Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Quang Minh Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành nhiệt tình giảng dạy cho chúng tơi kiến thức q giá didactic tốn Tơi xin chân thành cảm ơn tất bạn khóa; lãnh đạo đồng nghiệp Trường CĐSP Nha Trang nơi công tác; lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu thầy tổ Tốn Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân yêu gia đình cho niềm tin động lực để học tập công tác tốt LÊ QUANG MINH MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong lịch sử phát triển tốn học, hình học vectơ đời sau hình học giải tích (HHGT) Sự đời phôi thai từ ý tưởng Leibniz xây dựng hệ thống tính tốn nội hình học, cho vừa khai thác cơng cụ đại số phương pháp giải tích, lại vừa tận dụng yếu tố trực quan phương pháp tổng hợp nghiên cứu hình học Tuy đời sau, hình học vectơ HHGT hình thành theo cách thức hồn tồn độc lập với Nhưng từ xuất vectơ việc xây dựng HHGT trở nên dễ dàng Có lẽ mà ngày hầu hết giáo trình mơn tốn, từ phổ thơng đến đại học, khai thác vectơ để trình bày HHGT Đặc biệt, trước việc lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng giải theo cách thức phức tạp khơng trọn vẹn, đây, với xuất công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản nhiều Về vấn đề này, ta biết tồn cách tiếp cận khác, đặt phạm vi đại số tuyến tính Tuy nhiên, bậc phổ thơng khơng thể tiếp cận theo cách học sinh chưa nghiên cứu ngành tốn học Trong trường hợp đó, đường thẳng, mặt phẳng tiếp cận nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệu cách tiếp cận khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa tốn bậc phổ thơng lựa chọn ảnh hưởng đến việc dạy học giáo viên học sinh? Một cách cụ thể hơn, tự đặt cho hai câu hỏi : - Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng vấn đề liên quan đến chúng tiếp cận ? - Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trường phổ thông, nội dung xuất sao? Công cụ vectơ khai thác việc nghiên cứu chúng? Cách trình bày sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng đến việc học HHGT học sinh? Đề tài Quan điểm vectơ dạy học hình học giải tích trường phổ thơng mà chúng tơi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi Về đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình mơn tốn áp dụng bậc trung học phổ thông (THPT), thấy có thay đổi quan trọng : trước kia, kiến thức vectơ không gian dạy lớp 12, sau quan hệ vng góc (giữa đường thẳng, mặt phẳng) nghiên cứu lớp 11 phương pháp tổng hợp, đây, chương trình quy định sử dụng vectơ từ lớp 11 để nghiên cứu quan hệ Ghi nhận khiến chúng tơi quan tâm đến vai trị cơng cụ vectơ dạy học hình học THPT theo chương trình hành Nó dẫn chúng tơi đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không giới hạn nội dung HHGT dạy lớp 10 lớp 12, chúng tơi xem xét vai trị vectơ việc nghiên cứu quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng Ở đây, cần giải thích rõ phần HHGT dạy lớp 12 nội dung xem xét, theo chương trình cũ Vậy ? Phải câu trả lời nằm thích ghi sách giáo viên : “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc khơng gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn gàng hơn” Chúng cố gắng làm rõ câu trả lời luận văn Trong luận văn dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ công cụ để thiết lập kiến thức hình học liên quan đến đường thẳng mặt phẳng vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến Trong khuôn khổ luận văn, giới hạn xem xét hai vấn đề : - Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng xét vị trí tương đối chúng - Nghiên cứu quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng không gian Cũng điều kiện hạn chế thời gian, nghiên cứu việc dạy học hình học theo chương trình nâng cao Điểm qua cơng trình có liên quan Liên quan trực tiếp đến đề tài chúng tơi, tiếng việt, chúng tơi tìm thấy luận văn thạc sĩ Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic tốn hoạt động cơng cụ vectơ hình học lớp 10 Luận văn ứng dụng công cụ vectơ việc xây dựng kiến thức giải tốn hình học, cho thấy điểm giống khác cách trình bày SGK năm 1990 năm 2000 Đặc biệt, luận văn khẳng định phương pháp sử dụng cơng cụ vectơ để giải tốn khơng khắc sâu học sinh phương pháp tổng hợp Công cụ vectơ sẵn sàng sử dụng số học sinh Khi thực bước giải tốn cơng cụ vectơ, học sinh cịn gặp sai lầm biến đổi biểu thức vectơ khó khăn việc chọn phép biến đổi thích hợp để đạt kết Luận văn nghiên cứu vectơ chương trình SGK hình học lớp 10 từ năm 2000 trở trước Ở đó, khơng có HHGT việc xây dựng quan hệ vng góc khơng gian hồn tồn khơng sử cơng cụ vectơ Vì vậy, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu vai trị cơng cụ vectơ việc xây dựng kiến thức giải toán HHGT với quan hệ vng góc khơng gian Khung lý thuyết tham chiếu Chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết Didactic tốn Cụ thể, chúng tơi sử dụng thuyết nhân học với khái niệm sau: 3.1 Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic) Trong nhà trường phổ thông, môn học, người ta dạy cho học sinh tồn tri thức có liên quan mà nhân loại tích luỹ suốt thời gian tồn địa cầu Hơn nữa, để tri thức mơn trở nên dạy được, cần phải chọn lựa, xếp tái cấu trúc lại theo liên kết lơgic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác định Chuyển đổi didactic, nói cách đơn giản, q trình biến đổi đối tượng tri thức bác học thành đối tượng tri thức dạy học Việc quy định đối tượng cần dạy thể thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ơn thi, Bộ Giáo dục Đào tạo, tiểu ban khoa học giáo dục tác giả SGK Khái niệm vận dụng nhằm xác định khoảng cách tri thức khoa học tri thức cần giảng dạy việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phảng Nó giúp nghiên cứu tính hợp pháp tri thức cần giảng dạy giải thích số ràng buộc thể chế dạy học phổ thông kiến thức nêu 3.2 Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học giúp làm rõ điều kiện ràng buộc cho phép tồn tiến triển đối tượng vectơ, đường thẳng mặt phẳng mối liên hệ chúng, Chevallard nói: “… Một đối tượng tri thức O không tồn độc lập thể chế mà có mối quan hệ trương hỗ thứ bậc với đối tượng khác thể chế Những đối tượng đặt điều kiện ràng buộc cho tồn thể chế Nói cách khác, đối tượng hợp thành điều kiện sinh thái cho sống đối tượng tri thức O thể chế xét.” 3.3 Quan hệ thể chế Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Quan hệ cho biết O xuất nào, đâu, có vai trị gì, tồn sao,… I? 3.4 Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O sao? Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt R(I,O) 3.5 Tổ chức toán học Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T,  ,  ,  ], T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật  , cịn  lí thuyết giải thích cho cơng nghệ  Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức tốn học (TCTH) Việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I,O) thể chế I tri thức O, từ hiểu quan hệ mà cá nhân X trì tri thức O Nói cách khác, giúp chúng tơi bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi Q’2 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2 cụ thể hóa thành câu hỏi sau: Q1 Từ cách tiếp cận sinh thái học, thể chế dạy học hình học phổ thông, vectơ đưa vào thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ với vấn đề khác chương trình, đặc biệt với nội dung đường thẳng mặt phẳng? Q2 Phương trình đường thẳng, mặt phẳng thiết lập SGK hình học nâng cao lớp 10 lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic thực việc thiết lập đó? Đâu đặc trưng quan hệ thể chế công cụ vectơ nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng? Q3 SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vng góc không gian vào nào? Công cụ vectơ khai thác việc thiết lập kiến thức thuộc phạm vi chương trình quan hệ vng góc? Để phân tích chương trình, đặc biệt SGK, việc nghiên cứu khoa học luận đối tượng đường thẳng, mặt phẳng cần thiết Thế nhưng, điều kiện nghiên cứu tri thức luận đầy đủ thực thông qua phân tích lịch sử hình thành tri thức (nhằm làm rõ lý nảy sinh tri thức, tốn mà cho phép giải quyết, vấn đề, quan niệm gắn liền với nó, …) khơng thể Vì thế, nghiên cứu đặc trưng khoa học luận tri thức mà quan tâm qua việc phân tích giáo trình đại học Cách làm thường thừa nhận nhiều cơng trình didactic tốn, với giả thuyết tri thức trình bày bậc đại học thường gần với tri thức bác học Chúng tơi đặt cho câu hỏi cần phải trả lời trước xem xét câu hỏi Q1, Q2, Q3 Q0 Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng tiến hành bậc đại học? Quan điểm vectơ thể việc xây dựng đó? Câu hỏi cụ thể hóa câu hỏi Q’1 mà chúng tơi đặt từ đầu bắt đầu quan tâm đến chủ đề nghiên cứu luận văn Chúng tơi phân tích giáo trình đại học để tìm câu trả lời cho Q0 Phân tích trình bày chương luận văn Qua phân tích đó, chúng tơi làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng vị trí tương đối chúng Chúng tơi cố gắng đánh giá vai trị vectơ việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ đặc trưng đối tượng vectơ với tư cách công cụ HHGT Phân tích thực từ góc độ chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactique) Ngoài ra, để làm bật thấy rõ vị trí vectơ việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, chúng tơi điểm lại vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng, cụ thể cách xây dựng Fermat Chương (chương 2) dành cho nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi Q1, Q2, Q3 Trong chương phân tích chương trình SGK Tốn phổ thơng Việt Nam để thấy vai trị cơng cụ vectơ đặc trưng nghiên cứu phương trình mối quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phẳng Phân tích SGK lớp 10 lớp 12 ban nâng cao hành để làm rõ chuyển hóa sư phạm thực việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hành để nghiên cứu thêm vai trò vectơ việc thiết lập kiến thức giải tập quan hệ vng góc khơng gian Để thấy rõ đặc trưng quan hệ thể chế mà quan tâm, chúng tơi đặt phân tích chương trình, SGK so sánh với thể chế khác Giả thuyết công việc thừa nhận : việc so sánh thể chế với thể chế cho phép làm rõ đặc trưng, điều kiện, ràng buộc mối quan hệ hình thành thể chế đối tượng tri thức xem xét Thể chế mà chọn để đối chiếu thể chế dạy học Hình học THPT Mỹ theo chương trình hành Như thế, trước phân tích SGK Việt nam, nghiên cứu hai SGK Mỹ Nghiên cứu trình bày chương giúp đưa giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q4, phần câu hỏi Q’2 mà đặt lúc đầu Q4 Cách trình bày SGK có ảnh hưởng đến việc học học sinh phương trình đường thẳng, mặt phẳng quan hệ vng góc khơng gian? Giả thuyết cần phải kiểm chứng nghiên cứu thực nghiệm Chương cuối (chương 3) luận văn dành cho việc trình bày kết đạt từ nghiên cứu Phương pháp luận nghiên cứu cấu trúc luận văn chúng tơi tóm tắt sơ đồ NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ (tham khảo) Quan điểm so sánh NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Giả thuyết ảnh hưởng thể chế NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Chương PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG : MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN 1.1 Vài nét lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng 1.1.1 Apollonius de Pergue người đưa “phương trình” đường thẳng hình thức “tu từ” khơng tượng trưng Ơng cho tọa độ x y điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, x tăng số có tỉ lệ cho trước y, y = a(x + b), quỹ tích điểm M nằm đường thẳng 1.1.2 Fermat người đưa ra, hình thức tượng trưng, phương trình biểu diễn đường thẳng mặt phẳng Ông xuất phát từ việc cho trước phương trình xác định quỹ tích điểm liên kết với Bằng việc sử dụng đồng dạng tam giác Fermat : Nếu phương trình ax = by (a b số), quỹ tích đường thẳng phương trình c2 – ax = b, quỹ tích đường thẳng Chứng minh Fermat sau : I y N x Z M Hình Cho NZM đường thẳng, N điểm cố định Cho NZ đại lượng bất định x ZI đại lượng bất định khác y Nếu ax = by, điểm I vạch đường thẳng xác định Thật vậy, ta có b x x = , cho, góc Z Tam giác NIZ y a y xác định Vì điểm N vị trí đường thẳng NZ vị trí đường thẳng NI xác định Tiếp theo, Fermat nói đưa phương trình ax = by dạng y = ax + b mà a b không âm – tọa độ âm Fermat không muốn nói tới Để chứng minh điều đó, ơng lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c2 dạng ad nhận phương trình b dx = Bằng cách đặt MN = d, d – x MZ, từ đó, ơng a y nhận giá trị cố định cho tỉ lệ MZ ông kết luận chúng, chứng minh ZT đầu tiên, điểm I nằm đường thẳng cố định Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá tìm thấy tất quỹ tích đường thẳng mà mệnh đề Apollonius trường hợp Nhưng, sau chứng minh phương trình xy = a2 biểu diễn hyperbol tổng quát kết với tất phương trình chứa số hạng x, số hạng y, số hạng xy số, ơng đến phương trình đường thẳng Fermat khẳng định quỹ tích tất phương trình tạo thành số hạng x2, y2 xy, khơng có số hạng số, đường thẳng Để chứng minh kết này, ơng lấy trường hợp phương trình dạng x2 + xy = ay2 dẫn đến sau : Nếu tỉ số NZ2 + NZ.ZI ZI chứng minh cho vẽ đường song song OR nào, dễ dàng NO + NO.OR OR có giá trị với tỉ lệ cho trước Điểm I đường thẳng có vị trí xác định Bây nói điều mà Fermat chứng minh, tất phần tử đường thẳng NI xác định phương trình I R N O Z Hình Theo đánh giá nhà nghiên cứu, Fermat, trình liên kết phương trình đường thẳng tổng qt phương trình quỹ tích gặp hai khó khăn sau : Thứ nhất, gắn liền với tượng trưng hóa sử dụng, việc khơng có cách viết phương trình quỹ tích – đường thẳng – hay tất phương M B A C D C' B' A' D' N Gọi M, N trung điểm BC A’D’ Ta có AMC’N hình thoi nên AC '  MN Từ AC '  A ' B Tương tự, ta có AC '  A ' D Vậy AC '   A ' BD  Cách 4: B M A C D O C' B' A' N D' Khơng tính tổng qt, giả sử cạnh hình lập phương Gọi M, N trung điểm BC A’D’ Gọi O giai điểm AC’ MN Ta tính NO  OC '2  +   NC '2 Suy tâm giác ONC’ vuông O hay 4 AC '  MN Từ AC '  A ' B Tương tự, ta có AC '  A ' D Vậy AC '   A ' BD  3.2 Phân tích a-priori tốn 3.2.5.1.Biến didactic, giá trị chọn giải thích lựa chọn  Biến V5.1: Cách đặt câu hỏi: Yêu cầu chứng minh BD  SA hay yêu cầu tính góc đường thẳng BD đường thẳng SA ? Cách hỏi thứ quen thuộc giúp học sinh định hướng cách giải Nó thuận lợi cho chiến lược vectơ lẫn chiến lược hình học Với cách hỏi thứ hai học sinh hướng ý đến việc xác định góc hai đường thẳng hình vẽ tốn phát biểu ngơn ngữ hình học quen thuộc Hơn nữa, góc hai đường thẳng BD SA dễ xác định Chính mà chiến lược hình học ưu tiên sử dụng  Biến V5.2: Cho giả thuyết ASB  ASD hay ABCD hình thoi ? Các ví dụ tập chứng minh hai đường thẳng vuông góc SGK chứa giả thuyết hai góc Giả thuyết tạo điều kiện thuận lợi tính tích vơ hướng hai vectơ Nếu chọn giả thuyết ABCD hình thoi học sinh sử dụng tính chất hai đường chéo hình thoi vng góc để giải tốn Với mong muốn chiến lược vectơ ưu tiên sử dụng nên chọn giả thuyết ASB  ASD 3.2.5.2.Các chiến lược  Svt: Chiến lược “vectơ”    - BD  SD  SB       - BD.SA  SD.SA  SB.SA  SD.SA cos ASD  SB.SA cos ASB  - Suy BD  SA  Shh: Chiến lược “hình học ” S M B A O D C Cách : - BSD cân S SO trung tuyến nên BD  SO - ASB  ASD (c-g-c)  AB  AD  ABCD hình thoi  BD  AC - Suy BD  ( SAC ) Từ BD  SA Cách : - Gọi M trung điểm SC, ta có MO song song với SA - ASB  ASD (c-g-c)  AB  AD  BC  CD  SCB  SCD (c-c-c)  MB  MD - MBD cân M MO trung tuyến nên BD  MO Từ đó, BD  SA 3.3 Phân tích A-Possteriori Bài tốn 1: Tổng số bài: 167; Khơng có lời giải: 3; Tổng số lời giải: 385 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 239 32 17 288 74,81 Sds 59 3 65 16,88 Shsg 25 0 25 6,49 Chiến lược khác 2 1,82 Tổng số lời giải 325 37 23 385 Mặc dầu tốn khơng phát biểu tường minh ngơn ngữ toạ độ, hình vẽ lại tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược hệ số góc Thế có đến 161/167  96,41% học sinh có lời giải sử dụng cơng cụ vectơ có 25 lời giải dùng hệ số góc Các chiến lược khác có kết sai chưa đến kết tất lời giải dùng hệ số góc cho kết Điều chứng tỏ cách giải sử dụng hệ số góc đơn giản Bài tốn 2: Tổng số bài: 96; Khơng có lời giải: 8; Tổng số lời giải: 88 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 30 21 36 87 98,86 Shh 0 1,14 Chỉ có 1/89  1,14% sử dụng chiến lược hình học cho kết Chiến lược vectơ có tính tốn phức tạp nên có 57/87  65,52% học sinh làm sai chưa đến kết Bài tốn 3: Tổng số bài: 118; Khơng có lời giải: 28; Tổng số lời giải: 90 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 39 48 90 100 Shh 0 0 Shh-vt 0 0 - 100% lời giải sử dụng chiến lược vectơ có (3,33%) có lời giải - Nếu sử dụng cơng cụ vectơ lời giải tốn dài dịng phải qua nhiều bước, mà hầu hết khơng cho kết Ngồi ra, ba lời giải cho kết có hai giải cách chiến lược “vectơ” cách giải khơng hợp thức, cịn lại cho kết phần lí luận lại sai sót Cụ thể, chúng tơi trích dẫn phần lời giải ba học sinh  Học sinh thứ nhất:       AB  (6;6;0)  6m(1;1;9) , AC  (6;0; 4)  2m(3;0; 2) , n( ABC )  (2; 2;3) (ABC) 2x + 2y + 3z – 12 = 3x  y  z   2 x  y  z  12   Giao tuyến (d)   tA = 18 – + – = 12, tB = – + – = –12 Do tA.tB < nên A, B nằm hai phía (P)  Vậy M = AB  (P)  (MA + MB)nhỏ = MA + MB   x   6t  (AB)  y  6t z     x   6t t   y  6t    M = AB  (P) thoả hệ phương trình   x  z  y  3x  y  z     z   Vậy M(3; 3; 0)  Học sinh thứ hai: tương tự học sinh thứ em học sinh viết phương trình tham số đường thẳng d Hai học sinh sử dụng kết không hợp thức Hơn việc viết phương trình mặt phẳng (ABC), phương trình đường thẳng (d) khơng cần thiết Việc sử dụng cơng cụ vectơ để viết phương trình mặt phẳng (ABC) điều thừa lời giải tốn chứng tỏ em ln sẵn sàng sử dụng cơng cụ vectơ gặp tốn phát biểu ngôn ngữ toạ độ  Học sinh thứ ba:  (ABC) 2x + 2y + 3z – 12 =   x  60t  6 24   Phương trình tham số d:  y    84t  M (60t;   84t;  96t ) 5  24   z   96t    24 36 24 MA(6  60t ;  84t ;   96t ) , MB(60t ;  84t ;   96t ) 5 5  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: MA  MB  MA  MB Dấu “=” xảy  MA = MB  …  t   M (3;3;0) 20 Rõ ràng em học sinh lí luận chưa hồn chỉnh áp dụng bất đẳng thức Cauchy Hơn phép tính toán em cồng kềnh Qua lời giải cho kết ba em học sinh nhận thấy gặp toán phát biểu ngôn ngữ toạ độ em có ý nghĩ phải vận dụng vectơ, khơng có em có ý tưởng ly cơng cụ vectơ để giải Bài toán 4: Lớp luyện thi đại học: Tổng số bài: 96; Khơng có lời giải: 34; Tổng số lời giải: 62 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 0 0 Svt-tđ 11 17,74 Shh 20 20 11 51 82,26 Có 11/52  21,15% lời giải với chiến lược “vectơ-toạ độ” nhờ vào việc chuyển đổi ngơn ngữ tốn Và có đến 8/11 cho kết đúng, có chưa đến kết Tuy nhiên, khơng có lời giải sử dụng chiến lược “vectơ” Trong 51 chiến lược hình học có đến 31 (chiếm 60,78%) cho kết sai chưa đến kết Lớp 12: Tổng số bài: 142; Khơng có lời giải: 28; Tổng số lời giải: 114 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 0 0,88 Svt-tđ 0 1,75 Shh 59 20 32 111 97,37 Đây đối tượng chưa học xong chương trình lớp 12 lại có học sinh giải với chiến lược “vectơ-toạ độ”, có học sinh giải với chiến lược “vectơ” Cả ba học sinh giải với công cụ vectơ cho kết Chiến lược hình học có đến 52/111  46,85% lời giải cho kết sai chưa đến kết Như giới thiệu phần trước, tập trích SGK lời giải SGV sử dụng công cụ vectơ Thế hai đối tượng có học sinh giải với chiến lược “vectơ” Điều khẳng định em không ý đến việc sử dụng công cụ vectơ tốn phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp Chiến lược “vectơ-toạ độ” có 10 em sử dụng cho kết Cho nên theo học sinh dễ dàng làm việc với vectơ đặt toạ độ lại khó khăn vectơ hình học Như vây, nói rằng, phương pháp vectơ-toạ độ học sinh ưu tiên sử dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học tổng hợp Bài tốn 5: Tổng số bài: 142; Khơng có lời giải: 11; Tổng số lời giải: 131 Đúng Sai Chưa đến kết Tổng số % Svt 0 1,53 Shh 73 37 20 129 98,47 Khơng có lời giải 11 Tổng số 142 7,75 Tổng hợp: Tỉ lệ học sinh sử dụng cơng cụ vectơ để giải ba tốn phát biểu ngơn ngữ toạ độ (bài tốn 1, 2, 3) Bài Tỉ lệ Bài toán (Viết phương trình đường thẳng mặt phẳng) 161/167  96,41% Bài tốn (Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng mặt 87/96  90,63% phẳng) Bài tốn (Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng…) 90/118  76,27% Cả ba 338/381  88,71% Mặc dầu ba tốn chúng tơi cố gắng tạo kiện thuận lợi để học sinh sử dụng chiến lược khác chiến lược vectơ, ra, giải cơng cụ vectơ gặp số khó khăn cách đặt câu hỏi, việc tính tốn, thời gian… hầu hết học sinh có lời giải sử dụng công cụ vectơ Tỉ lệ học sinh sử dụng cơng cụ vectơ để giải hai tốn phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp (bài tốn 4, 5) Bài Tỉ lệ Bài toán (Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng) 14/238  5,88% Bài tốn (Chứng minh hai đường thẳng vng góc) 2/142  1,41% Cả hai 16/380  4,21% Rõ ràng tỉ lệ học sinh sử dụng vectơ để giải tốn phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp thấp cố gắng tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược hai toán 3.4 Kết luận Kết phân tích tốn thực nghiệm khẳng định giả thuyết nghiên cứu chúng tôi: Nếu tốn phát biểu ngơn ngữ tọa độ vectơ học sinh sử dụng Thế nhưng, tốn phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp cơng cụ vectơ khó có khả học sinh huy động Ngoài ra, kết thực nghiệm cho thấy khả lựa chọn công cụ phương pháp giải toán học sinh thiếu linh hoạt Việc chuyển đổi ngơn ngữ tốn khơng học sinh ý Với lí mà tính hiệu giải tốn đa số học sinh thấp KẾT LUẬN Nghiên cứu đề tài Quan điểm vectơ dạy học hình học giải tích trường phổ thơng, chúng tơi đạt số kết sau : 1) Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng mặt phẳng tiếp cận theo tinh thần đại số tuyến tính Vectơ khơng gian vectơ tổng qt cơng cụ để thiết lập phương trình m – phẳng vị trí tương đối chúng 2) Ở trường THPT, vectơ đưa vào từ đầu năm lớp 10 gần có mặt tồn chương trình hình học phổ thơng Vectơ công cụ chủ yếu để nghiên cứu vấn đề hình học khác Đặc biệt, với HHGT vectơ vừa công cụ để thiết lập kiến thức, vừa cơng cụ để giải tốn 3) Có hai cách tiếp cận để giải toán viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng : tiếp cận đại số tiếp cận hình học SGK Hình học hành lựa chọn cách tiếp cận hình học nhờ vào công cụ vectơ Việc chuyển đổi didactique cách thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng thực thơng qua vectơ hình học Dấu vết điều kiện xác định đường thẳng, mặt phẳng tri thức khoa học điều kiện khác vectơkhơng vectơ phương vectơ pháp tuyến tương ứng Thể chế không yêu cầu học sinh phải kiểm tra điều kiện làm việc với phương trình đường thẳng, mặt phẳng 4) Dựa vào việc đối chiếu với thể chế dạy học hình học Mỹ ta thấy nhờ có cơng cụ vectơ mà phương trình đường thẳng, mặt phẳng thiết lập cách dễ dàng, tổng quát triệt để Cũng nhờ vào công cụ vectơ mà TCTH thể chế Việt Nam đa dạng phong phú nhiều so với thể chế Mỹ 5) Đặc trưng trội công cụ vectơ nghiên cứu hình học giải tích đặc trưng số Chính tính trực quan hình học khơng ý khai thác nghiên cứu giải toán HHGT 6) Vectơ cơng cụ để nghiên cứu quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng không gian “Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc khơng gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn gàng hơn” Thể chế mong muốn sử dụng vectơ công cụ vừa để nghiên cứu vừa để giải tốn quan hệ vng góc Tuy nhiên, so với phương pháp tổng hợp số lượng tập giải phương pháp vectơ SGK sách tập giảm dần 7) Nghiên cứu ảnh hưởng thể chế lên việc học học sinh qua toán thực nghiệm cho khẳng định sau :  Khi gặp tốn hình học phát biểu ngơn ngữ toạ độ học sinh ln có ý niệm phải sử dụng công cụ vectơ để giải Học sinh hồn tồn khơng nghĩ ly vectơ mà giải toán, số cách giải khác – cụ thể phương pháp tổng hợp nhằm khai thác tính trực quan hình học – lại cho kết nhanh đơn giản nhiều Điều khẳng định, học sinh, vectơ công cụ vô hữu hiệu khơng thể khơng sử dụng giải tốn hình học giải tích liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng  Đối với toán phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp học sinh nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải Mặc dầu thể chế cố gắng khắc sâu phương pháp vectơ cho học sinh dường phương pháp tổng hợp khắc sâu nhiều ngự trị em  Kết thực nghiệm cho thấy rằng, khả lựa chọn cơng cụ phương pháp giải tốn học sinh thiếu linh hoạt Việc chuyển đổi ngôn ngữ tốn khơng học sinh ý Vì thế, tính hiệu giải tốn hình học đa số học sinh cịn thấp Theo chúng tơi, thực trạng nguyên nhân sau :  Thể chế trọng đến việc khai thác cơng cụ vectơ nghiên cứu giải tốn HHGT Chính mà việc lựa chọn cơng cụ phương pháp giải tốn cho học sinh khơng lưu ý Mọi tập nội dung phương pháp toạ độ không gian sử dụng công cụ vectơ với đặc trưng số không ý đến việc khai thác tính trực quan hình học  Về việc học sinh không ý sử dụng vectơ hình học để giải tốn phát biểu ngơn ngữ hình học tổng hợp, theo chúng tơi có hai lí : Thứ nhất, số lượng tập khơng đủ nhiều xuất dần sau học tập ôn chương Thứ hai, theo kết nghiên cứu nhiều tác giả, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Th.s Hồng Hữu Vinh, học sinh gặp nhiều khó khăn việc học vận dụng vectơ để giải toán Học sinh dễ dàng làm việc với vectơ đặt toạ độ so với vectơ hình học Như vây, nói rằng, phương pháp vectơ-toạ độ học sinh ưu tiên sử dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học tổng hợp  Việc lựa chọn công cụ, phương pháp giải chuyển đổi ngơn ngữ tốn học sinh thiếu linh hoạt số lượng tập loại Có tập SGK sách tập giải cách chuyển đổi ngôn ngữ Đặc biệt, khơng có tập chuyển đổi từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học tổng hợp Với kết luận hy vọng nghiên cứu tiếp vấn đề theo hai hướng : - Sử dụng linh hoạt công cụ vetơ giải tốn hình học giải tích hình học không gian - Phát triển tư linh hoạt học sinh học hình học thơng qua thay đổi phạm vi hệ thống biểu đạt TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Laurie E.Bass, Randall I Charles, Basia Hall, Art Johnson, Dan Kennedy (2007), Prentice hall Mathematics Geometry Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey Demana, Waits, Foley, Kennedy (2007), Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey Tiếng Việt Lê Thị Hồi Châu , Phương pháp Dạy (2004), Học hình học trường trung học phổ thông, NXB Đại học quốc gia TP HCM Văn Như Cương, Trần Đức Hun, Nguyễn Mộng Hy, Hình học 11 (sách chỉnh lí hợp năm 2000), NXB Giáo dục Văn Như Cương, Tạ Mân Hình học 12 (sách chỉnh lí hợp năm 2000),NXB Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Thiện Căn, Cam Duy Lễ (1998), Hình học 10, NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2001), Bài tập Hình học cao cấp, NXB Giáo dục Đồn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị (2006), Hình học nâng cao 10, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị , Sách giáo viên Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam (2006), Bài tập Hình học nâng cao 10, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục 10 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Sách giáo viên Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục 11 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài tập Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục 12 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008) , Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục 13 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Sách giáo viên Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục 14 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Bài tập Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục 15 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông, NXB Đại học quốc gia TP HCM 16 Hồng Hữu Vinh (2002), Nghiên cứu didactic tốn hoạt động cơng cụ vectơ hình học lớp 10 PHỤ LỤC Phiếu số Trường : Lớp : Họ tên : Các em có 45 phút để giải toán Lưu ý : Các em làm giấy phát không dùng bút xóa Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có đồ thị hình Viết phương trình tổng qt d Hãy tìm ba lời giải cho toán y d 3 2 1 x -8 -6 -4 -2 -1 -1 -1 -2 Bài giải : 2 Trường : Phiếu số Lớp : Họ tên : Các em có 45 phút để giải hai toán Lưu ý : Các em làm giấy phát không dùng bút xóa Bài tốn : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, SB = SD ASB  ASD Chứng minh BD  SA Bài giải : Bài toán : Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh đường thẳng AC ' vng góc với mặt phẳng  A ' BD  Bài giải : Phiếu số Trường : Lớp : Họ tên : Các em có 60 phút để giải toán Lưu ý : Các em làm giấy phát khơng dùng bút xóa Bài tốn : Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Chứng minh đường thẳng AC ' vng góc với mặt phẳng  A ' BD  Bài giải : Bài toán : Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' biết A 1; 1;1 , B 1;31 , C  4;3;1 A ' 1; 1;  Gọi   mặt phẳng qua trung điểm M BC song song với mặt phẳng  ABA ' Tìm toạ độ giao điểm I đường thẳng A’C với   Bài giải : Bài toán : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(6; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 4) mặt phẳng (P): 3x – y + z – = Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (P) Tìm d điểm M cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài giải : … ... triển tốn học, hình học vectơ đời sau hình học giải tích (HHGT) Sự đời phôi thai từ ý tưởng Leibniz xây dựng hệ thống tính tốn nội hình học, cho vừa khai thác cơng cụ đại số phương pháp giải tích, ... pháp giải tích nghiên cứu hình học hồn tồn khỏi phạm vi hình học, mà khơng tận dụng yếu tố trực giác q trình tìm tịi lời giải toán - Với xuất vectơ khó khăn điểm yếu giải Việc nghiên cứu hình học. .. quan hệ thể chế Việt nam công cụ vectơ dạy học đường thẳng, mặt phẳng PHẦN A VECTƠ VỚI VẤN ĐỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở MỸ Chương trình trung học