PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

PHẦN 1: ĐỀ CƯƠNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Đề tài: CHỈNH HOÁ NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC DẠNG MỞ RỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIKHONOV PHẦN MỞ ĐẦU 1.. Bài toán này là dạng tổng q

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÀI THU HOẠCH

PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU

KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

MSHV: M0714034

MỤC LỤC

Contents

PHẦN 1: ĐỀ CƯƠNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC 1

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 4

PHẦN KẾT LUẬN 5

PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO 5

PHẦN 2: MỞ RỘNG BÀI TOÁN 6

1 Bài toán 1 6

2 Bài toán 2 7

PHẦN 3: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC 10

1 Phương pháp biến đổi tương đương 10

2 Phương pháp chứng minh quy nạp 11

3 Phương pháp chứng minh phản chứng 12

4 Phương pháp chứng minh trực tiếp 14

5 Phương pháp chứng minh phản đảo 16

6 Chứng minh sự tồn tại duy nhất 17

PHẦN 1: ĐỀ CƯƠNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Đề tài: CHỈNH HOÁ NGHIỆM BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

VÀ CÁC DẠNG MỞ RỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIKHONOV

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi hai nhà toán học nổi tiếng

là Hartman and Stampacchia vào năm 1966 Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong một số lĩnh vực như: kinh tế, kỹ thuật, vật lý, Vì thế trong những thập niên gần đây, bài toán này được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu(xem [13],[15]) Bài toán bất đẳng thức biến phân là một dạng đặc biệt của bài toán cân bằng

Cho không gian Hilbert thực H K, là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Hàm hai biến được gọi là hàm cân bằng nếu và chỉ nếu hàm f K:  K nthoả mãn: x K f x x,  , 0 Xét bài toán: Tìm xK sao cho: f x y ,   0, y K Bài toán này được gọi là bài toán cân bằng, kí hiệu là EP f K ,  Bài toán cân bằng lần đầu tiên được giới thiệu bởi bởi H Nikaido, K Isoda vào năm 1955 nhằm mục đích tổng quát hoá bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Năm

1972, Ky Fan xét bài toán này dưới dạng một bất đẳng thức minimax Do ông là người dày công nghiên cứu cũng như có nhiều đóng góp đáng kể cho bài toán này

nên bài toán này được gọi là bất đẳng thức Ky Fan ( Ky Fan Inequality) Bài toán này là dạng tổng quát của các bài toán khác như: bài toán tối ưu (Optimizational

problem), bài toán điểm yên ngựa (Saddle point problem), bài toán điểm cân bằng

Nash (Nash equilibrium point problem), bài toán điểm bất động (Fixed point

problem), bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational inequality), Một số kết

quả thu được từ các bài toán trên có thể mở rộng, khái quát hoá cho bài toán cân bằng Nhiều lớp bài toán trong thực tế như tối ưu, kinh tế, vật lý kỹ thuật có thể được mô tả dưới dạng bài toán cân bằng Vì thế bài toán này được đông đảo các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [1],[2],[3],[5])

Thông thường khi nghiên cứu bài toán này người ta hay quan tâm đến

việc xây dựng phương pháp giải là được quan tâm hơn cả Tính đến thời điểm hiện tại có rất nhiều phương pháp giải cho bài toán này như: phương pháp điểm

gần kề proximal point method; được đưa ra bởi B Martinet vào năm 1970 cho

bất đẳng thức biến phân và được R.T Rockafellar phát triển năm 1976),

phương pháp nguyên lý bài toán phụ (auxiliary subproblem principle method; được Cohen đề xuất), các phương pháp chiếu (projection methods), phương pháp chỉnh hoá Tikhonov (Tikhonov regulariz- ation method ), phương pháp hàm đánh giá (gap function method) Năm 1963, Andrey Nikolayevich

Tikhonov đưa ra phương pháp chỉnhhoá để giải phương trình toán tử Từ đó phương pháp này được sử dụng rộng rãi để giải các bài toán cân bằng nói chung

hay các bài toán đặt không chỉnh (Ill-Posed problems), bài toán bất đẳng thức

biến phân nói riêng Vấn đề này được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu như: A.N Tikhonov, M.M Lavrent’ev, V.K Ivanov, I.V Konnov, Phan Quốc Khánh, Lâm Quốc Anh, Lê Dũng Mưu, Ý tưởng chính của phương pháp này là: xây dựng các bài toán chỉnh hoá bằng cách cộng thêm vào toán tử của bài toán ban đầu một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số sao cho bài toán chỉnh hoá thu được có duy nhất nghiệm Khi đó, với các điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận được bằng cách giải bài toán chỉnh hoá, khi cho tham số dần tới một điểm giới hạn thích hợp ta có giới hạn là một nghiệm nào đó của bài toán gốc

Mặc dù các vấn đề trên đã được đề xuất và nghiên cứu cách đây vài thập niên nhưng hiện nay có rất ít tài liệu tiếng việt chuyên khảo về các vấn đề này

Đa số các tài liệu chỉ dừng lại việc nghiên cứu một lớp bài toán riêng lẻ, cụ thể Chính vì thế chúng ta chưa hình dung được sự liên hệ mật thiết giữa các lớp bài toán khác nhau Hơn thế nữa, từ phương pháp chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều chúng ta có thể điều chỉnh giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, bất đẳng thức biến phân đa trị, hay tổng quát hơn là bài toán cân bằng, bài toán cân bằng hai mức,

Vì vậy việc thực hiện đề tài: “ Chỉnh hoá nghiệm bài toán bất đẳng

thức biến phân và các dạng mở rộng bằng phương pháp Tikhonov” có ý

nghĩa khoa học lý luận và thực tiễn to lớn

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng phương pháp chỉnh hoá nghiệm Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân và các dạng mở rộng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục tiêu đặt ra chúng tôi tập trung giải quyết các vấn đề sau:

1 Tìm hiểu về mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân và các dạng mở rộng như cân bằng, cân bằng hai mức, hệ bài toan cân bằng,…;

2 Tập trung tìm hiểu phương pháp Tikhonov;

3 Xây dựng phương pháp chỉnh hóa nghiệm cho các lớp bài toán trên bằng việc

sử dụng phương pháp Tikhonov

4 Giả thuyết nghiên cứu

Có nhiều phương pháp để chỉnh hoá các bài toán đặt không chỉnh Tuy nhiên phương pháp Tikhonov là một phương pháp rất hiệu quả và áp dụng được cho nhiều lớp bài toán như bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, …

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp chỉnh hoá nghiệm bài toán bất đẳng thức biến

phân và các dạng mở rông của nó như: bài toán cân bằng, cân bằng hai mức, …

Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán xét trong không gian Hilbert thực, không gian

Euclide hữu hạn chiều

6 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành luận văn chúng tôi sử dụng tổng hợp các phương pháp sau:

- Sưu tầm, hệ thống hoá, phân tích, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài;

- Nghiên cứu lý thuyết dựa trên các tài liệu đã sưu tầm được;

- Tự nghiên cứu trên cơ sở trao đổi, học hỏi, tham khảo ý kiến từ giáo viên hướng dẫn;

- Tham gia nhóm sinh hoạt học thuật, tham dự các buổi seminar chuyên đề

7 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Dự kiến sau khi hoàn thành luận văn đạt được một số kết quả sau đây:

i) Xây dựng phương pháp chỉnh hoá nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp Tikhonov;

ii) Xây dựng phương pháp chỉnh hoá nghiệm bài toán mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp Tikhonov như: bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, bài toán cân bằng, cân bằng hai mức, hệ bài toán cân bằng; iii) Một số kết quả mới khác sẽ được cập nhật trong quá trình hoàn thiện luận văn

8 Kế hoạch nghiên cứu

Thời gian thực hiện đề tài: 08/2015 – 08/2016

Thời gian Nội dung nghiên cứu Phương pháp

nghiên cứu Kết quả

08/2015-

09/2015

Thu thập tài liệu, viết đề

chương I 01/2016-

04/2016-

07/2016 Tổng hợp, sửa chữa, hoàn

thiện luận văn Tổng hợp Luận văn hoàn thành 08/2016 Báo cáo luận văn

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân

5.1 Phép chiếu Mêtric

5.2 Mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân

5.3 Các định lý tồn tại nghiệm

Chương 2: Chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức phân

2.1 Mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân

2.2 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân

2.3 Phương pháp chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Chương 3: Chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán cân bằng

3.1 Mô hình bài toán cân bằng

3.2 Chỉnh hoá nghiệm bài toán cân bằng

3.3 Chỉnh hoá nghiệm bài toán cân bằng hai mức

3.4 Chỉnh hoá nghiệm hệ bài toán cân bằng

PHẦN KẾT LUẬN

Nêu ra một số kết quả đạt được cũng như những mặt hạn chế của đề tài;

Đề ra hướng nghiên cứu tiếp theo nếu có thể

PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] L.Q Anh, P.Q Khanh (2008), Semicontinuity of the approximate solution sets

of multivalued quasiequilibrium problems, Numer Funct Anal Optim 29:24-42

[2] Nguyen Buong and Dang Thi Hai Ha (2009), Tikhonov regularization method

for a system of equilibrium problems in Banach spaces, Ukrainian Mathematical

Journal, Vol 61, No 8

[3] Bui Van Dinh and Le Dung Muu (2011), On Penalty and Gap Function Methods

for Bilevel Equilibrium Problems, Journal of Applied Mathematics Volume 2011,

Article ID 646452, 14 pages

[4] Yiran He (2012), The Tikhonov Regularization Method for Set-Valued Variational

Inequalities, Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis

[…]

PHẦN 2: MỞ RỘNG BÀI TOÁN

1 Bài toán 1

Bài toán 1.1: Cho x x x1, 2, 3 là các số thực không âm thỏa mãn x1 x2 x3  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3, 2 x x1 2x x2 3x x3 1

Giải

Bài toán này có lời giải tương đối đơn giản, ta có thể giải như sau

1 2

 1 2 2 3 3 1  

3 x x x x x x 3P 3, 2

Suy ra   1

3, 2

3

P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 1

3

x x x 

3, 2

3

Ta có thể mở rộng bài toán trên cho trường hợp bốn số thực như sau:

Bài toán 1.2 : Cho x x x x1, 2, 3, 4 là các số thực không âm thỏa mãn x1  x2 x3 x4  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 4, 2 x x1 2x x2 3x x3 4x x4 1

Giải

1 2 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4

4, 2

2

P x x x x x x x x  x x x x     

Suy ra   1

4, 2

4

P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 3 2 4

1 2

x x x x 

4, 2

4

Ta tiếp tục mở rộng bài toán trên cho trường hợp năm số thực như sau:

Bài toán 1.3: Cho x x x x x1, 2, 3, 4, 5 là các số thực không âm thỏa mãn

x    x x x x  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 5, 2 x x1 2x x2 3x x3 4x x4 5x x5 1

Giải

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x1minx x x x x1, 2, 3, 4, 5

Ta có: P 5, 2 x x1 2x x2 3x x3 4x x4 5x x5 2 x1 x3 x5x2x4

1 3 5 2 4

2

x    x x x x

   Suy ra   1

5, 2

4

P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 0 & 4 5 1

2

5, 2

4

Ta có thể phát biểu bài toán tổng như sau:

Bài toán tổng quát 1 : Cho số nguyên n3 và k thoả mãn 2 k n Xét n số thực không âm x x1, 2, ,x n sao cho x1x2  x n  1 Tìm giá trị lớn nhất của

 , 1 2 k 2 3 k 1 n 1 k 1

P n k x x x x x x   x x x 

Bài toán tổng quát 1.1 : Cho n n, 3 số thực không âm x x1, 2, ,x n sao cho

1 2 n 1

x x  x  Tìm giá trị lớn nhất của P n , 2 x x1 2x x2 3  x x n 1

8

MaxP

n

  



2 Bài toán 2

Bài toán 2.1: Chứng minh nếu x, y là hai số dương thì:

  1 1

4

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải

Vì x, y là hai số dương nên :

2

x   y xy, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y

2

x y xy ,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1

x  y

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1 1

 



 



Ta có thể mở rộng bài toán trên với ba số như sau:

Bài toán 2.2: Chứng minh nếu x,y,z là ba số dương thì:

  1 1 1

9

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải

Vì x, y, z là hai số dương nên :

3

3

x    y z xyz , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x   y z

3

3

x  y z xyz ,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1

x   y z

x y z xyz

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

  



  



Tổng quát hóa với n số ta được bài toán:

Bài toán tổng quát : Chứng minh nếu x x1, 2, , xn là n số dương thì:

1 2

1 2

n

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải

Vì x x1, 2, , xn là n số dương nên :

1 2 n 1 2

x  x   x  n x x x , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   xn

n

n n

n

x  x   x  x x x ,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

n

Do đó:   2

n n

1 2

n

   





PHẦN 3: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC

1 Phương pháp biến đổi tương đương

Để chứng minh mệnh đề P ta dùng các phép biến đổi tương đương đưa về mệnh

đề Q Nếu mệnh đề Q đúng suy ra mệnh đề P cũng đúng

Cụ thể ta xét ví dụ chưng minh bất đẳng thức Tuy nhiên trong quá trình chứng minh bất đẳng thức sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta thường dùng các phép biến đổi tương đương sau:

- Chuyển vế đổi dấu

- Ước lượng các số hạng đồng dạng

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số dương và giữ nguyên chiều bất đẳng thức

- Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với số âm và đổi chiều bất đẳng thức

- Hai vế không âm, luỹ thừa bậc chẵn hai vế

- Luỹ thừa bậc lẽ hai vế

- Sử dụng phép biến đổi tương đương về logarit hoặc mũ

Ví dụ 1.1 : Trong mọi tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

Giải

3 tan tan tan

tan tan tan tan tan tan

3 tan tan tan

    

 

3 tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 2

Đặt x tan AtanB;y tanBtanC;z tanCtan A Khi đó x y z, ,  0 và x  y z 1

Ta có      2 2 2 2

2 3 xyyzzx  x y z x y  z xy xz yz0

1

0 3

       

Do (3) luôn đúng nên dẫn đến (1) đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z

tan tan tan tan tan tan

       ABC là tam giác đều

Ví dụ 1.2 : (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D-2003) Cho   1 x 2 Chứng minh

2

1 2 1

x x

 

 (1)

Giải

Vì x 1 nên

2

1 0 1

x x





 Do đó ta có:

 2

2

1

1

x

x





2

1

1 0 0 0 2

x

 

 

Vì (2) đúng nên dẫn đến (1) đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

2 Phương pháp chứng minh quy nạp

Phương pháp này thường dùng để chứng minh các mệnh đề phụ thuộc vào số tự

nhiên n Để chứng minh mệnh đề P(n) ( n0  n ) ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chứng minh mệnh đề P(n0) đúng, tức là kiểm tra mệnh đề đúng với nn 0

Bước 2 : Giả sử mệnh đề P(k) đúng kn k0,  , tức là giả sử mệnh đề đúng với

0

n k k n k

Bước 3 : Ta chứng minh mệnh đề P(k+1) cũng đúng, tức là chứng minh mệnh đề đúng

với n k 1

Ví dụ 2.1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n3 luôn có

n nn n

Thấy rằng: 1 1   1  

1 n 1 n 1 1

n n n n n n n

n



        

 

Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh (1)

Với n3 mệnh đề đúng vì

3

3

 

     Giả sử (1) đúng với n k 3 tức là 1 1

k

k

k

 

  

 

Ta sẽ chứng (1) đúng với n k 1, tức là chứng minh

1

1

1

k

k

k



   



 

Thật vậy

1

            



Hay

1

1

1

k

k

k



   



  Vậy (1) đúng với n k 1

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2 : Chứng minh rằng: 1xn 1 nx , trong đó n và 1  x 0

Giải

Với n 0 thì  0

1x  1 0.x 1 1 Vậy bất đẳng thức đúng với n 0 Giả sử bất đẳng thức đúng với n k 0, tức là 1xk  1 kx

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1 Thật vậy:

1

(1 ) ( 1) 1 (1 ) ( 1)

k k k

x kx kx x

x k x kx

a k a







Do đó bất đẳng thức đúng với n k 1

Vậy với mọi n và   1 x 0 thì 1xn  1 nx

3 Phương pháp chứng minh phản chứng

Chứng minh mệnh đề pq bằng phản chứng ta thực hiện như sau: