NW359 360 DẠNG 23 TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY GV

DẠNG TỐN 23: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Khối nón: Được tạo thành xoay tam giác vng quanh cạnh góc vng g Diện tích xung quanh: S xq nón = π rl g 1 Vnón = Sđáy h = π r h 3 g Diện tích tồn phần: S = S xq + Sđáy = π rl + π r l = h2 + r g Thể tích khối nón: Mối liên hệ: Khối trụ: Được tạo thành quay hình chữ nhật xung quanh cạnh g g Diện tích xung quanh: S xq = 2π rh g Diện tích tồn phần: S = S xq + 2Sđáy = 2π rh + 2π r Vtru = Sđáy h = π r h Thể tích khối trụ: V = π R3 S = 4π R Khối cầu: Diện tích thể tích mặt cầu: II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Công thức tính thể tích h cao A V = π rh B V = πr h V khối nón có bán kính đáy V = π rh C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính thể tích khối nón biết bán kính đáy HƯỚNG GIẢI: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D r r chiều V = π r 2h chiều cao h Trang B1: Đọc kỹ u cầu tốn: Xác định cơng thức tính thể tích có bán kính đáy B2: Áp dụng cơng thức tính thể tích khối nón Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D r chiều cao h V = π r h Công thức thể tích khối nón: Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ h=3 r=2 Câu Cho khối nón có chiều cao bán kính đáy Thể tích khối nón cho 6π 12π 18π 4π A B C D Lời giải Chọn D Ta có: Câu 1 V = π r h = π 2.3 = 4π 3 Cho khối nón có bán kính đáy A 4π B r= 12π chiều cao h = Thể tích khối nón 16π C Lời giải D 16π Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Ta có: Câu V= π ( 3) = 4π Cho khối nón có bán kính V = 9π A r= B chiều cao V = 3π h=3 C Tính thể tích V =π V khối nón D V = 5π Lời giải Chọn D Thể tích Câu V khối nón : 1 V = π r h = π 5.3 = 5π 3 R, l Cho khối nón có bán kính đáy độ dài đường sinh Thể tích khối nón là: 1 2 π R 2l π R l − R2 π R2 l − R2 πR l 3 A B C D Lời giải Chọn C Chiều cao khối nón h = l − R2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Thể tích khối nón Câu 1 V = π R h = π R l − R 3 Tính thể tích khối nón có bán kính đáy A 12π ( cm ) B ( 15π cm ) cm độ dài đường sinh ( 36π cm C Lời giải ) cm D ( 45π cm ) Chọn A Chiều cao khối nón h = 52 − 32 = Vậy thể tích khối nón là: Câu 1 V = π r h = π 32.4 = 12π ( cm3 ) 3 Cho hình trụ có chiều cao A π Rh2 h B bán kính đáy π R2h R cơng thức thể tích khối trụ 1 π Rh π R2h 3 C D Lời giải Chọn B Ta có Câu V = π R2h V l R Thể tích khối trụ có bán kính đáy độ dài đường sinh tính theo cơng thức đây? 4 V = R 2l V = π R 2l V = π R 3l V = π R 2l 3 A B C D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Ta có Câu V = π R h = π R 2l Cho hình trụ có chiều cao bằng 18π 15π A B bán kính đáy Thể tích khối trụ cho 9π C Lời giải D 6π Chọn A V = π R h = π 32.2 = 18π Câu Thể tích khối trụ cho : R=2 Cho mặt cầu có bán kính Thể tích khối cầu 16 32π π 8π 3 A B C Lời giải Chọn A 4 32π V = π R = π 23 = 3 Thể tích khối cầu cho Câu 10 Mặt cầu có bán kính A π R3 R D 4π Thể tích khối cầu B 6π R 6π R C Lời giải D 8π R Chọn B Thể tích khối cầu có bán kính  Mức độ Câu R Cho hình nón có bán kính đáy V= A 8π cm3 ) ( V= B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( là: V= π R ) = 6π R (cm), góc đỉnh 8π cm ) ( 60o Thể tích khối nón V = 8π ( cm3 ) C Lời giải V= D 8π cm ) ( Trang Chọn D Ta có bán kính đáy r=2 h= , đường cao r tan 30o ⇒ h = 1 8π V = π r h = π 4.2 = cm3 ) ( 3 Câu Vậy thể tích khối nón Một hình nón có bán kính đường trịn đáy 40 cm, độ dài đường sinh 44 cm Thể tích V khối nón có giá trị gần với giá trị sau đây? 30700 92090 30679 92100 A cm3 B cm3 C cm3 D cm3 Lời giải Chọn A h = l − r = 44 − 402 = 336 Câu Ta có chiều cao khối nón cm V = π r h = π 402 336 ≈ 30712 3 Thể tích khối nón cm3 AB = 6cm, AC = 8cm ABC A Một tam giác vng có Cho tam giác (kể điểm bên AB nó) quay quanh cạnh ta khối nón tích V = 68π cm V = 128π cm V = 384π cm3 V = 204π cm3 A B C D Lời giải Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang r = 8cm Ta có khối nón có bán kính đáy 1 V = π r AB = π 82.6 = 128π cm3 3 Câu Cho tam giác AB A ABC vuông A , chiều cao AB = cm Nên thể tích AB = a BC = 2a ABC , Quay tam giác quanh trục ta khối nón tích π a3 B π a3 C Lời giải 2π a 3 D 4π a3 Chọn A Xét tam giác ABC vuông A , ta có: 2 AC = BC − AB = ( 2a ) − a = 3a ⇒ AC = a AB Thể tích hình nón quay trục : 1 V = π R h = π a a = π a R = AC = a h = AB = a 3 với V =πa Vậy (đvtt) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vng cân có ( Câu cạnh huyền V= πa A a ) Tính thể tích V= B πa V khối nón π a3 V= C Lời giải D π a3 V= Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2r = a ⇔ r = Khối nón có Câu a h=r 2a Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài Thể tích khối nón A π a3 B π a3 3 suy thể tích π a3 V = π r 2h = C Lời giải π a3 D π a3 12 Chọn B Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài dài đường sinh l = 2a r = l − h = 4a − 3a = a Bán kính đường trịn đáy 1 π a3 V = π r h = π a a = 3 Vậy Cắt hình nón S cạnh huyền A πa nên ta có độ Chiều cao hình nón chiều cao tam giác cạnh Câu 2a 2a h= nên 2a =a mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác vuông cân, a Thể tích khối nón bằng: B π a3 C Lời giải π a2 12 D π a3 12 Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Ta có: ∆SAB vuông cân S nên  a  r = AB =  2   h = AB = a  2 1 a  a  π a3 ⇒ V = hπ r = π  ÷ = 3  ÷ 12  Câu Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh 2π a 8π a 4π a A B C Lời giải Chọn A Chiều cao trụ Câu 2a 2a Khi thể tích khối trụ π a3 D V = π R h = 2π a a , bán kính trụ nên AB = 2a, AD = 4a M,N ABCD Cho hình chữ nhật có cạnh Gọi trung điểm AB, CD Quay hình chữ nhật trụ 4π a A B ABCD 16π a quanh trục MN C ta khối trụ trịn xoay Thể tích khối 8π a D 2π a Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang AB = 2a ⇒r=a đường kính đường tròn đáy 2 V = π r h = π a 4a = 4π a Thể tích khối trụ: AB = ( cm ) AD = ( cm ) ABCD Câu 10 Hình chữ nhật có , Thể tích khối trụ hình thành ABCD AB quay hình chữ nhật quanh đoạn Do ( 25π cm3 A ) ( 75π cm3 B ) ( 50π cm3 C Lời giải ) ( 45π cm3 D ) Chọn B h = AB = 3cm r = AD = 5cm Theo ta có: , Thể tích khối trụ: V = π r h = π 52.3 = 75π cm Câu 11 Một khối trụ có hai đáy hai hình trịn ngoại tiếp hai mặt hình lập phương cạnh a V Tính theo thể tích khối trụ A V = 2π a V= B π a3 V = π a3 C Lời giải V= D π a3 a Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 Theo hình vẽ: Câu AH = HD = r = AH = Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính , chiều cao CD = trừ thể tích hai khối nón (khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ) 2  V = π AH CD − π AH HD = π  − ÷ = π 3  Vậy Người ta đổ cống cát, đá, xi măng sắt thép hình vẽ bên Thể tích nguyên vật liệu cần dùng A 0, 32π B 0,16π C 0, 34π D 0, 4π Lời giải Chọn A Ta có: Câu 2 2 V = V1 − V2 = π R12l − π R22l = π l ( R1 − R2 ) = π ( 0,5 − 0,3 ) = 0,32π Cho tam giác ABC có · A = 120°, AB = AC = a tam giác) quanh đường thẳng A π a3 B AB π a3 Quay tam giác ABC (bao gồm điểm ta khối tròn xoay Thể tích khối trịn xoay C Lời giải π a3 D π a3 Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 ABC AB (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng ta V = V1 − V2 V1 , V2 khối trịn xoay tích với thể tích khối trịn xoay quay tam giác BCH ACH C HB H vuông tam giác quay xung quanh với ( hình chiếu vng góc AB lên ) Quay tam giác CH = Ta tính a a ; AH = 2 Khi đó, ta có: 1 1 a 3 π a3 V = π CH BH − π CH AH = π CH AB = π  a = ÷ 3 3  ÷  Câu A, B AA′B′B OO′ thiết diện song song với trục hình trụ ( thuộc đường tròn tâm AB = 4, AA′ = O V = 24π d O ) Cho biết thể tích hình trụ Khoảng cách từ Cho đến mặt phẳng d =1 A ( AA′B′B ) B d =2 C Lời giải d =3 D d =4 Chọn B Gọi I hình chiếu O lên mặt phẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA AA′B′B Trang 17 Ta có: AB = 4, AA′ = Thể tích khối trụ: Ta có: V = π r h = π r = 24π ⇔ r = 2 OA = IA + IO 2 Vậy khoảng cách d O ( 2) − 2 =2 ( ABB′A′) đến mặt phẳng R=a Câu 10 Cho hình trụ có bán kính đáy , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có 8a diện tích 6π a 3π a A , từ ⇔ OI = OA2 − IA2 = Diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ 8π a 4π a 6π a 6π a 16π a 16π a B , C , D , Lời giải Chọn B Hình vẽ thiết diện: Theo giả thiết hình trụ có bán kính đáy R=a 8a suy IB = R = a h = BC = Vì mặt phẳng qua trục cắt 8a = 4a 2a hình trụ theo thiết diện có diện tích nên Vậy diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ là: S xq = 2π Rh = 8π a V = π R h = 4π a , Câu 11 Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước × × 6cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Không xếp Lời giải Chọn B × Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên 30 × 12 = 360 Số phấn đựng 12 hộp là: viên Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 Câu Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA V phễu bao nhiêu? Trang 19 r l h O TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 V= A 16000 V= lít B 16 2π Chọn B 60 cm = 6dm Đổi Đường sinh hình nón tạo thành V= lít C Lời giải l = dm C = 2π R = 16π 16000 2π V= lít D 160 2π lít Chu vi đường trịn ban đầu r Gọi bán kính đường trịn đáy hình nón tạo thành 2π 4π 2π r = = 4π dm ⇒ r = = dm 2π Chu vi đường tròn đáy hình nón tạo thành h = l − r = − 22 = Câu Đường cao khối nón tạo thành 1 16 2π 16 2π V = π r h = π 22.4 = dm = 3 3 Thể tích phễu lít ( P) cm O O x Cho khối cầu tâm bán kính Mặt phẳng cách khoảng cắt khối cầu theo hình trịn ( C) Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy hình trịn thể tích lớn nhất, giá trị A cm B x ( C) Biết khối nón có 3cm C Lời giải cm D cm Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 Bán kính đáy khối nón r = 36 − x h = x+6 Chiều cao khối nón Thể tích khối nón 1 V = π r h = π 36 − x 3 12 − x = x + ⇔ x = ( cm ) Cho hình hình nón Cho điểm H A 4π a 81 ( N) ( C) có đáy hình trịn tâm SO 2π a 81 O Một mặt phẳng Khối nón có đỉnh B = 256π thay đổi đoạn nón theo đường trịn bao nhiêu? ) ( x + ) = 16 π ( 12 − x ) ( x + ) ( x + ) ≤ 16 π 24 27 ( Câu O Đường kính ( P) 2a vng góc với đáy đường tròn C Lời giải 8π a 81 đường cao SO ( C) D H SO = a cắt hình tích lớn 7π a 81 Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 ( C) AB = 2a, SO = a ∆SAB tâm đường trịn Do nên vng S SH = x ( ≤ x ≤ a ) ⇒ HO = a − x Đặt Thể tích khối nón đỉnh O là: Gọi H V = π x2 ( a − x ) Vậy GTLN Câu V ( x + x + 2a − x ) 4π a π x.x ( 2a − x ) ≤ π = 6 27 81 = 4π a 81 Một ly dạng hình nón ( hình vẽ với chiều cao ly h ) Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly Hỏi bịt kín miệng ly úp ngược ly lại tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước bao nhiêu? A − 63 B 63 C Lời giải − 63 D Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 Giả sử ly có chiều cao h V = π hr r đáy đường trịn có bán kính , nên tích Khối nước ly có chiều cao chiều cao ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao h bán kính đáy h r 1  π  ÷ =  π hr ÷ = V 4 64   64 r thể tích nước 63 V− V= V 64 64 Do thể tích khoảng khơng x h' r.h ' = ⇒x= r h h Nên úp ngược ly lại ta có tỉ lệ : Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng: ⇒ 1  r.h '   h'  h'  h '.π x = h '.π  ÷ = π hr  ÷ =  ÷ V 3  h  h h 3 63 h' 63 63 63  h'   h '  63 V = ÷V ⇒ ÷ = ⇒ =3 = ⇒ h' = h 64 h 64 4 h  h  64 h − h' = h − Nên chiều cao mực nước bằng: 63 − 63 h= h 4 − 63 Câu Vậy tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước ( S) h I R Một khối cầu có tâm bán kính khơng đổi Một khối trụ có chiều cao bán kính h r R đáy thay đổi nội tiếp khối cầu Tính chiều cao theo để thể tích khối trụ lớn A h = 2R h= B 3R h= C Lời giải 2R h= D 3R Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 h2 r =R − Ta có: Thể tích hình trụ là: π f ( h ) = π R 2h − h3 Đặt f ′ ( h ) = π R2 − π h2 ( < h < R ) Ta có bảng biến thiên:  h2  V = π r 2h = π h  R2 − ÷ 4  4π R 3 Câu h= 3R Ta thấy thể tích khối trụ đạt giá trị lớn Thiết diện hình trụ tạo mặt phẳng qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 cm Giá trị lớn thể tích khối trụ 64π cm3 16π cm3 8π cm3 32π cm3 A B C D Lời giải Chọn C 3  x+ y+ y  x + 2y  6 V = π y x = π x y y ≤ π  ÷ =π  ÷ = π  ÷ = 8π     3 Thể tích khối trụ: Dấu “=” xảy x= y=2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 25 Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ Câu AB = R Cho mặt cầu đường kính cắt mặt cầu theo đường tròn ( C) A ( C) V = 8π cm3 Mặt phẳng Tính h = AI ( P) vng góc theo R AB I để hình nón đỉnh ( I A thuộc đoạn AB ), , đáy hình trịn tích lớn nhất? h=R h= B R h= C 4R h= D 2R Lời giải Chọn C Gọi O ( C) AB M trung điểm , điểm đường trịn IM = OM − OI = R − ( h − R ) = Rh − h 2 Ta có 1 V = AI S( C ) = h.π ( Rh − h ) 3 Thể tích hình nón: π f ( h ) = ( Rh − h3 ) D = [ 0; R ] R Đặt ( tham số) Tập xác định π 4R f ' ( h ) = ( Rh − 3h ) f ' ( h ) = ⇔ h = 3 ;  R  32π 4R f R h= ÷= f ( 0) = f ( 2R ) = f h ( )   81 ; ; Vậy hàm số đạt giá trị lớn 4R h= Hay thể tích khối nón lớn đạt TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 26 Câu Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho Tính chiều cao x khối nón 0< x