a Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.trong trường hợp thương, giá trị mẫu tại điểm đó phải khác 0 bHàm đa thức và hàm phân[r]
(1)KIỂM TRA BÀI CŨ Tính giới hạn: I = lim x®1 x4 - 2012 x - 2011 x- (2) Bài giải: Ta có: I = lim x®1 = lim x®1 x8 - 2012 x + 2011 ( x - 1)( x + 2012 x - 2011) ( x - 1)( x + x + + x - 2011) ( x - 1)( x + 2012 x - 2011) x + x + + x - 2011 - 2011 = lim = = - 1002 x®1 x + 2012 x - 2011 (3) HÀM SỐ LIÊN TỤC Tại điểm Tính chất và Ứng dụng Trên khoảng, đoạn (4) Bài 8: Hàm số liên tục điểm: Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và x0 Î (a; b) Hàm số f gọi là liên tục điểm x0 nếu: lim f ( x) = f ( x0 ) x® x0 Hàm số không liên tục điểm x0 gọi là gián đoạn điểm x0 và x0 gọi là điểm gián đoạn hàm số f (x) (5) Nêu điều kiện tồn giới hạn hàm số? lim f ( x) L x a lim f ( x) lim f ( x) = L x a x a Do đó, hàm số f(x) xác định trên (a ; b) liên tục điểm x0 (a ; b) và nếu: lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 ) x x0 x x0 (6) Ví dụ 1: a) Hàm số f ( x) = x +1 liên tục điểm x0 > - vì lim f ( x) = x® x0 b) Hàm số f ( x) = x2 + x - và x0 = vì: lim f ( x) = lim x®- x®- lim f ( x) = lim x®1 x®1 không tồn x2 + 2x - x2 + 2x - = f ( x0 ) x0 +1 bị gián đoạn điểm x0 = - (7) Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số: ìï sin(- x) ïï x ¹ ï sin x f ( x) = í ïï x = ïï îï 10 điểm x = (8) Bài giải sin(- x) - f (0) = f ( x) = lim = Ta có: lim và 10 x®0 x® sin x f ( x) ¹ f (0) nên hàm số f bị gián đoạn điểm Vì lim x®0 x=0 (9) Ví dụ 3: Tìm điểm gián đoạn hàm số: cot x f ( x) = x- Bài giải Ta có x0 là điểm gián đoạn hàm số éx = k p, k Î Z Û ê êx = ê ë (10) Hàm số liên tục trên khoảng, trên đoạn: Định nghĩa: a) Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, đó J là khoảng hợp chủa nhiều khoảng Ta nói hàm số f liên tục trên J nó liên tục điểm thuộc tập hợp đó (11) b) Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim+ = f ( a), lim- = f (b) x® a x ®b (12) Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Hàm số f ( x) = - x - x -Tập xác định D = [-4;1] Þ đoạn [-4;1] Với xoÎ (-4;1), ta có: liên tục trên đoạn [-4;1] Bài giải: Hàm số đã cho xác định trên lim = lim - x - x = lim(4 - x - x ) = - x0 - x02 = f ( x0 ) x® x0 x® x0 lim- = = f (1) x®1 x® x0 (2) lim = = f (- 4) (3) x® 4+ Từ (1) (2) và (3) suy đpcm (1) (13) ìï ax + bx + 3, x < ïï Tìm a, b để hàm số f ( x) = ïí 5, x = ïï ïïî x - 3b, x >1 liên tục điểm x = (14) Bài giải: lim- f ( x) = lim( ax + bx + 3) = a + b + - x®1 x®1 lim+ f ( x) = lim+ (2 x - 3b) = - 3b x®1 x ®1 = lim+ = f (1) = Hàm số đã cho liên tục điểm x = Û xlim ®1 x®1 Điều đó xảy và ìïï a + b + = Û í ïïî - 3b = ìïï a = í ïïî b = - Vậy: (a;b)= (3;-1) là cặp số thỏa bài toán (15) a) Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm là hàm số liên tục điểm đó.(trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm đó phải khác 0) b)Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định chúng c) Hàm số liên tục trên khoảng hay đoạn có đồ thị là đường liền nét (16) Định lí Các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x liên tục trên tập xác định chúng (17) Chú ý - Các hàm số c, x, sinx, cosx, tanx, cotx gọi là các hàm số sơ cấp - Các hàm số thu từ các hàm sơ cấp cách lấy tổng hiệu, tích, thương và phép lấy hàm hợp gọi là hàm số sơ cấp Do đó, các hàm số sơ cấp liên tục trên tập xác định chúng (18) Tính chất hàm số liên tục: Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] Nếu f (a) ¹ f (b) thì với số thực M nằm f(a) và f(b), tồn ít điểm c Î (a; b) cho f(x) = M y = f ( x) M (19) y = f ( x) M y=M Ý nghĩa hình học Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và M là số thực nằm f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) ít điểm có hoành độ c Î (a; b) (20) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < thì tồn ít điểm c Î (a; b) cho f(c) =0 Ý nghĩa hình học cb a Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a) f(b)<0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít điểm có hoành độ c Î ( a; b ) (21) Ví dụ 6: Chứng minh phương trình x + x - = có ít nghiệm thuộc khoảng (0;1) Bài giải Xét hàm số f ( x) = x + x - = liên tục trên đoạn [0;1] Ta có: f(0) = -1 và f(1) = Vì f(0).f(1) <0 nên ta suy tồn ít điểm c Î (0;1) cho f(c) = 0, tức là phương trình x + x - = có ít nghiệm thuộc khoảng (0;1) (22) Chỉ khoảng có nghiệm phương trình: x + 3x - = Bài giải Phương trình có nghiệm khoảng (0;1) (23) Chú ý: Nếu không có điều kiện hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] thì không thể kết luận tồn nghiệm phương trình f(x) =0 trên khoảng (a;b) Ví dụ Hàm số f ( x) = có f(1).f(-1) < phương trình x f ( x) = = vô nghiệm x (24) Tính giới hạn lim sin ( n +n - n ) Bài giải lim ( n ( + n - n) = lim n = lim n2 + n + n = n2 + n - n ( )( n2 + n + n n2 + n + n ) ) và sinx là hàm số liên tục trên R nên lim sin ( ) ( ( n + n - n = sin lim )) n + n - n = sin 2 (25) Nếu f là hàm số liên tục và lim an = c thì ta có lim f (an ) = f (c) (26) Bài tập x x2 xn Gọi g ( x) = + + + + n Xét tính liên tục hàm số: ìï g ( x), x < f ( x) = ïí ïï x - 1, x ³ ïî Giải (27) (28) (29)