SKKN tính chất số học của dãy số

PHỤ LỤC Trang Báo cáo tóm tắt nội dung, chất, hiệu sáng kiến 2 Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến kinh nghiệm…… Phạm vi triển khai thực hiện…………………………………………… Mô tả sáng kiến………………………………………………………… 4.1 Đặt vấn đề ……………………………………………… 4.2 Giải vấn .…………………………………………… Kết hiệu mang lại……………………………………………23 Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến………………………….23 Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………….23 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….25 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hanh phúc Điện Biên phủ, ngày 15 tháng năm 2017 BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG, BẢN CHẤT, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tính chất số học dãy số Người thực hiện: Phạm Thị Hà Định Thời gian thực hiện: Từ tháng 01/1/2017 đến ngày 10/4/2017 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo ng̀n nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình tốn phở thơng ngành đại số giải tích tốn học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, sâu vào nghiên cứu tốn dãy số có tính chất số học tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải toán dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng tốn khác đồng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải tốn Đứng trước tốn chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Tốn chun THPT - Sách giáo khoa nâng cao chuyên Toán - Các tốn chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chun tốn THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thông qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai tốn chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư +) Các định lí bản số học b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều tốn chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu giúp em xác định được hướng giải toán dãy số, đặc biệt phát tính chất số học dãy số 3.2.2 Giải pháp thực hiện: Sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán chứng minh số phương Cơng thức tổng quát dãy thỏa mãn Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai Phương pháp thường dùng để chứng minh thỏa mãn Để chứng minh dãy số dương số phương, thỏa mãn số phương với mọi số nguyên ta thường sử dụng số hướng sau: Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên thỏa mãn Dãy số thường dự đốn bằng cách tính số giá trị đầu dãy tìm quy luật Hướng 2: Ta chứng minh số phương với mọi số tự nhiên sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hời ta tính được 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: , Trong đề tài tơi lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho tơi trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải tốn nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào toán cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp mơn Tốn Trong đề tài tơi mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp đờng nghiệp để đề tài được hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn ! Ý kiến xác nhận Điện Biên Phủ, ngày 15 tháng năm 2017 thủ trưởng đơn vị Người báo cáo Phạm Thị Hà Định SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo ng̀n nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên ln phải đởi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình tốn phở thơng ngành đại số giải tích tốn học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, tơi sâu vào nghiên cứu tốn dãy số có tính chất số học tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải toán dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng tốn khác đờng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải tốn Đứng trước tốn chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Tốn chuyên THPT - Sách giáo khoa nâng cao chuyên Tốn - Các tốn chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chuyên toán THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chuyên Tốn trường THPT chun Lê Quý Đơn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai tốn chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas +) Dãy Fibonacci dãy cho hệ thức truy hồi: Dùng phương pháp xác định số hạng tổng quát dãy số bằng phương trình đặc trưng ta dễ dàng thấy công thức tổng quát dãy là: Ta quy ước +) Một vài tính chất số học dãy Fibonacci :   Nếu  Nếu với mọi chia hết cho chia hết cho thì chia hết cho chia hết cho với với   Nếu  Dãy chứa tập vô hạn số đôi nguyên tố số nguyên tố  với  cũng số nguyên tố không chia hết cho  có tận chỉ  có tận hai chữ số chỉ +) Dãy Lucas được xác định sau: Ta có cơng thức tởng qt dãy Lucas: * Phương trình sai phân tún tính cấp hai +) Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ẩn phương trình sai phân dạng: Phương trình sai phân tuyến tính tương ứng với phương trình (1) có dạng: Nghiệm tởng qt (1) có dạng (2), còn , nghiệm tởng qt nghiệm riêng (1) Để tìm nghiệm (2) ta lập phương trình đặc trưng (2) là: TH1 Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt TH2 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm kép TH3 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm phức thì: thì: với Ở Khi đó: hằng số thực được xác định dựa vào điều kiện ban đầu * Một số kết quả liên quan đến số học Ta nói rằng +) Đồng dư Cho hai số nguyên đông dư với module m ( m số nguyên dương) kí hiệu theo chỉ Chia hết cho m Các tính chất đồng dư: i) Nếu ii) Nếu số nguyên tố +) Các định lí bản số học i) Định lí Fermat nhỏ Nếu Đặc biệt số ngun tố ii) Định lí Euler Nếu m số nguyên dương số nguyên tùy ý, , số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m iii) Định lí Wilson số nguyên tố chỉ chia hết cho b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều tốn chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế tơi phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt hằng số được tính theo số hạng +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép , , , +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức hạng hằng số được tính theo số hạng , hằng số được tính theo số arcgument Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai xác định bởi: Xét dãy số Ta có Do dãy thỏa mãn Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường được sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phương pháp thường dùng để chứng minh thỏa mãn Để chứng minh dãy số dương thỏa mãn số phương với mọi số nguyên ta thường sử dụng số hướng sau: Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên thỏa mãn thường dự đoán bằng cách tính số giá trị đầu dãy số phương, Dãy số tìm quy luật Hướng 2: Ta chứng minh số phương với mọi số tự nhiên sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hời ta tính được , Bài tập minh họa Bài Cho dãy số i) ii) Chứng minh rằng: số phương với mọi lẻ số phương với mọi chẵn Lời giải Cách 1: Ta dự đoán dãy số cho , ta có suy thử thiết lập quan hệ truy hời dãy Khi ta theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử từ ta được Do ta dự đốn dãy số Ta chứng minh bằng quy nạp với , giả sử (1) đến (1), là: Thật (1) , ta chứng minh (1) đến Ta có Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp ta được: Ta có Từ (2) (4) suy Do ta chứng minh được (1) đến suy (1) Từ hệ thức ta được: Cách 2: Ta có Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy mọi số nguyên dương lẻ số phương với ii) Ta chứng minh theo hướng sau: Ta có Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp suy số phương Bài Cho dãy số với số tự nhiên Chứng minh rằng , tồn số tự nhiên cho Lời giải Nhận xét: Ta có Và Như toán quy chứng minh số phương Nếu ta chứng minh tốn theo cách gặp phải tính tốn lớn khơng sử dụng được máy tính nhiều thời gian Ta chứng minh theo cách Trước hết ta có hệ thức sau: Xét Từ hệ thức phương pháp quy nạp ta được số phương Bài Cho dãy số Chứng minh rằng số phương Lời giải Ta giải tốn tởng qt sau: Cho dãy số số nguyên dương lẻ được xác định sau: Chứng minh rằng số phương với mọi số nguyên dương Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị Ta dự đốn được , dãy số được xác định sau: Ta chứng minh kết bằng phương pháp quy nạp Ta có Ta có Suy Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau: Ta có Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được với mọi số nguyên dương Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự ta được phương với mọi số nguyên dương Bài Cho dãy số số phương số được xác định sau: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có số phương Lời giải Cách Tính vài giá trị ta được: Từ ta dự đốn , dãy số được xác định sau: Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp Ta có Theo cơng thức truy hời dãy Do ta được: hay tốn được chứng minh Cách Ta có đẳng thức sau: Xét Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta suy phương với mọi số nguyên dương số Chứng minh rằng: Bài Cho dãy số số phương với mọi số tự nhiên Lời giải Ta tìm cho dãy số Thay vào hệ thức truy hồi dãy Ta chọn dãy tuyến tính cấp hai ta được: cho suy Như toán cho tương đương với toán sau: Chứng minh rằng Cho dãy số Là số phương với mọi số nguyên dương Ta có Do Vậy số phương với mọi số tự nhiên Bài Cho dãy số Chứng minh rằng mọi số hạng dãy số số phương Lời giải Ta tìm cho dãy số dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi dãy ta được: Ta chọn suy cho Như toán cho tương đương với toán sau: Chứng minh rằng Cho dãy phương với mọi số nguyên dương số Cách Ta tính số giá trị : Khi ta dự đốn được xác định sau: Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp: Ta có Suy Từ suy dự đoán hay toán được chứng minh Cách Ta có Khi Suy Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp suy Bài Cho dãy số số phương với mọi số nguyên dương xác định bởi: Chứng minh rằng số biểu diễn thành tởng bình phương ba số nguyên dương liên tiếp với mọi Lời giải Từ giả thiết suy dãy số dãy số dương Ta có Từ (1) ta được: Từ (1) (2) suy hai nghiệm phương trình: Do theo định lí Viet ta được: số Khi dãy được xác định sau: Nhận xét: Giả sử Như yêu cầu chứng minh tốn quy chứng minh phương với mọi số nguyên dương Cách Ta tính vài giá trị đầu tiên: số Khi ta dự đốn , dãy số được xác định sau: thử xác định dãy dưới dạng dãy số tuyến tính sau: Từ ta được Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp , số thỏa mãn Ta có Theo cơng thức truy hời dãy Do đẳng thức ta được: hay toán được chứng minh Cách Ta có Ta xét dãy Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được phương với mọi số nguyên dương được xác định bởi: Bài Cho dãy số Tìm tất số nguyên dương Lời giải Dễ thấy dãy +) số cho số phương dãy số tăng suy với khơng thỏa mãn +) suy +) , theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: Giả sử thỏa mãn số phương, Khi ta có: Ta xét trường hợp sau: TH1 mâu thuẫn với (1) TH2 mâu thuẫn với (1) Do với Vậy khơng phải số phương số ngun dương thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập vận dụng Chứng minh rằng: Cho dãy số a) b) số phương với mọi số tự nhiên c) số phương với mọi số tự nhiên Cho dãy số rằng: Chứng minh số phương với mọi chẵn Cho dãy số Chứng minh rằng: số phương với mọi số tự nhiên Chứng minh rằng: Cho dãy số số phương với mọi số tự nhiên Cho dãy số Chứng minh rằng: bình phương số nguyên lẻ ( VMO 1997) Cho dãy số a) Tính số ước nguyên dương số theo số phương với mọi số tự nhiên b) Chứng minh rằng Cho dãy số Chứng minh rằng khơng số phương với mọi Chứng minh rằng Cho dãy số số phương với mọi số tự nhiên Cho dãy số Chứng minh rằng tồn số nguyên k cho số phương với mọi số tự nhiên Chứng minh rằng: 10 Cho dãy số a) với mọi số tự nhiên b) Với mọi số tự nhiên tồn số nguyên dương k cho Chứng minh rằng 11 Cho dãy số số phương 12 Cho dãy số Chứng minh rằng a) b) số phương 13 Cho dãy số Tìm để số phương Chứng minh rằng 14 Cho dãy số số phương với mọi số nguyên dương 15 Cho dãy số Chứng minh rằng số phương với mọi số tự nhiên 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: Trong đề tài tơi lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho tơi trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải tốn nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào toán cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp mơn Tốn Trong đề tài tơi mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp đờng nghiệp để đề tài được hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn ! Danh sách đồng tác giả: Không Tài liệu tham khảo 1.Tài liệu giáo khoa theo chương trình nâng cao sách giáo khoa chun tốn 2.Tạp chí tốn học t̉i trẻ 3.Các thi Olympic toán THPT Việt Nam đề thi đại học 4.Mạng Internet 2 ... Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số tốn cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp... Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số tốn cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp... Cho dãy số Là số phương với mọi số nguyên dương Ta có Do Vậy số phương với mọi số tự nhiên Bài Cho dãy số Chứng minh rằng mọi số hạng dãy số số phương Lời giải Ta tìm cho dãy số dãy