sáng kiến kinh nghiệm dự thi 38

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Từ năm học 2017 Bộ Giáo dục Đào thức tuyển sinh đại học từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm với mơn tốn học.Từ chuyển dần hình thức kiểm tra đánh giá từ tự luận sang trắc nghiệm tự luận kết hợp với trắc nghiệm trắc nghiệm hoàn toàn.Để học sinh nắm vững kiến thức Tốn học có khả trả lời tốt câu hỏi thi trắc nghiệm,qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy nhận thấy việc đổi phương pháp giảng dạy ôn thi theo hướng trắc nghiệm cần thiết nhằm giúp cho học sinh nắm vững kiến thức, biết cách học để trả lời xác câu hỏi theo hướng thi trắc nghiệm 2.Trên thực tế mơn tốn học nói chung, tốn học 12 nói riêng có nhiều kiến thức lý thuyết khó học,khó nhớ học sinh ngại học Khi chuyển sang kiểm tra đánh giá trắc nghiệm có nhiều thuận lợi hơn,học sinh cần nắm vững chất đơn vị kiến thức,các tính chất làm tốt thi trắc nghiệm Xuất phát từ lí trên, giáo viên tham gia trực tiếp giảng dạy mơn tốn học lớp 12 có ơn thi HSG ơn thi THPT quốc gia tơi dần hồn thiện hệ thống câu hỏi phần tích phân hàm ẩn chương trình tốn học 12 để giúp học sinh dễ nắm bắt nội dung mới,ơn tập cũ cách có hiệu hứng thú học mơn tốn học Trong năm gần kết cao kì thi từ năm 2017 đến trường THPT Mỹ Tho nhận thấy hiệu tích cực.Vì mạnh dạn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm trước hội đồng khoa học Trường THPT Mỹ Tho,Sở GD-ĐT Nam Định, bạn bè đồng nghiệp hy vọng góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn học trường THPT Mỹ Tho nói riêng, Sở GD –ĐT Nam Định nói chung II MƠ TẢ GIẢI PHÁP 1.Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: * Học sinh thấy phần tích phân kiến thức lý thuyết nhiều, nhiều kiến thức trừu tượng khó nhớ, khó học, làm nhiều thời gian *Việc ơn tập phần tích phân cho học sinh thường giáo viên phát đề cương có sẵn yêu cầu học sinh tự làm đơn vị kiến thức đó,điều chưa định hướng kiến thức trọng tâm cần nhớ, dàn trải Học sinh áp dụng tích phân vào tốn tích phân hàm ẩn áp dụng trả lời câu hỏi trắc nghiệm chưa đạt kết cao 2.Mơ tả giải pháp sau có sáng kiến: 2.1 Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, nhận thấy học sinh nắm kiến thức tự tin hơn, hứng thú tiết học, thấy phần tích phân hàm ẩn trở nên dễ học, dễ nhớ hơn.Việc xây dựng câu hỏi giúp định hướng việc khai thác, nắm vững kiến thức cách thuận lợi cho học sinh Kết kiểm, thi nâng lên rõ rệt 2.2 Các bước thực sáng kiến: Bước 1: Xác định mục tiêu -Học sinh nắm trọng tâm kiến thức bản, ngắn gọn,dễ nhớ -Có câu hỏi vận dụng vận dụng cao cho ôn thi HSG nâng cao điểm thi vào đại học -Vận dụng vào làm thi đạt hiệu cao Bước 2: Biên tập hệ thống câu hỏi -Hệ thống câu hỏi xây dựng mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụngcho bài,từng chương theo chuẩn kiến thức kỹ năngphù hợp với khả nhận thức đối tượng học sinh -Dựa vào câu hỏi thi trắc nghiệm có sẵn nội dung kiến thức phù hợp để soạn nội dung ôn tập câu hỏi giúp tăng hiệu làm thi trắc nghiệm - Hệ thống câu hỏi xếp logic.Chú trọng khai thác tốt kiến thức sách giáo khoa nhằm giúp học sinh nắm thật vững kiến thức Bước 3: Xây dựng đáp án chi tiết tương ứng -Đáp án ngắn gọn đảm bảo vào trọng tâm câu hỏi ,giúp học sinh dễ nhớ Bước 4:Vận dụng vào trình dạy học * Phương pháp tiến hành: -Nội dung soạn sử dụng để dạy hướng dẫn học sinh ôn tập Tùy theo đối tượng học sinh ( lớp đại trà, lớp chọn, ôn thi HSG ) giáo viên điều chỉnh hệ thống câu hỏi biên soạn cho phù hợp - Thống kê so sánh kết lớp thực nghiệm lớp đối chứng thông qua kiểm tra năm 2017-2018, Để đánh giá nhận thức tồn diện học sinh tơi tiến hành song song hình thức kiểm tra trắc nghiệm tự luận câu hỏi ngắn Đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan xây dựng dựa kiến thức câu hỏi ơn tập.Từ đánh giá hiệu mà sáng kiến mang lại chia sẻ với đồng nghiệp nhóm mơn tốn trường áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy 2.3 Điều kiện để áp dụng sáng kiến - HS sử dụng sau học tích phân 2.4.Khả áp dụng sáng kiến -Với giáo viên mơn: Có thể sử dụng hệ thống câu việc khai thác kiến thức mới, kiểm tra cũ, ôn tập sau chương, phần phục vụ cho ơn thi học kì, ơn thi THPT quốc gia, ôn thi HSG lớp 12 -Với học sinh: Sử dụng tài liệu tham khảo định hướng để học tốt mơn tốn học 12cho học sinh đại trà ơn thi kiểm tra, thi học kì, sử dụng ôn thi THPT quốc gia cho học sinh đội tuyển HSG mơn tốn Nội dung sáng kiến: Phần I :Tính nguyên hàm tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG Bài tốn “Cho tích phân u (b )  b f ( x)dx = m Tính  u '( x) f (u ( x))dx a u(a) Phương pháp :Ta đặt t=u(x) đổi cận  x = a  t = u (a)   x = b  t = u (b) b u (b ) a u (a)   u '( x) f (u ( x))dx =  u (b ) f (t )dt =  f ( x)dx = m u (a) Khi ta có cơng thức tổng qt b u (b ) a u (a)  u '( x) f (u( x))dx =  f ( x)dx = m (*) Ví dụ minh họa Câu 1.(Đề minh họa lần Bộ Giáo Dục đào tạo năm 2016-2017) Cho hàm số f ( x) liêntục [0;2]  f ( x) dx = 16 Tính A.16 B.4 C.32 Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức Xét tích phân  f (2 x)dx  f (2 x)dx D.8 ta có đặt t = 2x  dt = 2dx Đổi cận: x =  t = 0; x =2t =4  f (2 x)dx =  f (t)dt =  f (x)dx =8 0 Cách 2: Dùng công thức (*)với 0 u ( x) = 2x   f (2x) dx =  f ( x)dx = 16   f (2x) dx = Câu 2.(THPTKINHMÔN-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018) Cho a số thực hàm số liên tục thỏa mãn  f ( x − a)dx = 2017 Tính giá trị 2−a tích phân I =  f ( x)dx 1− a A I = 2017 C I = 2017 + a Lờigiải Cách :Tính trực tiếp không nhớ công thức : Xét B I = −2017  f ( x − a)dx = 2017 Đặt t = x − a  dt = dx Đổi cận x =  t = − a ; x =  t = − a D I = 2017 − a 2− a 2− a 1− a 1− a Khi 2017 =  f ( x − a)dx =  f (t)dt =  f (x)dx 2−a 1− a Cách 2: Dùng công thức (*) u ( x) = x − a  2017 =  f ( x − a)dx =  f ( x)dx Câu 3.(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH - LẦN - 2018) Cho hàm f ( x) thỏa mãn  f ( x)dx = Tính I = −1 −1 B I = A I =  f (2 x + 1)dx C I = D I = Lời giải : Cách 1:Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức : Đặt t = 2x +1  dt = 2dx Đổi cận x = −1  t = −1; x =  t = 5 1 Khi ta có  f (2 x + 1)dx =  f (t)dt =  f (x)dx =2 2 −1 −1 −1 Cách 2: Dùng công thức (*) u ( x) = 2x +  = 2 −1 −1 −1  f ( x)dx =  f (2x + 1)dx   f (2x + 1)dx = Câu (THPT Hậu Lộc -Thanh Hoá lần -18-19)Cho hàm f ( x) thỏa 2017 mãn  f ( x)dx = Tính tích phân I =  f (2017 x)dx 0 A I = 2017 B I = C I = 2017 D I = Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức : Đặt t = 2017 x  dt = 2017dx Đổi cận x =  t = 0; x =  t = 2017 Khi ta có  2017 f (2017 x)dx =  f (t)dt = 2017 2017  1 f (x)dx = 2017 2017 2017 0 Cách 2: Dùng công thức (*) u ( x) = 2017x   f (2017 x)dx =  1 f (x)dx = 2017 2017 Câu 5.(THPT Hậu Lộc -Thanh Hoá lần -18-19)Cho hàm f ( x) thỏa mãn  f ( x)dx = a Hãytính tích phân I =  xf ( x + 1)dx theo a a A I = a B I = C I = 2a Lời giải Chọn B Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức : Đặt t = x +  dt = xdx Đổi cận x =  t = 1; x =  t = D I = 4a 2 1 a Khi ta có  xf ( x + 1)dx =  f (t)dt =  f (x)dx = 2 Cách :Dùng công thức (*) u ( x) = x +   xf ( x + 1)dx =  f (x)dx = a Câu 6.(HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN - 2018)Cho hàm f ( x) liên tục  16  thỏa mãn f ( x) dx = x  f (sinx) cosxdx = Tính tích phân I =  f ( x)dx B I = Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ công thức C I = A I = −2 D I = 16 f ( x) dx dx = , đặt t = x  dt = x x Đổi cận: với x=1  t=1, với x=16  t=4 + Xét A=  4 1 A= 2 f (t )dt =   f (t )dt =  f (x)dx =  + J =  f (sinx) cosxdx = , đặt t = sin x  dt = cos xdx Đổi cận: x =  t = 0; x =   t = 1; J =  f (t )dt =   f (x)dx = 0 4 0 I =  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x )dx = Cách 2: Dùng công thức (*) với 16 u ( x) = x  =  4 f ( x) dx =  f ( x)dx   f ( x)dx=3 x 1  0 Dùng công thức (*) với u ( x) = sin x  =  f (sinx) cosxdx =  f ( x)dx 4 0 nên I =  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = Câu7 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2017 Cho  e2017 −1 f(x)dx=2 Tính tích phân I = A I=1  x f(ln(x + 1)dx x +1 B I=2 C I=4 Lời giải Cách :Tính trực tiếp không nhớ công thức Đặt t = ln( x + 1) suy dt = 2xdx xdx  dt = 2 x +1 x +1 D I=5 Đổi cận:  x =  t =  2017  x = e −  t = 2017 2017 2017 1 Khi I =  f (t )dt =  f ( x)dx = = Chọn A 2 Cách 2: Dùng công thức (*) với u( x) = ln( x + 1)  e2017 −1  2x f(ln(x + 1)dx = x +1 2017  f ( x) dx =  I = Câu 8.(THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN - 2018) Cho 2018 hàm số f ( x) lien tục thỏa  f ( x)dx=2 Khi tích phân e2018 −1 I=  x f(ln(x + 1)dx x +1 A B.1 Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức C 2xdx xdx  dt = 2 x +1 x +1 Đặt t = ln( x + 1) suy dt = D Đổi cận:  x =  t =  2018  x = e −  t = 2018 Khi I = 2018  f (t )dt = 2018  f ( x)dx = = Chọn B Cách 2: Dùng công thức (*) với u( x) = ln( x + 1)  e2018 −1  2x f(ln(x + 1)dx = x +1 2018  f ( x) dx =  I = Câu 9.(PTNK CƠ SỞ - TPHCM - LẦN - 2018) Cho hàm số f ( x) liên tục thỏa  2 f (2 x)dx =  f (6 x) dx = 14 Tính  f (5 x + 2)dx −2 0 A.30 B.32 C.34 Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ công thức + Xét  f (2 x)dx = đặt t = 2x  dt = 2dx Đổi cận với x=0  t=0, với x=1  t= 2 2 2 Nên =  f (2 x)dx =  f (t)dt =  f ( x)dx   f ( x)dx = 0 + Xét  f (6 x)dx = 14 đặt t = 6x  dt = 6dx D.36 Đổi cận: với x=0  t=0, với x=2  t= 12 12 0 12 6 Nên 14 =  f (2 x)dx =  f (t)dt =  f ( x)dx   f ( x)dx = 84 0 + Xét  f (5 x + 2)dx = −2  −2 f (5 x + 2)dx +  f (5 x + 2)dx = 0  −2 f (−5 x + 2)dx +  f (5 x + 2)dx 0 -Tính I =  f (−5x + 2)dx −2 đặt t = −5x +  dt = −5dx Đổi cận với x=-2  t=12, với x=0  t=  I= −2 12 12 1 f (t)dt =  f (t)dt =  f ( x)dx −5 52 12 f (−5 x + 2)dx =  12   12  1 I =   f ( x)dx +  f ( x)dx  =   f ( x)dx −  f ( x)dx  = (84 − 4) = 16 5  5  -Tính J =  f (5x + 2)dx đặt t = 5x +  dt = 5dx Đổi cận: với x=0  t=2, với x=2  t= 12 J = 12 12 1 f (5 x + 2)dx =  f (t)dt =  f (x)dx 52 12   12  1 J =   f ( x)dx +  f ( x)dx  =   f ( x )dx −  f ( x )dx  = (84 − 4) = 16 5  5  Vậy  f (5 x + 2)dx = 32 −2 2 0 Cách 2: Dùng công thức (*)với u ( x) = x   f (2x) dx =  f ( x)dx   f ( x)dx = 12 12 u ( x) = x   f (6x) dx =  f ( x) dx   f ( x) dx = 14.6 = 84 0 0 u ( x) = −5 x +   −5 f (−5 x + 2) dx =  f ( x)dx −2   −2 12 1 −4 84 f (−5 x + 2) dx =  f ( x)dx = −  f ( x)dx +  f ( x)dx = + = 16 52 50 50 5 12 2 12 12 u ( x) = x +   f (5 x + 2) dx =  f ( x)dx   f (5 x + 2) dx = 1 −4 84 f ( x)dx = −  f ( x)dx +  f ( x)dx = + = 16  52 50 50 5 12 12 + Xét   f (5 x + 2)dx = −2 −2 f (5 x + 2)dx +  f (5 x + 2)dx = 0  −2 f (−5 x + 2)dx +  f (5 x + 2)dx = 32 Câu 10.(SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hàm số y = f ( x) hàm lẻ liên tục  f (− x)dx = [-4;4] biết −2 A.I=-10  f (−2 x)dx = Tính I =  f ( x)dx B I=-6 C.I=6 D I=10 Lời giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức Xét tích phân  f (− x)dx = −2 đặt t = −x  dt = −dx Đổi cận:với x=-2  t=2, với x=0  t= 0 2 −2 0 =  f (− x)dx = −  f (t)dt =  f (t)dt =  f (x)dx Chú ý ta dùng tích chất : Nếu f(x) hàm số lẻ f(-x)=f(x) với x thuộc tập  a f ( x)dx = −  f ( x)dx   a f ( − x)dx = −  f ( x) dx =  f ( x) dx −a −a xác định − a Do hàm số y = f ( x) hàm số lẻ nên f (−2 x) = − f (2 x) Do 2 1  f (−2 x)dx = − f (2 x)dx  f (2 x)dx = −4 Xét  f (2 x)dx = −4 Đặt t = 2x  dt = 2dx Đổi cận: x =  t = 2; x =  t = 4 1 −4 =  f (2 x)dx =  f (t )dt =  f (x)dx  f (x)dx = −8 22 2 4 0 Do I =  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = − = −6 0 −2 Cách 2: Dùng công thức (*)với u ( x) = − x   − f (− x) dx =  f ( x)dx   f ( x)dx = Do hàm số y = f ( x) hàm số lẻ nên f (−2 x) = − f (2 x) Do 2 1  f (−2 x)dx = − f (2 x)dx  f (2 x)dx = −4 4 2 dùng công thức (*)với u ( x) = x   f (2x) dx =  f ( x)dx   f ( x)dx = −8 4 0 Do I =  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx = − = −6 Câu 11: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI - 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  f (2 x) dx = Tính I = A.4  xf ( x )dx B.16 C.8 D.32 Lời Giải Cách :Tính trực tiếp khơng nhớ cơng thức Đặt 2t = x  2dt = xdx  dt = dx Đổi cận : x =  t = 0; x =  t = 1 0 Ta có : I =  xf ( x )dx =  f (2t )dt =  f (2 x)dx =8 2 0 Cách 2: Dùng công thức (*) với u ( x) = x   f (2 x) dx =  f ( x)dx   f ( x)dx = 16 Ta lại áp dụng công thức (*) với u ( x) = x  2  2xf ( x ) dx =  f ( x)dx   0 xf ( x ) dx =  f ( x) dx = 20 Câu12.(SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018)Cho  f ( x ) dx = 2018 Tích phân   f ( sin x ) cos xdx A 2018 B −1009 Lời giải Cách :Tính trực tiếp không nhớ công thức Đặt t = sin 2x  dt = 2cos 2xdx x = t = ; x =  C −2018 D 1009  t =1  Suy ra:  f ( sin x ) cos xdx =  f ( t ) dt = f ( x ) dx = 1009 2 0 Cách 2: Dùng công thức (*) với   4 0 u ( x) = sin x   f (sin x) cos 2x dx =  f ( x)dx = 2018   f (sin x) cos 2x dx =1009 Câu 13(THPT CHUYÊN AN GIANG - 2018) Cho f ( x) hàm số liên tục thỏa  mãn  f ( x ) dx = Tính I =  f (sinx) cosxdx 0 A.1 B C.3 Cách :Tính trực tiếp không nhớ công thức 10 D.7 Lời giải ex ex + C f (0) =  C = −  f ( x) = − e −1 e −1 e −1 e −1 e−2 f ( x)dx = e −1 f ( x) =  Cách Ta có  f '( x)dx = Theo bất đẳng thức Bunhiacopski với tích phân 2 ( ) 2 1   f '( x)   f '( x)  x (e − 1) = (1) =   f '(x)dx  =   x e dx     x  dx. e x dx= e −1 0  0 e  0 e  f '( x) = k e x mặt khác Dấu“=” xảy x e 1  =  f '( x) dx = k  e x dx = k (e − 1)  k = e −1 0  f '( x) = x e e −1 Nên ex ex + C f (0) =  C = −  f ( x) = − e −1 e −1 e −1 e −1 e−2 f ( x)dx = e −1 f ( x) =  Câu 37 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn f (1) = 1; f (0) =  + x  f  ( x )  dx = 2 A ln (1 + 2) B f (x) dx bằng: Tích phân  ln(1 + 2) + x2 −1 ln (1 + 2) C ln(1 + 2) 2 D ( − 1) ln(1 + 2) Lời giải Cách Từ giả thiết toán: Ta thấy xuất  + x  f  ( x )  dx = ta ln(1 + 2) nghĩ   + x f  ( x ) − g ( x)  dx = 0   Khi phải xuất  + x f  ( x ) g ( x)dx ta lại có   f '( x)dx = f ( x) =1 149 f (1) = 1; f (0) = hay  + x2 f  ( x ) + x2 dx = mặt khác   dx = 0  + x2  0 + x2 dx = ln(x + + x ) = ln(1 + 2)   ta nghĩ đến   + x f  ( x ) − m  dx = ta tìm số m tương ứng để + x  0   thỏa mãn   + x f  ( x ) − m  dx = + x2  0 Tức 1 1 4 0  f '( x) x + 1 dx − 2m0 x + f '( x) x + dx +m 0 x2 + dx = 1  − 2m + m ln(1 + 2)  m = ln(1 + 2) ln(1 + 2)   1 Hay   x + f '( x) −  dx =  f '( x) = ln(1 + 2) x +  ln(1 + 2) x + 0  Nên f ( x) = ln( x + x + 1) + C Do f (0) =  C = ln(1 + 2) f ( x) = ln( x + x + 1) ln(1 + 2)   + x2 f ( x) 1+ x = ln( x + + x ) dx = ln( x + + x )d ln( x + + x )   ln(1 + 2) ln(1 + 2) 1+ x = 1 ln ( x + + x ) = ln(1 + 2) ln(1 + 2) f ( x) Nên f ( x) = ln( x + x + 1) + C Do f (0) =  C = ln(1 + 2) f ( x) = ln( x + x + 1) ln(1 + 2) Cách Ta có  f '( x)dx = Theo bất đẳng thức Bunhiacopski với tích phân 150 2 2 1  1  4    (1) =   f '(x)dx  =   x + f '( x) dx     x + f '( x)  dx.   dx x +1  x +1  0 0  0 ln(1 + 2) = (1)  ln(1 + 2) 1 Dấu“=” xảy x + f '( x) = k  f '( x) = k x +1 x +1 mặt khác 1  =  f '( x) dx = k  0  f '( x) = x +1 dx = k ln(1 + 2)  k = ln(1 + 2) ln(1 + 2) x + Nên f ( x) = ln( x + x + 1) + C Do f (0) =  C = ln(1 + 2) ln( x + x + 1) ln(1 + 2) Câu 38.Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [-1;1] thỏa mãn: f ( x) = f (−1) = A 84 1 16   f '( x) dx =112;  x f ( x)dx = Tính  f ( x)dx −1 −1 −1 168 35 35 B C D 2 Lời giải Cách 1 Từ giả thiết toán: Ta thấy xuất  ( f '( x) ) dx ta nghĩ −1   f ' ( x ) − g ( x) dx = −1 Khi phải xuất  f ' ( x ) g ( x)dx nên ta biến đổi giả thiết x −1 f ( x)dx = 16 phương pháp tích phân phần để dấu tích phân xuất biểu thức f '( x) 16 −1 du = f '(x) dx u = f (x)   Đặt  x3 dv = x dx v =  - Từ giả thiết x f ( x)dx = 151 1 1 16 1 f (1) =  x f ( x)dx = f ( x).x3 −  x f '( x) dx = −  f '( x).x 3dx −1 3 −1 3 −1 Nhưng giả thiết không cho f (1) nên tađiều chỉnh du = f '(x) dx u = f (x)     x3 Đặt   dv = x dx v =  + a     1  13  16 1  1  1  =  x f ( x)dx =  x + a  f ( x) −   x + a  f '( x) dx =  + a  f (1) −  f '( x)  x + a  dx −1 −1  3 −1 3   3  −1 3  1 16 Ta chọn a = −   f '( x)  x3 −  dx = −   f '( x) ( x3 − 1) dx = −16 1 3 −1 3 −1 16 - Lại có:  ( x3 − 1) dx = −1 ta nghĩ đến  ( f '( x) − m ( x ) − 1) dx ta tìm số m tương ứng để thỏa mãn −1  ( f '( x) − m ( x ) − 1) dx = −1 1 −1 −1 Tức  [f '( x)]2 dx − 2m  f '( x)(x − 1)dx +m2  (x − 1) dx = ta có −1 16 Nên ta có 112 − 2m.(−16) + m =  m = −7   ( f '( x) + 7( x3 − 1) ) dx =  f '( x)=-7( x − 1) −1 35 35  f ( x)=- x +7x+C f ( −1) =  C =  f ( x)=- x +7x+ 4 4 84   f ( x)dx = Cách Dùng tích phân phần ta có  f '( x).( x − 1) dx = −16 −1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski với tích phân 1 1  16 − 16 = (x − 1) f '( x ) dx  f '( x ) d x ( )    (x −1)2dx= 112 = (16)2   −1  −1  −1 Dấu“=” xảy f '( x) = k.(x − 1) mặt khác 1 −16 =  ( x3 − 1) f '( x)dx = k  ( x3 − 1) dx = k −1 −1 16  k = −7  f '( x) = −7( x − 1) 152  f ( x)=- x +7x+C 84   f ( x)dx = −1 f ( −1) =  C = 35 35  f ( x)=- x +7x+ 4 V Tìm hàm số cách giải phương trình hàm Bài toán 7:‘‘Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục Af ( u( x) ) + f ( v( x) ) = h( x) Tính , thỏa mãn b  f ( x)dx ’’ a Phương pháp ta thay u ( x) v ( x ) để giải hệ tìm hàm số y = f ( x ) Một số ví dụ ỉ é ù Câu Cho hàm số f (x ) liên tục êê1 ;2úú thỏa f (x )+ f ỗỗỗ ữữữ= 3x Tính tích ë2 phân I= ị A I = èx ø û f (x ) dx x B I = C I = Lời giải Từ giả thiết, thay x ta x D I = ổ1 f ỗỗ ữ ữ ữ+ f (x ) = x ỗố x ø Do ta có hệ ìï ìï ỉ ổ1 ùù f (x )+ f ỗỗ ÷ ÷ ÷ ïïï f (x )+ f ççç ÷ ÷= x ÷= x çè x ø ïï èx ø Û ïí Þ f (x ) = - x í ïï ỉ1 ïï æ ö x + f (x ) = = ùù f ỗỗ ữ ùù f (x )+ f ỗỗ ữ ữ ữ ữ ữ ç ç èx ø x x ïỵ è x ø ïỵ 2 f (x ) ỉ2 ỉ ử2 ỗỗ- - x ữ dx = ũ ỗỗ - 1÷ dx = Khi I = ị ữ ữ ữ ữ = Chn ỗố x ứ ốỗ x ứ x 1 B Câu Cho hàm số f (x ) liên tục đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f (x )+ f (1- x )= 3x - x , " x Ỵ [0;1] Tính tích phân I = ò f (1- x )dx A I = 15 C I = 15 B I = D I = Cách Lời giảiChọn C Đặt t = 1- x , " x Ỵ [0;1] " t Î [0;1] Ta có f (x )+ f (1- x )= 3x - 6x Û f (x )+ f (1- x )= 3(x - 1) - Û f (1- t )+ f (t )= 3t - Û f (x )+ f (1- x )= 3x - 153 15 Xét hệ phương ìï f (x )+ f (1- x ) = 3x - x ï í ïï f (x )+ f (1- x ) = 3x - ỵ trình: ìï f (x )+ f (1- x ) = 3x - x Û ïí ïï f (x )+ f (1- x ) = x - î Þ f (x )= 3x + x - Û f (x ) = (x + 1) - , " x Ỵ [0;1] Khi f (1- x ) = (2 - x ) - = x - x + Suy I = ò Câu Cho hàm số 1 æx x ö =f (1- x )dx = ũ (x - x + 1)dx = ỗỗ ữ + xữ ữ ỗố ữ 15 ø0 y = f (x ) liên tục [0;1] thỏa mãn x f (x )+ f (1- x ) = x - x Tính tích phân I= ị f (x )dx A I = B I = C I = D I = Lời giải Từ giả thiết, thay x - x ta (1- x )2 f (1- x )+ f (x ) = (1- x )- (1- x )4 Û (x - x + 1) f (1 - x )+ f (x ) = + x - x + x - x (1) Ta có x f (x )+ f (1- x )= 2x - x Þ f (1- x )= 2x - x - x f (x ) Thay vào (1) ta (x - x + 1)éêë2 x - x - x f (x )ùúû+ f (x ) = + x - x + x - x Û (1 - x + x - x ) f (x ) = x - x + x - x + Û (1 - x + x - x ) f (x ) = (1 - x )(1 - x + x - x ) Þ f (x ) = - x Vậy I= ò f (x )dx = Câu Cho hàm số ỉ 3÷ ư1 2 ỗ x d x = x x = Chn ữ ) ỗỗ ũ( ố ứ0 3 ÷ y = f (x ) liên tục é p pù ê- ; ú êë 2 ú û C thỏa mãn f (x )+ f (- x )= cos x p Tính tích phân I= ò f (x )dx - A I = - B I = p 2 C I = Lời giải ta tìm hàm số y = f (x ) Từ giả thiết, thay x - x ta D I = f (- x )+ f (x )= cos x Do ìï f (x )+ f (- x ) = cos x ìï f (x )+ f (- x ) = cos x ï Û ïí Þ f (x ) = cos x í ïï f (- x )+ f (x ) = cos x ïï f (x )+ f (- x ) = cos x ỵ ỵ p I= ò - p p 1 f (x )dx = ò cos xdx = sin x p - p - p = Chọn 154 B ta có hệ Câu Cho hàm số y = f (x ) liên tục [- 2;2 ] thỏa mãn f (x )+ f (- x ) = + x2 Tính tích phân I= ị f (x )dx - A I = - p 10 B I = - p 20 C I = p 20 D I = p 10 Lời giải ta tìm hàm số y = f (x ) Từ giả thiết, thay x - x ta f (- x )+ f (x ) = Do + x2 ta có hệ ìï ìï ïï f (x )+ f (- x ) = ïï f (x )+ f (- x ) = ïï ïï 4+ x + x2 Û í Þ f (x ) = Khi í ïï ïï 5(4 + x ) f x + f x = ( ) ( ) ïï f (- x )+ f (x ) = ï ïïỵ + x2 + x2 ïỵ I= ị f (x )dx = - 1 p dx = ò - 4+ x 20 Chọn C Câu 6.(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN - LẦN - 2018) Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f ( x) + f (1 − x) = − x Tích phân  f ( x)dx 15 Lời giải Tìm hàm số f ( x) A B C D f ( x) + f (1 − x) = − x Ta có : f ( x) + f (1 − x) = − x (1) Đặt t = − x  x = 1− t , phương trình (1) trở thành f (1 − t ) + f ( t ) = t Thay t x ta phương trình f ( x ) + f (1 − x ) = x ( 2) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = − x Từ (1) ( 2) ta có hệ phương trình  ) x − 1− x 1 1 f ( x ) dx =  x − − x dx =  xdx −  − xdx 50 50 50  f ( x) =  ( 3 f ( x ) + f (1 − x ) = x ( ) *Xét I =  xdx Đặt u = x  u = x  dx = 2udu Đổi cận: x =  u = ; x =  u = 1 2u  I = 2 u du = = 3 155 *Xét J =  − xdx Đặt v = − x  v2 = − x  dx = −2vdv Đổi cận: x =  v = ; x =  v = 0 1 2v  J = −2  v dv =  v dv = = 3 2 2 2   f ( x ) dx = − = 5 15 Câu (HSG-Đà Nẵng-11-03-2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định R thỏa mãn f  ( x ) + f  ( − x ) = 2x x + x2 + với số thực x Giả sử f ( 2) = m , f ( −3) = n Tính giá trị biểu thức T = f ( −2) − f ( 3) D T = −m − n B T = n − m C T = m − n Lời giảiChọn B A T = m + n ta tìm hàm số y = f ' (x ) Với số thực x , thay x − x vào biểu thức f ( x) + f (−x) = f (−x) + f ( x) = 2x x6 + x2 + (1), ta −x (−x) + (−x) +1 hay f  ( x ) + f  ( − x ) = 2x x + x2 + (2) Nhân hai vế (2) với sau trừ theo vế cho (1), rút gọn suy x f ( x) = x + x2 + Xét I =  f  ( x ) dx = −3 với số thực x 2  x −3 x dx Đặt u = − x , ta du = −dx + x2 + Đổi cận: Khi x = −3  u = x =  u = −2 Ta −2 I=  3 3 −u u x 2 − d u = d u = d x = ( )  u + u + −2 x6 + x2 + −2 f  ( x ) dx ( −u )6 + ( −u )2 + −2 −3 −2 Mà I =  f  ( x ) dx = f ( ) − f ( −3) (3) I =  f  ( x ) dx = f ( 3) − f ( −2 ) (4) Từ (3) (4), ta f ( 2) − f ( −3) = f (3) − f ( −2) suy f ( −2) − f ( 3) = f ( −3) − f ( 2) = n − m Câu 8.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục , thỏa mãn f ( x ) + f (1 − x ) = 12 x2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ A y = 2x + B y = 4x − C y = x − Lời giải Chọn C 156 D y = x − ta tìm hàm số f (x ) Với số thực x , thay x f ( x ) + f (1 − 2x ) = 12x2 (1) Ta  1   1  1  f   − x   + f 1 −  − x   = 12  − x    2       f (1 − 2x ) + f ( 2x ) = − 12x + 12 x (2) − x vào biểuthức 2 Từ (1) (2) ta có 2 f ( x ) + f (1 − x ) = 12 x (1) 4 f ( x ) + f (1 − x ) = 24 x   2 2 f (1 − 2x ) + f ( 2x ) = − 12x + 12 x (2) 2 f (1 − 2x ) + f ( 2x ) = − 12x + 12 x  f (2x) = x + 4x −  f ( x) = x + 2x −  f (1) = , phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = x −  f  (1) = Suy  2.5: KIỂM TRA NHẰM ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ MÀ SÁNG KIẾN ĐEM LẠI Bản thân đồng nghiệp áp dụng sáng kiến lớp đối chứng lớp thí nghiệm năm học 2017-2018 2018-2019,áp dụng sáng kiến tất lớp chọn: 12A1, A2, A3, A4, A5 năm học 2019-2020 III HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI - Với hệ thống câu hỏi mà biên soạn đề tài, sau học xong tích phân lớp 12 áp dụng q trình ơn thi học kỳ, ơn thi HSG, thi THPT Quốc gia giúp em học sinh dễ dàng nhớ áp dụng kiến thức học vào đề thi -Trong năm học 2017- 2018 nhóm Tốn chúng tơi phân cơng giảng dạy có lớp 12 mơn tốn lớp chọn có 12A1, 12A4; lớp đại trà 12A6,12A8 đồng nghiệp tiến hành áp dụng sáng kiến Việc khảo sát kết thực kiểm tra: 1:thông hiểu,vận dụng vận dụng cao với câu hỏi nhiều lựa chọn Sau thu lại đề phiếu trả lời lớp để tránh em cho lớp kiểm tra sau mượn đề 157 *Kết kiểm tra số lớp 12A3 ;12A6,12A9 lớp đối chứng (không áp dụng sáng kiến), lớp 12A1; 12A4; 12A6,12A8 lớp thực nghiệm(áp dụng sáng kiến) Lớp Sĩ số điểm 8->10 6->dưới 5-> điểm10 6->dưới 5-> điểm10 68 Điểm 5->6 Điểm 10 68 Điểm 5->6 Điểm