Phuong phap tinh tich phanLTDH

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu 2.[r]

PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu a  x Cách chọn    Đặt x = |a| sint; với t ;   2 t   0;   x = |a| cost; với    a t    ;  \  0  2 Đặt x = sint ; với a   t   0;   \   2 x = cost ; với x2  a2    t   ;   2 Đặt x = |a|tant; với t   0;   a2  x2 x = |a|cost; với ax a  x a x ax  x  a  b  x a  x2 I  Bài 1: Tính Giải: 2  x2 dx x2    t ;   2   dx = - sint dt Đặt x = cost, Đổi cận:  x t Đặt x = acos2t Đặt x = a + (b – a)sin2t    t   ;   2 Đặt x = atant; với I  2 Khi đó:  x2 dx x2   =   cos 2t sint dt cos 2t = sin t sin t dt cos 2t   =  sin t   cos t dt  cos t  1dt =   tan t  t     t   0;  1 =   nên sint 0  sin t sin t ) (vì = a Bài 2: Tính Giải: I x a  x dx    t ;   2   dx = acostdt Đặt x = asint, Đổi cận: x t a   a Khi đó: I x a  x dx = a =   cos4t  dt sin t a   sin t  acostdt  a = a4    t  sin 4t      = a sin tcos 2tdt = a sin   a4 = 16 Bài 3: Tính Giải: I x  x dx    t ;   2   dx = costdt Đặt x = sint, Đổi cận: x  t  Khi đó: I x  x dx = sin  t  sin t costdt =  1     cos 4t dt  t  sin 4t    = 16 = =  Bài 4: Tính Giải: I x  x dx Đặt t =  x  t2 = – x2  xdx = -tdt 12 sin tcos 2tdt  40  = 12 sin 2tdt 4 = 2tdt = Đổi cận: x t 1 1 Khi đó: I x  x dx e Bài 5: Tính Giải: I x = 2  x xdx =   t  t.tdt  t dx I  x ln x e dx Đặt t = lnx  dt = x Đổi cận: x e e2 t e2 Khi đó: dx I  x ln x e Bài 6: Tính Giải: =   15  1  64 =  4t  dt t I x  x  1 dx  x 3dx  Đặt t = x4 +  dt = 4x3dx Đổi cận: x t Khi đó:  I sin xcoxdx Bài 7: Tính Giải: Đặt t = sinx ;  dt cosxdx Đổi cận:  x t Khi đó: Bài 8: Tính Giải:  0 I sin xcoxdx t dt   12 I  tan xdx dt 4   31 t dt    20 t   20 = 41 I x  x  1 dx =  t  dt  t3 t5      15 = =  12 Ta có:  12 sin x tan xdx  cos x dx 0 Đặt t = cos4x ; Đổi cận:  dt  4s in4 xdx  sin xdx  x t dt  12  12  12 1 sin x dt dt 1 I  tan xdx   dx      ln t  ln cos x 41 t 41 t 4 0 2 Khi đó:  Bài 9: Tính Giải: I cos xdx    cos xdx cos xcoxdx   sin x  Ta có: Đặt t = sinx ;  dt cosxdx Đổi cận:  x t 0   2 coxdx   2  2t t  I cos xdx    sin x  coxdx   t  dt   2t  t  dt  t      18  0 0 Khi đó:  Bài 10: Tính Giải: I  dx cos x Đặt t = tanx ; Đổi cận: x  dt  t  Khi đó:    t3  1 I  dx   tan x  dx   t dt    t     cos x cos x 30  0  Bài 11: Tính dx cos x cos x I  dx  s in x Giải: Đặt t = sinx ;  dt cosxdx Đổi cận:   x t   1 cos x (1  s in2 x) 1 t2 1    I  dx  cosxdx  dt   1 dt    t   s in x   t   s in x  t 1t 6 2 Khi đó:  I sin xcos xdx Bài 12: Tính Giải: Đặt t = sinx ;  dt cosxdx Đổi cận:  x t Khi đó:   1  t4 t6  1 I sin xcos xdx sin x   sin x  cosxdx t   t  dt  t  t  dt       12 0 0  2 I esin x sin xdx Bài 13: Tính Giải: Đặt t = sin2x ;  dt s in2 xdx Đổi cận:  x t  Khi đó: I esin x sin xdx et dt et 0 e   sin x I  dx  cos x Bài 14: Tính Giải: Đặt t = + cos2x ;  dt  s in xdx  s in xdx  dt Đổi cận:  x t  2 sin x dt dt I  dx    ln t  ln 2   1  cos x t t Khi đó:  Bài 15: Tính Giải: I tan xdx Đặt t = tanx ; Đổi cận:  dt   tan x  dx   t  dt  dx  x t dt t 1   1 1 t3 t  2t t 1 d  t  1  I tan xdx  dt  t   dt tdt   dt     t  t  t  2 t    0 0 0 1 1 1   ln  t  1   ln    ln  2 2 Khi đó: 1 I  dx  x Bài 16: Tính Giải: Đặt t = x ;  t x  dx 2tdt Đổi cận: x t 1 1 1 t   I  dx 2 dt 2   dt 2  t  ln  t  2   ln  1 t 1 t  x 1 0 Khi đó: Bài 17: Tính Giải: I x 3  x dx Đặt t = Đổi cận: x t  x  t 1  x  x dx  1 Khi đó: I x3  x dx  t dt 3 3 t dt  t   40 16 16 I  dx x  x   Bài 18: Tính Giải: 0 1 dx    x  2x  1   x  1  Ta có:  3 dx    t    ;   dx    tan t  dt  2 Đặt x   tan t với Đổi cận: x -1 t 0    3  I  dx  dt  t  x  2x  3 18 1 0 Khi đó: x3 I  dx 1 x Bài 19: Tính Giải: 1 x3 x3 dx  dx    x8 0 1  x  Ta có:    t    ;   x3 dx    tan t  dt 4  2 Đặt x tan t với Đổi cận: x 0  t    x3 x3  tan t 14  I  dx  dx   dt  dt  t  2 1 x  tan t 40 16 0 1  x  Khi đó: e  ln x I  dx x Bài 20: Tính Giải: t   ln x  t 1  ln x  2tdt  Đặt Đổi cận: x t 1 e Khi đó: Bài 21: Tính Giải: I  e   2  ln x t3 2 2  dx  t.2tdt 2 t dt 2  x 31 1 ln   x  I  dx  x t ln   x   dt  Đặt Đổi cận: x dx x  dx 2 x t ln2 0 ln ln   x  t ln ln 2 I  dx  tdt tdt   2 x 2 ln Khi đó:  Bài 22: Tính Giải: cosx I  dx  sin x    t    ;   cosxdx   tan t  dt  2 Đặt sin x tan t với Đổi cận:  x  t  Khi đó:   cosx  tan t  I  dx  dt dt  2  sin x  tan t 0  Bài 23: Tính Giải: I  dx  sin x x 1 x 2dt  dt    tan  dx  dx  2 2 1 t2 Đặt 1 2tdt dx   dt 2t  t t sin x 1 t2 Ta tính: Đổi cận:   x 3 t  1 1 I  dx   dt  ln t   ln  ln t  sin x 3 3 Khi đó: e I  dx x   ln x  Bài 24: Tính Giải: dx t 1  ln x  dt  x Đặt Đổi cận: x e t t tan Khi đó: e 2 dt I  dx  ln t ln x   ln x  t 1 Bài 25: Tính Giải: I x5e x dx t  x3  dt 3x dx  x dx  Đặt Đổi cận: x t Khi đó: dt 0 1 1 1 t t1 t e 1 x3 I x e dx  te dt  te  e dt   et  30 30 3 1 x2 1 dx  x  x  1 I Bài 26: Tính Giải:   1   x 1 x  dx   dx    dx  x  x 1 1 1 x2  1   x   1 x2 x  Ta có: 1   t  x   dt    dx x x   Đặt Đổi cận: 1 x t 1 dt I  1 t Khi đó: t tan u  dt   tan u  du Đặt Đổi cận: x  t    4 dt  tan u  I    du du u  1 t  tan u 0 0 Vậy 1 2 dx I  x 1 x Bài 27: Tính Giải: 1 1 x2 1 2 x dx    3  x3 x Ta có: x  x dx t   x3  t 1  x3  2tdt 3 x dx  x dx  Đặt Đổi cận: x t 2tdt 3 Khi đó: 2 x dx I    3 3 1 x x 1 x x  dx dt t  3  1   t   t 1  dt  1 t 1 1  1 1 ln t   ln t    ln   ln  ln  ln    ln  1  2   t 1       21 2 Bài 28: Tính Giải: 3x3 I  dx x  x 1 2 x3 x3 dx  dx 2   x  x  x    0 Ta có: Đặt t x   dt dx Đổi cận: x t Khi đó: 3 3  t  3t  3t  1  t  1 3x3 3x I  dx  dx  dt  dt  x  x 1 t t2 0  x  1 1  t2 1 3    3t    3t   dt   9t  ln t     32  12     1   ln  ln1   9ln  t t1   1 ln e x  3e x I   2x dx x e  e  Bài 29: Tính Giải: x x Đặt t e  dt e dx Đổi cận: x ln2 t Khi đó: ln ln 2 e x  3e x ex  t 3   x I   2x dx  e dx  dt    dt  x 2x x    e  3e  e  3e  t  3t  t 1 t   0 1 2 2 1 27 2  dt   dt 2ln t   ln t  2  ln  ln    ln  ln  2 ln  ln ln  ln ln 1 t 1 t 2 16 1 dx I  x 1 x   Bài 30: Tính Giải: Đặt x t  dx 2tdt Đổi cận: x t 2 dx 2tdt dt 1  I   2 2    dt  t  t t  t t  t       x  x 1 1  Khi đó: 2  ln t  ln t   Bài 31: Tính Giải:  1  2  ln  ln  2 ln 2  3 I    x  dx   x sin t , t   0;   dx costdt  2 Đặt Đổi cận: x  t Khi đó: I    x   dx     2 2t    sin t  costdt cos t.costdt cos tdt   cos  dt   0       1 1  sin 2t 12 2    2cos 2t  cos 2t  dt  dt  cos 2tdt  2cos 2tdt      cos 4t dt  40 40 20 80 2 80     12 12   sin 4t   3   dt  cos 4tdt    2   80 80 16 8 16 16  I cos xdx Bài 32: Tính Giải:    sin x  I cos xdx cos x.cosxdx   sin x  cosxdx   sin x  d  sin x   sin x          6 6 1 1     24 24      Bài 33: Tính Giải: sin x I  sin x  cos x     sin x 2sin xcos x 2sin xcos x 2sin xcos x I  dx  dx  dx  dx  4 2 sin x  cos x sin x  cos x  2sin xcos x 0 0 1 sin x   1    d   sin x   ln  sin x  ln ln 2 2  1 sin x  2  Bài 34: Tính Giải: cos x I  dx   sin x    2   sin x   cos x cos x I  dx  cosxdx  cosxdx   sin x cosxdx    sin x   sin x   sin x  4     cosx  cosx sin x  dx cosxdx   4  1   s in2 xdx  sin x  sin x   2    3  2  4  Bài 35: Tính Giải:  sin x  cosx  I  dx   sin x  cosx    d  sin x  cosx   sin x  cosx  I    ln sin x  cosx  ln dx   sin x  cosx sin x  cosx    4    Bài 36: Tính Giải:  I sin xdx     cos x  I sin xdx sin x sin xdx    cos x d  cosx    cosx   1    3  0 0 cos3x I  dx sin x Bài 37: Tính Giải: 2   sin x  4cos x  3    d sin x  cos3x 4cos x  3cosx I  dx  dx  cosxdx    sin x sin x sin x sin x     4sin x  d  sin x   sin x  ln  sin x   C sin1   s in3 x I  dx sin x Bài 38: Tính s in3 x 3s inx  4sin x I  dx  dx   4sin x  dx 3 x    cos2 x  dx 3 x  x  sin x  c sin x sin x x  sin x  C x I  dx x  x2 1 Bài 39: Tính Giải:  Đặt t  x  dt 2 xdx Đổi cận: x t 1 x dt I  dx   x  x 1  2 t     2 Khi đó: y t   dy dt  Đặt Đổi cận: t 1 y 2  dt 12 dy I   2   1  3 t    y    2 4  Khi đó: z  y  dz  dy Đặt Đổi cận: y 2 z 3 12 dy I   21  3 2 y    4 Khi đó: 3 dz z2   3 z dz  1  z tan u  dz   tan u  du Đặt Đổi cận: z 3   u  dz 1  tan u  I   du  u  2  z 1   tan u  6 Ta được: x I  dx  x  1 Bài 40: Tính Giải: t1 dt t 2 x   x   dx  2  Đặt Đổi cận: x t t1 3 x dt  1  1 1  2 I  dx      dt   ln t     ln   t 1t t  4 t  4 3  x  1 Khi đó:  3 I  x  x  1 dx 1 Bài 41: Tính Giải:  Đặt t  x    dt dx Đổi cận: x -1 t 1 1 I  x  x  1 dx  t  1 t dt  t  2t  1 t dt  t 11  2t 10  t  dt  1 0 t t t 1 1         11 10  12 11 10 660  12 Khi đó: 12 11 10  Bài 42: Tính Giải: dx I   cosx  x d   dx dx x 2  I    tan 1 x  x  cosx  0 2cos cos 2   Bài 43: Tính I x15  3x8 dx  Ta có: 15 8 x  3x dx x  3x x dx 0 t 1  x8  dt 24 x dx  dx  Đặt Đổi cận: x t Khi đó:  dt 24   2   t1 1 t t 29 I x  3x dx x  x x dx  t dt   t  t dt      270 24 72 72  0   2  x3 I  dx x  x  Bài 44: Tính 1 15 8   Giải:  x3 x3 x 1  x I  dx  x  x  x2 1  x 0  x x  1dx  x dx x   x 1  x  x3 dx   x2 1  x x 1  x   dx   x  x   x dx  x5 1 x 1.xdx  x x  1.xdx  0       2 J  Đặt t x   dt 2 xdx Đổi cận: x t 2 2 1 1 32 12 2 2 J  t  1 t dt   t  t dt  t dt  t dt  t  t  21 21 21   22 2 2 2 2          5 3 15 15 15 Khi đó: 2 I  15 15 Vậy  Bài 45: Tính Giải: sin x I  dx  cos x  sin x  2sin xcos x dx  cos x 1  cos x dx    Ta có: Đặt t 1  cos x  dt  2sin xcosxdx  sin xdx cos x t   cos x 2cos x  2  t  1  2t  Đổi cận: x t  3 2   2t  3 dt 6 6   I     dt   dt  4t  ln t   t t t 3 2 2 3  3  4      ln  ln  2  6ln 2  2  Khi đó:  Bài 46: Tính Giải: dx I    sin x     2 dx dx dx 12 dx    I       tan  x    2  2 4  2      sin x   sin x  cosx     cos x    cos x  4    4       Bài 47: Tính Giải: co s x I   sin x  cosx    co s x  sin x  cosx    Ta có: t cosx  sin x   Đặt x t 2 I  Khi đó:   cosx  sin x   cosx  sin x  dx  sin x  cosx   dt  cosx  sin x  dx dx   2  t   dt 2 t dx 1   t  2 1 1  1  2 dt           t  2 64  t t 0 1  2 1 2       4 9 32     1  Bài 48: Tính Giải: co s x I  dx sin x  cosx     cosx  sin x   cosx  sin x  dx co s x dx    sin x  cosx  sin x  cosx  0  Ta có: t cosx  sin x   dt  cosx  sin x  dx Đặt  4 18  2   18     Đổi cận: x t Khi đó: 2 I   2  t   dt 2     t 2 2 2   ln    ln   dt  t  ln t  t       ln  ln      ln   2    I sin x   sin x  dx Bài 49: Tính Giải:  Đặt t 1  sin x   dt 2sin xcosxdx sin xdx Đổi cận:  x t  Khi đó:  Bài 50: Tính Giải: Ta có: I sin x   sin x  dx t 3dt  t4 15 4   41 4 I sin xcosx   cosx  dx  2   0 I sin xcosx   cosx  dx sin xcosx   2cosx  cos x  dx  cosx  2cos x  cos x  sin xdx  Đặt t cosx  dt  sin xdx Đổi cận:  x t 0  t 2t t  17 I   t  2t  t  dt  t  2t  t  dt       12  Khi đó:  Bài 51: Tính Giải: I  sin xcosx a cos x  b sin x  I  Ta có: dx  sin xcosx 2 2 a cos x  b sin x dx   sin xcosx a   sin x   b sin x 2 2 dx  sin xcosx b  a  sin x  a dx 2tdt 2  b  a  sin xcosxdx  t   b  a  sin x  a  t  b  a  sin x  a   tdt sin xcosxdx  b  a2   Đặt Đổi cận:  x t |a| |b| b b b a tdt 1 I   t   2 b a ab a b  a a tb  a  Khi đó: x 1 I 3 dx x  Bài 52: Tính Giải: t  3 x   t 3 x   3t dt 3dx; x   Đặt Đổi cận: x t t3  2 t 2 2 1  t5 t2   42  37  2 I  t dt   t  t  dt         1  t 32 3  3 5 15  Khi đó: dx I  x x 9 Bài 53: Tính Giải: dx tdt tdt t  x   t  x   t    tdt  xdx;   x x t 9  Đặt Đổi cận: x t 5 dt t  ln  ln  t  t  Khi đó:  Bài 54: Tính Giải: dx I   tan x t tan x  dt   Đặt Đổi cận: x t dt dt dx   tan x  dx  dx   2 cos x  tan x  t   dt t  1 dt 1 tdt 1 dt     dt        2 1 t  21 t2    t t 1 t 1 1 t  1 t                I  J1 J2 J3 Khi đó: 1 ln dt J1    ln t   t 1 2  Tính: 1 ln tdt d  t  1 J2      ln t   t  t 1 4  Tính:  J3  dt   du   t 1  Tính: ln ln   ln I     8 Vậy (với t = tanu)  dx I   sin x Bài 55: Tính Giải:  dx   sin xdx sin xdx  x   co s x  sin  sin x  3 Ta có: Đặt t cosx  dt  sin xdx Đổi cận:   x t Khi đó: 2 2  dt dt  1  dt dt 1 3 I          ln t   ln t     ln  ln   dt   1 t  1 t 1 t  t  t 1 2 2 1 t 0 1 ln  ln 3 x  sin x I  dx cos x Bài 56: Tính Giải: 1 x  sin x xdx sin x I  dx    dx cos x cos x cos x 0       I1 I2 Ta có:    Tính xdx I1  cos x u  x  du dx      dv  cos x dx v tan x Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần ta được:       3 xdx  sin x  3 d  cosx   I1  x tan x  tan xdx    dx      ln cosx   cos x cosx cosx 0 0 0    ln   Tính Vậy I    d  cosx  sin x I  dx   2  1 cos x cos x cosx 0   ln  x3 I  dx x  x  Bài 57: Tính Giải: Ta có: x3 x3  x2 1  x I  dx  x2 1 x2 1 x x  1 x x  1.dx    x 1  x 1 2 x x x 1.xdx    x3 dx   x2 1  x x 1  x  dx   x  x   x dx  x5 1 x x  1.xdx  0 Đặt t x   dt 2 xdx Đổi cận: x t 2 2 1 1 1 1 I  t  1 t dt    t  t dt    t dt  t dt 21 5 21 21   Khi đó:  2 2 22 1 2 2    t  t             2 3 5 5 3 5 15 15 I  x dx  4x 1 Bài 58: Tính Giải:  Đặt t 5  x  dt  4dx Đổi cận: x -1 t 5 t  1 9    dt  t x 1  4 dx    dt   dt  tdt  16 t 812 t 16   4x t 1 I  1  Khi đó: 9 5 13 t  t    1   27  1    8 16 24 12 I x  xdx Bài 59: Tính Giải:  Đặt t 1  x  dt  dx Đổi cận: x t -8 Khi đó: 8 3  I x  xdx    t  t   dt   t  8 3 468 3 0 t dt  t  t            8 7 4   dx I     sin x sin  x   6  Bài 60: Tính Giải:    3 dx dx 2dx I           sin x  sin xcosx  sin x sin  x    sin x   sin x  cosx  6 6        2dx  co s x   tan x  tan x   2     tan x     2d  tan x   tan x    tan x  2    d  tan x  tan x   tan x    d  tan x   tan x     d tan x  d  tan x  2   2 2  ln tan x   ln tan x   tan x tan x    6  3 2 ln  ln ln    2 dx I  x e 3 Bài 61: Tính Giải: x x  Đặt t e  dt e dx Đổi cận: x         2  ln  ln    ln  ln    3  t Khi đó: e e e e e d  t2  dx dt tdt 2tdt I  x   2  2  2 e 3  t  t  3  t  t  3 t  t  3 t  t  3 e e 1 1 1  e2   2      d t  ln t  ln t    ln        6  t t 3 6   I  dx   11  x  Bài 62: Tính Giải:  Đặt t 11  x  dt 5dx Đổi cận: x -2 t 6 dx dt 1 1 I       2  51t 5t 30   11  x  Khi đó: e sin  ln x  I  dx x Bài 63: Tính Giải: t ln x  dt   Đặt Đổi cận: x t Khi đó: dx x e e 1 sin  ln x  I  dx sin tdt  cost  cos1  cos0 1  cos1 x Bài 64: Tính Giải: I  x  9dx t2  2t t  t2  t2  x  t  x t    dx  dt 2t 2t 2t Đặt Đổi cận: x t Khi đó: 9  t2 t  t2  81   t 81  I  x  9dx  dt     dt   ln t    2t 2t 2t 4t  6t  8 3 3 t x  x2   x    I Bài 65: Tính   12  sin x  cosx  dx Giải:  I   12  sin x  cosx   1   dx   dx  cot  x      4  2  sin x      12 4 12   I sin xdx Bài 66: Tính  Đặt t  x  dx 2td Đổi cận: x t Khi đó: I 2 t sin tdt u t  du dt    Đặt dv sin tdt v  cosx Áp dụng công thức tính tích phân phần ta được: 1 1 I   tcost   2costdt   tcost    sin t  2  sin1  cos1 0 0 II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax đó P(x) là đa thức Đặt u P  x   dv  u ln x   Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx đó P(x) là đa thức Đặt  dv  Bài 1: Tính I xe x dx  du dx   2x v  e Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 1 1 2x 1 2x 2x 1 e 1 2x I xe dx  xe  e dx  e  e d  x   e  e x  e   e  1  20 2 40 4 u  x   2x  dv e dx  x I  dx cos x Bài 2: Tính u  x  du dx   dx   v tan x  dv  co s x Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân phần:       3 x  sin x  3 d  cosx    I  dx x tan x  tan xdx   dx     ln cosx   ln cos x cosx cosx 3 0 0 0 I x 2e x dx Bài 3: Tính  du 2 xdx u  x    x x dv e dx v e Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 x x x I x e dx x e  2xe dx e  xe x dx 0 0 J xe x dx Tiếp tục tính: u  x du dx    x dv e dx v e x Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân phần: J xe x dx  xe x  x xe dx 1 Vậy I = e - Bài 4: Tính I  3x  1 e  x dx  du 3dx    3x v  e Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: u 3x     3x dv e dx I  3x  1 e  x dx  1 11 1 1  3x 1 e x  e x dx   3x 1 e x  e  3x d  e x    3x 1 e x  e x   0 30 3 e 3  Bài 5: Tính I x sin xdx     2  cos x 1 I x sin xdx x dx   xdx  2 0  Ta có:   x2 2 xdx    0    xcos xdx       Tính xcos xdx du dx   v  sin x Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần:     12 cos x xcos xdx  x sin x  sin xdx 0    20 0 u x    dv cos xdx  Vậy I x sin xdx  2 4 16  Bài 6: Tính Giải: I esin x sin xdx   I esin x sin xdx 2 esin x sin xcosxdx Ta có: Đặt t sin x  dt cosxdx Đổi cận: x t Khi đó:   0 I 2 esin x sin xcosxdx 2tet dt u t du dt    dv et dt v et  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: 1 t 1 t t te dt  te  e dt tet  e t 1  0 0 Vậy I = e Bài 7: Tính I  x  1 ln xdx u ln x    dv  x  1 dx dx  du  x  v 2 x  x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: e e e e I  x  1 ln xdx  x  x  ln x   x  1 dx 2e  e   x  x  e  1 1 Bài 8: Tính I x ln  x 1 dx Đặt t x   dt 2 xdx Đổi cận: x t Khi đó: I x ln  x  1 dx  ln tdt 21 dx   du  t  v t Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần: 2 ln tdt  t ln t  dt 2 ln   1 u ln t   dv dt Vậy I x ln  x  1 dx ln   I cosx ln  sin x  dx Bài 9: Tính  cosx  dx du  sin x  v sin x Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần:    2 I cosx ln  sin x  dx sin x ln  sin x   cosxdx in x ln  sin x     6 u ln  sin x    dv cosdx   2  sin x   ln  1   6  xdx I   sin x Bài 10: Tính u  x  du dx   dx   v  cot x  dv  sin x Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần    3 xdx  I   x cot x  cot xdx   ln sin x   3  sin x 4   9 3   ln  36 2  I e x cos xdx Bài 11: Tính u cosx du  sin xdx    dv e x dx v e x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần    2 I e x cos xdx e x cosx  e x sin xdx 0 0     I1  I1 e x sin xdx Tính u sin x du cosxdx    dv e x dx v e x  Đặt Áp dụng công thức tính tích phân phần     x x x x I1 e sin xdx e sin x  e co s xdx e sin x  I 0 0      e 1 I e x cos xdx   e x cosx  e x sin x     0   Suy ra:    Bài 12: Tính  sin x x I  e dx  cosx  Ta có:  x   x  sin x x e dx sin x x e dx sin x I  e dx   e dx    e x dx x  cosx  cosx  cosx cos  cosx 0 0       I2     I1  I1  Tính:  e x dx x 2 cos 2 u e x  du e x dx  dx   dv   x v tan x   cos   Đặt  Áp dụng công thức tính tích phân phần      x 2 e dx x x x I1   e x tan  tan e x dx e  tan e x dx cos x 2 0    x x co s 2 2sin sin x x 2 e x dx  tan x e x dx I  e dx   x  cosx 0 2cos 2 Tính:  Vậy I e TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP  Bài 1: Tính Giải: I  sin x dx sin x  cosx  x   t  dx  dt Đặt Đổi cận:  x  t Khi đó:   sin   t  2  I       sin   t   cos   2  2  I  I 2 I  Vậy   t  dt   co s t co s x dt  dx co s t  s int co s x  sin x   sin x  cosx   dx dx  x   I  sin x  cosx 0  Bài 2: Tính Giải: sin x I  dx sin x  cos x  x   t  dx  dt Đặt Đổi cận:  x  t Khi đó:     sin   t  2 co s t co s3 x   I   dt  dt  dx co s t  sin t co s x  sin x   3 3  0 sin   t   co s   t  2  2     3 2 sin x  cos x   I  I 2 I  dx dx  x   I  sin x  cos x 0 Vậy 1 ex e x I  x  x dx I  x  x dx e e e e 0 Bài 3: Tính các tích phân: và Ta có: I  J dx 1 d  e x  e x  e x  e x e2 1 x x 1 I  J  x  x dx  x  x ln e  e ln  e  e   ln ln e e e e 2e 0 1 e2  1 1 2e  I    ln J  1  ln  2 2e  2 e 1 Từ đó suy ra: và  Bài 4: Tính Giải: I ln  s inx dx 1+cosx  x   t  dx  dt Đặt Đổi cận:  x  t Khi đó:      s in   t  2   dt  ln  co s t dt  ln  co s x dx I  ln   1+sint 1+sinx    0 1+cos  t   2       s inx    cosx   cosx  s inx  I  I 2 I  ln  ln  dx  ln  dx  ln1 dx 0dx 0  I 0  s inx  co s x  s inx  co s x     0 0 Vậy  Bài 5: Tính Giải: sin x I  dx sin x  cos x  x   t  dx  dt Đặt Đổi cận:  x  t Khi đó:     sin   t  2 co s t co s x 2  I   dt  dt  dx  co s t  sin t co s6 x  sin x   6 6  0 sin   t   co s   t  2  2     sin x  cos x   I  I 2 I  dx dx  x   I  sin x  cos x 0 Vậy 2 I  sin  sin x  nx  dx Bài 6: Tính Giải: Đặt t   t  dt  dx Đổi cận: 2 x   t Khi đó:  I   sin  sin    t   n    t   dt  sin  sin t  n  nt  dt      sin  sin t  nt  cos  n  dt   sin  sin t  nt  s in  n  dt    I  sin  sin t  nt  cos  n  dt  (do sin  n  0 ) Đặt y  t  dy  dt Đổi cận:   t   y Khi đó:  I   sin  sin   y   ny  cos  n  dy sin   sin y  ny  cos  n  dy      sin  sin t  nt  cos  n  dy  I   I  I  I 0  Bài 7: Tính Giải: I  4sin x  sin x  cosx  dx  x   t  dx  dt Đặt Đổi cận:  x  t Khi đó:  sin  sin y  ny  cos  n  dy      4sin   t  2 4co s t 4co s x 2  I   dt  dt  dx 3          co s t  sin t   co s x  sin x   t   co s   t    sin     2    I  I 2 I   4sin x  sin x  cosx  dx   4co s x  sin x  cosx  dx    sin x  cosx  dx  dx  2cos  x    4     2 tan  x   2  4  I 2 4  ===========================================