HD giai cac bai toan ve Nhi thuc Niwwton

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON  Giới thiệu: Các bài toán về “Nhị thức Newton” gần đây rất hay gặp trong các đề thi khối A ĐH-CĐ ; Đề ra không khó, chỉ cần nắm vững công [r]

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON  Giới thiệu: Các bài toán “Nhị thức Newton” gần đây hay gặp các đề thi khối A (ĐH-CĐ) ; Đề không khó, cần nắm vững công thức/định lí là giải Vì HS thường it tiếp cận với dạng đề này nên lúng túng giải nhiều thời gian Tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại phần kiến thức liên quan và sưu tầm loạt đề toán thi ĐH có giải ứng dụng “Nhị thức Newton” để các bạn tham khảo Nội dung chính tài liệu là bạn Nguyễn Trung Hiếu, NBS xếp lai, các công thức, các ký hiệu toán học biên soạn “latex”- Từng phần, bài toán có đặt “khung” tiện cho người sử dụng cần trích, biên soạn bài giảng cho HS A.- Phần LÍ THUYẾT cần nắm vững: 1/.Các đẳng thức liên quan  a  b  1  a  b  a  b  a  b  a  2ab  b2  a  b  a3  3a 2b  3ab2  b3  a  b  a  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4 2.-Nhị thức Newton( Niu-tơn) a/.Định lí: n n  a  b  Cn0 a n  Cn1a n 1b   Cnn 1ab n  Cnnb n  Cnk a n k b k k 0 Hệ quả: n n * n k k n  a  b   a    b    C a k 0 1 x * n n n k n k   b     1 Cnk a n k b k k 0  Cnk x k Cn0  Cn1 x   Cnn x n k 0  a  b b/.Tính chất công thức nhị thức Niu-tơn  a  b -Số các số hạng công thức n : n là n+1 -Tổng số mũ a và b số hạng luôn luôn số mũ nhị thức: (n-k)+k=n -Số hạng tổng quát nhị thức là: Tk 1 Cnk a n  k b k  a  b (Đó là số hạng thứ k+1 khai triển n ) -Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu, cuối thì 2n Cnn  Cnn    Cn0 n Cn0  Cn1     1 Cnn -Tam giác pascal: Khi viết các hệ số với n = 0,1,2, ta bảng n k 1 1 2 5 10 10 Trong tam giác số này, hàng thứ hai, số hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 tổng hai số đứng hàng trên cùng cột và cột trước nó Sơ dĩ có quan hệ này là có công thức truy hồi k k k n n n  (Với < k < n) C C C 3/.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: n n n   1  Cnk Cnn  Cnn    Cn0 k 0  n n k n   1    1 Cnk Cn0  Cn1     1 Cnn k 0  1 x n n  Cnk x n  k Cn0 x n  Cn1 x n    Cnn x k 0  1 x n n n n    1 Cnk x k Cn0 x  Cn1 x1     1 Cnn x n k 0   x  1 n n k n    1 Cnk x n  k Cn0 x n  Cn1 x n      1 Cnn x k 0  4/.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton n a/.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có nhiên liên tiếp n b Trong biểu thức có  i  i  1 C i n i 1 thì ta dùng đạo hàm n  Trong biểu thức có i k C i 1 n  Trong biểu thức có k a C i n i 1 n  i  1C  Trong biểu thức có i 1 hợp  Nếu bài toán cho khai triển x a x b n n a n i i n i 1 cho phương trình i 1 i n với i là số tự  i   thì ta nhân vế với xk lấy đạo hàm thì ta chọn giá trị x=a thích hợp i n thì ta lấy tích phân xác định trên i n b i n i 1 a  n  i   bi m  a; b  thích a n  i  ib   C  x   x   C x  i n C có nghiệm thì hệ số xm là Cin sap i  C i n đạt MAX i n n 1 n i i với n lẽ, với n chẵn hay B.- CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON I.-Các bài toán hệ số nhị thức 1/.Bài toán tìm hệ số khai triển newton Bài toán 1: (Đề thi ĐH Thuỷ lợi sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: 10 Q  x    x     x      x  Ta đa thức: Xác định hệ số a9 14 Q  x  a0  a1 x   a14 x14 Giải: Hệ số x Do đó: 1 x , 1 x các đa thức 10 , ,   x  14 là: C99 , C105 , , C149 1 1 a9 C99  C105   C149 1  10  10.11  10.11.12  10.11.12.13  10.11.12.13.14 24 20 a9 =11+55+220+715+2002=3003 FBài toán 2:(ĐHBKHN-2000) A2 x  Ax2  Cx3  10 x Giải bất phương trình: @Giải: Điều kiện: x là số nguyên dương và x 3 Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:  x  1 x   x    x  1  10 3! x  x  x  1  x  x    x    x  1  10  x  1 x   x 12  x 4 x   3; 4 Vì x là nghiệm nguyên dương và x 3 nên FBài toán 3: (ĐH KA 2004) 1  x   x    Tìm hệ số x8 khai triển đa thức của:  @Giải: k k  k  i   f  x   C  x   x    C x     1 Cki x i  k 0 k 0  i 0  Cách 1: Ta có: Vậy ta có hệ số x k   1 là: i k 2k 0 i k 8  2k  i 8  i, k    C8k Cki thỏa mãn   1 C84C40    1 C83C32  i 0   k 4  i 2   k 3 Hệ số khai triển x8 là: =238 Cách 2: Ta có: f  x  C80   C83  x   x    C84  x   x     C88  x   x   Nhận thấy: x8 có các số hạng: C83  x   x    Số hạng thứ 4: C84  x   x    Số hạng thứ 5: 4 C C  C C4 =238 8 Với hệ số tương đương với: A = FBài toán 4:(ĐH HCQG, 2000)  1 1  a) Tìm hệ số x khai triển  x  b) Cho biết tổng tất các hệ sô a   * 1024 Hãy tìm hệ số a  ĐHSPHN, khối D,2000) 12 x khai triển nhị thức   1 n số hạng ax12 khai triển đó @ Giải: a) Số hạng thứ (k+1) khai triển là: ( k k 12  x 12 ak C x 1 k 12  k   C12 x  x  k 12  Ta chọn 12  2k 8  k 2 Vậy số hạng thứ khai triển chứa x và có hệ số là: b) Ta có: n   x   C k n C122 66 x n Cnk  Cn1 x   Cnk x12  k k 0 n n n 10 Với x=1 thì: Cn  Cn   Cn 1024  2  n 10 12 Do đó hệ số a (của x ) là: C106 210 FBài toán 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức: P  x  (1  x)12 a0  a1 x   a12 x12 Tìm max  a0 , a1 , a2 , , a12  Giải: Gọi ak là hệ số lớn khai triển suy ra: ak  ak  Từ đây ta có hệ phương trình: 2  k k k1 k1 2 C12 2 C12  k 12  k    k k  k 1 k 1 2 C12 2 C12   12  k k   max  a0 , a1 , a2 , , a12  a8 C128 218 126720 2/.Bài toán tìm sô hạng khai triển newton  3x  FBài toán 6: Tìm số hạng thứ 21 khai triển:  25 @Giải: Số hạng thứ 21 khai triển là: 20 C25   3x  20 20 20 20 C25 23 x FBài toán 7: a x Tìm số hạng đứng các khai triển sau   xy  21   x4 x   b Tìm số hạng đứng các khai triển sau   xy      20 @Giải: a x Khai triển   xy  20 có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng là số thứ 11 và 12  Số hạng thứ 11 là:  Số hạng thứ 12 là:   x4 x   b Khai triển   xy      10 C21  x3  11 11 C21  x3  10  xy  10 10 43 10 C21 x y  xy  11 10 41 11 C21 x y 20 có 20+1=21 số hạng Nên số hạng đứng số là 10 10 65 20     21 10    10 3    16 : C20  x    xy   C20 x y   số hạng thứ ( Với [x] là ký hiệu phần nguyên x nghĩa là sô nguyên lớn không vượt quá x) FBài toán 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x khai triển   f  x   x   x  với x   @Giải: Số hạng tổng quát khai triển: Tk 1 C7k   x 7 k k 7  k   k 12  C x  k  , k 7  4   x 7  k 0  k 4 Ứng với số hạng không chứa x ta có: 12 f x Vậy số hạng không chứa x khai triển   là: C7 35 FBài toán 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức: 10 1  10   x  a0  a1 x   a9 x  a10 x 3  Hãy tìm số hạng ak lớn @Giải: 10 1 n k 10 k 1   x   x  C x   ak  10 C10k 2k     10 10  10  k 0 Ta có:  3  C10k 2k C10k 1 2k 1 ak ak 1    k k k1 k1 C10 C10 ak ak   2k10! 2k10!    k ! 10  k ! k  !  k !      22   10  k k  19     k   k 3 2k10!  10!  2    k ! 10  k  !  k  1 ! 11  k  !  k 11  k  Ta có ak đạt max  k 7  k  , k   0,10   27 ak a7  10 C10 Vậy max Bài tập áp dụng Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số khai triển sau:  x  1  x   x11  a1 x10   a11 Hãy tìm hệ số a5 Bài 2: ( Khối D-2007) x  x   x   3x  Tìm hệ số x5 khai triển  10 Bài 3: ( Đề “TH&TT” -2003) 20 Tìm hệ số x5y3z6t6 khai triển đa thức  x  y  z  t  Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số x11 khai x triển đa thức:   2 n  3x 2n 2n  1 n 2n 2n C  3C biết: k     1 3k C22nn  k   32 n C20n 1024 n   P  x   x   x  ta  Bài 5: (LAISAC) Khai triển P  x  a0 x3n  a1 x 3n   a2 x3n  10  Biết ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng Tính số hạng thứ x4 II Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp 1/.Thuần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng tổng đó có dạng  a  b n FBài toán 10: Tính tổng thì ta dùng n  Cnk a n  k b k trực tiếp nhị thức Newton: Việc còn lại là khéo léo chọn a,b Cnk a n  k b k k 0 316 C160  315 C161  314 C162   C1616 @HD Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng dấu hiệu nêu trên Ta chọn a=3, b=-1 Khi đó tổng trên (3-1)16 = 216 FBài toán 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng: C20n  32 C22n  34 C24n   32 n C22nn 22 n   22 n  1 @Giải: 2n   x  C20n  C21n x  C22n x   C22nn  1x n  C22nn x 2n  1 2n   x  C20n  C21n x  C22n x   C22nn  x n  C22nn x 2n   Lấy (1) + (2) ta được: 1 x 2n  1 x 2n  4 2n 2  C20n  C22n x   C22nn x n     2 2n 2  C20n  C22n 32   C22nn 32 n  n  22 n C20n  C22n 32   C22nn 32 n 22 n  22 n  1  C  C 32   C n 32 n  Chọn x=3 suy ra: 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2 a/ Dùng Đạo hàm cấp Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần giảm dần từ 1,2,3,…,n hay k n k k  k kC a b thì ta có thể kC n n n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng dùng đạo hàm cấp để tính Cụ thể: n  a  x  Cn0 a n  2Cn1a n x   nCnn ax n Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n  a  x n Cn1a n   2Cn2 a n   nCnn ax n   1 Đến đây thay x,a số thích hợp ta tổng cần tìm FBài toán 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4     1 n nCnn @Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng công thức (1) Việc còn lại cần chọn a=1,x=-1 ta tính tổng băng Cách khác: Sử dụng đẳng thức kCnk nCnk11 nCn0  nCn1  nCn2     1 ta tính tổng bằng: n nCnn11 n   1 n 0 FBài toán 13:Tính tổng: 2007 2008C2007  2007C2007   C2007 @ HD Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu:  x  1 2007 2007 C2007 x 2007  C2007 x 2006   C2007 2006 Bây đạo lấy đạo hàm thì 2007C2007 x đó đề đến 2008 đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên dùng đạo hàm: x  x  1 2007 2007 C2007 x 2008  C2007 x 2007   C2007 x 2006 2007   x  1  2008 x  1 2008C2007 x 2007  2007C2007 x 2006   C2007 Thay x=1 vào ta tìm tổng là 2009.22006 b/ Dùng Đạo hàm cấp Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay k n k (n-1)n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng k (k  1)Cn a k k  1 Cnk a n  k b k hay tổng quát  thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp để tính Xét đa thức  a  bx  n Cn0  Cn1 a n  1bx   Cnn bn x n Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: bn  a  bx  n Cn1a n  1b  2Cn2 a n 2b x  nCnnb n x n Đạo hàm lần nữa: b n  n  1  a  bx n   2.1Cn2 a n  2b2   n  n  1 Cnnb n x n    Đến đây ta gần giải xong ví dụ toán việc thay a,b,x các số thích hợp thôi FBài toán 14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) n Cho f  x    x  ,  n  f  a.Tính   b.Chứng minh răng: 2.1Cn2  3.2Cn3    n  1 nCnn n  n  1 2n  @Giải: f  x  n   x  n a b Ta có  f  x  n  n  1   x  n  f (1) n(1  x) n  Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có bài toán khác: b’ Chứng minh rằng: 2.1Cn1  3.2Cn2    n  1 pCnp    n  1 nCnn n  n  1 n  Với bài toán này ta giải sau: 1 x Xét nhị thức: n Cn0  Cn1 x   Cnn x n Nhân vế đẳng thức với x 0 đồng thời lấy đạo hàm cấp hai vế theo biến x ta : 2n   x  n  n  n  1 x   x  n 2Cn1 x  3.2Cn2 x    n  1 nCnn x n  Cho x=2 ta ĐPCM Bài tập áp dụng Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 1 19 C20  C20   C20 219 Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh : C 2004 2 C 2004   2004 C 2004 2004 32004   Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh:   x n 1.2n  1.Cn1  2.2n  2.Cn2  3.2n  2.Cn2   nCnn n.3n   1 n   Bài 4: Rút gọn tổng: 2009 12 C2009 22008  22 C2009 22007   20092 C2009 III.Một số phương pháp khác: 0 m  k n  k , m, n  Z FBài toán 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho  Chứng minh: Cnk Cm0  Cnk  1Cm1   Cnk  mCmm Cnkm @Giải:   x  m Cm0  Cm1 x   Cmm x m  n  Ta có :   x  Cn0 x n  Cn1 x n    Cnn  m n Cm0 n  Cm1 n x   Cmmnn x mn   x  k k m k m C C  C C   C Cn m n m n m Suy hệ số x (1+x) (1+x) là Ck Và hệ số xk khai (1+x)m+n là m n Đồng thức: (1+x)n (1+x)m = (1+x)n+m k n m Cnk Cm0  Cnk  1Cm1   Cnk  mCmm Cnkm  Ta được: FBài toán 16: (Đề2-TH&TT-2008) 2 ĐPCM  Cn1    Cn2    n  Cnn  S2 = với n là số tự nhiên lẽ @Giải: Ta có:  S  C n n n    n  1  C    n    n2     n    n21       Cn      Cn    n  Cnn                    n    C    n n  Cn1    Cn2     Cnn    n  Cnn 1    Cn2  2 n n 2  S n n   Cn1    Cn2     Cnn    n   1 x Mặt khác ta có: 1 x Trong đó: Nên hệ số xn n 2n C20n  C21n x   C22nn x n  hệ số xn là: Cn0  Cn1 x   Cnn x n n 2 n  C   C  là  C2nn  n   C  Từ (*) và (**) n    Cnn  2 n  C  n n  Sn  CĐ 2n  2 (**)    Cnn    PCM Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: a) Cn1 3n   2Cn2 3n    nCnn n.4n (ĐH Luật-2001) 12 Cn1  22 Cn2   n2Cnn n  n  1 2n  b) Bài 2: Tính các tổng sau: a) ( Đề 1-TH&TT-2008) C30  3.22 C303  5.24 C305   29.2 28 C3029 n Cn1 Cn2 n Cn C       1 n 1 b) n C2nn (*) 3n Bài 3: Đặt Tk   1 k 1 k 3C k 1 6n T Chứng minh k 1 k 0