NW359 360 DẠNG 24 TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH HÌNH TRỤ GV 2

DẠNG TỐN 24: DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH TRỤ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: mp ( P ) mp ( P ) l r ∆ Trong cho hai đường thẳng và song song nhau, cách một khoảng Khi quay l ∆ quanh trục cố định thì đường thẳng sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ ∆  Đường thẳng được gọi là trục l  Đường thẳng được gọi là đường sinh r  Khoảng cách được gọi là bán kính của mặt trụ Hình trụ tròn xoay ABCD AB Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh thì đường ABCD gấp khúc tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ AB  Đường thẳng được gọi là trục CD  Đoạn thẳng được gọi là độ dài đường sinh AB = CD = h  Độ dài đoạn thẳng được gọi là chiều cao của hình trụ r = BC A r = AD B  Hình tròn tâm , bán kính và hình tròn tâm , bán kính được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ h r Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng , đó: S xq = 2π rh  Diện tích xung quanh của hình trụ: Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r  Diện tích toàn phần của hình trụ: V = B.h = π r h  Thể tích khối trụ: II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ  Tính diện tích toàn phần  Tính thể tích  Tính bán kính đường tròn đáy, tính chiều cao, đường sinh BÀI TẬP MẪU TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang r = cm (ĐỀ THAM KHẢO-BDG 2020-2021) Một hình trụ có bán kính đáy và độ dài đường sinh l = 3cm Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng 12π cm2 48π cm2 24π cm2 36π cm2 A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây là dạng toán tính diện tích xung quanh hình trụ HƯỚNG GIẢI: Sxq = 2prl Áp dụng công thức diện tích xung quanh Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C S = 2π rh = 2π 4.3 = 24π cm2 Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hình trụ (T) có chiều cao tích xung quanh của S xq = π rh A (T) h l , độ dài đường sinh , bán kính đáy Công thức nào sau là đúng? S xq = 2π rl S xq = 2π r h B C Lời giải r Ký hiệu D S xq = π rl S xq là diện Chọn B S xq = 2π rl Câu Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng Stp (T) h l r Cho hình trụ có chiều cao , độ dài đường sinh , bán kính đáy Ký hiệu là diện tích toàn phần của Stp = π rl A (T) Công thức nào sau là đúng? Stp = π rl + 2π r Stp = π rl + π r B C Lời giải D Stp = 2π rl + 2π r Chọn D Stp = 2π rl + 2π r Câu Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng V( T ) (T) h l r Cho hình trụ có chiều cao , độ dài đường sinh , bán kính đáy Ký hiệu là thể tích khối trụ A (T) Công thức nào sau là đúng? V( T ) = π rh B V( T ) = π r h V( N ) = π rl C Lời giải D V( N ) = 2π r h Chọn B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang V( T ) = π r h Theo công thức diện tích xung quanh hình trụ bằng r = ( cm ) h = ( cm ) Câu Một hình trụ có bán kính đáy , chiều cao Diện tích xung quanh của hình trụ này là: 70 35 π cm π cm 35π ( cm ) 70π ( cm ) 3 A B C D Lời giải Chọn B ( Ta có: Câu Câu S xq = 2π rh = 2π 5.7 = 70π ( cm ) ) ( ) l = 2a r=a Một hình trụ có bán kính đáy , đồ dài đường sinh Diện tích toàn phần của hình trụ này là: 6π a 2π a 4π a 5π a A B C D Lời giải Chọn A Stp = 2π rl + 2π r = 6pa2 Ta có Tính thể tích A V của khối trụ có bán kính đáy V = 128p B V = 64 2p r =4 và chiều cao V = 32p C Lời giải h = D V = 32 2p Chọn B Ta có Câu V = pr 2h = 64p 50p Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng và độ dài đường sinh bằng đường kính của r đường tròn đáy Tính bán kính của đường tròn đáy ? r= A 2p × B r = p C Lời giải r = r= D × Chọn D Ta có Câu Sxq = 2prl = pl Þ l= Tính diện tích xung quanh A Sxq = pR B Sxq Sxq p =5 Þ r = 2 của hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng Sxq = pR Sxq = 4pR C Lời giải D R Sxq = 2pR Chọn D Sxq = 2prl = 2pR Ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng quanh Tính diện tích xung Sxq Sxq A 2cm của hình nón đó 8p = cm Sxq = 4pcm2 B Sxq = 2pcm2 C Lời giải D Sxq = 8pcm2 Chọn D Sxq = 2prl = 2pr = 8pcm2 Ta có r = 50cm Câu 10 Một hình trụ có bán kính đáy bằng quanh A C Sxq và có chiều cao h = 50cm Tính diện tích xung của hình trụ đó Sxq = 2500p(cm2) B Sxq = 2500(cm2) Sxq = 5000p(cm2) Sxq = 5000(cm2) D Lời giải Chọn B Sxq = 2prl = 2p50.50 = 5000pcm2 Ta có  Mức độ AB = ( cm ) AD = ( cm ) ABCD Câu Hình chữ nhật có , Thể tích khối trụ hình thành được ABCD AB quay hình chữ nhật quanh đoạn bằng: ( 25π cm3 A ) ( 75π cm3 B ) ( 50π cm3 C Lời giải ) ( 45π cm3 D ) Chọn B Sxq = 2prl = 2p3.5 = 30p( cm ) Ta có Câu Một hình trụ Chiều cao của ( cm ) A (T) (T) có diện tích toàn phần là 120π ( cm ) và có bán kính đáy bằng ( cm ) là: B ( cm ) C Lời giải ( cm ) D ( cm ) Chọn B Stp = 2prh+ 2pr Û 120p = 2p6.h+ 2p62 Þ h = 4( cm) Ta có TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang Câu Một khối trụ (T) đường sinh của 12 ( cm ) A có thể tích bằng (T) 81π ( cm3 ) và có đường sinh gấp ba lấn bán kính đáy Độ dài là: B ( cm ) ( cm ) C Lời giải D ( cm ) Chọn B Ta có Câu ỉư l÷ ç Û 81 p = p ÷ ç ÷ l ị l = 9( cm) ỗ ố3ứ V = pr l Một hình trụ có diện tích đáy bằng xung quanh hình trụ đó bằng: 4( m) 3( m) B A 4π ( m ) Khoảng cách giữa trục và đường sinh của mặt C 2( m) D 1( m ) Lời giải Câu Chọn B Khoảng cách giữa trục và đường sinh chính là bán kính của hình trụ Sd = pr Û 4p = pr Þ r = 2( cm) Ta có ( cm ) M,N ABCD CD AB Cho hình vuông cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của và Quay ABCD MN hình vuông xung quanh Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là: A 64π ( cm ) B 32π ( cm ) 96π ( cm ) C Lời giải D 126π ( cm ) Chọn A ABCD MN Quay hình vuông xung quanh ta được hình trụ hình vẽ AB r= = 4; h = AD = ⇒ S xq = Cd h = 2π rh = 64π cm 2 Khi đó 2a, 2a2 V Khối lăng trụ có chiều cao bằng diện tích đáy bằng Tính thể tích của khối lăng trụ ( Câu A V = 4a B V = a3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA V = a2 C Lời giải ) D V = a3 Trang Câu Chọn B V = Sd h = 2a2.2a = 4a3 Ta có (T ) R 8pR V Cho khối trụ có bán kính đáy bằng và diện tích toàn phần bằng Tính thể tích (T ) của khối trụ A V = 6pR B V = 3pR V = 4pR C Lời giải B V = 8pR Chọn B Stp = 2π rl + 2π r ⇔ 8π R = 2π Rl + 2π R ⇒ l = 3R Ta có V = π r 2l = π R 3R = 3π R Câu Câu 18p Sxq 8p Sxq Cho hình trụ có bán kính đáy bằng và thể tích bằng Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 18p Sxq = 36p Sxq = 12p Sxq = 6p A B C D Lời giải Chọn C V = π r h Û 18p = p.32.l Þ l = Ta có Sxq = 2prl = 2.p.3.2 = 12p (T ) Cho khối trụ (T ) hình trụ Sxq = 32p A có chiều cao bằng B và thể tích bằng Sxq = 8p Tính diện tích xung quanh Sxq = 16p C Lời giải D của của Sxq = 4p Chọn B V = π r h Û 8p = p.r 2.2 Þ r = Ta có Sxq = 2prl = 2.p.2.2 = 8p 48p, Sxq Câu 10 Một thùng hình trụ có thể tích là chiều cao là Tính diện tích xung quanh đó Sxq = 12p Sxq = 24p Sxq = 4p Sxq = 18p A B C D Lời giải Chọn B V = π r h Û 48p = p.r 2.3 Þ r = Ta có Sxq = 2prl = 2.p.4.3 = 24p TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA của thùng Trang  Mức độ Câu Câu Câu Một hình trụ có tỉ số giữa diện tích toàn phần và diện tích xung quanh bằng Khẳng định nào sau là đúng ? A Đường sinh bằng bán kính đáy B Bán kính đáy bằng lần đường sinh C Đường sinh bằng lần bán kính đáy D Bán kính đáy bằng lần đường sinh Lời giải Chọn B Sxq 2prl = = Stp 2prl + 2pr Þ 6prl = 2pr Þ r = 3l S1 S2 2a Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh Gọi và lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ Chọn kết luận các kết luận sau 4S1 = 3S 3S1 = S2 2S1 = S 2 S1 = 3S A B C D Lời giải Chọn B S S1 2prl p2a.2a = xq = = = 2 S S2 2prl + 2pr p2a.2a+ 2pa Þ 3S1 = 2S2 Ta có ABCD AB = a BDC = 300 Cho hình chữ nhật có và góc Quay hình chữ nhật này xung quanh AD cạnh Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là: π a2 2 3π a 3π a π a2 A B C D Lời giải Chọn C Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ hình vẽ Ta có: r = AB = a; h = BC = CD tan 300 Câu Suy a 2π a h= ⇒ S xq = 2π rh = 3 2a a ( là độ dài có sẵn) Người ta cuốn 2a tấm nhôm đó thành một hình trụ Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng thì thể tích của nó bằng: Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a và Trang A a3 π B π a3 C Lời giải a3 2π D 2π a Chọn A Gọi bán kính đáy là R Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a 2π R = 2a ⇔ R = nên ta có a π Suy hình trụ này có đường cao Câu h = a a Vậy thê tích khối trụ a3 a V = π R2h = π  ÷ a = π π  (đvtt) Một hình tứ diện đều ABCD cạnh Xét hình trụ có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng: A π a2 3 B π a2 2 C Lời giải π a2 D π a2 Chọn C Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm h = DO = DA2 − AO = Chiều cao tứ diện Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ⇒ S xq = 2π Rh = Câu πa ABC a R= : BC AM a = Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn R Nếu hộp sữa kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy và đường h cao bằng: A h=R B h = 2R TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C Lời giải h = 3R D h = 2R Trang Chọn A h= V π R2 V =πR h Công thức tính thể tích , suy Hộp sữa kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: 2V Stp = S xq + Sday = 2π Rh + π R = + π R2 R f ( R) = Câu Thể tích ống nghiệm Câu ( 0; +∞ ) f ( R ) R = h , ta được đạt tại 4π Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng và có chiều cao bằng đường kính đáy Thể tích khối trụ tương ứng bằng: 2π 3π 4π π A B C D Lời giải Chọn A h = 2R chiều cao bằng đường kính đáy nên h = S xq = 4π − 2π Rh = π h ⇒  ⇒ V = π R h = 2π R =  Ta có: R = cm h = 10 cm Ống nghiệm hình trụ có bán kính đáy là và chiều cao chứa được lượng máu tối đa bằng (làm tròn đến một chữ số thập phân) 31,4 cc 10,5 cc 10 cc 20 cc A B C D Lời giải Chọn C Xét hàm Câu 2V + π R2 R ( 0; +∞ ) V = pr 2h = 10p( cm3) = 31.4cc Một khối trụ có thể tích bằng 16p Nếu chiều cao của khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên R 16p bán kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng Tính bán kính đáy của khối trụ ban đầu R = R = R = R = A B C D Lời giải Chọn C Thể tích V = pr 2h Û 16p = pr 2h Û 16 = r 2h Khối trụ mới (1) ¢ ¢¢ Sxq = 2pr h = 2pr.2h = 16p Þ rh = Từ (1); (2) ta có r =4 Câu 10 Cho hình trụ có đường cao bằng 3a, (2) 8a Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông Tính diện tích xung quanh TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Sxq của hình trụ Trang A Sxq = 80pa2 B Sxq = 60pa2 Sxq = 40pa2 C Lời giải D Sxq = 20pa2 Chọn A ABCD Theo giả thuyết tứ giác là hình vuông Sxq = 2prh = 2.p5a.8a = 80pa r = OB = OI + IB2 = 9a2 +16a2 = 5a  Mức độ Câu 5cm, Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Bán kính của đường tròn đáy là chiều dài 23cm 15 lăn là hình vẽ bên dưới Sau lăn trọn vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một S diện diện tích bằng ? A 5cm S = 1725p cm2 B C D S = 3450p cm S = 1725p cm2 S = 862,5p cm2 Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của lăn Khi lăn Câu 15 Sxq = 2prl = 2p.5.23 = 230p S = 15.Sxq = 3450p( cm ) vòng Diện tích 2m, 10cm, Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao độ dày của thành ống là 50cm đường kính của ống là (như hình vẽ) Tính lượng bê tông cần phải đổ ống thoát nước đó ? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 A B C D 0,08pm3 0,18pm3 0,5pm3 0.045pm3 Lời giải Chọn A Bán kính ống là r= 50 = 25cm= 0.25m Lớp bê tông dầy 10cm bên là nên phần bán kính r1 = 15cm= 0.15m V = ph( r - r12 ) = 2p( 0.252 - 0.152 ) = 0.08p( m2 ) Thể tích phần bê tông là Câu Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm 50 ( cm ) × 240 ( cm ) , người ta làm các thùng đựng , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây): ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng ● Cách Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, gò tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách và thùng gò được theo cách Khi đó tỉ số A B V1 V2 V2 là thể tích của bằng: C Lời giải D Chọn C Công thức thể tích khối trụ V = π R2h TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 ● Ở cách 1, suy h = 50 ( cm ) và 120 2π R1 = 240 ⇔ R1 = π Do đó 2π R2 = 120 ⇔ R2 = h = 50 ( cm ) Câu  120  V1 = π  ÷ 50  π  (đvtt) 60 π ● Ở cách 2, suy thùng có và   60   V1 V2 = ì ữ 50 = V2   π   Do đó (đvtt) Suy Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất Muốn thể tích khối 1( dm ) trụ đó bằng và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu? 1 1 ( dm ) ( dm ) ( dm ) ( dm ) 3 π 2π 2π π A B C D Lời giải Chọn B r, h + Đặt bán kính đáy, chiều cao của lon sữa bò hình trụ lần lượt là (đơn vị dm) hπ r = ⇔ h = πr + Theo đề ta có: (dm) + Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi: S = 2π r + + Ta có: 1 = 2π r + + ≥ 2π r = 3 2π r r r r 2π r = Dấu "=" xảy khi: Câu S = 2π r + 2π rh 1 ⇔r= r 2π Một hộp sữa hình trụ có thể tích V nhỏ nhất (dm) (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn Nếu hộp sữa kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy cao A h R và đường bằng: h= R B h = 2R h = 3R C Lời giải D h = 2R Chọn A V = pR 2h h= V pR Công thức tính thể tích , suy Hộp sữa kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là: Stp = Sxq + Sday = 2pRh+ pR = f ( R) = Xét hàm 2V + pR R 2V + p R R f ( R) ( 0;+¥ ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , ta được ( 0;+¥ ) đạt tại R = h Trang 12 Câu 3 Cho hình trụ có chiều cao Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục, cách trục một 18 khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A 6p B 6p 39 C Lời giải 3p 39 D 12p Chọn D Diện tích SABCD = AB.BC = AB.3 = 18 AI = Suy AB = Bán kính hình trụ r = OA = OI + AI = Diện tích xung quanh hình trụ cho Câu Sxq = 2rl = 12p Trong tất cả các khối trụ có thể tích phần nhỏ nhất A 165 p B 165 p 330 , xác định bán kính của khối trụ có diện tích toàn C Lời giải 330 p D 330 p Chọn A V = 330 Þ h = 330 R 2p Diện tích toàn phần S = 2pRh+ 2pR = ³ 33 330 660 660 2pR + 2pR = + 4pR = + 2pR + 2pR pR R R 660 2pR.2pR = 33 4.660 R2 660 165 = 2pR Þ R = R p Câu Diện tích đạt nhỏ nhất Một sở sản xuất hai cái bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt là 1m;1.5m Chủ sở dự định làm cái bể nước mới hình trụ, chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể Bán kính của bể nước dự định làm gần với kết quả nào? TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 A 1.6m B 2.5m C Lời giải 1.8m D 2.1m Chọn C r Gọi là bán kính bể dự định làm V = pr 2h = p( 12 +1.52 ) h Þ r = 1+1.52 » 1.8( m) Câu V Người ta thiết kế một thung hình trụ (như hình) có thể tích cố định Biết giá vật liệu làm mặt đáy và nắp thùng bằng và đắt gấp lần so với giá làm mặt xung quanh Gọi chiều cao của thùng là A h và bán kính r Tỉ số B h r cho chi phí sản xuất là nhỏ nhất C Lời giải D Chọn C V = pr 2h Þ h = V h V Þ = 2 pr r pr Ta có Giá thành vật liệu làm thùng là æ ö 2V T = ( 2prh+ 6pr ) A = ỗ + 6pr ữ A 33 6pV ữ ỗ ữ ỗ ốr ứ Dõu bng xóy V h = 6pr Þ = r r 4,2m cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng Trong 40cm, đó, cột trước đại sảnh có đường kính bằng cột còn lại bên thân nhà có 26cm 10 đường kính bằng Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn cột đó Nếu giá của một Câu 10 Một biệt thự có loại sơn giả đá là 10 380.000 đồng / m2 (kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao 10 nhiêu tiền để sơn cột nhà đó (đơn vị đồng) ? » 13.627.000 » 15.844.000 » 16.459.000 A B C Lời giải Chọn A D » 14.647.000 Sxq = 4( 2pr1h) + 6( 2pr2h) = 4.2.2p( 4.0,2 + 6.0,13) = 41.6952( m2 ) Tổng diện tích cần sơn là TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 Vậy số tiền người chủ cần trả sơn 10 cột nhà là TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 380000.41,6952 = 15845000 Trang 15 ... luận các kết luận sau 4S1 = 3S 3S1 = S2 2S1 = S 2 S1 = 3S A B C D Lời giải Chọn B S S1 2prl p2a.2a = xq = = = 2 S S2 2prl + 2pr p2a.2a+ 2pa Þ 3S1 = 2S2 Ta có ABCD AB = a BDC = 300 Cho hình... KHẢO-BDG 20 20 -20 21) Một hình trụ có bán kính đáy và độ dài đường sinh l = 3cm Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng 12? ? cm2 48π cm2 24 ? ? cm2 36π cm2 A B C D Phân tích hướng... tích bằng ? A 5cm S = 1 725 p cm2 B C D S = 3450p cm S = 1 725 p cm2 S = 8 62, 5p cm2 Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của lăn Khi lăn Câu 15 Sxq = 2prl = 2p.5 .23 = 23 0p S = 15.Sxq = 3450p(