Nhóm lie các ma trận

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP.HCM KHOA TON -o0o - Lun tt nghip ti: Nhúm Lie cỏc m a trn GVHD SVTH Lp MSSV : TS Nguyn H Thanh : Nguyn Duy Quang : Toỏn 4B : 34101071 Li cm n Tụi mun gi li cm n v tri õn sõu sc n Tin s Nguyn H Thanh Ging viờn khoa Toỏn Trng i hc S phm vỡ nhng s ch dn nhit tỡnh v úng gúp quý bỏu ca Thy cho lun ny Ngoi ra, tụi cng xin c cm n bn Vừ Vn Vinh Quang ngi cng s thõn thit ó cựng vi tụi nghiờn cu phn u ca lun Li m u T hỡnh hc Euclid i cho n mói na u th k th 19, cỏc nh toỏn hc núi chung v hỡnh hc núi riờng trờn ton th gii u ao ỏo trc mt cõu hi: Liu ch cú mt loi hỡnh hc nht l hỡnh hc Euclid hay cũn nhng loi hỡnh hc khỏc? V cõu tr li ó dn c sỏng t cỏc nhu cu thc t vt lý v toỏn hc ngy cng ũi hi hỡnh hc phi c nghiờn cu trờn nhiu chiu hn ch khụng ch n thun l hay chiu nh trc na, ó lm phỏt sinh mt loi hỡnh hc mi l hỡnh hc phi Euclid Do ú vi mt ý tng tỏo bo l tt c cỏc loi hỡnh hc u ch l nhng trng hp c bit ca hỡnh hc x nh, vo nm 1872, Felix Klein ó ng mt chng trỡnh nghiờn cu mang tờn chng trỡnh Erlangen vi mc ớch gii quyt bi toỏn phõn loi v mụ t cỏc loi hỡnh hc da trờn c s hỡnh hc x nh v lý thuyt nhúm Kt qu ca cụng trỡnh nghiờn cu ny ó cho thy hỡnh hc Euclide quen thuc thỡ tng ng vi nhúm E(3) ca cỏc phộp ng c khụng gian Euclid , hỡnh hc bo giỏc tng ng vi s m rng nhúm ca nhúm bo giỏc, hỡnh hc x nh thỡ tng ng vi nhúm x nh T cỏc cu trỳc c th ú ngi ta xõy dng nờn mt khỏi nim mi l G-cu trỳc, ú G l mt nhúm Lie Vy nhúm Lie l gỡ? Nhúm Lie l mt a kh vi cựng vi mt cu trỳc nhúm cho cỏc phộp toỏn ca nhúm l kh vi Cu trỳc nhúm Lie nh vy c xng bi Sophus Lie (cha ca lý thuyt nhúm liờn tc) vo cui th k 19 vi tờn gi ban u l nhúm vi phõn v sau ú c phỏt trin bi H.Weyl Tuy nhiờn sau ny ngi ta ó t tờn li cho nhúm vi phõn l nhúm Lie ghi nh n cụng lao ca S.Lie nh l ngi ó t viờn ỏ m ng cho mt lý thuyt ti quan trng nn toỏn hc hin i Núi nh vy tht khụng quỏ vỡ nhúm Lie khụng ch cú mt hỡnh hc m cũn xut hin c lnh vc i s Vo thp niờn 40,50 ca th k trc, cỏc nh toỏn hc nh Ellis Kolchin, Armand Borel v Claude Chevalley ó nhn rng rt nhiu kt qu c bn ca nhúm Lie cú th c xõy dng hon ton da theo i s Chớnh iu ny ó dn n vic cho i lý thuyt nhúm i s trờn mt trng bt k l mt phỏt kin quan trng i s thun tỳy vỡ nú cung cp cho nhng quan tõm n ny mt cụng c xõy dng thng nht cho hu ht cỏc nhúm hu hn n gin Vi nhng lý ú thỡ nhúm Lie ó, ang v s úng mt vai trũ rt ln toỏn hc hin i v cỏc ngnh toỏn hc ng dng Vỡ vy vi mc ớch tip cn i s Lie v nhúm Lie, lun ny s gii thiu mt cỏch tng quan v cỏc nhúm ma trn cng nh lý thuyt Lie khuụn kh mt lun tt nghip i hc Lun c chia lm bn chng chớnh vi ni dung nh sau: Chng 1: B sung li cỏc kin thc c bn v i s, gii tớch hm v a trn Chng 2: nh ngha th no mt nhúm tuyn tớnh tng quỏt GLn () vi = , , sau ú nghiờn cu nú nh mt nhúm v ng thi nh mt khụng gian tụpụ Tip theo ta s nh ngha nhúm ma trn v tỡm hiu nhng vớ d quan trng v nhúm ma trn Ngoi mi quan h ca nhúm ma trn phc i vi nhúm ma trn thc cng c xem xột chng ny v cui cựng l phn ỏnh x ly tha c xõy dng trờn nhúm ma trn tng quỏt c gii thiu lm nn tng cho cỏc chng sau Chng 3: Dnh hn cho cõu tr li th no l i s Lie ca mt nhúm ma trn? Chng 4: nh ngha khỏi nim mt nhúm Lie, t ú chng minh rng tt c cỏc nhúm ma trn u l mt nhúm Lie ca nhúm tuyn tớnh tng quỏt Tuy nhiờn cng cn phi lu ý thờm l cỏc khỏi nim chng u c xõy dng da trờn a tp, vỡ vy õy s xut hin nhng khỏi nim c v mi, nhng s so sỏnh vi cỏc khỏi nim ó c nh ngha cỏc chng trc, v õy l iu m c gi cn quan tõm nhiu Mc lc Trang bỡa Li cm n Li m u Mc lc Chng 1: Kin thc c bn Kin thc v i s Kin thc v gii tớch Kin thc v a trn (kh vi) 6 12 16 Chng 2: Nhúm ma trn thc v phc Nhng nhúm ca cỏc ma trn M n () l mt khụng gian mờtric Nhúm ma trn Cỏc nhúm ma trn quan trng UTn (), SUTn (), O(n), SO(n), U (n), SU (n) Nhúm ma trn phc l nhúm ma trn thc ng cu liờn tc ca nhúm ma trn Tỏc ng ca nhúm liờn tc Hm ly tha v logarit ca ma trn 18 18 18 22 23 25 26 27 27 Chng 3: i s Lie ca nhúm ma trn Phng trỡnh vi phõn ma trn ng cong, khụng gian tip xỳc v i s Lie Mt vi i s Lie ca nhúm ma trn 32 32 33 36 Chng 4: Nhúm Lie cỏc ma trn Khụng gian tip xỳc v o hm Nhúm Lie Mt vi vớ d v nhúm Lie Mt s cụng thc quan trng nhúm ma trn Cỏc nhúm ma trn l nhng nhúm Lie Khụng phi tt c cỏc nhúm Lie u l nhng nhúm ma trn 42 42 44 45 48 54 56 Kt lun Ni dung ca lun Cỏc bi toỏn v hng nghiờn cu mi v nhúm Lie 61 61 62 Ti liu tham kho 63 Chng 1: Kin thc c bn Chng ny c a nhm h thng li cỏc kin thc c bn v i s, gii tớch v a trn (kh vi) m ngi c lun ny cn phi cú lnh hi c nhng khỏi nim v sau Do tớnh c thự ca vic ụn li kin thc c nờn b cc trỡnh by ca chng khỏ ri rc, ú c gi cú th xem mt cỏch tựy ý khụng theo th t cú th nm bt c Tuy nhiờn bờn cnh ú phn ca chng núi v a trn l mt khỏi nim khú v quan trng xõy dng nờn lý thuyt Lie l phn m c gi nờn quan tõm nhiu Kin thc v i s nh ngha 1.1: Ta gi l phộp toỏn hai ngụi (hay cũn gi tt l phộp toỏn) mt hp X mt ỏnh x f t X ì X n X Giỏ tr f ( x, y ) ca f ti ( x, y ) gi l cỏi hp thnh ca x v y nh ngha 1.2: Mt b phn A ca X gi l n nh (i vi phộp toỏn hai ngụi X) nu v ch nu xy A vi mi x, y A nh ngha 1.3: Mt phộp toỏn hai ngụi mt hp X gi l kt hp nu v ch nu ta cú ( xy ) z = x( yz ) vi mi x, y, z X ; l giao hoỏn nu v ch nu ta cú xy = yx vi mi x, y X nh ngha 1.4: Gi s ó cho mt phộp toỏn hai ngụi mt hp X Mt phn t e ca X gi l mt n v trỏi ca phộp toỏn hai ngụi nu v ch nu ex = x vi mi x X Tng t, mt phn t e ca X gi l mt n v phi ca phộp toỏn hai ngụi nu v ch nu xe = x vi mi x X Trong trng hp mt phn t e ca X va l mt n v trỏi va l mt n v phi, thỡ e gi l mt n v, hoc mt phn t trung lp ca phộp toỏn hai ngụi nh ngha 1.5: Ta gi l na nhúm mt hp X cựng vi mt phộp toỏn hai ngụi kt hp ó cho X Mt na nhúm cú phn t trung lp gi l mt v nhúm Mt na nhúm l giao hoỏn nu phộp toỏn ca nú giao hoỏn nh ngha 1.6: Ta gi l nhúm mt na nhúm X cú cỏc tớnh cht sau: a) Cú phn t trung lp b) Vi mi x X , cú mt x ' X cho x= ' x xx =' e (phn t x ' gi l mt phn t i xng hay nghch o ca x) Nh vy, mt nhúm l mt v nhúm m mi phn t u cú nghch o Nu hp X l hu hn thỡ ta bo ta cú mt nhúm hu hn v s phn t ca X gi l cp ca nhúm Nu phộp toỏn hai ngụi X l giao hoỏn thỡ ta bo ta cú mt nhúm giao hoỏn hay nhúm aben nh lý 1.7: Mi phn t ca mt nhúm ch cú mt phn t i xng Trong trng hp phộp toỏn hai ngụi ca nhúm kớ hiu bng du (du cng +), thỡ phn t i xng nht ca x kớ hiu l x ( x ) v cũn gi l nghch o ca x (i ca x) T nh ngha ca phn t nghch o (phn t i) ta cú nghch ( x ) = x , ( ( x) =x ) Nu nhúm l aben v phộp toỏn ca nhúm kớ hiu bng du (du +) thỡ phn t xy = y x ( x + ( y ) = ( y ) + x ) kớ hiu l x / y ( x y ) v gi l thng ca x trờn y (hiu ca x v y) nh lý 1.8: Mt na nhúm X l mt nhúm nu v ch nu hai iu kin sau c tha món: a) X cú mt n v trỏi e b) Vi mi x X , cú mt x ' X cho x ' x = e nh lý 1.9: Mt na nhúm khỏc rng X l mt nhúm nu v ch nu cỏc phng trỡnh ax = b v ya = b cú nghim X vi mi a, b X nh ngha 1.10: Mt b phn n nh A ca mt nhúm X l mt nhúm ca X nu A cựng vi phộp toỏn cm sinh l mt nhúm, kớ hiu l A X nh lý 1.11: Mt b phn A ca mt nhúm X l mt nhúm ca X nu v ch nu cỏc iu kin sau õy tha món: a) Vi mi x, y A, xy A b) e A , vi e l phn t trung lp ca X c) Vi mi x A, x A H qu 1.12: Gi s A l mt b phn khỏc rng ca mt nhúm X Cỏc iu kin sau õy l tng ng: a) A l mt nhúm ca X b) Vi mi x, y A, xy A v x A c) Vi mi x, y A, xy A nh ngha 1.13: Gi s U l mt b phn ca mt nhúm X Nhúm A nht ca X cha U gi l nhúm sinh bi U Trong trng hp A = X , ta núi rng U l mt h sinh ca X v X c sinh bi U Kớ hiu nhúm sinh bi hp U l U nh ngha 1.14: Mt nhúm X gi l xyclic nu v ch nu X c sinh bi mt phn t a X Phn t a gi l mt phn t sinh ca X Nh vy mt nhúm X l xyclic nu v ch nu cỏc phn t ca nú l cỏc ly tha a , , ca mt phn t a X , kớ hiu l= a {a } | nh ngha 1.15: Gi s a l mt phn t bt kỡ ca mt nhúm X v A l nhúm sinh bi a Phn t a gi l cú cp vụ hn nu A vụ hn; trng hp ny khụng cú mt s nguyờn dng n no cho a n = e Phn t a gi l cú cp m nu A cú cp m; trng hp ny m l s nguyờn dng nht cho a m = e Mt phn t a X cú cp v ch a = e nh ngha 1.16: Gi s A l nhúm ca mt nhúm X, ta nh ngha quan h ~ hp X nh sau: vi mi x, y A , x ~ y nu v ch nu x y A B 1.17: Quan h ~ X l mt quan h tng ng Vi mi phn t x X , ta kớ hiu lp tng ng cha x l x v kớ hiu b phn ca X gm cỏc phn t cú dng xa vi a chy khp A l xA , tc l = xA { xa | a A} B 1.18: x = xA nh ngha 1.19: Cỏc b phn xA gi l cỏc lp trỏi ca nhúm A X Tng t cỏc lp phi Ax ca A X l cỏc b phn m cỏc phn t cú dng l ax vi a A Cng nh i vi cỏc lp trỏi, ta cú th chng minh cỏc lp phi ca A l cỏc lp tng ng theo quan h tng ng: x ~ y nu v ch nu xy A nh ngha 1.20: Tp hp thng ca X trờn quan h tng ng ~ gi l hp thng ca nhúm X trờn nhúm A, kớ hiu l X / A Cỏc phn t ca X / A l cỏc lp trỏi xA S l cỏc lp trỏi xA (hay lp phi Ax ) gi l ch s ca nhúm A X nh ngha 1.21 (Chun húa): Chun húa ca S nhúm (na nhúm) G c nh bi N G ( S ) = gS } Khi ú N G ( S ) G { g G | Sg = nh ngha 1.22: Mt nhúm A ca mt nhúm X gi l chun tc nu v ch nu x 1ax A vi mi a A v x X Kớ hiu l A X nh lý 1.23: Nu A l mt nhúm chun tc ca mt nhúm X, thỡ: a) Quy tc cho tng ng vi cp ( xA, yA) lp trỏi xyA l mt ỏnh x t X / A ì X / A n X / A b) X / A cựng vi phộp toỏn hai ngụi ( xA, yA) xyA l mt nhúm, gi l nhúm thng ca X trờn A nh lý 1.24: Gi s A l mt nhúm ca mt nhúm X Cỏc iu kin sau õy l tng ng: a) A l chun tc b) xA = Ax vi mi x X Do nh lý trờn, t gi nu A l chun tc thỡ ta khụng phõn bit lp trỏi, lp phi ca A v gi mt lp trỏi (hay mt lp phi) ca A l mt lp ca A nh ngha 1.25: Mt ng cu (nhúm) l mt ỏnh x f t mt nhúm X n mt nhúm Y cho f (ab) = f (a ) f (b) vi mi a, b X Nu X = Y thỡ ng cu f gi l mt t ng cu ca X Mt ng cu m l mt n ỏnh thỡ gi l mt n cu, mt ng cu ton ỏnh gi l mt ton cu, mt ng cu song ỏnh gi l mt ng cu, mt t ng cu song ỏnh gi l mt t ng cu Nu f : X Y l ~ mt ng cu t nhúm X n nhúm Y thỡ ngi ta vit f : X Y (Trong trng hp X v Y l nhng na nhúm, ta cng nh ngha ng cu (na nhúm) nh trờn v cng cú cỏc khỏi nim tng t) Mnh 1.26: Nu f : X Y l mt ng cu t nhúm X n nhúm Y thỡ ỏnh x ngc f : Y X cng l mt ng cu nh ngha 1.27: Nu cú mt ng cu t nhúm X n nhúm Y thỡ ta bo hai nhúm X v Y l ng cu vi nhau, v ta vit X Y nh ngha 1.28: Gi s f : X Y l mt ng cu t nhúm X n nhúm Y, cỏc phn t trung lp ca X v Y c kớ hiu theo th t l eX v eY Ta kớ hiu Im f = f ( X ) Kerf = eY } = f (eY ) { x X | f ( x) = v gi Im f l nh ca ng cu f , Kerf l ht nhõn ca ng cu f nh lý 1.29: Gi s X , Y , Z l nhng nhúm v f : X Y v g : Y Z l nhng ng cu Th thỡ ỏnh x tớch gf : X Z cng l mt ng cu c bit tớch ca hai ng cu l mt ng cu nh lý 1.30: Gi s f : X Y l mt ng cu t mt nhúm X n mt nhúm Y Th thỡ: a) f (eX ) = eY b) f ( x ) = [ f ( x)]1 vi mi x X nh lý 1.31: Gi s f : X Y l mt ng cu t mt nhúm X n mt nhúm Y, A l mt nhúm ca X v B l mt nhúm chun tc ca Y Th thỡ: a) f ( A) l mt nhúm ca Y b) f ( B) l mt nhúm chun tc ca X H qu 1.32: Gi s f : X Y l mt ng cu t mt nhúm X n mt nhúm Y Th thỡ Im f l mt nhúm ca Y v Kerf l mt nhúm chun tc ca X nh lý 1.33: Gi s f : X Y l mt ng cu t nhúm X n nhúm Y Th thỡ: a) f l mt ton ỏnh nu v ch nu Im f = Y b) f l mt n ỏnh nu v ch nu Kerf = {eX } c) f ( X ) X / Kerf nh ngha 1.34: Gi s X l mt nhúm, ta gi l tõm ca X b phn C ( X ) = {a X | ax = xa, x X } Mnh 1.35: C(X) l mt nhúm giao hoỏn ca X v mi nhúm ca C(X) l mt nhúm chun tc ca X nh ngha 1.36: Gi s X l mt nhúm, x v y l hai phn t ca X Ta gi l hoỏn t ca x v y phn t xyx y nh ngha 1.37: Ta gi l vnh mt hp X cựng vi hai phộp toỏn hai ngụi ó cho X kớ hiu theo th t bng cu du + v (ngi ta thng kớ hiu nh vy) v gi l phộp cng v phộp nhõn cho cỏc iu kin sau tha món: a) X cựng vi phộp cng l mt nhúm aben b) X cựng vi phộp nhõn l mt na nhúm c) Phộp nhõn phõn phi i vi phộp cng, ngha l: x( y + z ) = xy + xz x, y, z X : ( y + z ) x =yx + zx Phn t trung lp ca phộp cng thỡ kớ hiu l v gi l phn t khụng Phn t i xng (i vi phộp cng) ca mt phn t x thỡ kớ hiu l x v gi l i ca x Nu phộp nhõn l giao hoỏn thỡ ta bo vnh X l giao hoỏn Nu phộp nhõn cú phn t trung lp thỡ phn t ú gi l phn t n v ca X v thng c kớ hiu l e hay (nu khụng cú s nhm ln) nh ngha 1.38: Trng l X-vnh giao hoỏn, e v mi phn t x u cú nghch o x nh ngha 1.39: Cho hp V m cỏc phn t c kớ hiu , , v trng m cỏc phn t c kớ hiu x, y, z Gi s trờn V cú hai phộp toỏn: Phộp toỏn trong, kớ hiu + : V ìV V ( , ) + Phộp toỏn ngoi, kớ hiu : ìV V ( x, ) x tha cỏc tiờn sau vi mi , , V v vi mi x, y 1) + + = + + 2) Cú V cho + = + = 3) Vi mi V tn ti ' V cho ' + = + ' = 4) + = + 5) ( x + y ) =x + y 6) x + = x + x 7) x y = ( xy ) 8) 1. = (1 l phn t n v ca ) Khi ú V cựng vi hai phộp toỏn núi trờn gi l mt khụng gian vect trờn trng hay -khụng gian vect nh ngha 1.40: H vect ( i , i I ) ca V gi l h vect c lp tuyn tớnh nu xi i = xi = 0, i I ( ) ( ) ( ) ( ) iI Mt h vect gi l ph thuc tuyn tớnh nu nú khụng c lp tuyn tớnh nh ngha 1.41: H vect ( i , i I ) gi l c lp tuyn tớnh ti i h vect B = i V , i I { } nu B cha h ú, h ú c lp tuyn tớnh v mi vect ca B u biu th tuyn tớnh qua cỏc vect ca h H vect ( i , i I ) gi l mt h sinh ca h vect B nu mi vect ca B u biu th tuyn tớnh qua cỏc vect ca h Nu B hu hn sinh (ngha l cú h sinh gm hu hn phn t) thỡ B cú h c lp tuyn tớnh ti i gm hu hn phn t v s phn t ca cỏc h vect c lp tuyn tớnh ti i B l bng S ú gi l hng ca h vect B Nu B = V thỡ s ú gi l s chiu ca khụng gian vect V v kớ hiu l dimV Mi h vect c lp tuyn tớnh ti i ca V gi l mt c s ca V nh ngha 1.42: Gi s e1 , , en l mt c s ca V, ú mi vect x V u cú th vit c mt ( ) cỏch nht = x x1 e1 + xn en B n s ( x1 , , xn ) gi l cỏc ta ca x c s e1 , , en ( ) nh ngha 1.43: Mt khỏc rng W ca V c gi l mt khụng gian vect ca V nu nú n nh i vi hai phộp toỏn ca V, ngha l: x, y W thỡ x + y W vi , nh ngha 1.44: Cho X V thỡ giao ca mi khụng gian vect ca V cha X gi l bao tuyn tớnh ca X V v kớ hiu l X Nu X thỡ X l cỏc t hp tuyn tớnh ca cỏc h (hu hn) vect X =0 {} nh ngha 1.45: Tng ca mt h cỏc khụng gian vect ca V: {Wi } , i I , kớ hiu: bi: W iI i = W iI i xỏc nh W i iI Khi ú Wi , u cú th vit c di dng iI = i , i Wi , i I iI Nu cỏch vit ú l nht thỡ tng trờn c gi l tng trc tip ca h {Wi } , i I v c kớ hiu: Wi Nu I = {1, , n} thỡ tng ú c vit l: W1 Wn c bit W1 + W2 l tng trc tip v ch W1 W2 = iI {} Nu V= W Z thỡ Z gi l bự tuyn tớnh ca W V Gi s W v Z l hai khụng gian vect ca khụng gian vect hu hn chiu V thỡ dim W + dim= Z dim(W + Z ) + dim(W Z ) nh ngha 1.46: Gi s V, W l nhng -khụng gian vect nh x f : V W bo tn hai phộp toỏn ca -khụng gian vect, tc l: f ( + )= f ( ) + f ( ) , , V , k f (k ) = kf ( ) c gi l ỏnh x tuyn tớnh t V n W nh ngha 1.47: Mt ma trn A loi (cp) m ì n trờn trng l mt bng ch nht gm m ì n phn t c vit thnh m dũng v n ct nh sau: a11 a1n A = am1 amn ú aij l phn t v trớ dũng i, ct j ca A ụi A c vit ngn gn l A = (aij ) mìn hay ( A) mìn Cỏc ma trn thng c kớ hiu bi A, B, C v hp cỏc ma trn loi m ì n trờn trng c kớ hiu bi M mìn () Ma trn khụng cp m ì n (ma trn zero), kớ hiu 0mìn l ma trn m mi phn t u bng Nu m = n thỡ A c gi l ma trn vuụng cp n trờn Tp hp tt c cỏc ma trn vuụng cp n trờn kớ hiu l M n () Ma trn cp 1ì n c gi l ma trn hng; ma trn cp m ì1 c gi l ma trn ct Nu A M n () thỡ ng cha cỏc phn t a11 , a22 , , ann c gi l ng chộo chớnh ca A nh ngha 1.48: Nu A M n () thỡ vt ca A (kớ hiu l tr(A)) c cho bi tr ( A) = a11 + a22 + + ann = n a i =1 ii nh ngha 1.49: Ma trn chộo l ma trn vuụng ú cỏc phn t khụng nm trờn ng chộo chớnh u bng Ta thng dựng kớ hiu diag (a1 , a2 , , an ) ch mt ma trn ng chộo cp n cú cỏc phn t nm trờn ng chộo ln lt l a1 , a2 , , an nh ngha 1.50: Ma trn n v I n l ma trn cú dng I n = Mt s cụng thc quan trng nhúm ma trn Nh ó núi phớa trờn, mc tiờu chớnh ca chỳng ta l chng minh nh lý 4.20 lm c vic ú, ta cn phi chun b y cụng c cho vic x lý cỏc gp phi Do ú phn ny ta s thit lp mt s cụng thc thit yu sau: Cho G GLn () l mt nhúm ma trn úng Ta s s dng mnh 2.35 Chn r cho < r v nu A, B N M n ( ) (O; r ) thỡ exp( A) exp( B) exp N M n ( ) O; Khi exp l n ỏnh trờn N M n ( ) (O; r ) , cú nht mt C M n () cho (4.2) exp( A) exp( B) = exp(C ) Ta cng thit lp (4.3) S = C A B [ A, B ] M n () Mnh 4.22: S tha S 65 ( A + B ) Chng minh: Vi X M n () ta cú exp( X ) =I + X + R1 ( X ) Trong ú s d R1 ( X ) c cho bi k X k k ! R1 ( X ) = Vỡ vy, R1 ( X ) X k! X k k ú nu X , R1 ( X ) X = k k ! Khi C < Tng t, thỡ lý lun tng t nh trờn ta cú R1 (C ) C X (e 2) X 2 (4.4) exp(C ) = exp( A) exp( B) = I + A + B + R1 ( A, B ) ú k k r k r A B 0r k k ! r = R1 ( A, B ) = t vic A, B N M n ( ) (O; r ) vi < r thỡ A + B , suy k k r A B k k ! r =0 r R1 ( A, B ) = (A+ B) k k! k (A+ B) = k r (A+ B) k! k ( A + B ) k1! = (A+B ( A + k 2 k ) B) (e 2) Ta cú: exp(C ) = exp( A) exp( B) = I + A + B + R1 ( A, B) exp(C ) = I + C + R1 (C ) (4.5) C = A + B + R1 ( A, B ) R1 (C ) V vỡ vy C A + B + R1 ( A, B ) + R1 (C ) A + B +( A + B 2( A + B ) + suy ) + C A , B , C C C 4( A + B ) Phng trỡnh (4.5) cng cho ta cú C A B R1 ( A, B ) + R1 (C ) ( A + B ( A + suy ) +C B ) + ( ( A + B )) C A B 17 ( A + B 2 ) 2 (4.6) Bõy gi ta s lm cho cỏc ỏnh giỏ ny tt hn na bng cỏc vit exp(C ) = I + C + C + R2 (C ) ú R2 (C ) = C k k k ! tha ỏnh giỏ R2 (C ) C C T vic exp(C ) = I + C + C + R2 (C ) , ta rỳt C t phng trỡnh (4.3) th vo cú 1 exp(C ) = I + A + B + [ A, B ] + S + C + R2 (C ) 2 1 = I + A + B + [ A, B ] + ( A + B ) + T 2 1 = I + A + B + ( AB BA) + ( A2 + AB + BA + B ) + T 2 = I + A + B + ( A2 + AB + B ) + T (4.7) exp(C ) = I + A + B + ( A2 + AB + B ) + T ú T =S + (C ( A + B ) ) + R2 (C ) Ta li vit ú (4.8) exp( A) exp( B) = I + A + B + ( A2 + AB + B ) + R2 ( A, B ) (4.9) k k r k r A B 0r k k ! r = R2 ( A, B ) = tha (A+B R2 ( A= , B) ) A + B So sỏnh phng trỡnh (4.7) v (4.9) v s dng (4.2) ta thy rng T = R2 ( A, B ) , ú theo (4.8) ta c = S R2 ( A, B ) + (( A + B ) C ) R2 (C ) Ly chun hai v ta c S R2 ( A, B ) + ( A + B ) C + R2 (C ) 1 ( A + B ) + ( A + B + C )( A + B C ) + C 3 1 ( A + B ) + ( A + B + C ) A+ B C + C 3 3 ( A + B ) + ( A + B ) 17 ( A + B ) + ( A + B ) 3 ( 65 ( A + B Vy ta cú ỏnh giỏ ) ) S 65 ( A + B ) (4.10) nh lý 4.23: Nu U , V M n () thỡ cỏc ng thc sau õy xy [Cụng thc tớch Trotter] [Cụng thc hoỏn t] exp(U + V ) = lim exp U exp V r r r r = exp([U , V ]) lim exp U exp V exp U exp V r r r r r r2 1 Chng minh: Vi mt s r ln ta cú th ly A = U v B = V v ỏp dng phng trỡnh (4.2) cú r r exp U exp V = exp(Cr ) r r Theo phng trỡnh (4.6) thỡ Cr A B 17 ( A + B ) 1 Cr (U + V ) 17 U + V r r r 17 ( U + V Cr (U + V ) r r2 rCr (U + V ) Khi r thỡ rCr (U + V ) 17 ( U + V ) ) 2 r 17 ( U + V ) r ú rCr (U + V ) Theo mnh 2.33 thỡ exp(rCr ) = exp(Cr ) r nờn = = lim exp(rCr ) lim exp(Cr ) lim exp U exp V r r r r r r r r lim exp U exp V = exp(lim rCr ) = exp(U + V ) (do exp l hm liờn tc) r r r r Ta chng minh c cụng thc tớch Trotter Ta t S r = Cr A B [ A, B] 1 1 =Cr U V U , V r r r r 1 1 = Cr (U + V ) UV VU 2r r r 1 = Cr (U + V ) [U , V ] 2r r 1 (U + V ) + [U ,V ] + S r Cr = 2r r ú ỏp dng mnh 4.22 thỡ Sr Tng t, thay th U , V bi U , V ta cú ú +V ) r3 exp U exp V = exp(Cr ) r r C= r v (U 65 1 (U + V ) + [U , V ] + S r 2r r S r (U 65 +V ) r3 Kt hp nhng iu trờn ta suy exp U exp V exp U exp V = exp(Cr ) exp(Cr ) r r r r = exp( Er ) õy Er = Cr + Cr + [Cr , Cr ] + Tr 1 = [U , V ] + [Cr , Cr ] + Sr + S r + Tr r 1 (4.11) [U , V ] + [Cr , Cr ] + S r + S r + Tr Er = r2 vi Tr c nh ngha t phng trỡnh (4.3) bng cỏch t= Cr A= , Cr B v Tr = S Ta cú: 1 1 [Cr , Cr= ] (U + V ) + [U , V ] + S r , (U + V ) + [U , V ] + S r r 2r 2r r 1 = [U + V ,[U ,V ]] + [U + V , S r + S r ] + [[U ,V ], S r S r ] + [ S r , S r ] r r 2r D thy tt c bn s hng trờn u cú chun b chn bi mt biu thc cú dng (hng s) /r , ú [Cr , Cr ] cng b chn bi (hng s) /r Theo mnh 4.22 thỡ S r , S r , Tr cng cú chun b chn vi dng (hng s) /r Ta cú (constant) (constant) = [U , V ] = r [Cr , Cr ] + S r + S r + Tr r 2 r r3 r r , nờn r Er [U , V ] Lý lun mt cỏch tng t nh phn trờn vi lu ý rng exp l hm liờn tc thỡ ta c r Er [U , V ] = r Er lim exp(r Er ) = lim exp( Er ) r = lim exp U exp V exp U exp V r r r r r r r r2 r2 lim exp U exp V exp U exp V = exp(lim r E= exp([U , V ]) r) r r r r r r T õy ta ó chng minh c cụng thc hoỏn t Mt chng minh khỏc cho b 3.15: Ta s chng minh li cụng thc ca b 3.15: det exp( A) = exp(trA) bng cụng thc Trotter Chng minh: Trng hp n = l tm thng, vỡ vy gi s rng n > Vỡ det liờn tc v det( AB) = det A.det B vi A, B M n () nờn theo cụng thc Trotter ta cú U , V M n () r det exp(U + V ) = det lim exp U exp V r r r = lim det exp U exp V r r r r r = lim det exp U det exp V r r r r r r = lim det exp U det exp V r r r = lim det exp(U ) det exp(V ) r = det exp(U ) det exp(V ) Tng quỏt hn, cho U1, , U k M n () ta cú det exp(U1 + + U k ) = det exp(U1 ) det exp(U k ) Vỡ vy nu A = A1 + + Ak m Aj tha = det exp( Aj ) exp( = trAj ) ( j 1, , k ) ta cú = det exp( A) det exp( A1 + + Ak ) = det exp( A1 ) det exp( Ak ) = exp(trA1 ) exp(trAk ) = exp(trA1 + + trAk ) = exp(trA) Mt khỏc bt k ma trn A = [aij ] u cú th c biu din l A= a rs E rs r n s n ú E rs l ma trn cú v trớ (r , s ) v ti nhng ch khỏc, ngha l, E rs ij = ir js Bõy gi ta chng minh thờm n ma trn cú dng ars E rs (1 r , s n) tha det exp( = ars E rs ) exp(trars E rs ) (1 r , s n) Tht vy, vi z Mt khỏc, Vỡ vy Do ú ta cú det exp( zE rs ) = det z k ( E rs ) k k k ! det((e z 1) E rr + I n ) = det I n e z neỏu r = s = neỏu r s z trzE rs = e z exp(trzE rs ) = neỏu r = s neỏu r s neỏu r = s neỏu r s neỏu r = s neỏu r s (4.12) det exp( zE rs ) = exp(trzE rs ) Cỏc nhúm ma trn l nhng nhúm Lie Mc tiờu ca ta phn ny l chng minh nh lý 4.20 Cho G GLn () l mt nhúm ma trn Ta cú i s Lie = TI G l mt -i s Lie ca n () = M n () t = { A M n () : t , exp(tA) G} nh lý 4.24: l mt -i s Lie ca M n () Chng minh: Ta cn chng minh vi U , V thỡ [U , V ] Tht vy nu U , V v r , thỡ exp tU , exp V , exp tU , exp V G r r r r r2 exp tU exp V exp tU exp V G r r r r Theo nh lý 4.23, vi t thỡ r2 exp(t[U , V ]) =exp([tU , V ]) =lim exp tU exp V exp tU exp V r r r r r Do õy l gii hn ca cỏc phn t nhúm úng G nờn gii hn ca chỳng cng nm G Vỡ vy l mt i s Lie ca n () = M n () Mnh 4.25: Vi mt nhúm ma trn G GLn () , l mt -i s Lie ca Chng minh: Ly U Xột ng cong : G; (t ) = exp(tU ) cú (0) = I v (0) = U Vỡ vy U Lu ý 4.26: Ta s thy rng = Bõy gi ta s a mt b quan trng chun b cho vic chng minh B 4.27: Cho An exp G v {sn }n1 l cỏc dóy m An v sn An A M n () { } n n Khi ú A Chng minh: Ly t Vi mi n, chn mt s nguyờn mn cho tsn mn Khi ú mn An tA (mn tsn ) An + tsn An tA = mn tsn An + t sn An A An + t sn An A n , cho thy rng mn An tA T vic = mn An ) exp( An ) mn G exp( v G l úng GLn () , ta cú: = exp(tA) exp(lim = mn An ) lim exp(mn An ) G n n (do exp l hm liờn tc) Suy A Chn mt -khụng gian bự ca n () = M n () , ngha l, bt k khụng gian vect cho + = M n () + dim dim dim = = n2 M n () iu kin th hai thỡ tng ng vi = iu ny cho phộp ta phõn tớch M n () thnh tng trc tip ca v , vỡ vy mi X M n () cú mt biu din nht dng X= U + V , (U , V ) Xột ỏnh x : M n () GLn (); (U + V ) = exp(U ) exp(V ) (U , V ) l mt hm trn bin thnh I Lu ý rng nhõn t exp(U) thỡ nm G Xột o hm ti O, d O : M n () n () = M n () xỏc nh d O ( A + B) , ú A v B , ta o hm ng cong t (t( A + B )) ti t = Gi nh rng A, B nh v da theo ký hiu ca phng trỡnh (4.2), (4.3) vi t nh, cú nht mt C (t ) ph thuc t m (t( A + B)) = exp(C (t )) Mnh 4.22 cho (C (t ) tA tB) t2 [ A, B] 65 t A + B ( ) 3 t2 t2 t2 (C (t ) tA tB) [ A, B] + [ A, B] [ A, B] + 65 t A + B 2 ( ) m (C (t ) tA tB) = (C (t ) tA tB) (C (t ) tA tB) t2 t2 [ A, B] + [ A, B] 2 t2 t2 [ A, B] + [ A, B] 2 t ú ta cú 3 t2 [ A, B] + 65 t A + B t2 A B t A B = + + [ , ] 130 ( C (t ) tA tB ) ( suy C (t ) t ( A + B ) , v vỡ vy d (t( A + B)) dt d = exp(C (t )) dt = |t 0= |t ) =A + B (do exp l hm liờn tc) Do tớnh cht tuyn tớnh ca o hm, ta cú: d O ( A + B) =A + B Vỡ vy d O l hm ng nht trờn M n ( ) Theo nh lý hm n 4.8, l mt vi phụi lờn chớnh nh ca nú hn ch xung mt lõn cn m nh ca O, v ta cú th ly lõn cn m ú l mt a m N M ( ) (O; ) vi > no ú; vỡ vy s hn ch ca thnh n : N M n () (O; ) N M n () (O; ) l mt vi phụi Bõy gi ta phi cho thy rng bin m no ú (ta cú th gi s l mt a m) ca N M ( ) (O; ) cha O thnh mt lõn cn m ca I G Gi s khụng; thỡ cú mt dóy phn t n U n G vi U n I n nhng U n Vi n ln thỡ U n N M n () (O; ) vỡ vy cú nht cỏc phn t An v Bn vi ( An + Bn ) = U n ; lu ý rng Bn O nu khụng thỡ U n Khi l mt vi phụi thỡ An + Bn (do (O ) = I m U n I ) v iu ny suy rng An v Bn Theo nh ngha ca , exp( Bn ) exp( An )1U n G = Vỡ vy Bn exp G Xột cỏc phn t B n = B cú chun l n v Mi B n thỡ nm hỡnh cu Bn n { } n v trong M n ( ) , m hỡnh cu ny thỡ compact vỡ vy cú mt dóy ca B n hi t hỡnh cu n v ny Bng cỏch ỏnh s li dóy ny, ta cú th gi s rng B n B n , suy B = p dng b 4.27 cho dóy {Bn } v ta thy rng B Nhng mi Bn (v ú B n ) B n thỡ nm , vỡ vy B = O , mõu thun vi vic B = Vy phi cú mt a m N (O; ) = N M n () (O; ) m qua bin thnh mt lõn cn m ca I G Do ú hn ch ca xung a m ny l mt vi phụi a phng ti O nh x ngc cho ta mt bn cho GLn ( ) ti I v ngoi N (O; ) l mt a ca N M n () (O; ) Ta cú th s dng phộp tnh tin trỏi bin bn ny thnh mt bn mi ti bt k cỏc im U G khỏc, bng cỏch xột LU Nh vy G GLn ( ) l mt nhúm Lie Lu ý rng G c xem nh mt a cú s chiu l dim Theo mnh 4.25, vỡ vy dim dim Nhng theo nh lý 4.19, nhng s chiu ny thc thỡ bng nhau, vỡ vy = Ta ó thit lp mt kt qu c bn m bõy gi ta m rng thnh nh lý sau: nh lý 4.28: Mt nhúm ca GLn ( ) l mt nhúm Lie úng nu v ch nu nú l mt nhúm ma trn, ngha l, mt nhúm úng Tng quỏt hn, mt nhúm ca mt nhúm Lie G bt k l mt nhúm Lie úng nu v ch nu nú l mt nhúm úng Khụng phi tt c cỏc nhúm Lie u l nhng nhúm ma trn Mt cõu hi ng nhiờn phi c t ú l cú phi tt c cỏc nhúm Lie u l nhng nhúm ma trn phi khụng? Cõu tr li l khụng Vi n , nhúm Heisenberg Heisn c nh ngha nh sau Nh li nhúm ma trn n lu thc n ì n SUTn () , vi cỏc phn t cú dng a12 0 0 a21 an2 n1 0 a1n a2 n an1n vi aij i s Lie n ( ) ca SUTn ( ) bao gm cỏc ma trn cú dng t12 0 0 0 t1n t21 t2 n tn2 n1 tn1n 0 0 n vi tij SUTn ( ) l mt nhúm ma trn ca GLn ( ) vi dim SUTn = Mnh 4.29: Vi n , tõm C (SUTn ) ca SUTn bao gm tt c cỏc ma trn [aij ] Heisn vi aij = ngoi tr i = v j = n Hn na, C (SUTn ) thỡ c cha nhúm hoỏn t ca SUTn Lu ý rng cú mt ng cu ca cỏc nhúm Lie C (SUTn ) Di phộp ng cu ny, nhúm ca s nguyờn tng ng vi cỏc ma trn cú a1n v nhng iu ny to thnh mt nhúm (ỳng l tõm) chun tc ri rc Z n SUTn Chỳng ta cú th hỡnh thnh nhúm thng Heisn = SUTn / Z n Nhúm ny cú khụng gian tụpụ thng v Z n l mt nhúm ri rc, ỏnh x thng q : SUTn Heisn l mt ng phụi a phng iu ny cú th c s dng cho thy rng Heisn thỡ cng l mt nhúm Lie t vic cỏc bn cho SUTn xỏc nh trờn nhng m nh s thỏc trin thnh nhng bn cho Heisn i s Lie ca Heisn thỡ ging vi ca SUTn , ngha l, n = n ( ) Mnh 4.30: Vi n , tõm C ( Heisn ) ca Heisn cha q C (SUTn ) Hn na, C ( Heisn ) thỡ c cha nhúm hoỏn t ca Heisn Lu ý rng C ( Heisn ) = C (SUTn ) / Z n thỡ ng cu vi nhúm quay trũn { vi s tng ng n t ỏnh x Khi n = , cú mt ton ỏnh ng cu Lie } z : z = = ; t e2 it x t x p : SUT3 ; y y 0 cú ht nhõn l ker p = C (SUT3 ) T vic Z3 ker p , cú mt ton ỏnh ng cu Lie cm sinh p : Heis3 cho p q = p Trong trng hp ny ng cu C ( Heisn ) c cho bi x t it y Z3 e 0 K t bõy gi ta s vit [ x , y, e2 it ] thay cho phn t x t y Z3 Heis3 0 Do ú mt phn t tng quỏt ca Heis3 cú dng [ x , y, z] vi x , y v z Phn t ng nht l = [0,0,1] Phn t x t 0 y 0 ca i s Lie s c ký hiu l ( x , y, t ) Mnh 4.31: Phộp nhõn, nghch o v hoỏn t Heis3 c cho bi [ x1 , y1 , z1 ][ x2 , y2 , z2 ] = [ x1 + x2 , y1 + y2 , z1z2e ix1y2 ] [ x , y, z]1 =[ x , y, z1e2 ixy ] [ x1 , y1 , z1 ][ x2 , y2 , z2 ][ x1 , y1 , z1 ]1[ x2 , y2 , z2 ]1 = [0,0, e i ( x1y2 y1 x2 ) ] Du ngoc Lie c cho bi [( x1 , y1 , t1 ),( x2= , y2 , t2 )] [0,0, x1y2 y1 x2 ] i s Lie thng c gi l mt i s Heisenberg (Lie) v xut hin vt lý lng t Nú thỡ ging v mt bn cht vi i s Lie ca cỏc toỏn t trờn nhng hm kh vi f : m rng bi 1,q c cho bi = f ( x ) f= ( x ), pf ( x ) df ( x ) = , qf ( x ) xf ( x ) dx Hoỏn t khụng tm thng bao gm ba toỏn t ny c cho bi quan h giao hoỏn chớnh tc [ p, q] = pq qp = Trong cỏc phn t (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) l mt c s vi hoỏn t khụng tm thng nht [(1,0,0),(0,1,0)] = (0,0,1) nh lý 4.32: Khụng cú mt ng cu liờn tc : Heis3 GLn () no vi ht nhõn tm thng ker = Chng minh: Gi s rng : Heis3 GLn () l mt ng cu liờn tc vi ht nhõn tm thng v gi s rng n l cc tiu vi tớnh cht ny Vi mi g Heis3 , ma trn ( g) tỏc ng lờn nhng vect n Ta s ng nht C ( Heis3 ) vi ng trũn nh trờn Khi ú cú mt phn t sinh tụpụ z0 ; õy l mt phn t m cỏc lu tha ca nú hỡnh thnh mt nhúm cyclic z0 cú bao úng l Bõy gi ta s ch rng vi bt k s vụ t r , iu sau l ỳng: vi mi s thc s v mi > , cú nhng s nguyờn p, q cho s pr q < iu ny suy rng e2 ir l mt phn t sinh tụpụ ca nhng lu tha ca nú thỡ trự mt Cho l mt giỏ tr riờng ca ma trn ( z0 ) , vi vect riờng v Ta cú th thay z0 bi z0 (nu cn), ta cú th gi nh rng Nu , thỡ l ng cu nờn v vỡ vy = ( z0k )v = ( z0 )k v k v (z0k ) k Do ú nu > thỡ ( z0k ) k , suy rng thỡ khụng b chn Nhng thỡ liờn tc v thỡ compact vỡ vy thỡ b chn Vỡ vy thc = Khi l mt ng cu v z0 C ( Heis3 ) , vi bt k g Heis3 ta cú = ( g)v ( z0= ) ( g)v = ( z0 g)v = ( gz0 )v ( g) ( z0 )v ( g) = (g) (z0 ) Cho thy rng ( g) l mt vect riờng khỏc ca ( z0 ) vi giỏ tr riờng Nu ta t V = {v n } : k cho ( ( z0 ) I n )k v = Thỡ V n l mt khụng gian vect m cng úng di cỏc tỏc ng ca tt c nhng ma trn (g) vi g Heis3 Chn k0 l s ln nht cho cú mt vect v0 V tho k k ( ( z0 ) I n ) v0 = 0, ( ( z0 ) I n ) v0 Nu k0 > , cú nhng vect u, v V cho (z0 )u = u + v, (z0 )v = v Thỡ k (z0k= )u ( z0 )= u k u + k k 1v v t vic = thỡ = (z0k ) (z0 )k u + kv k iu ny mõu thun vi vic thỡ b chn Vỡ vy k0 = v V ch l khụng gian riờng vi giỏ tr riờng Lý lun ny thc cht chng minh kt qu tng quỏt quan trng sau, m c bit c ỏp dng cho cỏc nhúm hu hn c xem nh nhng nhúm Lie compact 0-chiu Mnh 4.33: Cho G l mt nhúm Lie compact v : G GLn () l mt ng cu liờn tc Khi ú vi bt k g G , ( g) chộo hoỏ c La chn mt c s cho V , ta thu c mt ng cu liờn tc : Heis3 GLd () m ( z0 ) = I d Theo tớnh liờn tc, mi phn t ca cng cú dng (vụ hng) I d Theo s nh nht ca n, ta phi cú d = n v ta cú th gi nh ( z0 ) = I n Theo phng trỡnh cho cỏc hoỏn t mnh 4.31, mi phn t z Heis3 l mt hoỏn t z = ghg 1h Heis3 , vỡ vy = det ( z) = ( ghg 1h ) Khi det v l nhng ng cu Vỡ vy vi mi z , ( z) = ( z)I d v ( z)d = , ú hm : ì thỡ liờn tc Nhng l liờn thụng ng, vỡ vy (z) = vi mi z Vỡ vy vi mi z , giỏ tr riờng nht ca ( z) l iu ny cho thy rng ker , mõu thun vi gi nh rng ker thỡ tm thng Sau iu chnh lý lun trờn ta s ỏp dng c nú cho mi nhúm Heisenberg Heisn ú cho thy rng khụng cú nhúm no chỳng l mt nhúm ma trn (n 3) , t Kt lun Ni dung ca lun Chng 1: Nhc li cỏc kin thc c bn v i s, gii thớch v a kh vi Chng 2: - Tp hp cỏc ma trn kh nghch l mt nhúm - Xõy dng mờtric ca nhúm ma trn da trờn chun sup, t mờtric ny cm sinh tụpụ t nhiờn trờn M n () Sau ó cú c cu trỳc tụpụ, ta xem xột mt lot nhng khỏi nim liờn quan n tụpụ nh s liờn tc ca cỏc hm quan trng; tớnh y ca M n () ; tớnh cht úng, m ca GLn () v SLn () Cui cựng ta a nh ngha v nhúm tụpụ - nh ngha nhúm ma trn, nhúm ma trn, tớnh compact v a hai iu kin cho vic kim tra tớnh compact - Xột mt s vớ d quan trng v nhúm ma trn nh: + Nhúm ma trn tam giỏc trờn UTn () v nhúm ma trn n ly SUTn () + Nhúm ma trn trc giao O(n) v nhúm ma trn trc giao c bit SO(n) + Nhúm ma trn unita U (n) v nhúm ma trn unita c bit SU (n) - Tt c cỏc nhúm ma trn phc u c xem l nhúm ma trn thc - nh ngha v xem xột mt s tớnh cht ca ng cu gia nhng nhúm ma trn - nh ngha tỏc ng nhúm liờn tc - nh ngha phộp toỏn ly tha v logarit trờn ma trn lm tin cho vic liờn kt nhúm ma trn v i s Lie chng Chng 3: - Phỏt biu v chng minh nh lý nht nghim cho phng trỡnh vi phõn cp ca ma trn - nh ngha th no l ng cong kh vi, khụng gian tip xỳc, s chiu ca nhúm ma trn v cui cựng l i s Lie, i s Lie - Xột mt s vớ d quan trng v i s Lie ca nhúm ma trn nh: + i s Lie ca nhúm ma trn tuyn tớnh tng quỏt GLn () + i s Lie ca nhúm ma trn tam giỏc trờn UTn () v nhúm ma trn n ly SUTn () + i s Lie ca nhúm ma trn trc giao O(n) v nhúm ma trn trc giao c bit SO(n) + i s Lie ca nhúm ma trn unita U (n) v nhúm ma trn unita c bit SU (n) Chng 4: Lu ý l chng tt c cỏc khỏi nim u c xõy dng trờn a tp, vỡ vy c gi phi ngm hiu l cú nhng khỏi nim cú tờn gi ging nhng v bn cht thỡ khỏc Do ú c gi cn phi cú s so sỏnh vi cỏc khỏi nim chng v cú th phõn bit rừ rng - nh ngha ng cong kh vi, ng cong trn, khụng gian tip xỳc a hai nh lý cc k quan trng cho a l nh lý hm ngc v nh lý hm n - nh ngha nhúm Lie, nhúm Lie Xột tớnh cht ca cỏc phộp nhõn bờn trỏi, nhõn bờn phi v liờn hp - Xột mt s vớ d quan trng v nhúm Lie nh: + Nhúm ma trn tuyn tớnh tng quỏt GLn () + Nhúm ma trn n mụun SLn () + Nhúm ma trn trc giao O(n) - Phỏt biu v chng minh nh lý tt c cỏc nhúm ma trn u l nhúm Lie - a mt vớ d v nhúm Heis3 l nhúm Lie nhng khụng phi l nhúm ma trn Cỏc bi toỏn v hng nghiờn cu mi v nhúm Lie Bi toỏn: Gi s ta cú n s a1 , , an sp xp th t trờn mt vũng trũn Mt phộp bin hỡnh thay a1 bi an + a2 , a2 a1 + a3 v c thay nh vy cho n ht thỡ mt cõu hi c t l nu ta thc hin ng tỏc trờn nhiu ln thỡ cỏc s cú bng hay khụng? bi Hng nghiờn cu: - Nghiờn cu v nhúm cỏc ỏnh x trn i t mt a ti mt nhúm Lie hu hn chiu v ng dng ca nú lý thuyt trng in t v lý thuyt Donaldson - Nghiờn cu mi quan h gia nhúm Lie v i s Lie - Nghiờn cu tụpụ trờn nhúm Lie Ti liu tham kho [1] J.F.Adams, Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press (1969) [2] J.F.Adams, Lectures on Exceptional Lie Groups, University of Chicago Press (1996) [3] R.Carter, G.Segal, I.Macdonald, Lectures on Lie Groups and Lie algebras, Cambridge University Press, (1995) [4] M.L.Curtis, Matrix Groups, Springer-Verlag (1984) [5] R.Howe, Very basic Lie theory, Amer Math Monthly 90 (1983) 600 623; correction: Amer Math Monthly 91 (1984) 247 [6] I.R.Porteous, Topological geometry, Van Nostrand Reinhold Co (1969) [7] J P.Serre, Complex Semisimple Lie Algebras, Springer Verlag (1987) [8] S.Sternberg, Group Theory and Physics, Cambridge University Press (1994) [9] F.W.Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer Verlag (1983) [10] Alexander Kirillov Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, NY [11] Hong Xuõn Sớnh, i s i cng, Nh xut bn Giỏo dc (1972) [12] u Th Cp, Gii tớch hm, Nh xut bn Giỏo dc Vit Nam (2009) [13] Khu Quc Anh Nguyn Anh Kit T Mõn Nguyn Doón Tun, Bi i s tuyn tớnh v Hỡnh hc gii tớch, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni (1999) [...]... phải mọi nhóm con ma trận chuẩn tắc đóng N  G của một nhóm ma trận G đều có thể tạo thành một nhóm ma trận G / N ; có những ví dụ mà G / N là một nhóm Lie nhưng khơng phải là một nhóm ma trận Đây là một trong những khác biệt quan trọng nhất giữa những nhóm ma trận và những nhóm Lie (ta sẽ thấy sau này là mọi nhóm ma trận đều là một nhóm Lie) 7 Tác động của nhóm liên tục Sau khi khảo sát một cách cơ... từ đó cho thấy nó là một nhóm con ma trận Ví dụ 2.18: SLn () ≤ GLn () là một nhóm ma trận trên  Chứng minh: Theo mệnh đề 2.13 thì SLn () ⊆ GLn () là đóng trong M n () và SLn () ≤ GLn () □ □ Định nghĩa 2.19: Một nhóm con đóng H ≤ G của nhóm ma trận G thì được gọi là nhóm con ma trận của G Mệnh đề 2.20: Một nhóm con ma trận H ≤ G của một nhóm ma trận G là một nhóm ma trận Chứng minh: Đây là... trị riêng của ma trận A thì λ k là giá trị riêng của ma trận Ak Định nghĩa 1.67 (Ma trận đồng dạng): Hai ma trận A, B vng cấp n được gọi là đồng dạng nhau nếu tồn tại một ma trận khơng suy biến S sao cho B = S −1 AS Kí hiệu A ~ B Định nghĩa 1.68 (Ma trận chéo hóa được): Ma trận A được gọi là ma trận chéo hóa được nếu nó đồng dạng với ma trận chéo Định lý 1.69: Điều kiện cần và đủ để ma trận A chéo... () 3 Nhóm ma trận Sau khi đã khảo sát các tính chất về nhóm và tính chất về tơpơ trên tập các ma trận, trong phần 3 này ta sẽ định nghĩa một khái niệm trọng tâm của chương là nhóm ma trận Định nghĩa 2.16: Một nhóm con G ≤ GLn () đồng thời là một khơng gian con đóng thì được gọi là một nhóm ma trận trên  hay một  -nhóm ma trận Nếu ta muốn nhấn mạnh đến giá trị của n thì chúng ta nói G là một nhóm. .. đồng cấu của những nhóm ma trận ϕ : G → H là một đồng phơi (nghĩa là một song ánh với nghịch đảo liên tục) thì ta nói ϕ là một đẳng cấu liên tục của những nhóm ma trận và coi như G và H được đồng nhất về mặt bản chất như những nhóm ma trận Mệnh đề 2.27: Cho ϕ : G → H là một đồng cấu liên tục của những nhóm ma trận Khi đó ker ϕ ≤ G là một nhóm con đóng, vì vậy ker ϕ là một nhóm ma trận Nhóm thương G /... Chương 3: Đại số Lie của nhóm ma trận Sau khi đã có được khái niệm thế nào là một nhóm ma trận trong tay, ta tiếp tục tiến hành xây dựng đại số Lie trên ma trận dựa vào phép tính vi phân và lũy thừa 1 Phương trình vi phân trong ma trận Ta đã biết cách giải một phương trình vi phân cấp 1 trong giải tích Vậy thì tương tự ta cũng sẽ có cách giải cho phương trình vi phân cấp 1 của các ma trận như sau: Cho... như các khái niệm dẫn xuất liên quan 1 Nhóm của các ma trận Trong lớp các ma trận vng, ta quan tâm đến lớp các ma trận vng khả nghịch Dưới góc độ của nhóm, ta có tính chất sau: Trong phần này ta xét trường  = ,  Cho M m ,n () là tập hợp của những ma trận có kích thước m × n với các phần tử lấy trong  Ta ký hiệu phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của một ma trận A có kích thước m × n là Aij hoặc... xem như một nhóm con ma trận của GL 2 n () bằng cách đồng nhất nó với ảnh của nó ρ nG dưới ρ n (điều này sử dụng giả thiết ρ n liên tục) 6 Đồng cấu liên tục của nhóm ma trận Trong lý thuyết nhóm thì khái niệm đồng cấu nhóm là một khái niệm trọng tâm Do đó với đối tượng là những nhóm ma trận thì đồng cấu của chúng là gì? Đó là một bài tốn cần quan tâm Định nghĩa 2.24: Cho G, H là hai nhóm ma trận Một... phủ mở {Uα }α ∈Λ của { X đều chứa một phủ con hữu hạn Uα1 , , Uα k } 4 Các nhóm ma trận quan trọng UTn () , SUTn () , O (n) , SO (n) , U (n) , SU (n) Để hiểu rõ hơn các định nghĩa về nhóm ma trận vừa được đưa ra, trong phần này ta sẽ trình bày một số ví dụ quan trọng về nhóm ma trận a) Nhóm UTn () và SUTn () : Với n ≥ 1 , một ma trận A = [aij ] cấp n × n là tam giác trên nếu nó có dạng  a11 0 ... Ax Ay x y ( x, y ∈  n ) 5 Nhóm ma trận phức là nhóm ma trận thực Như chúng ta đã biết tập hợp các số phức có thể được xem là một khơng gian vectơ thực 2 chiều với cơ sở 1, i chẳng hạn Tương tự thì mọi ma trận phức Z = [ zij ] cấp n × n cũng có thể xem như một ma trận thực cấp 2n × 2n theo cách như sau Ta đồng nhất mỗi số phức z= x + iy với một ma trận thực 2 × 2 bằng cách định nghĩa một hàm ρ :  → ... nhóm ma trận G tạo thành nhóm ma trận G / N ; có ví dụ mà G / N nhóm Lie khơng phải nhóm ma trận Đây khác biệt quan trọng nhóm ma trận nhóm Lie (ta thấy sau nhóm ma trận nhóm Lie) 7 Tác động nhóm. .. số Lie Một vài đại số Lie nhóm ma trận 32 32 33 36 Chương 4: Nhóm Lie ma trận Khơng gian tiếp xúc đạo hàm Nhóm Lie Một vài ví dụ nhóm Lie Một số cơng thức quan trọng nhóm ma trận Các nhóm ma trận. .. Chương 2: Nhóm ma trận thực phức Những nhóm ma trận M n () khơng gian mêtric Nhóm ma trận Các nhóm ma trận quan trọng UTn (), SUTn (), O(n), SO(n), U (n), SU (n) Nhóm ma trận phức nhóm ma trận