Rèn kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KĨ NĂNG TÌM HAI SỐ BIẾT MỐI QUAN HỆ GIỮA ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CỦA CHÚNG CHO HỌC SINH LỚP Người thực hiện: Phạm Thị Huê Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lam Sơn – Thọ Xuân SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán ` THANH HOÁ NĂM 2016 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình toán THCS, đặc biệt chương trình số học 6, sau học khái niệm, kiến thức ước chung lớn (ƯCLN), bội chung nhỏ (BCNN) gặp dạng toán tìm hai số tự nhiên biết số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN biết mối quan hệ đặc biệt ƯCLN với BCNN - dạng toán khó Trong trình giảng dạy môn Toán nhận thấy: Trong chương trình sách giáo khoa không đề cập đến dạng toán này, có vài tập nhỏ sách tập Còn sách tham khảo có số dạng này, nhiên sách viết chưa lôgic, rời rạc riêng lẻ Trong giảng dạy khóa, giáo viên học sinh thời gian đề cập đến Do đó, gặp dạng toán học sinh chưa định hướng phương pháp giải cụ thể việc nhận dạng tập để phân tích đề “áp dụng kiến thức lí thuyết biết” nhiều hạn chế Trong dạng toán lại xuất nhiều kỳ thi, chương trình giải toán qua mạng internet đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo lại nhiều, để em hiểu được, vận dụng kiến thức nâng cao ƯCLN, BCNN, giải toán khó này? Điều đòi hỏi giáo viên phải biết tổ chức, hướng dẫn em hệ thống vấn đề lý thuyết, biết tổng hợp, phân loại dạng toán thường gặp, tìm phương pháp giải cho hiệu nhất; giải toán học sinh phải vận dụng kiến thức môn học từ khơi dậy tính hứng thú cho học sinh học tập Đặc biệt dạng toán mà nói phương tiện giúp học sinh phát triển tư lôgíc, rèn luyện kỹ phân tích, tổng hợp… để phát triển bồi dưỡng em có khiếu toán học nhân tài tương lai cho đất nước Để giúp em không gặp khó khăn, lúng túng đứng trước dạng toán qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, thực tiết dạy đặc biệt qua trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm nghiên cứu tìm vài biện pháp để tổ chức bồi dưỡng học sinh khối đạt kết Vì vậy, xin đưa kinh nghiệm thân: “Rèn kĩ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ chúng cho học sinh lớp 6” để trao đổi bạn đồng nghiệp Tuy nhiên phạm vi viết tham vọng đề cập hết khía cạnh dạng toán mà đề cập đến số dạng mà học sinh thường gặp Mục đích nghiên cứu Đề xuất biện pháp rèn kĩ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ chúng cho học sinh lớp nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục học sinh nói chung Đối tượng nghiên cứu Biện pháp tổ chức rèn luyện kĩ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ chúng cho học sinh lớp đạt hiệu cao Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu thực tiễn thực tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp nhiều năm - Thu thập kết kiểm tra đánh giá việc thực đề tài qua năm học - Thảo luận nhóm chuyên môn II NỘI DUNG Cơ sở lí luận Kỹ năng lực hay khả học sinh thực thục hay chuỗi hành động sở hiểu biết (kiến thức kinh nghiệm) nhằm tạo kết mong đợi Kỹ học trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Kỹ có chủ đích định hướng rõ ràng Trong toán học, kỹ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kĩ toán học quan trọng nhiều so với kiến thức túy, so với thông tin trơn Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ nhiệm vụ quan trọng hàng đầu môn toán nhà trường phổ thông Kỹ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ học sinh hình thành cách có ý thức trình luyện tập giải toán ƯCLN, BCNN tảng kiến thức mà có Cũng kỹ nào, kĩ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ học sinh lớp hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo phụ thuộc vào khát khao, tâm, lực tiếp nhận em, cách luyện tập kỹ Dù hình thành nhanh hay chậm kỹ trải qua bước sau đây: - Hình thành mục đích, động học tập Nếu học sinh mong muốn hoàn thiện kỹ tính tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ để phấn đấu trở thành học sinh khá, giỏi cách liệt, học sinh nhanh có kỹ - Lên kế hoạch chi tiết để hoàn thiện nhóm kỹ cần thiết để phục vụ cho mục đích - Cập nhật kiến thức liên quan đến kỹ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ thông qua việc tự học sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, buổi học lớp, học bồi dưỡng, … - Luyện tập kỹ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ Học sinh luyện tập thường xuyên liên tục học lớp nhà … - Ứng dụng hiệu chỉnh Để có kỹ tìm hai số biết mối quan hệ ước chung lớn với bội chung nhỏ học sinh phải ý thức giải tốt toán số học trình học tập lớp, nhà Thực trạng vấn đề 2.1 Đối với giáo viên - Dạng toán phối hợp ƯCLN số với BCNN chúng dạng toán khó dành bồi dưỡng học sinh giỏi nên chương trình sách giáo khoa (SGK) ít, sách tham khảo, sách nâng cao nhiều Tuy nhiên, tài liệu tài liệu tham khảo, giúp giáo viên chuyển đổi phần thành giáo án mang giảng dạy cho học sinh mình, song chưa có tài liệu hệ thống lô gic phương pháp giải dạng toán đủ để đáp ứng nhu cầu ngày cao kiến thức cho học sinh kinh nghiệm giải Toán ƯCLN BCNN nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán - Với thời lượng 45 phút lớp không đủ để giáo viên hướng dẫn giải dạng tập - Một phận giáo viên nắm kiến thức phần chưa sâu nên ảnh hưởng đến việc sâu nghiên cứu dạng tập - Qua tìm hiểu nhận thấy dạy phần số giáo viên hướng dẫn học sinh làm tập cụ thể cách rời rạc chưa ý phân loại có hệ thống dạng tập cho học sinh Để từ hướng cho học sinh có cách giải dạng tập cụ thể 2.2 Đối với học sinh - Do thời lượng chương trình dạng toán nâng cao nên học sinh chưa trọng, tìm tòi hướng dẫn giáo viên - Một phận học sinh chưa ham học, chưa tự giác học tập, ngại học dạng tập khó - Khả tư toán học học sinh lớp hạn chế - Học sinh chưa xác định rõ phương pháp giải dạng toán mắc sai lệch nhận dạng loại tập 2.3 Kết thực trạng Từ thực tế để đánh giá khả hiểu biết vận dụng kiến thức học để làm tập dạng tìm hai số biết mối quan hệ ƯCLN BCNN chúng, trước thực đề tài tiến hành khảo sát đội tuyển học sinh giỏi lớp cấp trường từ năm học 2013–2014 đến năm học kết thu sau: Năm học Sĩ số 2013- 2014 Giỏi Khá Trung bình SL % SL % SL % 15 13 20 10 67 2014-2015 14 14 29 57 2015- 2016 14 21 29 50 Ghi Kết cho thấy rằng, hầu hết em học sinh giỏi chưa chủ động, tự giác, chưa có phương pháp tự học tốt nên chưa nắm dạng toán phương pháp giải dạng toán ƯCLN, BCNN đặc biệt dạng toán tìm hai số Do đó, để tiếp tục khẳng định giá trị thực tế đề tài, năm học đề xuất với Ban giám hiệu Nhà trường tổ chuyên môn cho tiếp tục phụ trách đội tuyển toán để áp dụng đề tài Sau học xong học kì I năm học 2015 – 2016 cho em làm kiểm tra kiểm nghiệm lại đề tài, hình thức khảo sát đề kiểm tra 45 phút để tổ chuyên môn duyệt Báo cáo với Ban giám hiệu Nhà trường tổ chức cho đội tuyển làm khảo sát vào thời gian học khóa (cụ thể vào buổi chiều học bồi dưỡng) Sau ba năm nghiên cứu thử nghiệm thấy đề tài đem lại hiệu thiết thực, đồng nghiệp đánh giá cao (kết tổng hợp mục kết luận đề tài) Giải pháp thực Qua thực tế giảng dạy môn toán trường trung học sở (THCS), tham khảo, nghiên cứu tài liệu kết hợp với tiết dự thăm lớp đồng nghiệp rút kinh nghiệm để bồi dưỡng học sinh giỏi toán Để hình thành kĩ giải dạng tập cho học sinh kết hợp việc dạy lí thuyết lớp với tập điển hình liên quan sách giáo khoa, sách tập Dựa vào đặc điểm đề giáo viên phân loại tập, hướng dẫn HS giải mẫu làm tập dạng Sau chọn, phân dạng bài, thực theo giải pháp sau: Giải pháp 1: Cho học sinh nắm vững sở lý thuyết Giải pháp 2: Chọn tập điển hình dạng có sách tập sách tham khảo cho học sinh phân tích đề tìm phương pháp giải học sinh (HS) giải mẫu học sinh nắm trình tự bước để làm tập (giáo viên chốt lại phương pháp giải chung) Các dạng toán: - Tìm hai số biết ƯCLN BCNN - Tìm hai số biết ƯCLN BCNN - Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) ƯCLN BCNN - Tìm hai số biết thương ƯCLN BCNN - Toán tổng hợp Giải pháp 3: Giáo viên tập tương tự với mức độ cao để học sinh luyện tập lớp, giáo viên chuẩn lại kiến thức phần trình bày cho học sinh (giải pháp giải pháp lồng vào thực đề tài) Giải pháp 4: Giáo viên tập dạng cho học sinh làm nhà (có thể thu vài học sinh để chấm lấy điểm, tạo hưng phấn cho học sinh luyện tâp, hình thành kĩ năng) Sau xin trình bày cụ thể việc tổ chức thực giải pháp đề tài: 3.1 Cung cấp cho học sinh kiến thức có liên quan a) Kiến thức sách giáo khoa toán có liên quan - Bội – Ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a bội b, b ước a * Ước chung (ƯC): Ước chung hai hay nhiều số ước tất số * Bội chung (BC): Bội chung hai hay nhiều số ước tất số * ƯCLN hay nhiều số số lớn tập hợp ƯC số * Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố b) Kiến thức nâng cao: * Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a b cho d thương chúng số nguyên tố * Mối quan hệ đặc biệt ƯCLN hai số a, b (kí hiệu (a,b)) BCNN hai số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích hai số a b là: (*) a b = (a, b) [a, b] Chứng minh: Đặt (a, b) = d ⇒ a = md b = nd với m, n ∈ N * , (m, n) = Từ (I) ⇒ ab = mnd2; [a, b] = mnd ⇒ (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab Vậy ab = (a, b) [a, b] * BCNN(k.a, k.b) = k.BCNN(a; b) với a, b, c ∈ N* * Nếu ab Mm mà (a, m) = b Mm GV cần lưu ý cho học sinh: - Muốn tìm ước chung số cho, ta tìm ước ƯCLN số - ƯCLN n số a1, a2, , an ký hiệu ƯCLN(a1, a2, , an) hay (a1, a2, , an) - BCNN n số a1, a2, , an ký hiệu BCNN(a1, a2, , an) hay [a1, a2, , an] - Muốn tìm bội chung số cho, ta tìm bội BCNN số - Nếu ta nhân hay chia (trường hợp chia hết) hai số với số tự nhiên khác ƯCLN chúng nhân hay chia với số - Khi chia BCNN nhiều số cho số ta thương số nguyên tố - Nếu a Mm a Mn a MBCNN(m, n) Từ suy ra: - Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố chia hết cho tích chúng - Nếu số chia hết cho số nguyên tố đôi chia hết cho tích chúng 3.2 Hướng dẫn giải số toán mẫu: Dạng 1: Biết (a, b) [a, b] tìm a b Bài 1: Tìm số tự nhiên a b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300 GV Hướng dẫn sử dụng công thức: a.b = (a, b) [a, b] sử dụng định nghĩa ước chung hai số tính chất ƯCLN chúng: Cho ƯCLN (a, b) = d Nếu chia a b cho d thương chúng số nguyên tố Từ lập mối quan hệ hai thương suy a b Giải: Áp dụng công thức: a.b = (a, b).[a, b] ⇒ ab = 300.15 = 4500 (1) * Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a < b Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n, với m, n ∈ N* (m, n) = 1, m < n (2) Từ (1) suy ra: 15m 15n = 4500 nên m n = 20 (3) Đến đây, để tính a, b phải tính m, n Vậy HS phải biết kết hợp (2) (3) tìm m, n (nghĩa m, n ước 20 cặp số nguyên tố nhau) Từ tính a b Kết hợp (1), (2) (3) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ a, b, m n sau: m n a b 20 15 300 60 75 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 15 300; 60 75 Nhận xét: Ta thấy: ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,a); BCNN(a, b) = BCNN(b, a) nên ta hoán đổi vị trí a, b cho Nói cách khác a b có vai trò toán GV ý hướng dẫn HS kết hợp điều kiện để lập bảng biểu thị mối quan hệ hai thương m, n tìm a, b để gọn không nhầm GV thay đổi điều kiện đề bài, tương tự cách suy nghĩ hướng giải tập trên, HS làm tiếp dạng biết tích hai số a, b [a, b] (a, b) Dạng 2: Biết tích số a b [a, b] (a, b) Bài 2: Tìm số tự nhiên a b biết: ab = 216 (a, b) = Tương tự toán HS lập luận để lập bảng biểu thị mối quan hệ m, n, a b Giải Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a ≤ b Vì (a, b) = ⇒ a = 6m; b = 6n với m, n ∈ N*, (m, n) = m < n (1) Khi ab = 6m.6n = 36mn Theo đề ra: ab = 216 nên 216 = 36mn ⇒ mn = (2) Kết hợp (1) (2) ta lập bảng xét giá trị tương ứng m, n, a b sau: m n a b 6 36 12 18 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 36; 12 18 Nhận xét: - Do vai trò a, b nên ta kết luận toán sau: Cặp số (a, b) cần tìm: (6; 36) ; (36; 6) ; (12; 18) ; (18; 12) - Ta áp dụng phương pháp giải cho toán tìm hai số biết tích BCNN chúng Bài 3: Tìm số tự nhiên a b biết: ab = 180; [a, b] = 60 Tương tự dạng trên: toán có yếu tố a.b, (a, b), [a, b], biết hai yếu tố a.b, [a, b], HS thường lúng túng đề cho BCNN, GV gợi cho em lúc cần sử dụng công thức a.b = (a, b) [a, b] để tìm ƯCLN(a, b), đưa toán dạng ban đầu Giải: ab 180 Từ a.b = (a,b) [a, b] ⇒ (a, b) = [a, b] = 60 = Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a ≤ b, (a, b) = nên a = 3m, b = 3n với m, n ∈ N*(m, n) = m < n.(1) Suy a.b = 3m 3n = 9mn ab = 180 nên 180 = 9mn ⇒ mn = 20.(2) Từ (1) (2) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ m, n, a b sau: m n a b 20 60 12 15 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 60; 12 15 Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp giải cho toán tìm hai số biết tổng, hiệu, thương BCNN ƯCLN chúng Dạng 3: Biết tổng hiệu số a, b [a, b] (a, b) Bài 4: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Đề thay điều kiện tích hai số tổng hai số, HS thường gặp khó khăn em quen sử dụng công thức a.b = (a, b).[a, b] GV rõ cho HS điều kiện tích thay thành tổng, viết công thức tổng quát a, b thay vào điều kiện tổng, thực bình thường tập Giải: Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a < b a = 16m; b = 16n với m, n ∈ N*, (m, n) = m < n (1) Vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 ⇒ 16 (m + n) = 128 ⇒ m + n = (2) Từ (1) (2) ta lập bảng xét giá trị tương ứng m, n, a b sau: m n a b 16 112 48 80 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 16 112; 48 80 Bài 5: Tìm số tự nhiên a b biết a + b = 42 [a, b] = 72 Giải Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m, n ∈ N*; (m, n) = Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a < b, m < n Ta có: a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = dmn = 72 (2) Từ (1) (2) ⇒ d ∈ ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = ⇒ d ∈ Ư(6) nên d ∈ {1; 2; 3; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có d = thoả mãn Suy ra: m + n = m n = 12 Chỉ có m = n = thoả mãn Khi a = 18 b = 24 Vậy số tự nhiên a b cần tìm là: 18 24 Nhận xét: Ta không cần lập bảng xét giá trị m, n, a b mà cần lập luận, thay tìm giá trị thỏa mãn Tuy nhiên, việc lập bảng xét giả trị tương ứng cho ta thấy gọn không bị nhầm lẫn Bài 6: Tìm số tự nhiên a b biết: a, b < 200 a - b = 90; (a, b) = 15 Giải: Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = m > n Ta lại có a – b = 90 ⇒ 15 (m – n) = 90 ⇒ m – n = Đến HS thường gặp khó khăn nghĩ tìm hết giá trị m, n thỏa mãn điều kiện đề cho, em quên điều kiện a, b < 200 Giải tiếp sau: Do a = 15m < 200 nên m < 14 Lập bảng: m n a b 13 195 105 11 165 75 105 15 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195 a = 165 a = 105 b = 105 b = 75 b = 15 Nhận xét: Trong dạng a b có vai trò khác a – b = 90, hoán đổi vị trí a b cho b – a ≠ 90 Do đó, ta cần xét hết giá trị n, m, a, b (HS thường nhầm lẫn kết luận a b tập trên) Bài 7: Tìm số tự nhiên a b biết a – b = [a, b] = 140 Giải: Đặt (a, b) = d suy a = md, b = nd với m, n ∈ N*; (m, n) = Do đó: a – b = d (m – n) = (1) (a > b ⇒ m > n) a.b Áp dụng công thức: a.b = (a,b) [a, b] suy [a, b] = (a, b) = m.d n.d d ⇒ [a, b] = mnd = 140 (2) HS thường vướng mắc việc kết hợp hai điều kiện để tìm mối quan hệ m, n d, trình giảng dạy GV cần cho học 10 sinh phân tích kết hợp điều kiện tìm mối quan hệ GV hướng dẫn HS tiếp tục sau: Từ (1) (2) ⇒ d ∈ ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = ⇒ d ∈ Ư(7) = {1, 7} Thay giá trị d (1) (2) để tính m, n ta kết nhất: d = m – n = ; m = m = ⇒  nm = 20 n = a = 35 b = 28  Vậy số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28 Dạng 4: Biết thương a, b ƯCLN BCNN Bài 8: Tìm số tự nhiên a b biết a = 2,6 (a, b) = b Tương tự toán dạng 2, HS làm toán biết thương hai số Hướng dẫn: Do (a, b) = ⇒ a = 5m, b = 5n với m, n ∈ N*, (m, n) = nên a m 13 = = 2,6 = ⇒ b n m 13 = n Vì (m,n) = nên m = 13, n = Khi a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25 Vậy số cần tìm là: a = 65; b = 25 Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp giải cho toán tìm hai số biết thương BCNN chúng Bài 9: Tìm số tự nhiên a b biết: a = 0,8 [a, b] = 140 b Giải: Đặt (a, b) = d ⇒ a = m.d, b = nd với (m, n) = m, n ∈ N* a md m = = = 0,8 = b nd n Vì (m,n) = ⇒ m = 4; n = ⇒ a.b Áp dụng công thức: a.b = (a,b) [a, b] suy [a, b] = (a, b) = m.d n.d d ⇒ [a, b] = mnd = 140 (2) ⇒ 140 = 4.5.d ⇒ 140 = 20.d ⇒ d=7 Khi a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35 Vậy số cần tìm a = 28; b = 35 11 Nhận xét: Từ cách giải dạng toán trên, ta giải toán tổng hợp tìm hai số biết thêm nhiều điều kiện liên quan Dạng 5: Toán tổng hợp Bài 10: Tìm số tự nhiên a b biết: a + 2b = 48 (a, b) + [a, b] = 114 Đối với dạng tập nhiều HS nhìn vào đề không dạng tổng hợp, đề không cho BCNN ƯCLN hai số GV cần gợi mở cho HS: Giả sử ƯCLN(a, b) = d, viết công thức tổng quát a, b; sử dụng công thức a.b = (a, b) [a, b] để tính [a, b]; a, b, (a, b) = d, [a, b] vào hai điều kiện trên, kết hợp lập bảng giá trị cần tìm Giải: Đặt (a, b) = d ⇒ a = dm; b = dn (*) với (m, n) = m, n ∈ N* a.b Áp dụng công thức: a.b = (a,b) [a, b] suy [a, b] = (a, b) = m.d n.d d ⇒ [a, b] = mnd Mặt khác: a + 2b = 48 ⇒ d (m + 2n) = 48 (1) (a, b) + [a, b] ⇒ d (1 + 3mn) = 114 (2) ⇒ Từ (1) (2) ⇒ d ∈ ƯC (48, 114) mà ƯCLN (48, 114) = ⇒ d ∈ Ư(6) = {1; 2; 3; 6} thay giá trị d vào (1) (2) ta thấy có d = thoả mãn Thay d = vào (1) (2), ta được: m + 2n = ; + 3mn = 19 Từ (*) (3) ta lập bảng xét giá trị tương ứng m, n, a b sau: m n a b 12 18 36 Vậy số cần tìm là: a = 12 b = 18 a = 36 b = Bài 11: Tìm số tự nhiên a b biết: [a, b] + (a, b) = 55 Giải: Đặt (a, b) = d đó: a = dm, b = dn ; (m, n) = 1(1) m, n ∈ N* Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a ≤ b ⇒ m (vì m, n ∈ N*) (3) Kết hợp (1), (2), (3) ta có bảng xét giá trị tương ứng m, n, a b sau: mn + d mn m n a b 11 4 11 44 11 10 10 50 10 25 55 54 54 54 27 27 Vậy cặp số tự nhiên a b cần tìm là: (11, 44), (5, 50); (10, 25), (1, 54), (2, 27) Bài 12: Tìm số tự nhiên a b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b) Giải: Đặt (a, b) = d a = dm, b = dn với (m, n) = Do ab = d2mn(*) Theo đề bài: [a, b] = 6(a, b) = 6d Áp dụng công thức: ab = (a, b) [a, b] ⇒ ab = 6dd (*’) Kết hợp (*) (*’) suy ra: d.6.d = d2mn ⇒ m.n = Do vai trò a, b nhau, không tính tổng quát ta giả sử a ≤ b ⇒ m