NW359 360 DẠNG 24 TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ GV 2

DẠNG TỐN 24: DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH TRỤ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: mp  P  mp  P  Trong cho hai đường thẳng  và l song song nhau, cách một khoảng r Khi quay quanh trục cố định  thì đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ  Đường thẳng  được gọi là trục  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ  Đường thẳng AB được gọi là trục  Đoạn thẳng CD được gọi là độ dài đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r  AD và hình tròn tâm B , bán kính r  BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ:  Diện tích toàn phần của hình trụ: S xq  2 rh Stp  S xq  2.S Ðay  2 rh  2 r 2  Thể tích khối trụ: V  B.h   r h II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ  Tính diện tích toàn phần  Tính thể tích  Tính bán kính đường tròn đáy, tính chiều cao, đường sinh BÀI TẬP MẪU (ĐỀ THAM KHẢO-BDG 2020-2021) Một hình trụ có bán kính đáy r  cm và độ dài đường sinh l  3cm Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng 2 B 48 cm C 24 cm Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích xung quanh hình trụ HƯỚNG GIẢI: S = 2prl Áp dụng công thức diện tích xung quanh xq Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn C A 12 cm TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D 36 cm Trang Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức S  2 rh  2 4.3  24 cm Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hình trụ T S có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Ký hiệu xq là diện tích xung quanh của S   rh A xq  T  Công thức nào sau là đúng? B S xq  2 rl C Lời giải S xq  2 r h D S xq   rl Chọn B Câu S  2 rl Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng xq  T  có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Ký hiệu Stp là diện Cho hình trụ tích toàn phần của S   rl A  T  Công thức nào sau là đúng? B Stp   rl  2 r C Lời giải Stp   rl   r D Stp  2 rl  2 r Chọn D Câu S  2 rl  2 r Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng  T  có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r Ký hiệu V T  là thể tích Cho hình trụ khối trụ  T  Công thức nào sau là đúng? V T    rh A B V T    r h V   rl C  N  Lời giải D V N   2 r h Chọn B V T    r h Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng r   cm  h   cm  Câu Một hình trụ có bán kính đáy , chiều cao Diện tích xung quanh của hình trụ này là: 70 35  cm  cm 35  cm  70  cm  3 A B C D     Lời giải Chọn B Ta có: Câu S xq  2 rh  2 5.7  70  cm  Một hình trụ có bán kính đáy r  a , đồ dài đường sinh l  2a Diện tích toàn phần của hình trụ này là: A 6 a B 2 a C 4 a Lời giải 2 D 5 a Chọn A S  2 rl  2 r = 6pa2 Ta có Câu Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r = và chiều cao h = A V = 128p B V = 64 2p TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C V = 32p Lời giải D V = 32 2p Trang Chọn B Câu Ta có V = pr h = 64p Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 50p và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy Tính bán kính r của đường tròn đáy ? A r= 2p � C r = p Lời giải B r = D r= � Chọn D S = 2prl = pl Ta có xq Câu Tính diện tích xung quanh A Câu �l = Sxq = pR B Sxq Sxq p =5 � r = 2 của hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng R Sxq = pR S = 4pR C xq Lời giải D Sxq = 2pR Chọn D S = 2prl = 2pR Ta có xq Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng 2cm Tính diện tích xung quanh A Sxq Sxq = của hình nón đó 8p cm B Sxq = 4pcm2 Sxq = 2pcm2 C Lời giải D Sxq = 8pcm2 Chọn D S = 2prl = 2pr = 8pcm2 Ta có xq Câu 10 Một hình trụ có bán kính đáy bằng r = 50cm và có chiều cao h = 50cm Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đó A Sxq = 2500p(cm2) C Sxq = 2500(cm2) B Sxq = 5000p(cm2) S = 5000(cm2) D xq Lời giải Chọn B S = 2prl = 2p50.50 = 5000pcm2 Ta có xq  Mức độ AB   cm  AD   cm  Câu Hình chữ nhật ABCD có , Thể tích khối trụ hình thành được quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng: A  25π cm3  B  75π cm3   50π cm3 C Lời giải  D  45π cm3  Chọn B Sxq = 2prl = 2p3.5 = 30p( cm ) Ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu T Một hình trụ T Chiều cao của  cm  A có diện tích toàn phần là 120  cm  và có bán kính đáy bằng  cm  là: B  cm  C Lời giải  cm  D  cm  Chọn B S = 2prh+ 2pr � 120p = 2p6.h+ 2p62 � h = 4( cm) Ta có Câu Một khối trụ T đường sinh của 12  cm  A có thể tích bằng T 81  cm3  và có đường sinh gấp ba lấn bán kính đáy Độ dài là: B  cm   cm  C Lời giải D  cm  Chọn B �� l� � 81p = p� �l � � �� 3� � l = 9( cm) Ta có V = pr l Câu Một hình trụ có diện tích đáy bằng xung quanh hình trụ đó bằng: 4 m 3 m B A 4  m  Khoảng cách giữa trục và đường sinh của mặt C 2 m D 1 m  Lời giải Câu Chọn B Khoảng cách giữa trục và đường sinh chính là bán kính của hình trụ 2 � r = 2( cm) Ta có Sd = pr � 4p = pr  cm  Cho hình vuông ABCD cạnh Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Quay hình vuông ABCD xung quanh MN Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là: A 64  cm  B 32  cm  96  cm  C Lời giải D 126  cm  Chọn A Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ hình vẽ AB r  4; h  AD  � S xq  Cd h  2 rh  64 cm 2 Khi đó  Câu  Khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a, diện tích đáy bằng 2a Tính thể tích V của khối lăng trụ A V = 4a V = a3 B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA V = a2 C V = a3 D Trang Lời giải Chọn B Ta có V  Sd h = 2a 2a = 4a Câu Cho khối trụ (T ) có bán kính đáy bằng R và diện tích toàn phần bằng 8pR Tính thể tích V của khối trụ (T ) A V = 6pR B V = 3pR C V = 4pR Lời giải B V = 8pR Chọn B S  2 rl  2 r � 8 R  2 Rl  2 R � l  3R Ta có V   r 2l   R 3R  3 R Câu Cho hình trụ có bán kính đáy bằng và thể tích bằng 18p Tính diện tích xung quanh hình trụ S = 18p S = 36p S = 12p S = 6p A xq B xq C xq D xq Lời giải Chọn C Sxq của Sxq của 2 Ta có V   r h � 18p = p.3 l � l = Sxq = 2prl = 2.p.3.2 = 12p Câu Cho khối trụ (T ) có chiều cao bằng và thể tích bằng 8p Tính diện tích xung quanh hình trụ (T ) A Sxq = 32p B Sxq = 8p S = 16p C xq Lời giải D Sxq = 4p Chọn B 2 Ta có V   r h � 8p = p.r � r = Sxq = 2prl = 2.p.2.2 = 8p S Câu 10 Một thùng hình trụ có thể tích là 48p, chiều cao là Tính diện tích xung quanh xq của thùng đó S = 12p S = 24p S = 4p S = 18p A xq B xq C xq D xq Lời giải Chọn B 2 Ta có V   r h � 48p = p.r � r = Sxq = 2prl = 2.p.4.3 = 24p  Mức độ Câu Một hình trụ có tỉ số giữa diện tích toàn phần và diện tích xung quanh bằng Khẳng định nào sau là đúng ? A Đường sinh bằng bán kính đáy B Bán kính đáy bằng lần đường sinh C Đường sinh bằng lần bán kính đáy D Bán kính đáy bằng lần đường sinh Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Sxq Stp Câu = 2prl = 2prl + 2pr � 6prl = 2pr � r = 3l Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh 2a Gọi S1 và S lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ Chọn kết luận các kết luận sau A 4S1  3S B 3S1  S2 C 2S1  S D S1  3S Lời giải Chọn B S S1 2prl p2a.2a = xq = = = 2 S 2prl + 2pr p2a.2a+ 2pa � 3S1 = 2S2 Ta có S2 Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB  a và góc BDC  30 Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:  a2 2 A 3 a B 3 a C D  a Lời giải Chọn C Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ hình vẽ Ta có: a 2 a � S   rh  xq r  AB  a; h  BC  CD tan 300 Suy 3 Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a ( a là độ dài có sẵn) Người ta cuốn h Câu tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng: a3 A  B  a a3 C 2 Lời giải D 2 a Chọn A Gọi bán kính đáy là R Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2 R  2a � R  a  a3 �a � V   R h   � �a   (đvtt) � � Suy hình trụ này có đường cao h  a Vậy thê tích khối trụ Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a Xét hình trụ có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng: Câu  a2 3 A  a2 2 B  a2 C Lời giải  a2 D Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm BC Chiều cao tứ diện h  DO  DA2  AO  Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC : a R AM a   a2 � S xq  2 Rh  Câu Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng: A h  R B h  R C h  3R Lời giải D h  R Chọn A Câu h V  R2 Công thức tính thể tích V   R h , suy Hộp sữa kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: 2V Stp  S xq  Sday  2 Rh   R    R2 R 2V f  R  f  R    R2 0; �   0; � R Xét hàm , ta được đạt tại R  h Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 và có chiều cao bằng đường kính đáy Thể tích khối trụ tương ứng bằng: A 2 B  C 3 Lời giải D 4 Chọn A Câu chiều cao bằng đường kính đáy nên h  R �h  S xq  4  2 Rh   h � � � V   R h  2 R  � Ta có: Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy là R = cm và chiều cao h = 10 cm chứa được lượng máu tối đa bằng (làm tròn đến một chữ số thập phân) A 10 cc B 20 cc C 31,4 cc D 10,5 cc Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Chọn C V = pr 2h = 10p( cm3) = 31.4cc Thể tích ống nghiệm Câu Một khối trụ có thể tích bằng 16p Nếu chiều cao của khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16p Tính bán kính đáy R của khối trụ ban đầu A R = B R = C R = D R = Lời giải Chọn C 2 Thể tích V = pr h � 16p = pr h � 16 = r h (1) S�= 2pr � h� = 2pr.2h = 16p � rh = Khối trụ mới xq (2) r = Từ (1); (2) ta có Câu 10 Cho hình trụ có đường cao bằng 8a Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ S = 80pa2 S = 60pa2 S = 40pa2 S = 20pa2 A xq B xq C xq D xq Lời giải Chọn A 2 2 Theo giả thuyết tứ giác ABCD là hình vuông r = OB = OI + IB = 9a +16a = 5a Sxq = 2prh = 2.p5a.8a = 80pa2  Mức độ Câu Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Bán kính của đường tròn đáy là 5cm, chiều dài lăn là 23cm hình vẽ bên dưới Sau lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích S bằng ? A S = 1725p cm B S = 3450p cm C S = 1725p cm D S = 862,5p cm Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của lăn Sxq = 2prl = 2p.5.23 = 230p S = 15.Sxq = 3450p( cm ) Khi lăn 15 vòng Diện tích TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 2m, độ dày của thành ống là 10cm, đường kính của ống là 50cm (như hình vẽ) Tính lượng bê tông cần phải đổ ống thoát nước đó ? A 0,08pm B 0,18pm C 0,5pm D 0.045pm Lời giải Chọn A Bán kính ống là r= 50 = 25cm= 0.25m Lớp bê tông dầy 10cm nên phần bán kính bên là r1 = 15cm= 0.15m Thể tích phần bê tông là Câu V = ph( r - r12 ) = 2p( 0.252 - 0.152 ) = 0.08p( m2 ) 50  cm  �240  cm  Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng 50cm nước hình trụ có chiều cao bằng , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây): ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng ● Cách Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, gò tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách và V2 là thể tích của V1 thùng gò được theo cách Khi đó tỉ số V2 bằng: A B C D Lời giải Chọn C Công thức thể tích khối trụ V   R h 120 � � 120 V    R  240 � R  � �.50 1 h  50  cm   � � (đvtt)  ● Ở cách 1, suy và Do đó 60 2 R2  120 � R2  h  50  cm   ● Ở cách 2, suy thùng có và � �60 � � V1 V2  ��  � �.50 �  � � � V � Do đó (đvtt) Suy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích khối 1 dm3  trụ đó bằng và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu? 1 1  dm   dm   dm   dm  3 A  B 2 C 2 D  Lời giải Chọn B + Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bò hình trụ lần lượt là r , h (đơn vị dm) h r  � h   r (dm) + Theo đề ta có: + Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: S  2 r  2 rh nhỏ nhất 1  2 r   �2 2 r  3 2 r r r r + Ta có: 1 2 r  � r  r 2 (dm) Dấu "=" xảy khi: Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng: S  2 r  Câu B h = 2R A h = R C h = 3R Lời giải D h = 2R Chọn A Công thức tính thể tích V = pR h , suy h= V pR Hộp sữa kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: Stp = Sxq + Sday = 2pRh+ pR = Xét hàm Câu f ( R) = 2V + pR R 2V + p R R f ( R) 0;+�) ( , ta được ( 0;+�) đạt tại R = h Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục, cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 18 Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A 6p B 6p 39 C 3p 39 Lời giải D 12p Chọn D Diện tích SABCD = AB.BC = AB.3 = 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Suy AI = AB = 2 Bán kính hình trụ r = OA = OI + AI = Diện tích xung quanh hình trụ cho Câu Sxq = 2rl = 12p Trong tất cả các khối trụ có thể tích 330 , xác định bán kính của khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất A 165 p B 165 p C Lời giải 330 p D 330 p Chọn A 330 R 2p Diện tích toàn phần V = 330 � h = S = 2pRh+ 2pR = �33 330 660 660 2pR + 2pR = + 4pR = + 2pR + 2pR pR R R 660 2pR.2pR = 33 4.660 R Câu 660 165 = 2pR � R = p Diện tích đạt nhỏ nhất R Một sở sản xuất hai cái bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt là 1m;1.5m Chủ sở dự định làm cái bể nước mới hình trụ, chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể Bán kính của bể nước dự định làm gần với kết quả nào? A 1.6m B 2.5m C 1.8m D 2.1m Lời giải Chọn C Gọi r là bán kính bể dự định làm V = pr 2h = p( 12 +1.52 ) h � r = 1+1.52 �1.8( m) Câu Người ta thiết kế một thung hình trụ (như hình) có thể tích V cố định Biết giá vật liệu làm mặt đáy và nắp thùng bằng và đắt gấp lần so với giá làm mặt xung quanh Gọi chiều cao của h thùng là h và bán kính r Tỉ số r cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất A B C Lời giải D Chọn C Ta có V = pr 2h � h = V h V � = 2 pr r pr TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 Giá thành vật liệu làm thùng là � � 2V T = ( 2prh+ 6pr ) A = � + 6pr � A �33 6pV � � � � �r � V h = 6pr � = r Dấu bằng xãy r Câu 10 Một biệt thự có 10 cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng 4,2m Trong đó, cột trước đại sảnh có đường kính bằng 40cm, cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng 26cm Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cột đó Nếu giá của một loại sơn giả đá là 380.000 đồng / m (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất tiền để sơn 10 cột nhà đó (đơn vị đồng) ? A �15.844.000 B �13.627.000 C �16.459.000 D �14.647.000 Lời giải Chọn A Tổng diện tích cần sơn là Sxq = 4( 2pr1h) + 6( 2pr2h) = 4.2.2p( 4.0,2+ 6.0,13) = 41.6952( m2 ) Vậy số tiền người chủ cần trả sơn 10 cột nhà là 380000.41,6952 = 15845000 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 ... các kết luận sau A 4S1  3S B 3S1  S2 C 2S1  S D S1  3S Lời giải Chọn B S S1 2prl p2a.2a = xq = = = 2 S 2prl + 2pr p2a.2a+ 2pa � 3S1 = 2S2 Ta có S2 Câu Cho hình chữ nhật ABCD có AB... Tính diện tích xung quanh xq của thùng đó S = 12p S = 24 p S = 4p S = 18p A xq B xq C xq D xq Lời giải Chọn B 2 Ta có V   r h � 48p = p.r � r = Sxq = 2prl = 2. p.4.3 = 24 p  Mức độ Câu... r= 50 = 25 cm= 0 .25 m Lớp bê tông dầy 10cm nên phần bán kính bên là r1 = 15cm= 0.15m Thể tích phần bê tông là Câu V = ph( r - r 12 ) = 2p( 0 .25 2 - 0.1 52 ) = 0.08p( m2 ) 50  cm  ? ?24 0 