NW359 360 DẠNG 16 TÍNH TÍCH PHÂN dựa vào TÍNH CHẤT GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TỐN 16: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f b K hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx � a Trong trường b hợp a  b , ta gọi f ( x)dx � a  a; b tích phân f đoạn b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a F x để hiệu số F (b)  F ( a) Như Nếu   nguyên hàm b f ( x)dx  F ( x) � f  x b a  F (b)  F (a ) K a  Tính chất: Giả sử f , g liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khi ta có a 1) 2) 3) 4) f ( x )dx  � a ; b a a b f ( x )dx   � f ( x)dx � b c a b ; c f ( x) dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx � a b b b a a a f ( x)dx  � g ( x)dx  f ( x)  g ( x) dx  � � b b a a 5) � kf ( x) dx k � f ( x )dx ; với k �R f ( x)dx ( x)  f ( x) với x �K F ( x)  � Chú ý F � II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Nếu A B f  x  dx  � f  x  dx  2 � C 10 f  x  dx � D 7 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính giá trị tích phân dựa vào tính chất HƯỚNG GIẢI: B1: Nhận xét mối quan hệ tích phân cho tích phân cần tìm: hàm, cận B2: Áp dụng tính chất để tính Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn A 3 1 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    2   � Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu f  x  dx  � Biết A g  x  dx  � , B 4 � �f  x   g  x  � �dx � D 8 C Lời giải Chọn B Ta có: 2 1 f  x  dx  � g  x  dx    4 � �f  x   g  x  � �dx  � � Câu Biết tích phân A 7 f  x  dx  � g  x  dx  4 � Khi C 1 Lời giải B � �f  x   g  x  � �dx � D Chọn C Ta có Câu 1 0 � f  x  dx  � g  x  dx    4   1 �f  x   g  x  � �dx  � � f  x  dx  � Cho A 8 g  x  dx  � � dx �f  x   g  x  � � � , C 3 Lời giải B D 12 Chọn A Có 1 0 � dx  � f  x  dx  � g  x  dx �f  x   g  x  � � � Câu �f  x  dx  Cho 2 A I  �f  t  dt  4 , 2   2.5  8 Tính f  y  dy � B I  3 C I  Lời giải D I  5 Chọn D Ta có: �f  t  dt  2 �f  x  dx 2 Khi đó: 4 2 f  y  dy  � f  x  dx � 2 f  x  dx  � f  x  dx �f  x  dx  � �� f  x  dx  , 2 2 2 �f  x  dx  �f  x  dx  4   5 Vậy f  y  dy  5 � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Cho A f ( x) � 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ dx  1 ; f ( x) � dx  Tính f ( x) � dx C Lời giải B D Chọn C f ( x) � Ta có �f ( x) dx = f ( x) � dx + 3 dx �� f ( x) �f ( x) dx = dx � f ( x) dx = 5+ 1= f ( x) � Vậy dx = Câu f  x  dx  3 � Cho A 12 f  x  dx  � Khi B f  x  dx � D 12 C Lời giải Chọn C 3 1 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � Câu  3   f  x  dx  3� f  x  dx  � Cho A 1 Tích phân f  x  dx � B D C Lời giải Chọn B Có 3 1 1 1 f  x  dx  3; � f  x  dx  1;  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    � Câu Cho hàm số A f  x liên tục � B f  x  dx  10 � , C Lời giải f  x  dx  � 3 Tích phân D f  x  dx � Chọn D Theo tính chất tích phân, ta có: Suy ra: 4 0 3 4 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx �  10   f  x  dx  � Vậy Câu Cho hàm số f ( x) liên tục � thoả mãn 12 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � , , Tính 12 I� f  x  dx TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A I = 17 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B I = D I = C I =11 Lời giải Chọn D 12 12 1 I Ta có: f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � 12 4 � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx     10 Câu 10 Cho hàm số f  x 10 liên tục P� f  x  dx  � f  x  dx A P  10  0;10 thỏa mãn f  x  dx  � f  x  dx  � , Tính C P  Lời giải B P  D P  6 Chọn B 10 10 0 Ta có Suy  Mức độ f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � 10 10 6 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx    � Câu g f, Cho  1;3 hai hàm liên tục đoạn f  x  g  x � dx  � � � � A thoả: dx  10 � �f  x   3g  x  � � � , Tính B dx � �f  x   g  x  � � � C Lời giải D Chọn B dx  10 � �f  x   3g  x  � � � f  x  g  x � dx  � � � � � 3 1 f  x  dx  3� g  x  dx  10 �  1 � 3 3 1 2� f  x  dx  � g  x  dx   2 X � f  x  dx Y  � g  x  dx 1 Đặt , �X  3Y  10 �X  � � 1 2   X  Y  Y 2 � � � Từ ta có hệ phương trình: Do ta được: f  x  dx  � g  x  dx  � Vậy dx    � �f  x   g  x  � � � Câu Cho �f  x  dx    Tính I� � �f  x   2sin x � �dx  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A I   I  5 B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ D I    C I  Lời giải Chọn A Ta có:    0 I � � f  x  dx +2 � sin x dx �f  x   2sin x � �dx  �   � f  x  dx  cos x 02     1  Câu Cho �f  x  dx  1 I A g  x  dx  1 � 1 17 I B Tính I� x  f  x   3g  x  � � � �dx 1 C Lời giải I D I 11 Chọn A x2 I� x  f  x   3g  x  � � � �dx   Ta có: Câu Cho hai tích phân A 13 2 2 1 1  2� f  x  dx  � g  x  dx 1 2 �f  x  dx  g  x  dx  � I Tính C 11 Lời giải B 27 17  2.2   1 2  � �f  x   g  x   1� �dx � 2 D Chọn A I � �f  x   g  x   1� �dx  � 2  2 2 2 5 2 2 2 g  x  dx  � dx  �f  x  dx  � 5 2 2 2 g  x  dx  � dx �f  x  dx  � g  x  dx  � dx   4.3  x �f  x  dx  � 2   4.3   13 Câu 5 f  x   2x� � � �dx  � Cho A Khi B 3 f  x  dx � bằng: C Lời giải D 1 Chọn A 2 2 x2 � f x  x � dx  � f x dx  xdx  � f x dx  1       � � � � � � 1 1 2 1 � 4� f  x  dx  � � f  x  dx  Câu f ( x)dx  12 � Cho A I  Tính I � f (3x)dx B I  36 C I  Lời giải D I  Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có: I � f (3x)dx  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1 f (3x)d3x  � f (t )dt  12  � 30 30 Câu �f  x  dx  15 Cho biết A P  15 1 Tính giá trị B P  37 P� � dx �f   x   � � C P  27 Lời giải D P  19 Chọn D � dx =  dt Đặt t   x � dt  3dx Đổi cận: x  t  ; x  t  1 2 1 dt P� � dx  � f   x  dx + � 7dx  � f  t  7x  � f  t  dt  14 �f   x   � � 3 0  Ta có:  15  14  19 Câu f  x  dx  2020 � Cho A I  Tính tích phân B I  2020 I � � dx �f  x   f   x  � � C I  4040 Lời giải D I  1010 Chọn B Ta có 2 0 I � f  x  dx  � f   x  dx  H  K Tính K� f  x  dx Đặt t  x � dt  2dx ; đổi cận: x  � t  2; x  � t  Nên K � f  t  dt  1010 20 Tính H � f   x  dx , Đặt t   x � dt  2dx ; đổi cận: x  � t  4; x  � t  Nên Suy I  K  H  2020 H f  t  dt  1010 2� Câu Cho y  f  x  6;6 Biết hàm số chẵn, liên tục �f  x  dx  1 ; f  2 x  d x  � I Giá trị A I  �f  x  dx 1 B I  C I  14 Lời giải D I  11 Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y  f  x Ta có 3 1 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ f  2 x   f  x  hàm số chẵn, suy f  2 x  dx  � f  x  dx  � Khi đó: Xét tích phân: I1  � f  x  dx t  x � dt  2dx � Đặt dt  dx Đổi cận: x  � t  ; x  � t  6 1 I1  � f  t  dt  � f  t  dt  � � f  t  dt  � � f  x  dx 6 22 � 2 I Vậy Câu 10 Cho 6 1 1 f  x  dx    14 �f  x  dx  �f  x  dx  � f  x , g  x hai hàm số liên tục đoạn hàm số lẻ Biết f  x  dx  � A �f  x  dx  10 g  x  dx  � ; hàm số chẵn, g  x Mệnh đề sau sai? B C f  x 1 1  1;1 � dx  10 � �f  x   g  x  � � 1 � dx  10 � �f  x   g  x  � � 1 g  x  dx  14 � D Lời giải 1 Chọn D Vì f  x hàm số chẵn nên 1 1 f  x  dx  2.5  10 �f  x  dx  2� Vì g  x hàm số lẻ nên g  x  dx  � 1 � dx  10 � �f  x   g  x  � � � 1 � dx  10 � �f  x   g  x  � � 1  Mức độ Câu Cho hàm số y  f  x  1;3 liên tục đoạn thỏa mãn f  x  dx  � f  x  dx  � Tính A �f  x  dx 1 B C Lời giải D Chọn C Vì f  x Ta có: hàm chẵn nên 1 1 f  x  dx  2� f  x  dx  �f  x  dx  2� 3 1 1 f  x  dx  � f  x  dx    f  x  dx  � �f  x  dx  �f  x  dx  � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu � �f  x   x � �dx 6 � Biết A I  12 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � f  x  g  x � � �dx  10 � Tính C I  10 Lời giải B I  16 I � � f  x  +3g  x  � dx � � D I  14 Chọn D Ta có x2 � dx 6 � � f  x  dx  �f  x   x � � � 0 2 6� � f  x  dx  2 2 0 0 � f  x  g  x � dx  10 � � f  x  dx  � g  x  dx  10 � � g  x  dx  � f  x  dx  10  � � � I � � f  x  +3g  x  � dx  2.4  3.2  14 � � Vậy I  14 Câu 1;3 Cho f , g hai hàm số liên tục   thỏa mãn điều kiện f  x  g  x � dx=6 � � � � thời A Tính B +2 � dx=10 �f  x   3g  x  � � � đồng f   x  dx � g  x  1 dx � C Lời giải D Chọn B Ta có: 3 � dx=10 � � f  x  dx+3� g  x  dx=10 �f  x   g  x  � � � 1 3 1 f  x  g  x � dx=6 � � f  x  dx-� g  x  dx=6 � � � � Đặt 3 1 u� f  x  dx; v = � g  x  dx �3 f  x  dx=4 �� �1 � �3 u  3v  10 u4 � � � g x dx=2 �� � ��  u  v  v  � � �1 Ta hệ phương trình: f   x  dx � + Tính Đặt t   x � dt  dx; x  � t  3; x  � t  3 3 1 f   x  dx  � f  t   dt   � f  t  dt  � f  x  dx  � g  x  1 dx � + Tính Đặt z  x  � dz  2dx; x  � z  1; x  � z  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU g  x  1 dx  � 3 1 g  z  dz  � g  x  dx  � 21 21 +2 f   x  dx � g  x  1 dx = � Vậy 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Câu f  x Cho hàm số f  x  dx  � liên tục � thỏa f  3x  1 dx  � Tính I � f  x  dx A I  16 B I  18 C I  Lời giải D I  20 Chọn D A� f  x  dx  B  � f  x  1 dx  0 , đặt t  x  � dt  3dx x  �t 1 Đổi cận : x  � t  B Ta có: Vậy 7 f  t  dt  � � f  t  dt  18 � � f  x  dx =18 3� 1 7 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  20  Câu Cho hàm số f  2x �x Tính A f  x liên tục � thỏa mãn tan x f  cos x  dx  � e2 f  ln x  �x ln x e dx  dx B C Lời giải D Chọn D  *  f  cos x  I1  � tan x f  cos x  dx  � sin2xdx cos x Đặt cos x  t � sin xdx  dt Đổi cận x t 1 f  t � dt  f  t � I1   � dt t 21 t Khi  2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU f  ln x  e f  ln x  ln x I2  � dx  � dx x ln x e ln x x e e2 * 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Đặt ln x  t Đổi cận � ln x dx  dt x x e t 4 f  t f  t I  � d t � � dt  21 t t Khi f  2x  I � dx x � dx  dt * Tính Đặt 2x  t Đổi cận x t 4 f  t f  t f  t I  � dt  � dt  � dt    t t t 1 2 Khi e2 4  x  dx   Câu Cho hàm số f  4x �x phân f  x 16 f cot x f sin x d x    � � liên tục � thỏa mãn  x Tính tích dx A I  B I C I  Lời giải D I Chọn D  I1  � cot x f  sin x  dx    x  dx  f I  � 16 x , 2 + Đặt t  sin x � dt  2sin x.cos xdx  2sin x.cot xdx  2t.cot xdx Đặt   I1  � cot x f  sin x  dx  � f  t TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 4 8 f  4x f  4x 1 f  t d  4x   � dx dt  � dt  � 4x 21 x 2t 21 t Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Suy f  4x dx  I1  � x + Đặt t  x � 2tdt  dx f  4x  f  4x   2� d  x   2� dx f  t f  t I2  � dx  � 2tdt  � dt 4x x 1 x t 4 1 t f  4x 1 dx  I  � x 2 Suy 16 f   x 4 f  4x  f  4x  f  4x d x  d x  dx � � � x x x  2  1 2 Khi đó, ta có: Câu Biết A f  x  dx  � I f  x  dx  20 � 15 Tính B I  15 f  x  3 dx  � C Lời giải I ln �f  e  e 2x 2x dx D I  25 Chọn A Đặt t  x  � dt  4dx f  x  3 dx  � 5 � 1 1� 25 f t d t  f t d t  f t d t       � �   20   � � � 41 �1 4 � Đặt u  e � du  2e dx ln 2x 2x f e e d x  f  u  du    � � 21 2x Vậy I 2x 25 15   4 Câu Cho hàm số f  x   f  x  x �� liên tục � thỏa mãn , Biết f  x f  x  dx  � Tính tích phân A I  I � f  x  dx B I  C I  Lời giải D I  Chọn A 1 1  3.1  3.� f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  d  x  , x �� 20 0 Ta có: x  t � d  x   dt Đặt: , với x  � t  ; x  � t  TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 2 1 f  2x  d  2x   � f  t  dt  � f  x  dx , x �� � 20 20 20 � 3 � 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2 0 (do hàm số f  x liên tục �) f  x  dx  6, x �� � � f  x  dx  � f  x  dx  6, x �� � � 1 � f  x  dx  6, x �� �� f  x  dx  5, x ��  Câu Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn f (3 x) tan x f (cos x )d x  dx  � � x Tính tích f ( x2 ) dx � x phân A B C Lời giải D 10 Chọn C 3 +) Đặt t  x � t  x � 3t dt  dx Đổi cận x  � t  x  � t  2 f (t) f (3 x) f (t) f (t) dx  �3 3t dt  3� dt  � � dt  � t t t 1 Khi x +) Đặt t  cos x � dt  2 cos x sin xdx � dt  2 cos x tan xdx � tan xdx   Đổi cận: x  � t   Khi +) Đặt  �t  4 1 f (t) f (t) tan x f (cos x)dx   � dt  � � dt  12 � 21 t t t  x � dt  xdx � dt  x Đổi cận: x dt 2t x dx dx dt �  x x t 1 �t  x  � t  Khi 4 f ( x2 ) f (t) f (t) f (t)  12 dx  � dt  � dt  � dt  7 � x 21 t 21 t 21 t 2  Mức độ  Mức độ TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu y  f  x Cho hàm số � �f  x  � �dx  � 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A  0; 1 , thỏa mãn liên tục đoạn Giá trị tích phân B 1 0 f  x  dx  � xf  x  dx  � � �f  x  � �dx � C 10 D 80 Lời giải Chọn C 1 1 0 � � �  ax  b  dx �f  x    ax  b  � �dx  � �f  x  � �dx  2� �f  x   ax  b  � �dx  � � Xét 2 1   2a � xf  x  dx  2b � f  x  dx   ax  b     a  b   a  ab  b 3a 0 a    b  a  b  2b   Cần xác định a, b để   b  2 �0   b  4b    b  2b    � b  � a  6 3 Ta có: 2 � �f  x    6 x   � �dx  � Khi đó: � f  x   6x  1 �  x   dx   x    10 �f  x  � �dx  � � 24 0 Suy Câu Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn Biết A �f '  x  dx  10 f    10 f ' x 2 �f  x  dx  ln B f    20 Tính f  2 C Lời giải f  x  f    10 D x � 1, 2 f    20 Chọn B f '  x  dx  f  x  �  f    f  1  10 Ta có: (gt) 2 f ' x  f  2 dx  ln � f  x �  ln � f  2 �  ln � f  1 �  ln  ln � � � � � � � f  x f  1 1 Vậy ta có hệ: Câu Cho hàm số �f    f  1  10 � � �f    20 �� �f   �f  1  10 �f  �   f  x có đạo hàm liên tục đoạn �f � �  x � � dx  � f x �   � � � (gt)  4;8 f   �0 với x � 4;8 Biết f  4  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 , f  8  Tính f   Trang 13 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ B C D Lời giải Chọn D f�  x  dx  df  x      �  �     � � � �f   f   � �  f  x f  x f  x 4 � � +) Xét �f �  x   k �dx  � � � �f x � 4�   � k k +) Gọi số thực, ta tìm để 2 8 �f �  x �  x   k �dx  �  x  dx  k dx   4k  4k  2k  �f � �dx  2k f �   � � 2 � � � � �f x � f  x f  x � 4�   � 4 � � � Ta có: �f �  x   �dx  � f �  x  � f �  x  dx  dx � � � �f x � � k  f  x f  x 2� 4�   4 � Suy ra: df  x  1 1 � �2 1�  1�  1� 4  � f  6  f  x f  x f  4 f  6 f  6 Câu Cho hàm số đoạn y  f  x  0;5 có đạo hàm f�  x liên tục đoạn  0;5 đồ thị hàm số y f�  x cho hình bên y x O 5 Tìm mệnh đề A C f    f    f  3 f  3  f    f   B D f  3  f    f   f  3  f    f   Lời giải Chọn C Ta có f�  x  dx  f  5  f  3  � , f    f  3 f�  x  dx  f  3  f    � , f  3  f   , f  5  f   f�  x  dx  f  5  f    � Câu Biết f  x  dx  � hàm số f  x   a x  bx  c 13  a , b , c �� thỏa mãn f  x  dx   , � 2 f  x  dx  2, � Tính giá trị biểu thức P  a  b  c TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A P B P 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ C P D P Lời giải Chọn B d �a f  x  dx  � x � �3  b b �d a x  cx �  d  d  cd 2 �0 Ta có Do đó: �1 f  x  dx   �� �a b  c  �0 � � 2 � � a 1 � � f x d x   �   � �� � � a  2b  2c  2 � � b3 �0 � � �3 16 13 13 � �c   �� f  x  dx  9a  b  3c  P  a  b  c   � � �0 2 � � Vậy  Câu �2 �  �� � � dx 0; �f  x   2 f  x  sin �x  � � � � � f  x � � � Cho hàm số xác định � �thỏa mãn �  Tích phân  A f  x d x �  D C B Lời giải Chọn B    2 � � � � � 2� 2sin x  d x   cos x  d x    sin x  d x � � � � � � � � � 4� 2� � � � � 0 Ta có:  � �2  �x  cos x �    � �0   2 �2 � � � � � f x  2 f x sin x  d x  sin �x  � d x           � � � � � � 4 � � � � � 2 Do đó: �  �2 � � � � � �� x �  2sin �x  � dx0 �f  x   2 f  x  sin � � � 4� � 4� � �  2 � � � � �� �f  x   sin �x  � �d x  � � � � � � � � f  x   sin �x  � f  x   sin �x  � � � , hay � � Suy     �2 �  �   cos � x  f x d x  sin x  d x   � � 0 � � � � �0 4� � � 0 Bởi vậy: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu f  x Cho hai hàm số �f  1  g  1  � �  x ; �g  x    x f � g  x 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ có đạo hàm đoạn  1; 4 thỏa mãn hệ thức f  x    x.g �  x A 8ln I � � �f  x   g  x  � �dx Tính B 3ln C ln D ln Lời giải Chọn A f  x  g  x �  � � f  x  g  x   x � f x  g x �  � f � x  x  g�  x �   Ta có f  x  g  x �� dx   �dx � ln f  x   g  x    ln x  C f� x  x   g�  x Theo giả thiết ta có C  ln  ln f  1  g  1 � C  ln � �f  x   g  x   x � �f  x   g  x    f  x  g  x  f  g  �   nên x ,   x Suy � �I � � �f  x   g  x  � �dx  8ln Câu Cho hàm số y  f  x liên tục x  x  1 f �  x  f  x  x  x 25 A Giá trị �\  0;  1 thỏa mãn điều kiện f    a  b ln B f  1  2 ln 2 , với a, b �� Tính a  b C 13 D Lời giải Chọn B x  x  1 f �  x  f  x  x  x � Từ giả thiết, ta có x x f � f  x   x  x 1 x 1  x  1 � x �x � � � f  x  � x 1 � � x  , với x ��\  0;  1 x x x f  x   � dx f  x   x  ln x   C x 1 Suy x  hay x  x f  x   x  ln x   Mặt khác, ta có nên C  1 Do x  3 3 f     ln f     ln a b � x  2 2 Với Suy f  1  2 ln Vậy Câu a2  b2  Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f�  0  � 9f�  x  �  x  x� �f � �  Tính T  f  1  f   A T   ln B T  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C T  ln 2 D T   ln Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn C � � 9f�  x  �  x   x�  x   1   �  x   x� �f � � �  f � �f � � Ta có � � f�  x  1 �  x  x� �f � �  � f�  x   dx  dx x � �  C � �f '  x   x � f�  x  x � Lấy nguyên hàm hai vế � f�  0  Do nên C 9 f� � f� x  x  x   x  suy x 1 x 1 x2 � �9 � � ln x   T  f  1  f    �  x d x � �  ln  � � x 1 � � �0 0� Vậy f x 0;1 f x f �x Câu 10 Cho hàm số   có đạo hàm liên tục đoạn   ,     nhận giá trị dương 1 đoạn  0;1 � �f  x  � �dx � f  0  thỏa mãn , �f � x � f  x �  1�dx  �f �   x  f  x  dx � � � � � 0 Tính 15 A 15 B 17 C Lời giải 19 D Chọn D 1 �f � x � f  x �  1� dx  �f �   x  f  x  dx � � � � � 0 Theo giả thiết, ta có 1 �f � � �� dx  2�f �  x �  x  f  x  dx  �f  x  � � 1� � 0 1 2 �f� �f � x f x  1�dx  �� x � f  x � 2 f � dx  � �   x  f  x   1� � � �     � � � 0 � f�  x f  x 1  � f  x  f �  x  � Vậy f  x   3x  f  x f  0  � C   xC 3 Mà 1 �3 x � 19 � f x � d x  x  d x   x     � � � � � � � �0 0 Vậy I � dx  8ln � �f  x   g  x  � � TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 ...  x liên tục � B f  x  dx  10 � , C Lời giải f  x  dx  � 3 Tích phân D f  x  dx � Chọn D Theo tính chất tích phân, ta có: Suy ra: 4 0 3 4 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx... 2020 � Cho A I  Tính tích phân B I  2020 I � � dx �f  x   f   x  � � C I  4040 Lời giải D I  1010 Chọn B Ta có 2 0 I � f  x  dx  � f   x  dx  H  K Tính K� f  x  dx... dx  1 � 1 17 I B Tính I� x  f  x   3g  x  � � � �dx 1 C Lời giải I D I 11 Chọn A x2 I� x  f  x   3g  x  � � � �dx   Ta có: Câu Cho hai tích phân A 13 2 2 1 1 