Thông tin tài liệu
! "#$%&'()* +,-./"0 12345+627/89: ;<=2#!>9009?!@= 8"''=52?/"A450<<+ 'B?2,-./C!@'<D/ E8:E4+,-./ ++62"094%F%"+4E?2 2 G+GHGG+EIJ++K"LMN"MOPQ"PRMS 2?;ELT;U#$VU' /W@+ 9 /EX /U'L" !MQ".M.N"@NYMM L8E!@F#Z[ +62%'%?BZ\E ()*L8<E#Z'<D/E ()*"+44,]&Z2E./"! ^8"29_2D%B+()* '8:E+' 6A+E,]&`G+aE<#Zb 62c+Gb2!/ I2G+++8#3#+!de+fghi2D%6F8# MG9j"258T#$8#8-aE<#Zk@MlSN VdG)O*W`G+#3#+`G+>92+ #_+G+GGNQMN@MljY"b6?]& 9%A#$/g,]&kE`G+ L39:",]&`G+a<#Z4 5#$\+,]&NNN#$8T-#[ g !"#$%& '%()!*$%&'%+)!, d+m+/Z#8n%/Rc. .LT oR>!6#8np2"0q5! @ dZ9+,-C&? "K /"K,-.-/r +#3,-/Ur>8- #8n09+/! dZ +#3,-/.A>0q"-%'! $h/09+/!E#Z+6- -/ sZZB9E9"6"2-=>Bm0q +3/!tB N N - + = >7+B+6/!"?!@"7 7nA4?4"+D#$4&"p2E9 2-F' ./$0(120(2 !"#$%!& '()*+, '''"-+./012/++' 7-]u!$ [ " +4+#3" ;0 & +f"45E,4u"e mBG+"/4 • • ' '''/342*56+.78' U 16/"?258T2f5+1v/"h ) * w b " x = + ∈ ⊂¢ ¢ £ £ N M = − ) *¢ £ " ) *" α β ∈¢ " b α β α β + − ∈¢ [ ] αβ ∈¢ -3 += W"V - 54/69Ey%ửứ ủieồm M 258T4aù ủoọ. z{+"! a]8#eD$[?6L+"?#9E 9#3<+]'E4":5 %9m"69E4%9A ="v-;<6!"#%ieọm|? %'9"5!'Z%'/E G]u"|E26#ZE9 E4L4%"?6 4 8 e D$em"|}!U6!"4+f |4<Dm[ ''9':;<64%$5 6'78'9"#":$56;) <(= <2= [ ] Â [ ] Â NM =+ [ ] = + Â WV NN . +== [ ] [ " V W Y Y. . = =Â Ơ V W V W V W. . . = +=+= " V W V W V W. . . = V W V W V W. . . = WbWVVWVWV NNNNNN ++=++ N N N N N N V W V W V WV W + + = + + ''=/2)2>6?7@6A(BC- 7@6ADE6(F/06G1C-+./012/++ '''=/2)2>66G1C- +./012/++'U"4+f#E 2E"%<'"?F-K'\+E%' ?BG+ #$/ %]?#EM"4 %"?Y]E+};0 &+f"8M#E/"_%]? p?4#E/ !_%]E#$ # ''')HI'>?:$#@ ABC'9 6 !!"_ %]]E4 4~8#Z 4L#$-"?6]E;•!de+ft%eG 1"4%1 α β α β β α α β ) * γ ∈¢ βαγ = ¢ ≠ £ [ ] ∗ ¢ [ ] ¢ [ ] ¢ [ ] ∗ ¢ { } { } M" ) *b V W M . α α = ± ± = ∈ =¢ α M ) * α − ∈¢ MWMVWVWV M == − αα M V W" V W. . α α − MWVWV M == − αα V W M. α = V W M. α αα = = α α MWV NN =+=+ . WY"MVW"V ±= WM"YVW"V ±= M±=+ ± ;0&+f"t] u}6-#$%?B+"%98•9:| 4" AD "%<'"? L!de+f"%?%p%0% Bem_%] ''9'J@6ADE6(F/042C-+./012/++ K'B+/D+B'?_2D%B"% '4+A#Z#+ 4 #@EAB; +?%9%]?61%]V%4W1% V%4WL4%"2D%B?4%Y %94#C#&+f"?2D%B+6 9#3 "#$-%90"v-N%9 _2D%BE2\6 €_2D%B ?Z '9'KL/MNC-BMOD42.P 42C-+./012/++ <DE|ed]e^8# M ) * w ) *b ) *x α α ∗ − = ∈ ∈¢ ¢ ¢ α β : βα αβ ) * α ∈¢ ) *¢ αα "Y≠ βγα = β γ α : γ β α : ∈¢ ) *¢ ) *¢ N WMVN += '9'')HI'<FGH" '9$I="9$I'%&J E$I'9 6,1 +1 v +: +: "!<!54/ / 5/DK4"%=%9#$B _8#3e69Z]"u"4+9•Z M,4u‚M~4 Lmde+f"1#+' 4+8Dƒ "KNQ' /' + 4 . D 45D#ZEe^8"% 4!#$8#,ve^8 "KNQ';[„…Sl†NjN"„QY†QY 4[ α β Y≠ β ρµ " ρβµα += WVWV βρ < - += β α "- ∈¡ £ ¡ ¡ ) * µ ∈¢ - + µ - + N N ≤ WV µ β α −. WVWVWVWWVVWV µµ β α βµ β α ββµα 〈−=−=− γβ " S‡"PQ +=−= βα QP ‡M QP MM WS‡WVS‡V WS‡WVPQV S‡ PQ −= −+ −− = + − QP ‡M QP MM − − +=+= βα " −=−= N βµαρ P Q V‡ S WV W VN W" − = + − + − QP − S‡ + MYS MSO QY QY = + d]; #ZD +6€8#m"+1 v"#Z #$25] 2fDG"f+99 8Z]jpj "99#$9•m-~%=5;%9 BM"+]E;p4525]2\jp €j #3+A2%<Z]!jp+mV#3+A9 d-WL?5f+#3+A6;45!+]-m #3+A4L66€D;pf+S#3+A4m5 9•"8445!++]2f[N†NbN†SbS†S K?BD F - E ! ^8 + ! 8: 1 e6#$#DEGu[ VMWb VNWU/6 1%?1 ˆDE VF-#$+\+W%98DL? # " ) *" Y α β β ∈ ≠¢ δ " α β βδαδ " δ ′ βδαδ ′′ " δ ′ δ WVWV δδ < ′ δ βα " δ δ ′ : w b x δ δ δ ′ ′ : " α β " ) * µ γ ∈¢ ' µα β δ + = DE6/}#D!!# DEXZ?="!^8}_ ,v#$2??8#/vJGy 4+f%Y•?M# DE0 : ;<6 K L '9M'9A'9LA NM'9$I <^8E +#3$12'EJa '9''RSHI'"9$ I'%EAB;.DO 6 _ +f %9#EK4"_8:!^82V%'2D%B 2=F-#DE• U62D%BG?1_%]1 _%?L#%95%?E6%44 "8nL#!_%] +4tv %eG 4ƒ L#'B"F-e ^8+" 4,]&Z2E./#[ Y"Y ≠≠ ) *¢ γβα "" α βγα βα γα α β αβ " α Y≠ α δ αβ " '" µ ' αβµδ += αδ α δ α δ α α δδ β α β δ ' γαδγβµδγ MM −− += βγα γα ) *¢ '9'9'BMO V,]&Z2E./WPQ IA$07R:'D%J " "9 # @ AB C"9$#@EAB;<ASEDT?UASE DSAS"AD=$TU9"9E)VW.D"9 TUXY'9&J$'C?Z(2[\ '%Q 6.F-[ ? B-G +#3$#36%4_%] _m<#!F-/8#Z 4 L? _2D%B6]& #$_%B"?_%9%]~ I8:?B-!#$m<•> E]& <8D[L?_ %]6,]&5_%9%]K9D<a B"45m<<_2D%B8#8- _2D%B"%9D?9%9%?;0&+f"_ %]Em<#$!+_2D%B M α εγ γ = ε γγ "" M δδα M ∈ ′ = α δ V W δ δ γ : WV α . MWV = α . α [ ] β ∈¢ A. <WV β M>A α A. =WV α αα ' µα = '" µ WVWVWV ' µα = WVW"VM A' << µ µ ' αα γγγα NM = γ [...]... khả quy của một số nguyên tốvà các phần tử liên kết của nó Các số (a,b) có thể được đặc trưng như là bộ số nguyên duy nhất, chính xác tới dấu và tới thứ tự thỏa mãn CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 2.1 Định lý Fermat về tổng hai số chính phương 2.1.1 Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương Số nguyên tố lẻ p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương: p... bộ số Pythagore thì cũng là một bộ số Pythagore với mọi số nguyên dương Do đó ta chỉ cần xét các bộ ba số nguyên tố cùng nhau { x,xy,,yz,}z}= 1 { Bộ ba số Pythagore được gọi là nguyên thuỷ nếu { 3, 4,5} , { 5,12,13} Ví dụ: Các bộ số là nguyên thuỷ, { 6,8,10} bộ số không nguyên thuỷ x y z, z d Nếu bộ số Pythagore là không { {,xx,, y},z= } d d d nguyên thuỷ, chẳng hạn , thì là một bộ số. .. Bài toán số học trong kì thi Học sinh giỏi Quốc gia 2010 có thể được phát biểu cách khác Cho dù không phải là ứng dụng trực tiếp của vành các số nguyên Gauss, sự hiểu biết về vành Gauss, mà cụ thể ở đây là các đẳng thức do tính nhân của hàm chuẩn, có thể làm sáng tỏ hơn chứng minh trình bày sau đây 2.3.3 Mệnh đề Với mọi số nguyên dương, phương trình x 2 + 15 y 2 = 4n , có đúng n nghiêm nguyên không... của n Chứng minh Theo Định lý cơ bản của Số học trên vành các số nguyên Gauss ta có thể viết s1 sh s1 sh n = 2m p1r pkr γ 1s γ 1 γ hs γ h = ( −i ) m (1 + i ) 2 m p1r pkr γ 1s γ γ hs γ h 1 k 1 h 1 k 1 h , a2 i+ b ,[ p trong đó là các phần tử bất khả quy apγ=iγ] j i2 của với , là các số nguyên tố đồng dư + p¢pijbi i với 3 theo mod 4 và có dạng với là một số nguyên tố đồng dư với 1 theo mod 4 n = x... là ước của một ước số nguyên tố nào đó của Số nguyen tố như vậy là duy nhất Thật vậy, nếu tồn tại một số nguyên tố sao cho Theo Định lý Bezout cho các số nguyên, tồn tại các số nguyên a,b sao cho ap+ bq = 1 , do đó , mâu thuẫn với giả thiết bất khả quy ■ Nhận xét Mệnh đề trên, đơn giản ¢ [ i ] nhưng rất sâu sắc, nói rằng mọi phần tử bất khả quy của vành đều nằm trong một số nguyên tố nào đó Đây... của Số học ¢[i ] trên vành cho ta một công thức để tính ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất (mà định nghĩa hoàn toàn giống như các số nguyên thông thường) Tuy nhiên, trong thực tế, đây thường không phải là cách tốt nhất để tìm đại lượng này Ta mở rộng được Bổ đề 1.3.3 tới 1.3.4 Mệnh đề Cho số là các số αα βγ,.γ nguyên Gauss sao cho Nếu nguyên β α, ,βγ tố cùng nhau thì 1.4 Mô tả các. .. phương trình đã cho chỉ có các nghiệm nguyên dương là Giả sử là một nghiệm Dễ thấy (mod 2) Ta phân ra hai trường hợp để suy luận (a, b)+ −i±b,∈ ¢ −i )±2) 1) Giả sử là các số nguyên lẻ ( y=y ,= (5 ± 11) a x y + bi 1,1),( y x, 2()2i,(y + 22, 3 a Thế thì là các số nguyên Gauss nguyên tố cùng nhau Ta suy ra với nào đó Từ đây ta suy ra và ; y x ( xy′ +xi+yi′ + iy 2) Giả sử là các số nguyên chẵn , y )y=+(2,... bất khả quy của vành Gauss Định lý cơ bản của Số học cho vành ¢ [ i ] mà ta đã thiết lập ở trên cho thấy sự cấn thiết của việc nghiên cứu các phần tử khả nghịch và các phần tử bất khả quy của vành này Đối với các phần tử bất khả quy, trước hết ta có kết quả sau 1.4.1 Mệnh đề Cho là một phần tử γ p ∈p][ i ] ∈ ¢¢ ¢[ i γ bất khả quy Khi đó, tồn tại duy nhất một số nguyên tố sao cho trong vành qγ=qp N... cùng tính chẵn lẻ 2.4.4 Bổ đề Giả sử là các số nguyên dương sao cho và Khi đó tồn tại các số nguyên và sao cho và s s>t Chứng minh Nếu hoặc thì Bổ đề là r , =,1 hiển nhiên Ta giả sử và Giả sử các phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng sau: p1α1 p2α 2 pnα n s = pn+1α n +1 pn+ 2α n+ 2 pmα m Vì nên các số nguyên tố xuất t = q1β1 q2 β2 qk βk hiện trong các phân tích của và là khác nhau Do nên... i =i=2] } Số học còn đúng cho và tập các phần tử khả nghịch của là Mặt khác, theo bổ đề trên, là nguyên tố cùng nhau Như vậy là lập phương của các phần tử của (do mọi phần tử khả nghịch đều là lập phương của một phần tử khả nghịch nào đó) Do đó tồn tại các số nguyên a,b sao cho (bằng cách lấy liên hợp ta có ) So sánh các phân ảo của hai vế của đẳng thức ta được Giải phương trình nghiệm nguyên đơn
Ngày đăng: 03/09/2015, 10:46
Xem thêm: Các số học trên vành các số nguyên gauss, Các số học trên vành các số nguyên gauss
