Ước chung lớn nhất của các ma trận vuông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015 – 2016 XÉT GIẢI THƯỞNG "TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT" NĂM 2016 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2015 - 2016 XÉT GIẢI THƯỞNG "TÀI NĂNG KHOA HỌC TRẺ ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT" NĂM 2016 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH Nam, Nữ: Nữ Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: C13TO01 – Khoa Khoa Học Tự Nhiên Năm thứ: 3/ Số năm đào tạo: Ngành học: Cao đẳng Sư phạm Tốn Người hướng dẫn: Ths NGUYỄN THỊ KHÁNH HỊA UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung: - Tên đề tài: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VUÔNG - Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Kiều Trinh - Lớp: C13TO01 Khoa: Khoa học Tự nhiên Năm thứ: Số năm đào tạo: - Người hướng dẫn: Ths Nguyễn Thị Khánh Hòa Mục tiêu đề tài: - Làm rõ định nghĩa ước chung lớn (UCLN) ma trận vng miền lấy ví dụ cụ thể - Chứng minh tồn UCLN ma trận vuông miền số tính chất - Trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN hai ma trận vng với phần tử số nguyên Tính sáng tạo: - Thể rõ mối quan hệ miền R vành ma trận Mn(R) - Chứng minh rõ số tính chất tồn UCLN ma trận vuông - Trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN hai ma trận vuông với phần tử số nguyên Kết nghiên cứu: - Mối quan hệ miền R vành ma trận Mn(R): vành ma trận Mn(R) với R miền tồn UCLN ma trận vuông - Phương pháp tìm UCLN hai ma trận vng với phần tử số nguyên Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh, quốc phòng khả áp dụng đề tài: Tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên Sư phạm Tốn tìm hiểu UCLN phần tử vành Nhằm giúp sinh viên thấy rõ điểm khác UCLN số nguyên với UCLN ma trận vuông Công bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài Bài báo “Ước chung lớn ma trận vuông” gửi cho Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một giai đoạn chỉnh sửa sau phản biện Ngày … tháng … năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Nguyễn Thị Kiều Trinh Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học sinh viên thực đề tài: Trong thời gian làm đề tài, em Trinh cố gắng việc đọc dịch tài liệu Dưới hướng dẫn Giảng viên, em chứng minh chi tiết kết đề tài tự chứng minh số tính chất ước UCLN Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Ngày… tháng … năm 2016 Người hướng dẫn (ký, họ tên) Nguyễn Thị Khánh Hòa UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN: Ảnh 4x6 Họ tên: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH Sinh ngày 12 tháng 12 năm 1995 Nơi sinh: Tân Uyên – Bình Dương Lớp: C13TO01 Khóa: 2013- 2016 Khoa: Khoa học Tự nhiên Địa liên hệ: Số nhà 91 Ấp Tổ Vĩnh Tân Thị xã Tân Uyên Tỉnh Bình Dương Điện thoại: 01627 045 659 Email: kt12122012@gmail.com II QUÁ TRÌNH HỌC * Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Khoa học Tự nhiên Kết xếp loại học tập: Giỏi Sơ lược thành tích: học kì I: 8.29; học kì II: 8.64 * Năm thứ 2: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Khoa học Tự nhiên Kết xếp loại học tập: Xuất sắc Sơ lược thành tích: học kì I: 9.12; học kì II: 9.26; danh hiệu Sinh viên tốt cấp trường * Năm thứ 3: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Khoa học Tự nhiên Kết xếp loại học tập học kì I: Xuất sắc Sơ lược thành tích: học kì I: 9.18 Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Ngày… tháng … năm 2016 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài (ký, họ tên) Nguyễn Thị Kiều Trinh TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Độc lập – Tự – Hạnh phúc , ngày Kính gửi: tháng năm 2016 Ban tổ chức Giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” Tên là: NGUYỄN THỊ KIỀU TRINH Sinh ngày : 12 /12/1995 Sinh viên năm thứ: / Tổng số năm đào tạo: Lớp : C13TO01 Khoa : Khoa học Tự nhiên Ngành học : Cao đẳng Sư phạm Tốn Thơng tin cá nhân sinh viên chịu trách nhiệm chính: Địa liên hệ : Số nhà 91 Ấp Tổ Vĩnh Tân Thị xã Tân Uyên Tỉnh Bình Dương Số điện thoại : 01627 045 659 Địa email: kt12122012@gmail.com Tôi làm đơn kính đề nghị Ban tổ chức cho tơi gửi đề tài nghiên cứu khoa học để tham gia xét Giải thưởng “Tài khoa học trẻ Đại học Thủ Dầu Một” năm 2016 Tên đề tài: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG Tơi xin cam đoan đề tài thực hướng dẫn Th.s Nguyễn Thị Khánh Hòa ; đề tài chưa trao giải thưởng khác thời điểm nộp hồ sơ luận văn, đồ án tốt nghiệp Nếu sai, xin chịu trách nhiệm trước khoa Nhà trường Xác nhận lãnh đạo khoa (ký, họ tên) Người làm đơn (Sinh viên ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Kiều Trinh MỤC LỤC DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT .1 LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một số kết vành, iđêan môđun 1.1 Các định nghĩa 1.2 Bổ đề Ma trận 2.1 Định nghĩa ma trận 2.2 Một số ma trận đặc biệt 2.3 Các phép toán ma trận Ma trận nghịch đảo 2.4 Bổ đề 2.5 Hai phép biến đổi sơ cấp dòng Ma trận sơ cấp 10 CHƯƠNG II ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VUÔNG 12 Các định nghĩa 12 1.1 Ước ma trận vuông 12 1.2 Ước chung ma trận vuông 13 1.3 UCLN ma trận vuông .13 Sự tồn phương pháp tìm UCLN ma trận vng 14 2.1 Sự tồn UCLN ma trận vuông .14 2.2 Phương pháp tìm UCLN ma trận vng 17 Một số tính chất 21 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 Kết luận 24 Kiến nghị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT Phép BĐSCTD Phép biến đổi sơ cấp dòng UCLN Ước chung lớn UCLN(A1, A2, …, An) Ước chung lớn ma trận A1, A2, …, An 11 ii) Mọi ma trận sơ cấp khả nghịch có nghịch đảo ma trận sơ cấp Chứng minh Giả sử  phép BĐSCTD Đặt J m   I m  Khi tồn phép BĐSCTD  loại với  biến J m thành I m   J m  Theo tính chất i, ta có: I m   J m    I m  J m   I m    I m  Do   I m  khả nghịch trái Áp dụng kết cho phép biến đổi sơ cấp  , ta suy   I m  khả nghịch trái Từ từ đẳng thức ta suy   I m  khả 1 nghịch   I m    I m   khả nghịch 12 CHƯƠNG II ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VNG Trong phần này, ta ln giả sử R miền Các định nghĩa Trong [4], Éugene Cahen định nghĩa ước cho ma trận với cỡ m n tùy ý Tuy nhiên, phạm vi đề tài này, đề cập đến ước UCLN ma trận vuông 1.1 Ước ma trận vuông 1.1.1 Định nghĩa Cho M n ( R) vành Giả sử A  M n ( R) , D  M n ( R) , D O Ta nói D ước bên phải (trái) ma trận A , tồn P  M n ( R) cho A PD ( tương ứng A DP ) 1.1.2 Ví dụ 0 1 0 1 Trên M () , cho hai ma trận A  , D    , D O 0     1 0 D ước bên phải A tồn P    M () để A PD 0 0 1.2.3 Tính chất i) A ước bên phải, trái ma trận đơn vị I n A ma trận khả nghịch Chứng minh: ( ) Giả sử A ma trận khả nghịch Suy tồn B ma trận nghịch đảo A cho I n  AB BA Do A vừa ước bên phải, vừa ước bên trái I n ( ) Giả sử A ước bên phải I n Suy tồn ma trận B1 cho I n B1 A Khi đó: det B1.det A det I n 1  A khả nghịch Chứng minh tương tự cho A ước bên trái I n ii) (Mục 368, chương 19, [4]) A ước (bên phải bên trái ) A Chứng minh: Hiển nhiên, tồn ma trận đơn vị I n để A I n A  AI n iii) Nếu A ước bên phải B B ước bên phải C A ước bên phải C Chứng minh: Vì A ước bên phải B B ước bên phải C nên tồn 13 P, Q  M n ( R) để B PA C QB Suy ra: C (QP) A Do đó, A ước bên phải C iv) Với A1 , A2 , , An  M n ( R) , D ước bên phải A1 , A2 , , An D ước bên phải ( P1 A1  P2 A2   Pn An ) với Pi  M n ( R) , i 1, n Chứng minh: Vì D ước bên phải Ai , i 1, n nên tồn ma trận Qi  M n ( R) , i 1, n cho Ai Qi D Khi đó: P1 A1  P2 A2   Pn An P1 (Q1D )  P2 (Q2 D )   Pn (Qn D ) ( PQ 1  P2Q2   PnQn ) D 1.2 Ước chung ma trận vuông 1.2.1 Định nghĩa Trên M n ( R) , ma trận D gọi ước chung bên phải (trái) ma trận A1 , A2 , , An D ước bên phải (trái) đồng thời ma trận 1.2.2 Ví dụ 1 1  3  2 Trên M () , D  ước chung bên phải A  B     1 1  3 1 1  2  0 Vì tồn ma trận M  , N    để A MD B ND 1     1.3 UCLN ma trận vuông 1.3.1 Định nghĩa Trên Mn(R), cho D ước chung bên phải (trái) ma trận A1 , A2 , , An Nếu ước chung bên phải (trái) A1 , A2 , , An ước bên phải (trái) D D gọi ước chung lớn bên phải (trái) ma trận Sau đây, ta xét ước chung lớn bên phải ma trận ta viết tắt ước chung lớn A1 , A2 , , An UCLN  A1 , A2 , , An  1.3.2 Ví dụ 1   3 1  Khi đó, D  Trên M () , cho A  B     3   1   1 UCLN  A, B    1    Thật vậy, ta có:   3    1       14  3      1  3   1       nên D ước chung bên phải A B Hơn nữa,     1   0      1       1            1  0 0 hay D  XA  YB với X  Y      2 1 0 Do đó, D1 ước chung bên phải A B , tức A  A1D1 ; B B1D1 D ( XA1 ) D1  (YB1 ) D1 ( XA1  YB1 ) D1 , tức D1 ước bên phải D * Nhận xét: 1) Nếu D D ' UCLN  A1 , A2 , , An  D D ' sai khác ma trận khả nghịch, nghĩa tồn U, V  M n ( R ) khả nghịch cho D UD ' D ' VD Chứng minh: Vì D, D ' UCLN  A1 , A2 , , An  nên D ước bên phải D ' , D ' ước bên phải D Do tồn U, V  M n ( R ) để D UD ' D ' VD Khi D UD ' UVD Suy det D det U det V det D Vì R miền nguyên nên det U det V 1 Suy U, V khả nghịch 2) Theo nhận xét 1, ta kết luận UCLN  A1 , A2 , , An  không Sự tồn phương pháp tìm UCLN ma trận vuông 2.1 Sự tồn UCLN ma trận vng 2.1.1 Định lí Giả sử R miền Khi đó, ln tồn UCLN bên phải (trái) ma trận vuông thuộc S M n ( R) Chứng minh: Giả sử A1, A2, …, An ma trận tùy ý thuộc Mn(R), ta chứng minh tồn UCLN(A1, A2, …, An) * Xét M SA1  SA2   SAn  D1 A1  D2 A2   Dn An | D1 , D2 , Dn  S  * Ta thấy M iđêan trái S M  O OA1  OA2   OAn  M  Với X A1  X A2   X n An  M , X i  S , i 1, n    Y1 A1  Y2 A2   Yn An  M , Y j  S , j 1, n Ta có:  X A1  X A2   X n An    Y1 A1  Y2 A2   Yn An   X  Y1  A1   X  Y2  A2    X n  Yn  An  M 15 Với X  S , ta có: X  X A1  X A2   X n An   XX  A1   XX  A2    XX n  An  M * Theo bổ đề (mục 2.4, chương I), R miền nên iđêan trái S iđêan trái Suy tồn D  S cho M SD  K D | K  S  * Ta chứng minh D UCLN  A1 , A2 , , An  Trước tiên, ta chứng minh: D ước chung bên phải A1 , A2 , , An  M SA1  SA2   SAn Ta có:  M SD   A1 , A2 , , An  M SD Suy   D  M SA1  SA2   SAn    K i  S : Ai K i D , i 1, n Suy   Li  S , i 1, n : D L1 A1  L2 A2   Ln An Do D ước chung bên phải A1 , A2 , , An (1) (2) * Tiếp theo, ta chứng minh D UCLN  A1 , A2 , , An  Giả sử E ước bên phải tùy ý A1 , A2 , , An Ta có: Ai  X i E (với X i  S , i 1, n ) Từ (2) suy ra: D L1  X 1E   L2  X E    Ln  X n E   L1 X  E   L2 X  E    Ln X n  E  L1 X  L2 X   Ln X n  E tức E ước bên phải D Do D UCLN  A1 , A2 , , An   Hệ quả: Trên M n ( R) , D UCLN  A1 , A2 , , An  tồn ma trận U1 ,U , ,U n  M n ( R ) cho D U1 A1  U A2   U n An 2.1.2 Định lý Cho R vành A , B ma trận vuông cấp n vành M n  R   A Đặt C   ma trận cấp 2n n Nếu tồn ma trận khả nghịch V cho  B VC H ma trận bậc thang khẳng định sau đúng: i) Gọi D n dòng đầu H D UCLN  A, B  P ii) Gọi n cột đầu V    A PD ; B QD Q  16 iii) Gọi n dòng đầu V  X Y  XA  YB D Chứng minh: X Y  P   D 1 V  H  Giả sử V  ; ; X , Y , P, Q, D   Q  O      n2 n   n2 n   2nn ma trận vuông cấp n * Theo giả thiết VC H mà V khả nghịch nên C V  1H  A  P   D  1 Do C    V H     Điều cho ta A PD B QD  B  Q   O  Có nghĩa D ước chung bên phải A B  X Y   A  D  * Cũng từ VC H ta suy        XA  YB D      B O  * Giả sử D ước chung bên phải A , B , nghĩa tồn P, Q M n  R  cho A PD ; B QD Khi D  XA  YB  XPD  YQD  XP  YQ D Suy D ước bên phải D Vậy D UCLN  A, B  Kết sau chứng minh trường hợp R  2.1.3 Định lý Bằng cách sử dụng hai phép biến đổi sơ cấp dòng (đổi chỗ dòng; Cộng vào dòng bội dòng khác) ta đưa ma trận C dạng bậc thang H tồn ma trận khả nghịch V cho VC H Chứng minh: Giả sử C ma trận cấp m n Ta chứng minh quy nạp theo m * Nếu m 1 C ma trận bậc thang * Giả sử m  định lý với ma trận có m  dịng Nếu C ma trận khơng ma trận bậc thang Vì ta cần chứng minh trường hợp C khác ma trận không Giả sử j1 cột C khác không Nhờ phép đổi chỗ dịng, ta giả thiết a1 j1 phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ khác không cột j1 0  0   0   a1 j1 a1 j1 1  a2 j1 a2 j1 1     amj1  am j1 1  a1n    a2 n      amn   Tiếp theo ta biến đổi để phần tử a1 j1 0, i 2, m Giả sử a1 j1  i m  phần tử khác không cột j1 aij1 qi a1 j1  ri ; ri  aij1 Khi ta cộng 17 vào dịng bội  qi dòng Nếu ri 0 , ta tiếp tục trình cho phần tử cột Nếu ri 0 ta đổi chỗ dòng i dòng để a1 j1 phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ khác khơng cột j1 Theo thuật tốn Euclid, q trình dừng lại cuối ta thu a1 j1 0, i 2, m Ta ma trận  b2 j1 1  Ma trận   b  m j1 1 0   0     0    b2 n      có  bmn   a1 j1 a1 j1 1 0 b2 j1 1    bn j1 1  a1n    b2 n      bmn   m  dòng Theo giả thiết quy nạp ma trận đưa dạng bậc thang nhờ hai phép biến đổi sơ cấp Do ma trận C đưa dạng ma trận bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp Giả sử H ma trận bậc thang nhận sau k phép biến đổi sơ cấp Khi Ek E1.C H Đặt V Ek E1 Ta chứng minh V khả nghịch Nếu Ei  i k  ma trận sơ cấp có đổi dịng det Ei  det I m  Nếu Ei  i k  ma trận sơ cấp có cộng vào dịng bội dịng khác det Ei det I m 1 Do det V 1 Có nghĩa V ma trận khả nghịch Định lý chứng minh 2.2 Phương pháp tìm UCLN ma trận vuông Từ chứng minh định lý định lý mục 2.1, ta có thuật tốn sau: 2.2.1 Thuật tốn tìm UCLN hai ma trận vuông A, B vành M n    A Với A, B  M n   Đặt C    B  2nn Đưa ma trận C dạng bậc thang H hai phép biến đổi sơ cấp dòng (phép đổi chỗ hai dòng, phép cộng vào dòng bội dòng khác) Bước Giả sử j cột khác C , sử dụng phép đổi chỗ dòng để ckj 0 18 phần tử cột j phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ cột j Bước Khử phần tử cij  i  k  cách cộng vào dòng i bội  qi dòng j Trong : cij qi c jj  ri ; ri  c jj , qi , ri   Bước Lặp lại bước bước cho cột C Bước Ma trận D tạo n dòng đầu H UCLN  A, B  2.2.2 Ví dụ 1   3 B  Tìm UCLN hai ma trận vuông A B , biết A    1 3     2  4  Đặt C   3   2 1 Ta tiến hành đưa ma trận C dạng bậc thang Bước Ta có c11 1 0 phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ cột ma trận C Bước 2: Khử phần tử (của cột ) nằm bên phần tử c11 C * Để khử phần tử c21 3 C , ta cộng dòng Tức ta thực phép toán sau:  0 0  2 1   0  4       0 0  3       0 1 2 1 2 1  E  với  0  0 0 0 vào dòng C bội  q1  2   hay E1C C1 3  1 0 1    2   C   4  0    1 2  * Để khử phần tử c31 4 C1 , ta cộng vào dòng C1 bội  q2  dòng Tức ta thực phép toán sau:  0 0 1  1   0 0  2 0  2      hay E2C1 C2   0     5       0 1 2  2  19 1 0 với E2    0 0 0 0 1    2   C2    5 0    1 2  * Để khử phần tử c41 2 C2 , ta cộng vào dòng C2 bội  q3  dòng Tức ta thực phép toán sau:  0    1   0   2 0  2      hay E3C2 C3  0 0   5 0  5        0    0  3 1 0 với E3  0   0 0 0 1   0  2 0  C3    0  5    1   3 Bước 3: 1    2  C  Sau bước 2, ma trận C đưa ma trận    5     3 Ta lặp lại bước bước cho cột ma trận C3 Ta có c22  0 phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ cột ma trận C3 Khử phần tử (của cột ) nằm bên phần tử c22 C3 * Để khử phần tử c32  , ta cộng vào dòng C3 bội  q4  dòng C3 Tức ta thực phép toán sau: 1 0  0   0 1 0 E  với  0  0 0 0  1  1          hay E4C3 C4 0   5          3    0 0 1  0  2 0   C   0   0    0 1   3 20 1  0  2  Lúc này, ma trận C đưa ma trận C4  0      3 Vì c32 1 0 phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ cột ma trận C4 , nên ta thực phép đổi chỗ d  d C4 , tức thực phép toán sau: 1 0  0  0 1 0 với E5  0  0 0 0 0 0  1  1         hay E5C4 C5 0             3   3 0 1   0  0  C5  0  2 0    1   3 Khử phần tử (của cột ) nằm bên phần tử c22 1 ma trận C5 * Để khử phần tử c32  C5 , ta cộng vào dòng C5 bội  q5 2 dòng Tức ta thực phép toán sau: 1 0  1  1   0 0  0       hay E6C5 C6  0 0  2  0        0       3 1 0 0 1  0 0 0     với E6  C6  0 0 0      0 0 1   3 * Để khử phần tử c42  C6 , ta cộng vào dòng C6 bội  q6 3 dòng C6 Tức ta thực phép toán sau: 1 0  0  0 1 0 với E7  0  0 0 0 0 0   1      0  0  0       3  0 1 2  0 1 0  C7  0 0 0    1 0 0 2  hay E7C6 C7 0  0 21 Bước 4: Khi ma trận C đưa dạng bậc thang ma trận C7 gọi D ma trận 1 2 tạo dòng đầu ma trận C7 , ta D   0 1 1 2 Vậy UCLN  A, B  D   0 1 2.2.3 Phương pháp tìm UCLN nhiều ma trận Cho ma trận A1 , A2 , , An  M n   Gọi D2 UCLN  A1 , A2  , D3 UCLN  D2 , A3  , ……… Dn UCLN  Dn  , An  Khi Dn UCLN  A1 , A2 , , An  Thật vậy, ta thấy ước chung A1 , A2 , , An ước chung D2 , A3 , , An ngược lại Vì ta có UCLN  A1 , A2 , , An  UCLN  D2 , A3 , , An  Lặp lại lí luận nhiều lần, ta UCLN  A1 , A2 , , An  UCLN  D2 , A3 , , An  UCLN  D3 , A4 , , An   UCLN  Dn , An  nghĩa Dn UCLN  A1 , A2 , , An  Một số tính chất Xét vành M n  R  với R miền 1) (Mục 379, chương 19, [4]) Với K  M n  R  , D UCLN  A1 , A2 , , An  DK UCLN  A1K , A2 K , , An K  Chứng minh *Giả sử D UCLN  A1 , A2 , , An  Suy tồn ma trận U1 ,U , ,U n  M n  R  để D U1 A1  U A2   U n An Suy DK U1  A1K   U  A2 K    U n  An K  Suy DK ước chung bên phải A1K , A2 K , , An K *Giả sử E ước chung bên phải tùy ý A1K , A2 K , , An K Ta có: Ai K  X i E ( X i  M n  R  , i 1, n ) Khi đó: DK U1  X 1E   U  X E    U n  X n E  22  U1 X  E   U X  E    U n X n  E  U1 X  U X   U n X n  E Suy E ước bên phải DK Vậy DK UCLN  A1K , A2 K , , An K  2) Cho K ước chung bên phải A1 , A2 , , An (tức tồn K i để Ai K i K với i 1, n ) Nếu D UCLN  K1 , K , , K n  DK UCLN  A1 , A2 , , An  Chứng minh : Tính chất suy trực tiếp từ tính chất 3) K  M n  R  , E UCLN  A1K , A2 K , , An K  E D.K với D  M n  R  Chứng minh: Vì E UCLN  A1K , A2 K , , An K  nên tồn ma trận X , X , , X n  M n  R  cho E  X  A1 K   X  A2 K    X n  An K   X A1  X A2   X n An  K Đặt D  X A1  X A2   X n An  M n  R  Khi E D.K 4) Cho D ước chung A1 , A2 , , An (tức tồn Ei để Ai Ei D với i 1, n ) Khi đó, D UCLN  A1 , A2 , , An  I UCLN  E1 , E2 , , En  Chứng minh Giả sử D UCLN  A1 , A2 , , An  U UCLN  E1 , E2 , , En  Khi đó, theo tính chất 1, ta suy UD UCLN  A1 , A2 , , An  Do đó, UD ước D, tức tồn ma trận V cho D V  UD  Suy D  VU  D Suy det  VU  1 0 hay ma trận U khả nghịch Do đó, theo nhận xét mục 1.3 chương II, ta có U  1U I UCLN  E1 , E2 , , En  Điều ngược lại suy trực tiếp từ tính chất 5) Nếu I UCLN  A, B  B ước AC B ước C Chứng minh Vì I UCLN  A, B  nên tồn X , Y  M n  R  để I  XA  YB Suy IC  XA  YB  C Suy C  XAC  YBC 23 Vì B ước AC B ước BC nên B ước  XAC  YBC  Do B ước C 6) Nếu I UCLN  A, B  D UCLN  C , B  D UCLN  AC , B  ngược lại Chứng minh Giả sử D ước chung AC B Suy D ước chung AC BC Mà theo tính chất 1, I UCLN  A, B  nên C UCLN  AC , BC  Do D ước C Vậy D ước chung B C Ngược lại, giả sử D ước chung C B Suy D ước chung AC B Như vậy, tập hợp ước chung AC B trùng với tập hợp ước chung C B nên D UCLN  C , B  D UCLN  AC , B  7) Nếu I UCLN  A, B  I UCLN  A, C  I UCLN  A, BC  Chứng minh Giả sử D UCLN  A, BC  , theo tính chất 6, D UCLN  A, C  Mà I UCLN  A, C  nên D ước I, tức D khả nghịch Do D  D I UCLN  A, BC  24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong đề tài đưa điều kiện để UCLN ma trận vng ln tồn tại, điều kiện R miền Kết trình bày bổ đề (mục 2.4, chương I) Chúng trình bày chi tiết phương pháp tìm UCLN hai ma trận vuông với phần tử số nguyên mục 2.2.1 (chương II) ví dụ cụ thể Ngồi ra, chúng tơi nêu chứng minh số tính chất ước UCLN Kết trình bày mục 1.2.3 (chương II) mục (chương II) Kiến nghị Trong phạm vi đề tài này, đề cập đến nội dung UCLN ma trận vng miền Vì vậy, thời gian tới, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu, chúng tơi xin phép tìm hiểu bội chung nhỏ ma trận vuông, phần tử bất khả quy vành ma trận 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Xuân Hải (Chủ biên), Đại số tuyến tính, Khoa Tốn - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, 2000 [2] Donald Knuth -Addison wesleef Longman, Ine - Seminumericalalgorithms (The art of computer programming), Third edition, 1997 [3] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm , 2008 [4] Éugene Cahen, Théorie des nombres, Librairie Sciencetifique A Hermann & Fils, 1914 [5] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1999 [6] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [7] Nguyễn Tiến Tài (Chủ biên), Số học, Nhà xuất Giáo dục, 1999 [8] Thomas W Hungerford, Algebra, Springer Science & Business Media, 1974 [9] William Brown, Matrices over commutative rings, Marcel Dekker, 1993 ... dòng Ma trận sơ cấp 10 CHƯƠNG II ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT CỦA CÁC MA TRẬN VUÔNG 12 Các định nghĩa 12 1.1 Ước ma trận vuông 12 1.2 Ước chung ma trận vuông 13 1.3 UCLN ma. .. 2.2.2 Ma trận vuông Một ma trận vuông cấp n ma trận cấp n n (nghĩa số dòng=số cột= n ) Tập ma trận vng cấp n R kí hiệu M n  R  2.2.3 Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị cấp n , kí hiệu I n hay I , ma. .. (trái) ma trận A1 , A2 , , An Nếu ước chung bên phải (trái) A1 , A2 , , An ước bên phải (trái) D D gọi ước chung lớn bên phải (trái) ma trận Sau đây, ta xét ước chung lớn bên phải ma trận ta