khai thac bai toan hinh hoc 9

Trong bài toán trªn, nếu lấy kết quả “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán mới thì ta có các kết quả sau: Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O cố định[r]

KHAI THÁC SÂU TỪ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ngêi göi : Hµ v¨n Nh©n Gi¸o viªn trêng : THCS Ho»ng Xu©n , Ho»ng Ho¸ Thanh Ho¸ §iÖn tho¹i D§: 01689517667 Gmail:info@123doc.org Ta bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm cung nhỏ BC Trên MA lấy điểm D cho MD = MB a) Tam giác MBD là tam giác gì ? b) So sánh hai tam giác BDA và BMC c) Chứng minh MA = MB + MC ( Bài tập 20 – Sách bài tập Toán 9-Tập II ) Trong bài toán trªn, lấy kết “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán thì ta có các kết sau: Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M là điểm thuộc cung nhỏ BC Xác định vị trí điểm M để: a) Chu vi tam giác MBC đạt giá trị lớn A b) Tổng ( MA + MB + MC ) đạt giá trị lớn Gợi ý: a) Chu vi  MBC đạt giá trị lớn  MB + MC lớn  MA lớn  MA là đường kính  M là trung điểm cung nhỏ BC O b) Làm tương tự D Nếu kết hợp với BĐT – Cô si thì ta có B kết quả: MA = MB + MB 2 MB.MC Dấu xảy M nằm chính cung nhỏ BC và đó MA đạt giá trị lớn Từ đó ta có bài toán sau: Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tìm giá trị lớn (MA.MB.MC) Nếu gọi E là giao điểm MA và BC thì ta nhận thấy: Suy BME  AMC  C M A MB MA MB  MC   ME MC MC MB  MC 1    ME MB.MC MB MC Từ đó ta có bài toán: B E M H F C Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA và BC cắt E Chứng minh rằng: 1   ME MB MC  Gọi F là điểm chính cung BC thì ta có AF  BC , AMF 90 Suy ra: AM AF,AE AH  1  ME FH ( không đổi ) Dấu Do ME = AM – AE  AF – AH = FH xảy  M F Từ đó ta có bài toán sau: Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA và BC cắt E Xác định vị trí 1  M trên cung nhỏ BC để MB MC đạt giá trị nhỏ Ta lại thấy rầng M trùng với F thì MA đạt giá trị nhỏ Từ đó ta lại có thêm bài toán hay và khó sau: Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA và BC cắt E Xác định vị trí 1  M trên cung nhỏ BC để MA + MB MC đạt giá trị nhỏ * Đặc biệt: Nếu ta chứng minh tính chất: Trong tam giác ABC: a b c = = =2 R (**) sin A sin B sin C Và từ các kết trên ta có bài toán hay và hấp dẫn sau: Bài 6: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định cho khoảng cách từ O tới AB A R Gọi H là trung điểm AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) C Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B) Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM I Dậy CM cắt dây Ab K a) So sánh góc AIM với góc ACB 1 b) Chứng minh: MA + MB = MK I O K M H C B c) Gọi R1, R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn Hướng dẫn: a) OH= R => Nhận xét quan hệ dây và và sđ cung căng dây ( Sđ cung AB = 1200) Từ đó tìm quan hệ hai góc AIM và ACB b) Thường chuyển tỉ số các đoạn thẳng MK MK ( Cần chứng minh MA + MB =1 ) Tìm cách quy đồng mẫu vế trái cách các tam giác đồng dạng? Tam giác chứa hai cạnh MK, MA đồng dạng với tam giác nào? tam giác chứa hai cạnh MK, MB đồng dạng với tam giác nào? (Tam giác MKA và tam giác MBC đồng dạng ⇒ MK MB = , tam giác MA MC MK MA MKB và tam giác MAC đồng dạng ⇒ MB = MC MK MK MA +MB Vậy MA + MB =MC đó ta phải chứng minh MA+MB = MC c) Để tìm giá trị lớn nhát tích R1.R2, ta tìm mối liên hệ tổng R1+R2 với các yếu tố không đổi bài toán Để ý hai tam giác AMK, BMK có hai góc AMK, BMK không đổi (= 600), a tổng hai cạnh đối diện không đổi ( dùng công thức R= sin A ) Lời giải sơ lược: OH a) Xét tam giác AOH có CosO = OA = ⇒ ∠ AOH=60 B R c a O A b D Tam giác ABC có đường cao CH đồng thời là trung tuyến Vậy tam giác ABC => ∠ ACB=600 ;AI // MB => góc AIM = góc CMB = góc CAB = 600 Vậy góc AIM = góc ACB 0 ⇒ ∠ AOB=120 ⇒ sđ cung AB=120 ⇒∠ ACB=60 b) Tam giác AIM ( có hai góc 600 ) => AM = MI Δ AIC=Δ AMB (c-g-c) ⇒CI =MB MK Δ MKA và Δ MBC Δ MKB và ΔMAC đồng dạng nên MK MK MB đồng dạng nên MA =MC MB MA MK MA = MB MC MB+MA Vậy: MA + MB =MC + MC =MC hay =1 1 + = MA MB MK Ta chứng minh tính chất trên: a b c = = =2 R (**) sin A sin B sin C A Vẽ đường kính BD  BAC  BDC Trong tam giác ABC: Xét tam giác vuông BCD có: BD  D BC a  2R  sin D sin A Tương tự ta chứng minh được: a b c = = =2 R sin A sin B sin C D B c) Áp dụng tính chất (**) ta được: AK AK Trong tam giác AKM: R1= sin M = 2sin 60 = AK √3 C BK BK Trong tam giác BKM: R2= sin M = sin60 = BK √3 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số không âm R1, R2 có: R + R AK+ BK 3R R √ R R2 ≤ 2 = = √2 = =hs dấu R1=R2 ó AK = BK ó √ √ M là điểm chính cung AB Vậy R1R2 max = R2 M là điểm chính cung AB