Quá trình mô hình hoá toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

Q TRÌNH MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHƠ THƠNG Phạm Nguyễn Hồng Ngự1 Tóm tắt: Tốn học mơn học mang tính trừu tượng cao Việc dạy học tốn cần đối theo hướng bồi dưỡng lực toán học cho học sinh giúp học sinh nhìn thấy tính ứng dụng mối liên hệ thực tiên toán học Một phương pháp đế thực mục tiêu chỉnh phương pháp mơ hình hố tốn học Trong bảo này, chủng tơi bàn mơ hình hoả, lực mơ hình hố mơn tốn trường phổ thơng quy trình tổ chức hoạt động mơ hình hoả tốn học dạy học tốn trường phơ thơng qua tình hng thực tiên Từkhố: Mơ hình hố, mơ hình hố tốn học, tình thực tiễn, dạy học Tốn Mở đầu Tốn học có nguồn gốc thực tiễn “chìa khóa” hầu hết hoạt động người Mặc dù ngành khoa học có tính trừu tượng cao tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác Ngay từ thời ngun thủy, tốn học có mặt Uong hầu hết hoạt động người, từ săn bắt, hái lượm đến đo đạc ruộng đất, hay đo thời gian, tính lịch, đo tính diện tích, thể tích hình hình học hình chữ nhật, hình vng, hình trịn, Điều thể qua nhiều di khảo cố tìm thấy lịch Maya, xương Ishango, giấy cọ Rhind, Hà Huy Khối ví Tốn học cần cho sống khơng khí, người ta sinh sống khơng khí lại phát muộn, dùng mà lại khơng nhận [4], Trong thực tế, có nhiều tình xảy mà người khơng có kiến thức tốn học khơng giải Có cơng việc tưởng chừng chẳng liên quan đến tốn chút nhìn kĩ tốn học hiển Chẳng hạn người đưa thư phải có kỹ tính tốn, xếp cho việc đưa thư hợp lý đỡ tốn cơng sức, nhiên liệu Mặc dù tốn học xuất phát từ thực tiễn, tri thức toán học giảng dạy gọt giũa, đánh dần nguồn gốc ban đầu, lại tri thức tốn học túy Bên cạnh đó, chương trình giảng dạy tốn nước ta thiên hồn chỉnh lý thuyết, coi trọng đến tính khoa học chặt chẽ hệ thống kiến thức, khâu thực hành ứng dụng vào tình thực tiễn sống chưa coi trọng mức nên học sinh có hội rèn luyện phát triển nhiều kỳ cần thiết cho sống Giáo dục tốn đóng vai trị ngày quan trọng hệ thống giáo dục hầu hết quốc gia ưên giới Giáo dục toán giao thoa toán học giáo dục TS., Trường Đại học Quảng Nam 63 QUÁ TRÌNH MỒ HÌNH HOẢ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MỒN TỐN Tốn học mang chất trừu tượng, với nhiều kí hiệu, suy diễn hình thức, lại có tính ứng dụng cao ưong mơn học khác đời sống xã hội Chính vậy, dù Tốn mơn học khó để dạy, mòn học bắt buộc hầu hết lớp học cấp học chương trình giáo dục khác Và mà việc nghiên cứu lý thuyết phù họp giáo dục toán nhiều nhà nghiên cứu quan tâm [7] Hiện nay, giáo dục Toán học có thay đổi lớn Việt Nam Điển hình mục tiêu mơn Tốn chương trình giáo dục phổ thơng năm 2018 Việt Nam nhấn mạnh đến việc hình thành phát triển lực, phẩm chất cho học sinh không dừng lại việc trang bị kiến thức trước Chương trình mơn Tốn 2018 bắt đầu đưa vào sử dụng Việt Nam năm học 2020 - 2021 lớp tiếp tục áp dụng lớp lớp năm học 2021 - 2022 Một lực cốt lõi mà chương trình mơn Tốn 2018 hướng tới lực mơ hình hố tốn học [1] Chính mà người giáo viên dạy tốn trường phổ thơng cần có Kỹ Năng thiết kế, tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh nhằm hình thành bồi dưỡng lực Bài báo bàn mơ hình hố tốn học, lực mơ hình hố học sinh quy trình tổ chức hoạt động mị hình hố tốn học trường phổ thơng qua việc giải tình thực tiền Nội dung nghiên cứu: 2.1 Mơ hình, mơ hình hố tốn học lực mơ hình hố tốn học 2.1.1 Mơ hình, mơ hình hố tốn học Mơ hình theo từ điển Tiếng Việt danh từ vật hình dạng làm thu nhỏ lại nhiều lần, mô cấu tạo hoạt động vật khác để tiện trình bày, nghiên cứu Như thơng qua mơ hình ta có thê thao tác, khám phá, nghiên cứu thuộc tính đối tượng mà không cần đến vật thật mô hình máy bay, mơ hình khu thị, mơ hình hình học khơng gian, Mơ hình tốn học hiểu mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hệ thống loại sau: mơ hình số học, mơ hình đại số - giải tích, mơ hình đồ thị, mơ hình hình học, mơ hình hỗn họp Trong mơ hình số học mơ hình biểu diễn bảng phép tốn, số có thứ tự, vecto; mơ hình đại số giải tích mơ hình biểu diễn số loại phương trình bất phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tập hợp, hàm số, vecto, ma trận Hay nói, mơ hình toán học cấu trúc toán học gồm đồ thị, bảng biểu, phương trinh, hệ phương trình, biểu thức đại số, hàm số, kí hiệu quan hệ tốn học biểu diễn, mơ tả đặc điểm 64 PHẠM NGUYẺN HỒNG NGự tình huống, tượng hay đối tượng thực nghiên cứu Chúng ta xây dựng mơ hình tốn học cách phiên dịch vấn đề từ thực tiền phương tiện ngôn ngữ viết sang phương tiện ngơn ngữ biểu tượng, kí hiệu [3, tr 16] Trong dạy học tốn để khám phá tình nảy sinh từ thực tiền, giúp học sinh tìm kiếm mối quan hệ thực tiễn với vấn đề sách giáo khoa, để học sinh nhìn thấy ý nghĩa kiến thức toán, người ta tiến hành mơ hình hố tình thực tiễn, hay cịn gọi mơ hình hố tốn học Theo Edwards Hamson [dẫn theo 3, trl 7] “mô hình hố tốn học q trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mơ hình toán học, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình cách giải chấp nhận.” Trần Vui [6, ư79] cho rằng, “mơ hình hố tốn học tồn trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học ngược lại với thứ liên quan đến q trình đó, từ bước xây dựng lại tình thực tế, định mơ hình tốn phù họp, làm việc mơi trường tốn, giải thích đánh giá kết liên quan đến tình thực tế cần phải điều chỉnh mơ hình, lặp lại q trình nhiều lần có kết hợp lý.” Như vậy, hiểu mơ hình hố tốn học trình mà học sinh dựa hên tri thức, kinh nghiệm vốn có mình, sừ dụng thao tác tư phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá để xem xét vấn đề thực tiễn, bóc tách khơng chất vấn đề, trình bày vấn đề nghiên cứu dạng ngơn ngừ tốn học (kí hiệu, hình vẽ, cơng thức, ) tiến hành giải toán cơng cụ tốn học, sử dụng kết tốn học đế quay trở lại nhận định vấn đề thực tiền Hay q trình học sinh giải vấn đề thực tiền công cụ tốn học Mơ hình hố tốn học có ý nghĩa quan trọng dạy học tốn Bởi, thơng q q trình mơ hình hố học sinh thấy ý nghĩa toán học hong sống ngày môn khoa học khác Thông qua việc xây dựng mơ hình, giải mơ hình tốn, học sinh hình thành phát triển lực giải vấn đề toán học, lực tư lập luận Đồng thời trình tạo hội cho em học sinh làm việc nhóm, thảo luận trao đổi với bạn bè, thầy góp phần phát triển lực giao tiếp tốn, lực sử dụng cơng cụ phương tiện tóán học Đây lực cốt lõi mà chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 hướng đến 2.1.2 Năng lực mơ hình hố tốn học Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng họp kiến thức kỳ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn ưong điều kiện cụ thể [1, fa-32] Năng lực mơ hình hố Tốn học thể qua việc: - học sinh xác định mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình xuất 65 Q TRÌNH MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN tốn thực tiền; - Học sinh giải vấn đề toán học mơ hình thiết lập; - Học sinh thể đánh gía lời giải ưong ngừ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải không phù họp Đối với học sinh cấp trung học phổ thơng lực mơ hình hố toán học thê qua việc: - Học sinh thiết lập mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, ) để mơ tả tình đặt Uong số toán thực tiễn; - Học sinh giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập; - Học sinh lí giải tính đắn lời giải (những kết luận thu từ tính tốn có ý nghĩa, phù họp với thực tiễn hay không) Đặc biệt, học sinh nhận biết cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bố sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa đến toán giải [2, 11 ] 2.2 Tình thực tiễn dạy học Toán Theo từ điển Tiếng Việt “Thực tiễn HĐ người, trước tiên lao động sản xuất, nhằm tạo điều kiện cần thiết cho phát triển xã hội loài người” Triết học vật biện chứng quan niệm: “Thực tiền HĐ vật chất - cảm tính, mang tính lịch sử, có mục đích người nhằm cải tạo tự nhiên xã hội” Bùi Huy Ngọc (2003) quan niệm “Tình thực tế tình mà khách thể có chứa đựng phần tử yếu tố thực tế” “bài toán thực tế toán mà giả thiết hay kết luận có nội dung liên quan đến thực tể” [4], Trong luận án tiến sĩ cùa Phan Anh (2011) quan niệm “Tình thực tiền tình mà khách thể chứa đựng yếu tố mang nội dung thực tiền (tức mang nội dung hoạt động người)” “Bài tốn có nội dung thực tiền tốn mà khách thể chứa đựng yếu tố mang nội dung thực tiền”[4] Hà Xuân Thành (2017), cho “Tình thực tiễn loại tình mà khách chứa đựng yếu tổ mang nội dung thực té, có hoạt động tác động người nhằm biến đổi thực tế THTT loại tình mà để giải cần hoạt động vật chất có mục đích, mang tính lịch sử - xã hội người nhằm cải biến tự nhiên xã hội” “Bài tốn có chứa nội dung thực tiễn tốn mà ưong giả thiết dừ kiện toán chứa đựng THTT”[4] Kế thừa quan niệm này, theo chúng tơi hiểu tình thực tiễn dạy học tốn là: Những tình xuất phát từ thực tiền, có mặt đời sổng ngày, ân chứa nội dung mối quan hệ toán học GV quan sát phát đê thiết kế thiết kế lại, phù hợp với mục tiêu học đế HS thơng qua việc giải tình chiếm lĩnh tri thức toán học Việc tãng cường tình thực tiễn dạy học tốn giúp học sinh lộ biểu lực mơ hình hố, từ giáo viên đánh giá mức độ lực mô hình hố em Theo chúng tơi, giáo viên có thề sử dụng tình thực tiễn hoạt động tình điển hình mơn tốn 66 PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ dạy học khái niệm, định lý, quy tắc hay giải tập toán học Thể hoạt động như: - Gợi động mở đầu trước tiếp cận khái niệm, định lý toán học mới; - Hoạt động vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn hay hoạt động khắc sâu kiến thức học 2.3 Giải tình thực tiễn qua q trình mơ hình hố tốn học trường phổ thơng 2.3.1 Quy trình Nghiên cứu tài liệu [3], [4], [6], [7], thấy có nhiều tác giả quan tâm đến q trình mơ hình hố tốn học Pollak, Swetz&Hartzler, Stillman, Blum Leip, Các tác giả đưa quy trình từ đến bước để giải tình giới thực thơng qua mơ hình hố Dựa ưên khái niệm tình thực tiễn tham khảo quy trình trên, chúng tơi cho giáo viên tổ chức cho học sinh giải tình thực tiễn qua q trình mơ hình hố tốn học trường phổ thơng quy trình sau: Bước 1; Giáo viên giao tình thực tiễn cho học sinh, yêu cầu học sinh tìm hiểu tình thực tiễn đó, xây dựng mơ hình tốn phù hợp Tình thực tiền giáo viên nghiên cứu, thiết kế phù hợp với nội dung học, mục đích dạy học tiết dạy Học sinh hỗ ượ, bắc giàn giáo viên phân tích tình thực tiễn, gạt bỏ khơng chất, tìm kiếm mơ hình tốn phù hợp với nội dung học Bước 2' Học sinh làm việc với mơ hình tốn, tìm kiếm lời giải cho mơ hình kiến thức tốn học Học sinh tri thức kinh nghiệm mình, sử dụng tri thức tốn học cần thiết để giải mơ hình tốn thiết kế bước Giáo viên quan sát, hồ trợ học sinh đê học sinh lựa chọn công cụ phù họp với mục đích dạy học Bước 3: Học sinh sử dụng kết toán học đánh giá mơ hình tốn Học sinh sử dụng kết bước đánh giá mơ hình tóan bước 1; hoạt động gợi mở đến kiến thức toán học mới, củng cố kiến thức tốn học Bước 4' Giáo viên kết luận kiến thức ôn tập lại kiến thức biết cho học sinh 2.3.2 Một so vỉ dụ minh hoạ Vỉ dụ Tổ chức dạy học giải tình thực tiễn qua q trình mơ hình hố Tích phân lớp 12 Bước 7: Giáo viên (GV) giao tình thực tiễn sau cho nhóm học sinh (HS) 67 Q TRÌNH MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Tình thực tiễn kỉnh khí cầu Lề hội khinh khí cầu quốc tế diễn từ 1-26/5/2018 song song với lễ hội pháo hoa hồ Hoà Trung, thành phố Đà Nằng Đây lề hội đặc sắc đê lại nhiều ấn tượng cho khách du lịch Vào tối ngày 26/5/2018, bầu trời khơng có gió, khinh khí cầu đứng n độ cao 162 mét so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khinh khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = lOt — t2, t (phút) thời gian tính từ lúc bẳt đầu chuyển động, v(t) tính theo đơn vị mét/phút(m/p) Nếu theo em, bắt đầu tiếp đất vận tốc V khinh khí cầu bao nhiêu? GV yêu cầu nhóm HS quan sát tình huống, gạt bỏ yếu tố không chất, giữ lại chất đe thiết lập mơ hình tốn tương ứng HS thơng qua tri thức kinh nghiệm mình, phân tích tình huống, giữ lại kiến thức tốn học cốt lõi tình như: Đường kinh phí cầu s = 162m Vận tốc kinh khí cầu v(t) = 101 — t2, t thời gian kinh khí câu di chuyển Thời điểm kinh khí càu bất đầu t=0, thời điểm kinh khí cầu tiếp đất tđ Cần tính vận tốc khinh khí cầu tiếp đất, nghĩa cần tìm v(tđ) Như tình phát biểu thành mơ hình Tốn “ tìm vận tốc v(td) kinh khí cầu biết v(t) = lOt — t2 s= 162m.” GV hướng dẫn cho HS để HS tìm thấy mơ hình (nếu cần nhóm HS chưa tự tìm thấy) Bước 2: HS tìm kiếm cơng cụ tốn học để giải mơ hình Tốn đây, HS sử dụng cơng cụ tích phân để tìm thấy muốn tìm v(td) phải giải tốn tìm tích phân s = J0tđ(10í — t2)dt Hay giải phương trình 5tđ2 -t-ị-= 162 a Với điều kiện v(td) > < td < 10, HS tìm td = 9, v(tđ) = Bước 3: Với kết kinh khí cầu tiếp đất với vận tốc 9m/p Bước 4: GV nhấc lại kiến thức nguyên hàm, tích phân, mối quan hệ vận tốc, quãng đường, khắc sâu ý nghĩa toán học cho HS 68 PHẠM NGUYỀN HỒNG NGự Ví dụ 2: Tổ chức dạy học giải tình thực tiễn qua q trinh mơ hình hố Hàm số lớp 10 Bước 1: GV giao THTT cho nhóm học sinh lớp Tình hàm s Trong kỳ nghỉ hè năm 2019, Thanh nhóm bạn truờng đại học Sư Phạm Đà Nằng tàu khách từ Đà Nằng vào Thành Phố Tuy Hòa, tĩnh Phú Yên để tham gia Trường hè Toán học sinh viên năm 2019 Trên đường đi, nhóm bạn Thanh hẹn đón bạn An thành phố Tam Kỳ để Biết vận tốc trung bình tàu khách khoảng 43 km/h a) Nhận xét mối quan hệ thời gian quãng đường ? b) Sau nhóm Thanh đón An chưa? c) Tìm đoạn đường cịn phải sau khoảng thời gian t ? GV u cầu nhóm HS quan sát tình huống, gạt bỏ yếu tố không chất, giữ lại chất để thiết lập mơ hình tốn tương ứng HS thơng qua tri thức kinh nghiệm mình, phân tích tình huống, giữ lại kiến thức tốn học cốt lõi tình như: mối quan hệ quãng đường thời gian, vận tốc; vớĩ vận tốc 43km/h quãng đường tàu gì?; quãng đường phải bao nhiêu, quãng đường lại tính nào?; sau tàu km? Khoảng cách từ Đà Nang Tam Kỳ, Tuy Hoà theo đường sắt bao xa ? HS sử dụng tri thức kinh nghiệm internet để xác định mơ hình hố tình thực tiễn “ Đà Nằng cách Tuy Hoà 412,7 km, cách Tam Kỳ 70km Nhóm bạn Thanh từ Đà Nằng vào Tuy Hồ tàu khách với tốc độ trung bình 43km/h Tìm thời gian đến Tam Kỳ, tìm đoạn đường cịn lại phải sau khoảng thời gian t” Bước 2' HS tìm kiếm cơng cụ tốn đe giải mơ hình Ở hs dựa vào mối quan hệ quãng đường vận tốc theo tỉ lệ thuận để liên hệ với kiến thức hàm số học Mối quan hệ quãng đường thời gian hàm số cần s=vt = 43t Sau h tàu 86km, nên lúc tàu qua thành phố Tam Kỳ 69 Q TRÌNH MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Sau t thời gian tàu 43t km, nên quãng đường lại phải 412,7-43t Bước 3: Với kết ưên sau h nhóm Thanh đón An, quãng đường cần phải sau thời gian t để đến Tuy Hoà 412,7 - 43t Bước 4: GV u cầu nhóm trình bày kết mình, ưao đổi, điều chỉnh sai sót có củng cố lại kiến thức hàm số cho học sinh Kết luận Việc dạy học Tốn trường trung học phổ thơng gắn với tình thực tiễn cách phù hợp để bồi dưỡng lực mơ hình hố cho học sinh, đáp ứng yêu cầu dạy học toán theo chương trình giáo dục phổ thơng Đe tiến hành dạy học toán học bồi dường lực mơ hình hố cho học sinh, địi hỏi người giáo viên phải có tri thức kinh nghiệm, quan sát nhận thấy tình ngồi đời sống ẩn chứa tri thức tốn học Điều này, khơng phải sớm chiều giáo viên có được, mà cần rèn luyện, nghiên cứu cách nghiêm túc Việc hướng dẫn giáo viên tìm kiếm thiết kế tình thực tiền ẩn chứa mơ hình tốn vấn đề đáng quan tâm Trong thời gian tới, với chung tay nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục lĩnh vực mơ hình hố tốn học, lĩnh vực dạy học toán gắn với thực tiễn góp phần tháo gỡ khó khăn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phố thịng - Chương trình tong thể [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn [3] Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp mơ hình hố dạy học mơn Tốn trường phố thơng, Nhà xuất bàn Đại học Thái Nguyên [4] Phạm Nguyễn Hồng Ngự (2020), Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh qua khai thác chức tình thực tiễn dạy học Toán, Luận án Tiến sĩ, trường Đại học Vinh [5] Vũ Dương Thuỵ (chủ biên) (2017), Toán học sồng - Những câu chuyện lí thý tập 3A, NXB Giáo Dục [6] Trần Vui (2014), Giải vấn đề thực tế dạy học Toán, Nhà xuất Đại học Huế [7] Trần Vui (2017), Từ lý thuyết học đến thực hành giáo dục Toán, Nhà xuất đại học Huế 70 PHẠM NGUYỄN HÒNG NGự THE PROCESS OF MATHEMATICAL MODELING IN TEACHING MATHS IN HIGH SCHOOL PHAM NGUYEN HONG NGU Quang Nam University Abstracts: Maths is one of the highly abstract subjects The teaching and learning of Math needs to be innovated in the direction of fostering studens’ mathematics competence as well as helping them see the applicability or the connection between practice and mathematics One of the methods to accomplish this goal is mathematical modeling In this article, we discuss modeling, competence of mathematical modeling in high school as well as the process of organizing mathematical modeling activities in teaching mathematics in high schools through practical situation Key words: Modeling, competence of modeling Mathematic, practical situation, teaching Mathemmatics 71 ... q q trình mơ hình hố học sinh thấy ý nghĩa toán học hong sống ngày môn khoa học khác Thơng qua việc xây dựng mơ hình, giải mơ hình tốn, học sinh hình thành phát triển lực giải vấn đề toán học, ... mơ hình hố Tốn học thể qua việc: - học sinh xác định mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình xuất 65 Q TRÌNH MƠ HÌNH HỐ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN toán. .. tích, mơ hình đồ thị, mơ hình hình học, mơ hình hỗn họp Trong mơ hình số học mơ hình biểu diễn bảng phép tốn, số có thứ tự, vecto; mơ hình đại số giải tích mơ hình biểu diễn số loại phương trình