính – NXB Giáo dục – 1970 Mỵ Vinh Quang - Bài tập đại số đại cương – NXB Giáo dục – 1999 Lại Đức Thịnh - Số luận - NXB Giáo dục – 1969 Tiếng Anh L.Fuchs – Abelian Groups Pergamon Press – Oxprd – London – NewYork – Pari – 1960 Saban Alaca and Kenneth S Williams Introductory Algebraic Number Theory – Cambridge University press – 2004 Z.I Borevich and I.R Shafarevich – Number Theory – Academic Perss – 1989 ... Chương : Các ideal vành số nguyên đại số Mục đích chương nghiên cứu tính chất ideal vành số nguyên đại số D chứng minh ideal vành D phân tích thành tích ideal tối đại • Chương : Số học vành số nguyên. .. ideal A vành D phân tích cách thành tích ideal tối đại định lý 2.3.5 chứng minh 31 CHƯƠNG SỐ HỌC TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG MỞ RỘNG HỮU HẠN CỦA Q Vành D số nguyên đại số trường... chứng minh ideal vành D phân tích thành tích ideal tối đại 2.1 : VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG MỞ RỘNG HỮU HẠN CỦA Q 2.1.1 Định nghĩa : Một số đại số gọi số nguyên đại số thỏa mãn Q phương