SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Người thực hiện: Nguyễn Hữu
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Nam
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán học
THANH HÓA, NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
1 Mở đầu 1
1.1 Lí do chọn đề tài……… ……… …… …1
1.2 Mục đích nghiên cứu………… ……… 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu………….……… 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2
2 Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay 3 2.3.1 Lý thuyết cơ bản 3 2.3.2 Lập ma trận chuyên đề 4 2.3.3 Các dạng toán theo ma trận……….5
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 18
3 Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị……… ……… 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
Trang 31 Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
Vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăngtrụ, khối chóp, …gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thứctính thể tích Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơngiản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,trừu tượng hoá
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ởchương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em họcsinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay Khihọc vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máymóc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bịnhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ
để “chia nhỏ” thể tích mới tính được
TRONG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY” nhằm giúp cho học sinh lớp
12 rèn kỹ năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắcphục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính thể tích của vật thể trònxoay Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về thể tích mà học sinh đã học
ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trongchương các lớp học, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đềứng dụng của tích phân Tài liệu này cũng phân loại các dạng toán theo các mức
độ thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất.Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyệnthi và ôn tập thi THPT Quốc gia
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trườngTHPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khaithác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tíchphân trong tính thể tích khối tròn xoay theo các cấp độ kiến thức khác nhau
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh cácdạng toán của ứng dụng tích phân trong hình học theo các cấp độ thông hiểu,vận dụng, vận dụng cao Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồngnghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương phápgiải các bài toán của ứng dụng tích phân trong hình học
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Ứng dụng của tích phân trong hình học Nội dung nằm ở chương 3 sách giáokhoa Giải tích 12
Trang 4Lập ma trận các dạng toán tính thể tích của khối tròn xoay theo các cấp độkiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy vàhoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúpcho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toántính thể tích của khối tròn xoay
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ởchương trình toán Giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúphọc sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính thể tích của vậtthể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia
Trang 5Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hìnhphẳng (hay vật thể tròn xoay) Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so vớikhi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây Học sinh không tận dụngđược kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đềnày
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính thể tích vật tròn xoay một cách máymóc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xétdấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừthể tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải
2.3 Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay.
Ox tại điểmx a x b cắt C theo một thiết
diện có diện tích S x Giả sử S x là hàm liên
tục trên
a; b Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn
bởi hai mp P và Q được tính theo công
b
a
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay
miền D được giới hạn bởi các đường
Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành
Trang 6c) Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các
đường y f x ,y g x , x a, x b
(Với f x g x 0 x a; b ) thì thể
tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D
quanh trục Ox được tính bởi công thức:
hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao ỨNG
Trang 7tính thể tích khối tròn xoay
14Bài toán cực trị liên quan
Câu 1. Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y x 2 2x , y0, x0, x1 quanh trục hoành cógiá trị bằng
Lời giải Chọn A
Trang 8A
2
78
274
234
2
38
Lời giải Chọn A
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành Ox là
hoành, hai đường thẳng x1, x2 Thể tích của vật thể tròn xoay tạothành khi cho hình H quay xung quanh trục Ox bằng
ln3
Lời giải Chọn D
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi H quay xung quanh trục Ox là
2 2
15
Câu 4. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x 4 1 và trục
hoành Thể tích vật thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành là:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x 4 1 và trục hoành là
Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay khi quay H quanh trục hoành là:
Trang 9
1
2 4
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoànhbằng
2
2
1 0
3 2
1 0 2
Trang 102 1
12ln
Câu 6. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường y x 2 1, y x 31 quanh trục Ox
Trang 11Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng tạo bởi các đường y f x , trục hoành
x , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x 1 x 3 thì được thiết diện là một hình
biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trụcOx
Trang 12Diện tích tam giác đều 3 2 cos 2 2
Câu 10.Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với
trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm, chiều cao thùng rượu là
1 m Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu
là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là baonhiêu ?
A 425162lít B 212581lít C 212, 6lít D 425,2lít
Lời giải Chọn D
Đơn vị tính là dm Gọi P x ay: 2 by c quaA4;0 , B3;5 , C3; 5 .
2 5
1
4 dy 425,225
Câu 11. Một hình cầu có bán kính 6dm, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt
phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xungquanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ) Tính thể tích V màchiếc lu chứa được, biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu 4dm
Trang 13tâm O bán kính bằng 6 Mặt khác ta tạo hình phẳng H giới hạn bởi nửa phần
trên trục hoành của C , trục Ox và các đường thẳng x4,x4; sau đó quay
H quanh trục Ox ta được khối tròn xoay chính là chiếc lu trong đề bài
Ta có x2 y2 36 y 36 x2 nửa phần trên trục hoành của C là
Câu 12.Một viên gạch hoa hình vuông cạnh40cmđược thiết kế như hình bên
dưới Diện tích hoa văn trang trí (phần tô đậm) bằng
Trang 14Diện tích hoa văn trang trí bằng bốn lần diện tích một cánh hoa được tính theo công thức sau:
Câu 13.Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A, Bsao
cho AB là một đường kính của đường tròn O2;3 Gọi D là hình
phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phầnđược gạch chéo như hình vẽ) Quay D quanh trục O O1 2 ta được một
khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành
Trang 15Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 O, O C Ox2 , O A Oy2 .
1 2 1 2
O O O A O A 4 O1 4;0 O1 : x42 y2 25.Phương trình đường tròn O : 2 x2 y2 9
Phần hình phẳng giới hạn bởi các đường trên có tính đối xứng qua trục Ox, khi
đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục 2 Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu
được khi quay hình H xung quanh trục 1 Ox.
Câu 14.Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay với đáy bình và miệng bình có
đường kính lần lượt là 2 và 4 Mặt xung quanh của bình là một phầncủa mặt tròn xoay khi quay đường cong y x 1 quay quanh trục Ox
Vì đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2 và 4 nên bán kính của đáy bình và miệng bình lần lượt là 1 và 2
Ta có x 1 1 x2 và x 1 2 x 5
Trang 16Vậy thể tích của bình cắm hoa là
Câu 15.Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu S , 1 S có cùng bán2
kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S thuộc 1 S và ngược lại (xem2
hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ( )S1 và
x
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thiết diện tạo bởi mặt phẳng P vuông góc
với trục Ox và mặt cầu tâm O R là hình tròn Diện tích thiết diện là,
Trang 17Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
a và là điểm cực đại Do đó giá trị lớn nhất
2
Câu 17.Cho Parabol ( ) :P y 16 x và hai điểm 2 A a ;0 , B a;0 ; 0 a4
Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )P và trục ox, (H1) là hình chữ
nhật ABCD (C D, là 2 điểm thuộc ( )P ) Gọi V là thể tích hình trònxoay có được khi xoay ( )H quanh Oy và V1 là thể tích hình tròn xoay cóđược khi xoay (H1 )quanh Oy Tính giá trị lớn nhất của tỉ số V1
Trang 18Do đó khi xoay (H1) quanh Oy ta được hình trụ tròn có bán kính R a và
sin 2sin
Trang 19Gọi V2 là thể tich sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
sin 2cos
Câu 19.Cho hình H giới hạn bởi các đường y2 2x và x2 y2 8( phần gạch
sọc trong hình) Khối tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thểtích bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm:
2 0
2
4 8 2 78
y g x x (phần tô đậm trong hình) Khối tròn xoay tạo thành
khi quay H xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
Trang 20Chia K thành 3 phần K K K1, 2, 3 như hình 3 Khi đó thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay K xung quanh trục hoành là:
Trang 212.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính thể tíchkhối tròn xoay Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các
em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập.Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sángkiến này vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản cácdạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
Năm
Tổng số
Điểm 8
Sốlượng
Tỷlệ
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khidạy phần toán ứng dụng của tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay giáoviên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bàitốt hơn
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót
và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn
3.2 Kiến nghị.
Trang 22Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sáchlưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác
Nguyễn Hữu Nam
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2] Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &Đào tạo
[4] Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPTtrên toàn quốc