Thông tin tài liệu
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 44.1: KHỐI TRỊN XOAY (BÀI TOÁN THỰC TẾ) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các cơng thức khối trịn xoay 1.1 Mặt cầu Khối cầu + Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S 4 R V R3 + Thể tích khối cầu có bán kính R là: + Diện tích chỏm cầu có chiều cao h mặt cầu có bán kính R là: S 2 hR � h� V h �R � � 3� + Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h khối cầu có bán kính R là: 1.2 Mặt nón Khối nón S Rl + Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh l , bán kính đáy R là: xq S R l R + Diện tích tồn phần hình nón có đường sinh l , bán kính đáy R là: S h R1 R2 + Diện tích xung quanh hình nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy R1 , R2 là: xq + Diện tích tồn phần hình nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy R1 , R2 là: Stp hR1 hR2 R12 R22 V hR + Thể tích khối nón có chiều cao h , đường sinh l , bán kính đáy R là: V h R12 R1.R2 R22 R , R + Thể tích khối nón cụt có chiều cao h bán kính hai đáy là: 1.3 Mặt trụ Khối trụ S 2 Rh + Diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: xq S 2 R h R + Diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: + Thể tích khối trụ có chiều cao h , bán kính đáy R là: V hR Mặt cầu ngoại tiếp 2.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hay hình chóp nội tiếp mặt cầu) mặt cầu qua tất đỉnh hình chóp Chú ý: + Hình chóp có đáy đa giác nội tiếp có mặt cầu ngoại tiếp + Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao trục đáy hình chóp với mặt phẳng trung trực cạnh bên 2.1.2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình chóp đặc biệt + Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh (giả sử SA ) góc vng mặt cầu ngoại tiếp có bán kính R SA + Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy (giả sử SA ) mặt cầu ngoại tiếp có bán kính R r2 SA2 (với r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU + Hình chóp mặt cầu ngoại tiếp có bán kính đáy) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ R SA2 SO (với SA cạnh bên, O tâm đa giác SA2 R 2SO (với SA cạnh bên, + Hình chóp có cạnh bên mặt cầu ngoại tiếp có bán kính O tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy) 2.1.3 Thể tích lớn khối chóp nội tiếp mặt cầu + Thể tích lớn khối chóp đáy tam giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R là: Vmax 3 R 27 2R hình chóp tứ diện có cạnh + Thể tích lớn khối chóp đáy tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R là: hình chóp có ha 64 R 81 4R + Thể tích lớn khối chóp đáy n-giác nội tiếp mặt cầu có bán kính R là: h Vmax Vmax 16 2 n.sin R 81 n 4R ,a sin R 3 n hình chóp có 2.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ 2.2.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hay hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu) mặt cầu chứa tất đỉnh hình lăng trụ Chú ý: + Chỉ có hình lăng trụ đứng đáy đa giác nội tiếp có mặt cầu ngoại tiếp h2 R r (với + Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tâm trung điểm OO ' , bán kính O , O� tâm đường trịn ngoại tiếp hai đáy hình lăng trụ, h chiều cao hình lăng trụ, r bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy 2.2.2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình hình lăng trụ đặc biệt a + Hình lập phương có cạnh a mặt cầu ngoại tiếp có bán kính 2 R a b c a , b , c + Hình hộp chữ nhật có cạnh mặt cầu ngoại tiếp có bán kính 2.2.3 Thể tích lớn hình hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu R + Thể tích lớn khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có bán kính R là: a Vmax 3 R khối hộp R chữ nhật khối lập phương có cạnh 2.3 Mặt cầu ngoại tiếp hình nón 2.3.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón (hay hình nón nội tiếp mặt cầu) mặt cầu qua đỉnh chứa đáy hình nón TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ R l2 2h (với l , h lần Chú ý: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm thuộc đường cao hình nón, bán kính lượt độ dài đường sinh chiều cao hình nón) 2.3.2 Thể tích lớn khối nón nội tiếp khối cầu 32 Vmax R 81 + Thể tích lớn khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R là: chiều cao 2 R r R , bán kính đáy khối nón 2.4 Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ 2.4.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ (hay hình trụ nội tiếp mặt cầu) mặt cầu chứa hai đáy hình trụ Chú ý: h + Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có tâm thuộc đường cao hình trụ, bán kính lượt bán kính đáy chiều cao hình trụ) 2.4.2 Thể tích lớn khối trụ nội tiếp khối cầu + Thể tích lớn khối trụ nội tiếp khối cầu có bán kính R là: R r2 Vmax h2 (với r , h lần 3 R chiều cao R r R 3 khối trụ , bán kính đáy Mặt cầu nội tiếp 3.1 Mặt cầu nội tiếp hình chóp 3.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu nội tiếp hình chóp (hay hình chóp ngoại tiếp mặt cầu) mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp 3.1.2 Cơng thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 3V R S Stp + Cơng thức tính bán kính mặt cầu nơi tiếp hình chóp tích V diện tích tồn phần là: Thể tích khối trịn xoay + Thể tích V khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục hoành h b V � f ( x)dx a hai đường thẳng x a, x b quanh trục hồnh là: + Thể tích V khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x g ( y ) , trục tung d V � g ( y )dy c hai đường thẳng y c, y d quanh trục tung là: + Thể tích V khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f ( x), y g ( x) hai đường thẳng x a, x b quanh trục hoành TH1: Nếu đồ thị hai hàm số y f ( x), y g ( x) nằm phía trục hồnh nằm phía b trục hồnh đoạn a; b V � f ( x) g ( x) dx a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f ( x) g ( x) TH2: Nếu đồ thị hai hàm số y f ( x), y g ( x) nằm hai phía so với trục hoành b đoạn a; b V � f ( x )dx a f ( x ) g ( x) TH3: Nếu đồ thị hai hàm số y f ( x), y g ( x) nằm hai phía so với trục hồnh b đoạn a; b V � g ( x) dx a II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Các toán liên quan đến diện tích hình trịn xoay Các tốn liên quan đến thể tích khối trịn xoay Các toán liên quan đến giá vật liệu Các tốn max-min diện tích Các tốn max-min thể tích Các tốn giá vật liệu rẻ Các toán giá nhân công rẻ … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà kính cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá kính 1m2 kính 1.500.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? A 23.591.000 đồng C 9.437.000 đồng B 36.173.000 đồng D 4.718.000 đồng Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn thực tế hình trụ HƯỚNG GIẢI: B1: Tính bán kính hình trụ B2: Tính diện tích kính B3: Tính giá kính Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C + Gọi R bán kính hình trụ Theo hình vẽ ta có góc đỉnh 60�nên R 4, 45 + Diện tích kính diện tích xung quanh hình hộp Diện tích kính là: 801 S k 2 hR 400 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy giá kính là: G 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 801 1500000 �9436000 400 đồng Bài tập tương tự phát triển: Mức độ Câu Để làm hộp đựng bóng bàn đường kính 4cm , nhà máy sản xuất làm theo hai mơ hình: mơ hình hộp hình lăng trụ đứng có đáy hình vng bóng chồng lên nhau, bóng tiếp xúc với mặt bên hình lăng trụ, hai bóng tiếp xúc với hai mặt đáy hình lăng trụ; mơ hình hộp hình trụ bóng tiếp xúc với tất đường sinh hình trụ, hai bóng tiếp xúc với hai mặt đáy hình trụ Diện tích vật liệu mà nhà máy sản xuất tiết kiệm chọn mơ hình tốn vật liệu gần bao nhiêu? 2 2 A 251, 32cm B 68,67cm C 110, 56cm D 100, 67cm Lời giải Chọn D + Làm theo mơ hình 1: Diện tích vật liệu + Làm theo mơ hình 2: Diện tích vật liệu Câu S1 4.20.4 2.4.4 352 cm S 2. 20.2 80 cm S S1 S �100, 67 cm Vậy diện tích vật liệu tiết kiệm Bác An muốn làm thùng đựng nước hình trụ khơng có nắp tích 1m từ vật liệu tơn Biết giá tôn 70.000 (đồng/m2) Bác An làm tiết kiệm số tiền (lấy gần đến hàng đơn vị) bao nhiêu? (Biết mối hàn tốn vật liệu không đáng kể) A 387.507 đồng B 307.564 đồng C 387.506 đồng D 307.565 đồng Lời giải Chọn B + Gọi chiều cao bán kính đáy hình trụ h, R (0 h, R) Ta có: + Diện tích vật liệu là: h R � h R2 1 �2 � �1 � f (h, R ) 2 hR R � R � � R ��3 3 � R � � R R � Câu 3 Vậy số tiền nhỏ là: 70.000 �307564 (đồng) Bác An có khối cầu (C ) pha lê có bán kính 10cm Bác An muốn làm chặn giấy có dạng khối trụ (T ) nội tiếp mặt cầu (C ) cho thể tích khối trụ (T ) lớn (Biết rằng: khối trụ nội tiếp mặt cầu khối trụ có hai đường trịn đáy nằm mặt cầu) Thể tích phần pha lê bị bỏ (lấy gần đến hàng phần trăm) là: 3 A 563, 53cm B 1770,39cm C 769,81cm D 2418,39cm Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B + Gọi h, r chiều cao bán kính đáy hình trụ (T ) ; R bán kính (C ) Thể Vc R 2 tích khối cầu h R r + Thể tích khối trụ (T ) là: Vt h r 2 r Câu R r 2 r r R 2r 2 2 2 �r r R 2r � � 2 � R3 � � � �4 � V Vc Vt � 10 �1770, 39cm �3 � � � � Vậy thể tích phần pha lê bị bỏ là: Một công ty muốn thiết kế hộp để đựng sữa với thể tích 1dm Hộp thiết kế hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy hình vng dạng hình trụ sản xuất nguyên vật liệu giấy Biết 1m vật liệu giấy có giá 10.000 đồng Hỏi cơng ty sản xuất triệu hộp đựng sữa mô hình tiết kiệm vật liệu tốn hết tiền (lấy gần đến hàng nghìn)? A 600.000.000 đồng B 6.000.000.000 đồng C 553.580.000 đồng D 5.535.800.000 đồng Lời giải Chọn C TH1: Hộp làm theo mô hình hình hộp chữ nhật có đáy hình vng ba � b a , b a diện tích vật liệu + Gọi cạnh đáy chiều cao hình hộp Ta có: S1 2a 4ab 2a 2 2a �6 a a a làm hộp là: TH2: Hộp làm theo mơ hình dạng hình trụ + Gọi h, R chiều cao bán kính đáy hình trụ Ta có: diện tích vật liệu làm hộp là: hR � h R �1 � �1 � S2 2 R h R 2 � R � 2 � R ��6 �5,5 � R � �2 R 2 R � So sánh hai trường hợp ta thấy làm hộp theo dạng hình trụ tiết kiệm vật liệu Vậy giá để làm triệu hộp theo mơ hình tiết kiệm hết Câu 100.1000000 �553580000 (đồng) Để làm mũ sinh nhật người ta lấy miếng giấy hình tam giác ABC cạnh 3dm (như hình vẽ) Gọi K trung điểm BC Người ta dùng compa có tâm A bán kính AK vạch cung trịn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB AC ) cắt miếng giấy theo cung trịn Lấy phần hình quạt người ta gián cho cạnh AM AN trùng thành mũ hình nón khơng đáy với đỉnh A Thể tích mũ gần với giá trị nhất? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 0, 5dm B 0,3dm 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 3 D 0, dm C 0, dm Lời giải Chọn A AK 3 + Ta có tam giác ABC có cạnh nên đường cao + Chu vi đường trịn đáy mũ chiều dài x dây cung MN Mặt khác số đo � cung MN số đo góc tâm nên sđ MN 60�suy độ dài dây cung MN độ dài 1 3 x 2 AK 2 6 2 đường trịn Ta có: 3 x �r 2 2 + Gọi r bán kính đường trịn đáy mũ, ta có x 2 r 2 �3 � � � 105 � �2 � � � �4 � � 2 � � � � + Chiều cao mũ: h AK r Câu � � 105 105 �0,5 V r 2h � �4 � � � � 64 Vậy thể tích mũ là: Cho bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước m , 3m , m lòng đựng nước bể Hàng ngày nước bể lấy gáo hình trụ có chiều cao 5cm bán kính đường trịn đáy 4cm Trung bình ngày múc 170 gáo nước để sử dụng (Biết lần múc múc đầy gáo) Hỏi sau bao nhiều ngày bể biết ban đầu bể đầy nước? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 282 ngày 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B 281 ngày C 283 ngày Lời giải Chọn B + Thể tích nước đựng đầy bể V 2.3.2 12 m3 D 280 ngày Vg 42.5 80 cm3 m3 12500 + Thể tích nước đựng đầy gáo + Mội ngày bể múc 170 gáo nước tức ngày lượng được lấy Vm 170.Vg Câu 17 m3 1250 V 12 ; 280,8616643 � 17 Vm 1250 + Ta có sau 281 ngày bể Một bồn chứa dầu gồm hai nửa hình cầu hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh 128 m3 hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước Diện tích xung quanh bồn chứa nước bằng: A 50 m B 64 m C 40 m Lời giải 2 D 48 m Chọn D 4x m Gọi chiều cao hình trụ � đường trịn đáy hình trụ mặt cầu có bán kính x m Thể tích bồn chứa nước thể tích khối trụ có bán kính đáy R x , chiều cao h x thể tích khối cầu có bán kính R x � 128 � �x x x � � x m � Do đó: � Câu S x 2.x.4 x 48 m Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón Giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau; biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng h băng ban đầu Gọi h r chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỉ số r TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU h 3 A r 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ h 2 B r h C r h 16 D r Lời giải Chọn A Vc r 3 + Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu) VN r 2h + Thể tích khối nón (phần ốc quế) Câu 3 �4 � h VN VC � r 2h � r �� 4 �3 � r + Theo đề: Sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m chiều rộng 60m Người ta làm đường nằm sân Biết viền viền đường hai đường elip, elip viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường A 283.904.000 đồng B 293.804.000 đồng C 294.053.000 đồng D 293.904.000 đồng Lời giải Chọn C Gọi ( E1 ),( E2 ) viền viền đường; a1 , b1 độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ ( E1 ) a2 , b2 độ dài bán trục lớn, bán trục nhỏ ( E2 ) Ta có: S1 a1b1 50.30 1500 m S a2b2 48.28 1344 m 2 Diện tích đường là: S S1 S2 1500 1344 156 m Vậy số tiền làm đường 156 600000 = 294.053.000 đồng Câu 10 Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay H , mặt phẳng chứa trục H theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA H cắt H (đơn vị cm ) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A V H 23 B V H 13 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ V H C Lời giải 41 V 17 D H Chọn C 16 Vnon 22.4 3 16 2 41 9 3 V Bh 1.52.4 9 Thể tích khối nón + Thể tích khối trụ tru 2 V p giao 12.2 V H 3 + Thể tích phần giao là: Vậy V m3 Câu 11 Khi xây nhà, anh Tiến cần xây bể đựng nước mưa tích dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây gạch xi măng Biết chi phí trung bình 1.000.000 đ/m2 nắp để hở khoảng hình vng có diện tích diện tích nắp bể Tính chi phí thấp mà anh Tiến phải trả (làm trịn đến hàng trăm nghìn)? A 22000000 đ B 20970000 đ C 20965000 đ Lời giải Chọn D Gọi độ dài chiều rộng, chiều cao hình hộp là: 3x Thể tích khối hộp chữ nhật là: V x.3x.h x , h m � � 3x h � h Chiều dài hình hộp là: x2 Diện tích tồn phần khối hộp là: x.h 2.3 x.h 2.x.3 x xh x Diện tích phần xây S D 21000000 đ 16 6x x 8 16 16 16 16 x x x �3 x ۳ S x x x x 20,96593115 Tổng chi phí thấp mà anh Tiến phải trả là: 1000000.20,96593115 �21000000 đ Câu 12 Người ta cần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích 500 m Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ 500.000 đồng /m Khi đó, kích thước hồ nước cho chi phí th nhân cơng thấp là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ + Vậy diện tích hình viên phân cung AB �1 3� V1 � � �3 � � � + Suy thể tích dầu rút ra: + Thể tích dầu ban đầu: V 5. 5 Vậy thể tích cịn lại: V2 V V1 ; 12, 637m Câu Từ hai tơn hình chữ nhật có kích thước 50 cm 240 cm , người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): - Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng - Cách 2: Cắt tơn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị V1 theo cách Tính tỉ số V2 V1 V1 1 2 A V2 B V2 V1 C V2 V1 4 D V2 Lời giải Chọn B + Theo cách 1: Ta thu hình trụ có chiều cao h 50 , 2 R 240 �R 120 120 � � V1 � �.50 � � cm Suy + Theo cách 1: Ta thu hai hình trụ có chiều cao h 50 , 2 R 120 �R 60 �60 � V2 2 � �.50 � � cm3 Suy V1 2 V Vậy Câu Ông An đặt hàng cho sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao X để làm loại chai nước có kích thước phần khơng gian bên chai hình vẽ, đáy có bán kính R cm , bán kính cổ chai r cm , AB cm , BC cm , CD 16 cm Tính thể tích V phần không gian bên chai nước TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A V 490 cm 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B V 412 cm C V 464 cm Lời giải D V 494 cm Chọn A + Thể tích khối trụ bán kính đáy R chiều cao CD là: V1 R CD 400 cm3 + Thể tích khối nón cụt có chiều cao BC là: 1 V2 BC R R r r 25 25. 78 cm + Thể tích khối trụ bán kính đáy r chiều cao AB ( khối cổ chai) là: V3 r AB 12 cm3 Câu Thể tích phần không gian bên chai nước là: V V1 V2 V3 490 cm Người ta chế tạo đồ chơi cho trẻ em theo công đoạn sau: Trước tiên, chế o tạo mặt nón trịn xoay có góc đỉnh 60 thủy tinh suốt Sau đặt hai cầu nhỏ thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác cho mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc với mặt nón Quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy mặt nón Cho biết chiều cao mặt nón cm Bỏ qua bề dày lớp vỏ thủy tinh, tính tổng thể tích hai khối cầu 40 cm A 25 cm3 B 112 cm3 C 10 cm3 D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ + Gọi R bán kính hình nón r1 , r2 bán kính cầu lớn cầu nhỏ + Thiết diện qua trục hình nón sau: SAB tam giác nên SO AB + Gọi I tâm tam giác SAB , r1 2SO 2.9 � AB 3 SO 3 3 SO 3 + Tam giác SCD có chiều cao SH r2 1 3 + Gọi J tâm tam giác SCD , 4 4 112 V r13 r23 r13 r23 27 1 3 3 Tổng thể tích hai cầu là: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm , chiều rộng 5cm chiều cao 6cm Người ta xếp thẳng đứng vào viên phấn giống nhau, viên phấn một khối trụ SH Câu r cm có chiều cao h 6cm bán kính đáy Hỏi xếp tối đa viên phấn? A 150 viên B 153 viên C 151 viên D 154 viên Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ + Vì xếp tồn hàng viên xếp 30 hàng nên số viên phẩn xếp 5.30 150 (viên) + Cịn xếp tồn hàng viên xếp 30 hàng nên số viên phẩn xếp 4.30 120 (viên) + Do để xếp nhiều ta xếp tối đa viên phấn vào cạnh chiều rộng hộp viên, để xếp nhiều hàng ta xếp xen kẽ viên, lại xen kẽ hàng viên hình vẽ ( xét góc nhìn từ phía hộp xuống) 2 + Khi ta có: AB BD AD nên 1 HK AB AH BK 2 + Ta qui ước xếp hàng viên hàng viên liên tiếp từ đầu cặp + Do ta xếp 16 cặp trước diện tích khoảng trống cịn lại sau xếp 16 cặp là: 30 16 �2, 287 KI OK OI HE OI �2, 23 2, 287 nên khoảng trống cịn lại sau xếp + Vì 16 cặp vừa đủ xếp cặp 17 Vậy số phấn nhiều 17.9 153 (viên) Câu 10 Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc điểm B Biết vận tốc kiến 10 cm/phút Thời gian để kiến thực dự định gần với kết dước đây? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A 5,88 phút B 5,87 phút C 5, 99 phút Lời giải D 5,8 phút Chọn A Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc, góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt � � 4 b cung lớn AA� 4 a khuyên với cung nhỏ BB� � Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA� Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: � � l BO OA� BO.OA� cos 2 1 � � B� A� AB a 4 a l b 4 b l a b h2 � � � BB OA OB AB AB AB. 2 b 1 �AA�� OB OB 2 b 2 a b � AB 2 a b � OA� OB BA 1 b 2 a b h2 b AB a a b 1 � OB OB b b , 3 , a b a b a b h2 h2 3 a b a b h2 4 ta tìm l �58, 79609 �58,80(cm) Câu 11 Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C Thay vào TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ 40 km Người đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đường thủy USD/km , đường USD/km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? ( AB 40 km , BC 10 km ) 65 km B A 10 km 15 km D C 40 km Lời giải Chọn B x � 0; 40 � BD 40 x � CD Đặt AD x km , f x x.3 Tổng kinh phí từ A đến C f x 3x x 80 x 1700 f� x 40 x 40 x 2 102 102 x 80 x 80 x 1700 � f� x x 80 x 1700 x 200 x 80 x 1700 65 f� x � x 80 x 1700 200 x � x Bảng biến thiên Vậy f ( x ) nhỏ x 65 Câu 12 Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 256 m , đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá th nhân cơng để TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ xây bể 500000 đồng/ m Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể bao nhiêu? A 48 triệu đồng B 47 triệu đồng C 96 triệu đồng D 46 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn A x m 2x m h m Gọi chiều rộng đáy bể, chiều dài đáy bể chiều cao bể 256 256 128 m x2h h � � 3x Bể tích 128 256 2 S xh xh x x 3x x x x Diện tích cần xây là: 256 256 S x x2 , x � S � x 4x � x x x Xét hàm Lập bảng biến thiên suy Smin S 96 Chi phí th nhân cơng thấp diện tích xây dựng nhỏ Vậy giá thuê nhân công thấp 96.500000 48000000 đồng S 96 Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cơ si để tìm min, cụ thể 256 128 128 128 S 2x2 2x 2x S 96 �3 128 ۳ S 96 � � x x x x x x cm Câu 13 Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương y cm S (như hình vẽ bên).Tính tỉ số V , V thể tích khối gỗ sau có độ dài đục S tổng diện tích mặt (trong ngoài) khối gỗ sau đục A 6 x 3y S V x y x 2y TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B 3 x 3y S V x y x 2y Trang 26 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU C 2 x 3y S V x y x 2y 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 9 x 3y S V x y x 2y D Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy x y cm hình vuông cạnh y cm ,chiều cao ,rồi trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y cm �x y � V x3 � �y y x y x y �2 � Vì vậy: Tổng diện tích mặt khối gỗ sau đục y( x y) S x y 6.4 6 x y x 3y 6 x 3y S V x y x 2y Vậy V m3 Câu 14 Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích , hệ số k cho trước ( k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x, y, h xây tiết kiệm nguyên vật liệu x, y, h x 23 A x x x 2k 1 V ; y 4k 2k 1 V ; y 4k B D 2k 1 V ; y 4k 2k 1 2k 1 3 k 2k 1 V ;h 23 k 2k 1 V ;h k 2k 1 V ;h k 2k 1 V 2kV 2kV 2k 1 V ; y 4k C 2 2kV 2k 1 2kV 2k 1 ;h Hướng dẫn giải Chọn C Gọi x, y , h x, y , h chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 27 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ h V V � h kx V xyh � y x xh kx Ta có: Nên diện tích tồn phần hố ga là: 2k 1 V 2kx S xy yh xh kx k Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ y 23 2kV ,h x 2k 1 V 4k k 2k 1 V 2k 1 Khi Câu 15 Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x m , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn x A 2 B x C x D x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: y 1 2x �z y2 �2 h z � �2 � Chiều cao hình chóp: � Vchop Vchop � �2 x� � y � �2 � � � x� � x � 2 x x 2 lớn hàm số y x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x 2 đạt GTLN Trang 28 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x0 � � � 2 � x x � y ' 2 � 5 x x ; Câu 16 Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9m �3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn y' Hỏi 5 x x x m thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0,3m xm x 0,3m 0,9 m 3m (a) Tấm tôn A x 0,5m (b) Máng xối 0,3m B x 0, 65m C x 0, 4m Hướng dẫn giải 0,3m (c) Mặt cắt D x 0, 6m Chọn D Gọi h chiều cao hình thang Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn h S x 0,3 Ta có BC x 0,3 x 0,3 �h 0,3 x 0,3 x 0,3 0; 0,3 x 0,9 0,3 ĐK: Khi đó: 2 S x 0,3 0,3 x 0,3 Xét hàm số f x x 0,3 0,3 x 0,3 ; 0,3 x 0,9 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 29 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ 2 x 0,3 � f� x 0,3 x 0,3 x 0,3 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 0,3 x 0,3 0,36 x x 0,3 0,3 x 0,3 2 0,3 x 0,3 2 x 0,3 � f� x � x2 0,3x 0,18 � � x 0, � f x lớn x 0, Vậy thể tích máng xối lớn x 0,6m Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Câu 17 Cho tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm chiểu rộng cm Gấp góc bên phải tờ giấy cho sau gấp, đỉnh góc chạm đáy hình vẽ Để độ dài nếp gấp nhỏ giá trị nhỏ bao nhiêu? A C B D Lời giải Chọn D EF x, EC x � FC x x 16 x 64 Đặt Ta có ADF : FCE g g � 8x EF CF AF EF AD FC 16 x 64 AF AD ; 64 x 16 x y AE AF EF x 16 x 64 16 x 64 2 16 x f ' x f x x � 0;8 16 x 64 Ta có 48 x 16 x 64 16.16 x3 16 x 64 f ' x � 768 x 3072 x 256 x � 512 x 3072 x � x BBT: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 30 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ y f x � ymin f 108 Câu 18 Từ tờ giấy hình vng cạnh 20cm , người ta cắt bốn tam giác cân Sau gấp tờ giấy dọc theo đường chấm, ta thu hình chóp tứ giác đều( hình vẽ) Tính chiều cao x tam giác cân cắt cho khối chóp tạo thành tích lớn A x 1cm B x cm C x cm D x cm Lời giải Chọn B Gọi điểm hình vẽ Ta có x AH ; SA SH AH 100 x , � OI 10 x 2 OI OA 2 Gọi h độ dài đường cao khối chóp h SA2 OA2 100 x 10 x 20 x Ta có: Diện tích đáy hình chóp là: S 4.IO 10 x 1 V S h 10 x 20 x 3 Vậy thể tích khối chóp là: Xét hàm số f t 2 20 10 t t t x t � 0; 10 với TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 20 10 t 10 5t f � t � t ta có: ; Ta có bảng biến thiên f� t Hàm số đạt giá trị lớn t x 2 Vậy thể tích đạt giá trị lớn x 2 Câu 19 Hai bạn A B chơi trò chơi sau: Mỗi người lấy miếng tơn hình trịn bán kính nhau, sau cắt bỏ hình quạt cuộn lại, dùng keo gắn lại thành phễu hình vẽ Sau A dùng phễu múc đầy nước trút sang phễu B Nếu phễu B đầy mà phễu A nước A thắng Ngược lại, phễu A mà phễu B chưa đầy thi B thắng Hãy giúp A cách cắt miếng tôn có góc tâm hình quạt để chơi không thua B 2 A 6 6 B 2 C 27 Lời giải 2 D Chọn B Gọi x rad góc tâm miếng tơn cần cắt x 2 Gọi R; r bán kính miếng tơn bán kính miệng phễu 2 x R S Diện tích phần cịn lại miếng tơn Diện tích xung quanh phễu TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA S xq rR Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Mặt khác diện tích phần cịn lại miếng tơn diện tích xung quanh phễu nên ta 2 x R được: rR � r Đường cao phễu 2 x R 2 h R2 r R 2 4 x x 1 2 x R R V r 2h 3 4 2 Thể tích phễu t 2 x � t 4 x x R3 t 4 t 24 ; với 16 3 2 t 4 t t 8 2t � Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta 8 t Dấu xảy 62 8 � x 3 Vậy thể tích phễu lớn Bạn A cắt miếng tôn để thể tích phễu thu lớn bạn A không thua bạn B Câu 20 Một chậu nước hình bán cầu nhơm bán kính R 10 cm Ban đầu lượng nước chậu có chiều cao (tính từ đáy chậu đến mặt nước) h cm , người ta bỏ vào chậu viên bi t hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi Biết thể tích khối � h� V h �R � � 3� chỏm cầu tính theo cơng thức Hãy tính bán kính viên bi (làm tròn đến hàng đơn vị) A cm B cm C cm Lời giải D 10 cm Chọn A � h � 416 V1 h �R � � 3� Thể tích nước ban chậu nhơm là: Gọi r bán kính viên bi ( r �5 ) Thể tích khối cầu là: V2 4 r 3 2r � 2� � 2r � V3 2r �R � 4 r � 10 � � � � � Thể tích chỏm cầu bỏ viên bi vào là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có: V1 V2 V3 � 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ 416 4 r 4 r 30 2r � 416 4r 4r 30 2r 3 � 12r 120r 416 r TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA cm Trang 34 ... a; b V � g ( x) dx a II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Các toán liên quan đến diện tích hình trịn xoay Các tốn liên quan đến thể tích khối trịn xoay Các toán liên quan đến giá vật liệu ... An có khối cầu (C ) pha lê có bán kính 10cm Bác An muốn làm chặn giấy có dạng khối trụ (T ) nội tiếp mặt cầu (C ) cho thể tích khối trụ (T ) lớn (Biết rằng: khối trụ nội tiếp mặt cầu khối trụ... trụ) 2.4.2 Thể tích lớn khối trụ nội tiếp khối cầu + Thể tích lớn khối trụ nội tiếp khối cầu có bán kính R là: R r2 Vmax h2 (với r , h lần 3 R chiều cao R r R 3 khối trụ , bán kính đáy
Ngày đăng: 24/06/2021, 16:48
Xem thêm:
