Tính giá trị của biểu thức đại số một biến mà giá trị của biến là một biểu thức tạp hoặc thỏa mãn điều kiện nào đó là dạng toán gặp nhiều trong các kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi vớ[r]
(1)CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC VÀ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên đề 1.1 Rút Gọn Và Tính Giá Trị Của Biểu Thức Rút gọn biểu thức đại số
Để Rút Gọn Biểu Thức Ta Thường Thực Hiện Như Sau:
B1.Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa Lưu ý:
a có nghĩa 0⇔ ≥a ;
a
b có nghĩa ⇔ ≠b 0;
a− b có nghĩa ⇔ ≥a 0, b≥0 và a≠b
B2.Vận dụng phép toán đa thức, phân thức, thứ tự thực phép tính,
đẳng thức đáng nhớ,
I - Rút Gọn Phân Thức Hữu Tỉ
Phương Pháp Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử, rút gọn nhân tử chung (lưu ý phải đặt
điểu kiện cho mẫu thức khác 0)
Thí dụ 1: rút gọn biểu thức:
4
4
2
2
x x x
A
x x x x
− − −
=
− + − −
Lời Giải Ta có
Tử ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 4 2 2
x −x − x− = x − − x + x = x + x − −x x +
( )( ) ( )( )( )
2 2
x x x x x x
= + − − = + + −
Mẫu
4
2x 3x 2x 6x
(2x 8) (3x 6x) (2x 4)
− + − −
= − − + + −
4 2
2
2
2(x 4) 3x(x 2) 2(x 2) (x 2)(2x 3x 2)
(x 2)(x 2)(2x 1)
= − − + + +
= + − −
= + − +
Điều kiện xác định Alà x≠2và x
≠ − ta có:
2
2
(x 2)(x 1)(x 2) x
A
(x 2)(x 2)(2x 1) 2x
+ + − +
= =
+ − + +
Vậy với x ≠2và x
≠ − A x 2x
+ =
+
Thí dụ 2: rút gọn biểu thức
2 2
2 2
2xy x z y
B
x z y 2xz
− + −
=
+ − +
Lời giải
2 2 2
2 2 2
z (x 2xy y ) z (x y) (z x y)(z x y)
B
(x 2xz z ) y (x z) y (x z y)(x z y)
− − + − − + − − +
= = =
(2)Với x+ + ≠y z 0, x− + ≠y z B z x y
x z y
− + =
+ +
II- Rút Gọn Biểu Thức Có Chứa Căn Thức
Ta Thường Dùng Các Hằng Đẳng Thức
a− =b ( a− b )( a+ b ), với a≥0, b≥0;
a a +b b=( a + b )(a− ab+b), với a≥0, b≥0; a a −b b=( a − b )(a+ ab+b), với a≥0, b≥0;
2 a b a b
(a b) a b
b a a b
− ≥
− = − =
− <
nếu
nếu
Thí dụ 3: rút gọn biểu thức
2
C= +x 2y− x −4xy+4y
Lời giải
Ta có:
C= +x 2y− (x−2y) = +x 2y− −x 2y
Nếu x≥2ythì x 2y x 2y.− = − C= +x 2y− +x 2y=4y
Nếu x < 2y x 2y− = − +x 2y Do c = x + 2y + x – 2y = 2x Vậy C 4y neáu x y
2x neáu x < y
≥
=
Thí dụ 4: rút gọn biểu thức :
( )2
a b
a b a a b b
D
a b
a b a a b b
+
− −
= − ⋅
−
− +
Lời giải: điều kiện xác định a 0,b 0,a b≥ ≥ ≠ Khi đó:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ( )( ) )
2
a b a b a b a ab b a b
D
a b a b a b a b a ab b
+ − − + + +
= − ⋅
− − + + − +
= a b a ab b a b
a ab b
a b
+ + +
+ − ⋅
+ − +
= ( ) ( )
2
a b a ab b a b ab
a ab b a ab b
a b
+ − + +
+
⋅ =
− + − +
+
Vậy với a 0,b 0,a b≥ ≥ ≠ d = ab a− ab b+
Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta đưa tốn rút gọn biểu thức có chứa tốn rút gọn biểu thức hữu tỉ (khơng chứa căn) dễ biến đổi
Thí dụ 5: rút gọn biểu thức:
2
4
4
2
1
2
4 2
E
1 2
+ +
− +
= + −
− +
(3)Lời giải: đặt 42 a= a4 = 2, 4 4 a= = 2 Ta có:
E =
2
2 2 4
2
2
1
a a a a a
1 a a a
+ +
− + + −
−
+
=
2
2
2 2
1 a a 1
a
a a (1 a ) a a
+ +
− + − = − =
+
Vậy e =
Thí dụ 6: rút gọn biểu thức
4 4
2 F
4 25 125
=
− + −
Lời giải: đặt a= 45thì 4
5; 25; 125
a = a = a = Ta có:
( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( )( )
( )
3
2
3
4 4 3 2
3 3 2
6 4 2
3 2 2
4
3
1
3
4 25 135 3 2 4
3 3 2 4
6 16 16
3 2 2 9 12 1
8
2
a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a
a
− + + +
−
= =
+ − +
− + − + − +
− + + + + + +
= =
+ + − − − +
+ + + − + − − − +
= = =
−
−
Suy
2
4
1
2
2 a
F = + = + =a +
Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu hai biểu thức liên hợp bậc hai , '
M = a b c M+ = a b c− , ta có:
( )2 2 ( )2 2
' 2 , ' 2
M +M = a+ a −b c M −M = a− a −b c Vì dùng phép lũy thừa bậc hai để khử bớt
Thí dụ 7: rút gọn biểu thức:
2
G= a b c+ + + ac bc+ + a b c+ + − ac bc+ a,b,c số khơng âm
Lời giải : bình phương biểu thức g ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 2
G a b c a b c ac bc
a b c a b c a b c a b c
= + + + + + − +
= + + + + − = + + + + −
Nếu a b c+ ≥ ( ) ( )
2 4( )
G = a+ +b c + a+ −b c = a+b ⇒G= a+b
Nếu a b c+ < ( ) ( )
2
G = a+ +b c − a+ −b c = c⇒G= c
Vậy
2
a b a b c G
c khi a b c
+ + ≥
=
+ <
-Đối với biểu thức có dạng tổng hay hiệu hai biểu thức liên hợp bậc ba
3
, '
M = a b c M+ = a b c− , ta có :
( )3 3 3 3 2 2 ( )
' ' '( ') '
(4)Tương tự M −M ′ nghiệm phương trình
3 2
3
x + a −b c − a= Vì dùng lũy thừa bậc ba để khử bớt
Thí dụ 8: Rút Gọn Biểu Thức
3
10 10
H = + + −
Lời giải Lập phương biểu thức H ta có:
( )( )
3
3 2.3
20 10 20 2 10
H = − − H ⇔H + H− = ⇔ H− H − H + =
Do 2 ( )2
2 10
H − H+ = H − + > nên suy H− = ⇔2 H =2 Khi gặp biểu thức chứa bậc hai, biến đổi thành
A = A việc thực phép tính đơn giản nhiều
Xuất phát từ đẳng thức
( )
2
2 2 2
2
1 1 1 2 1 a b c
a b c a b c ab ac bc a b c abc
+ +
+ + = + + + + + = + + +
Nếu a b c+ + =0
2
2 2
1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
Suy : với abc≠0, a b c+ + =0thì
2 2
1 1 1
a +b +c = a+ +b c ( )*
Vận dụng đẳng thức ( )* vào rút gọn biểu thức chứa hiệu
Thí dụ 9: cho a b c, , số hữu tỉ đôi khác Chứng minh
( ) (2 ) (2 )2
1 1
S
a b b c c a
= + +
− − − số hữu tỉ
Lời giải Nhận thấy (a b− + − + −) (b c) (c a)=0 a b− ≠0, b c− ≠0, c a− ≠0 Áp dụng ( )* cho ba số a b− , b c− , c a− ta có
1 1
S
a b b c c a
= + +
− − −
Mà a b c, , số hữu tỉ đôi khác nên S phải số hữu tỉ
(5)( )2 ( )2
2 4 2 2
1 1 1
P
x y x y x y x y
= + + + +
+ + +
Lời giải Điều kiện x≠0,y≠0,x≠ −y Nhận thấy x2+y2+ − −( x2 y2)=0 Áp dụng ( )* cho ba số
( )
2 2
, ,
x y − x +y ta
( )2 ( ) ( )
4 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x + y + x +y = x + y +− x +y = x + y − x +y
Do đó:
( )2
2
1 1
P
x y x y
= + +
+
Lại áp dụng ( )* với ba số x y, ,− +(x y) ta có:
( )
1 1 1
P
x y x y x y x y
= + + = + −
− + +
Thí dụ 11: tính tổng gồm 2010 số hạng
2 2 2
1 1 1
1
2 3 2011 2012
S= + + + + + + + + +
Lời giải Mỗi số hạng tổng có dạng
( )2 2 ( ) ( )2 ( )
1 1 1 1
1 3, , 2012
1
1
n
n n n
n n n
+ + = + + = + − =
−
− − −
Từ đó, ta có:
1 1 1 1
1 2010
2 3 2011 2012 2012
S= + − + + − + + + − = + −
1005 2010
2012
=
III – Vận Dụng Tính Chất Nghiệm Của Đa Thức Để Rút Gọn 1 Cơ sở lí thuyết
Mệnh đề
(6)b.Nếu tam thức dạng f x( )=ax2+bx c+ ( , ,
a b c tham số ) có ba nghiệm đơi khác
nhau a= = =b c 0, tức f x( ) đồng
Chứng minh
a.Giả sử với x1≠x2 mà f x( )1 = f x( )2 =0 ax1+ =b ax2 + =b Từ a x( 1−x2)=0 Vì
1
x −x ≠ nên a=0 suy b=0
b.Giả sử x x x1, 2, đôi khác mà f x( )1 = f x( )2 = f x( )3 =0
1
ax +bx + =c ;
2
ax +bx + =c ;
3
ax +bx + =c
Từ suy ( 2) ( )
1 2
a x −x +b x −x = ; a x( 12−x32)+b x( 1−x3)=0 Do x1 ≠x2, x1≠x3, nên
( 2)
a x +x + =b ; a x( 1+x3)+ =b 0 Suy a x( 2−x3)=0 Vì x2 ≠x3 nên a=0 Từ suy b=0, c=0
Khi rút gọn phân thức hữu tỉ, khai triển phép tính gặp phải biến đổi phức tạp ta nên coi đa thức theo biến áp dụng mệnh đề Lúc cơng việc trở nên dễ dàng
hơn
2 Một số thí dụ áp dụng Thí dụ 12 Rút gọn biểu thức
( )( )
( )( ) (( )()( )) (( )()( ))
d b d c d c d a d a d b
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
+ +
− − − − − −
Lời giải Điều kiện xác định a≠b b, ≠c c, ≠a
Xét đa thức ( ) ( )( )
( )( ) (( )()( )) (( )()( ))
x b x c x c x a x a x b
f x
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
= + +
− − − − − −
Khi biểu thức cho f d( )
Nhận thấy ( ) ( )( )
(a b)(a c) ((a c)()(a a)) ((a a)()(a b))
f a
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
= + + =
− − − − − −
Tương tự có f b( )= f c( )=1
Như f x( )−1 tam thức dạng
Ax +Bx+C nhận ba số khác a b c, , làm nghiệm
Vậy f x( )−1 đồng , hay f x( )=1 với x Suy f d( )=1
Thí dụ 13 Đơn giản biểu thức
( )( )( )
( )( )( )
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a
− − −
− + − + − +
(7)Lời giải Điều kiện xác định a≠ −b b, ≠ −c c, ≠ −a
Sau quy đồng mẫu số chung (a b b c c a+ )( + )( + ), ta có tử thức
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
P= a b b c c a− + + + a b b c c a+ − + + a b b c c a+ + − + a b b c c a− − − xét
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
f x = x b b c c− + + + +x x b b c c− + + +x x b b c c+ − + −x x b b c c− −x
( )
P= f a Ta thấy
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) f b = +b b b c c b− + + +b b b c c b+ − = ;
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) f c = −c b b c c c+ + + +c b b c c c− + = ;
( )0 ( ) ( ) ( ) ( )
f = −bc b c+ +bc b c− +bc b c+ −bc b c− -Nếu b c≠ khác f x( ) có dạng
Ax +Bx+C nhận b c, , đôi khác làm
nghiệm nên f x( ) đồng P=0 -Nếu b=0 b c= c=0 suy P=0 Vậy biểu thức cho
Bài Tập
Bài rút gọn biểu thức sau
1) 2 :2
3 1
x x x x
M
x x x x
+ − − +
= + − −
+ +
2) 4
4 2
1 1
1 1
x x
N x
x x x x
− −
= − −
− + + +
3)
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2
a bc b ac c ab
N
a b a c b c b a c a c b
− − −
= + +
+ + + + + +
Bài Chứng minh với a b c, , số đôi khác
( )( )
( )( ) (( )()( )) (( )()( ))
2 2
2
a x b x c b x c x a c x a x b
x
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
+ + =
− − − − − −
Bài Rút gọn biểu thức chứa thức
1) 4
2
a a
A
a
+ +
=
−
(8)3)
5
a a a
C
a a a a
− + +
= − −
− + − −
4) ( )
3
2
1
:
1 1
a a a a a a
D a a
a a a
− − +
= + −
− − +
Bài Rút gọn biểu thức
1) 4
7 5 25 125
E= + + +
2) 6 847 36 847.
27 27
F = + + −
3)
3
3
1
2 7
7
7 1 343
7 7
7
G
−
= − − + +
− +
Bài Cho ( ) ( )
2 2
1 99 0, 99
n
S = + + viết Sn dạng số thập phân
Tính Giá Trị Của Biểu Thức Đại Số Một Biến
Tính giá trị biểu thức đại số biến mà giá trị biến biểu thức tạp thỏa mãn điều kiện dạng tốn gặp nhiều kì thi vào thpt, thi học sinh giỏi với tập hay khó, địi hỏi vận dụng linh hoạt sáng tạo phép biến đổi Ta thường sử dụng phương pháp phân
tích từ điều kiện cho biến để biến đổi
Bài tốn 1: tính giá trị biểu thức
( )2012 ( )2012
5
5 2012
3
2
x x
A x x x
x x x
+ −
= + − + +
+ − −
5
x= −
Lời Giải 2
2 4
2
x= − ⇒ x+ = ⇒ x + x+ = ⇒x + − = x
Ta có: 3( )
1 1 1
x +x − + =x x x + − + =x x + =
2
3 2 2;
x + − =x x + − − = − = − x
2012 3( ) 2012 2012 2012
2 2
x +x − −x =x x + − −x =x − = −
Khi ( )
2012 2012
2012
2012 2012
2
1
2
A= + − = + =
− −
Bài toán 2: cho biểu thức ( 5 4 3 )2
4 5 2011
B= x + x − x + x− + Tính giá trị biểu thức b
2
x= −
(9)Lời Giải Ta có ( )
( )( )
2
2
1 1
2
2 2 2
x x
−
− −
= = = ⇒ + =
+ + −
( )2 2
2x 4x 4x
⇒ + = ⇔ + − =
Suy 3( ) ( )
4x +4x −5x +5x− =2 x 4x +4x− −1 x 4x +4x− +1 4x +4x−2
=
.0 0 1
x −x + − = − Vậy ( )2
1 2011 2012
B= − + =
Bài toán 3: gọi a nghiệm dương phương trình
2x + − =x 1 0. khơng giải phương trình
Hãy tính giá trị biểu thức
( )
2
2 2
a C
a a a
− =
− + +
Lời giải Do a nghiệm dương phuong trình
2x + − =x 1 0. nên
2a = −1 a suy 0< <a 1và
2a = −1 2a a+ từ , ta có:
( )
( )( ( ) 2)
2
4
2 2
2
4
2 2
a a a a
a C
a a a
a a a
− − + −
−
= =
− + −
− + +
( )( ( ) )
( ) ( )
4 4 2
2 2 2 2 2 3 2
2
a a a a a a a
a
− − + − − + −
= =
− − −
( )
( 2)
1 2 1
2 2
2 2 2
a a a
a a a − a − −
= − − + − = − + = + = −
Bài toán 4: chứng minh phương trình
1
x + − =x có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 nghiệm âm phương trình Tính giá trị biểu thức
8
1 10 13
D= x + x + +x Lời giải Do ac= − <1 0 nên phương trình
1
x + − =x có hai nghiệm trái dấu Vì x1 nghiệm
của phương trình nên 2
1 1 1
x + − = ⇒x x = −x đó:
( )2
4
1 1 1 1 ;1
x = −x = − x +x = − x + − = −x x
( )2 ( )
8 2 2
1 12 12 1 12 1 12 20 1 ;
x = − x = − x + x = − x + x +x = − x + −x +x = − x +x
( )2
8 2
1 10 13 12 20 1 10 13 25 10 1
x + x + = − x +x + x + = − x + = −x x
Suy
1 10 13
x + x + = −x
Vì x1< nên 5− > ⇒ −x1 x1 = −5 x1
Do
1 10 13 1
D= x + x + + = − + = x x x
Bài tốn 5: tính giá trị biểu thức
5
4
3 10 12
7 15
x x x
F
x x
− − +
=
+ + với
1
1
(10)Lời giải Ta có 2
1
4
1
x
x x x x x
x + +x = ⇔ = + + ⇔ = −
Do ( ) ( )
3 3 3;
x =x x =x x− = x − =x x− − =x x−
( ) ( )
4
8 3 21 8;
x =x x= x− x= x − x= x− − x= x−
( ) ( )
5
21 21 21 55 21
x =x x= x− x= x − x= x− − x= x− từ đó, ta có
( )
5
3 10 12 55 21 10 12 21 ;
x − x − x+ = x− − x− − x+ = x
( )
4
7 15 21 15 42
x + x + = x− + x− + = x
Vậy 43 102 12 21
7 15 42
x x x x
F
x x x
− − +
= = =
+ + (vì x≠0)
Bài tập
Bài Tính giá trị biểu thức A=x2+ x4+ +x với 2
2 8
x= + −
Bài Tính giá trị biểu thức
4
1
a B
a a a
+ =
+ + − , a nghiệm dương phương
trình
4x + 2x− 2=0.
Bài Tính giá trị biểu thức
5
4
4
3 11
x x x
C
x x
− − +
=
+ + với
1
1
x x + +x =
Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện
Để tính giá trị biểu thức có nhiều biến số với điều kiện cho trước ta sử dụng phương pháp phân tích từ điều kiện cho, phương pháp hệ số bất định hay phương pháp hình học Sau
một số ví dụ minh họa
I – Phương Pháp Phân Tích
Thí dụ 1: cho số thực dương x, y thỏa mãn 2
7x −13xy−2y = Tính giá trị biểu thức
7
x y
A
x y
− =
+
Lời Giải Ta có
( ) (1 ⇔ 7x+y)(x−2y)= ⇔ =0 x 2y (do x>0,y>0) Thay vào biểu thức A, thu 2.2
7.2 y 18
y y y
A
y y
− −
= = = −
+
1 A−
Thí dụ 2: cho số thực dương x, y thỏa mãn
2012 2012
1 7042
3
x y
x y
+ =
+ =
Tính giá trị biểu thức B x y = Lời Giải Đặt a 2012, b 2012
x y
(11)1
1
a b
a b
+ =
+ =
Suy
7 11
1 a a a
a+a+ = ⇔ − − = ⇔ = (do a>0).Vậy
3
x a
B
y b
= = =
Thí dụ 3: cho số thực dương x, y, z, t, s thỏa mãn
( ) ( )
( )
2
2
3
t x t y t z
s s
x z
= − = −
− =
Tính giá trị biểu thức C s s x y
= −
Lời Giải Từ điều kiện toán suy t≠2 t≠
từ (2) suy ,
2
tx tx
y z
t t
= =
− − ;
Thay vào (3) ta 7
2
s s s
x− tx = ⇔ tx =
Do 2 14
5
s s s s s t s
C
x y x tx x t tx
−
= − = − = − = =
II-Phương Pháp Hệ Số Bất Định Thí dụ 4:cho số thực , ,x y z thỏa mãn
( )( )
2
4
x y x y z
y z
− + =
= +
(4)
Hãy tính giá trị biểu thức 2
2 10 23
D= x + y − z Lời giải Ta có ( )4 2 22
4
x y z
y z
− − =
⇔
− =
Gọi a b, số thực thỏa mãn
( 2 2) ( 2) 2
4 10 23
a x −y −z +b y − z = x + y − z
Vậy ( 2 2) ( 2)
2 2.0 3.5 15
D= x −y −z + y − z = + =
Thí dụ 5: cho số thực dương , , ,x y z t thỏa mãn
2
1
3
t
x y z
t
z x
=
+ +
=
−
(5)
Tính giá trị biểu thức
8
t E
x y z
=
(12)Lời giải Ta có ( )
2
2
5
1
2
x y z
t t t
x z t t
+ + =
⇔
− + =
và 8.1 x y 9.z
E = +t t + t
Gọi a b, số thực thảo mãn a x 2.y 2.z b 3.x z x 8.y 9.z
t t t t t t t t
+ + + − + = + +
1
4.1 1.2
E
⇒ = + = Vậy
6
E=
II-Phương Pháp Hình Học
Thí dụ 6: cho số thực dương , ,x y z thỏa mãn
2
2
2 16
x y
y z y xz
+ =
+ =
=
(6)
Tính giá trị biểu thức G=xy+yz
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông B, BC=4, 3BA=
và đường cao BD Đặt
,
BD=y DA=x DC=z Ta ta thấy , ,x y z hoàn toàn thỏa mãn hệ điều kiện (6) Khi
( )
ABC 3.4 12
G=x y+y z= x+z y= S = = Vậy G=12
Thí dụ 7: cho số thực x y z, , với y>0 thỏa mãn
2
2
29 2 x y
y z
y x z
+ =
− =
= − −
(7)
Tính giá trị biểu thức H = y( x− +1 2−z) Lời giải.(h1.2)
Từ (7) suy x>1,z<2
Ta viết hệ (7) dạng
( )
( )
2
2
2
25
4
2
1
x y
y x
y x z
− + =
+ − =
= − −
(13)Xét tam giác vuông B, đường cao BD với 5; 2
AB= BC=
Đặt BD=y AD, 1,= x− CD= 2−x Rõ ràng x y z, , thỏa mãn hệ Từ
( 2
2 ABC
H = y x− + − =z S = = Vậy H =5
Thí dụ 8.cho số dương x y z, , thỏa mãn
2
2
2
50
169
144
y z y x xy
z x xz
+ =
+ + =
+ + =
(8)
Tính giá trị biểu thức K =xy+yz+zx
Lời giải.(h.1.3)
Ta viết lại hệ (8) dạng
2
2
2
2
2
2
5
2
13
12
y z
y x xy
z x xz
+ =
+ + =
+ + =
Xét tam giác vuông ABC vuông C với AB=13,AC=5,BC =12. gọi O điểm nằm
tam giác ABC thỏa mãn
90 ; 135
AOC= BOC= Đặt , ;
2
y z
OB=x OA= OC= ta dễ dàng kiểm tra x y z, , thỏa mãn hệ điều kiện Ta có ; ;
4 4
AOB AOC BOC
S = xy S = yz S = zx
Từ đó, suy 4( ) 4 5.11 23 120
2 AOB AOC BOC ABC
K=xy+yz+zx= S +S +S = S = =
Vậy K =120
Bài Tập
Bài Cho số thực x,y,z dương x>y thỏa mãn
6 z z x y
z x y + =
=
+
tính giá trị biểu thức M z x y =
−
(14)1
2
2
1
x x y z
x
x y t
s x y z t
=
+ +
=
+ −
=
− − +
Hãy tính giá trị biểu thức N 7x 4z t
s
− +
=
Bài Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn
3
2
2
3
16
y x xy
y z z xz x
+ +
+ =
+ + =
(15)
Chuyên Đề 1.2
Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Đại Số Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước
Sau rút gọn biểu thức, đề thi u cầu thêm: • Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị số nguyên
• Chứng minh giá trị biểu thức không số ngun
• Tìm điều kiện để biểu thức không âm (hoặc không dương) thỏa mãn bất đẳng thức, đẳng thức
• Tìm điều kiện để biểu thức có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
Dạng 1: tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị số nguyên
Phương Pháp: biến đổi biểu thức dạng phân thức tổng đa thức với hệ số nguyên
phân thức dạng a(a Z)
A ∈ với A đa thức với hệ số nguyên để tìm giá trị số nguyên a nhận giá trị ước số a
Trong trường hợp cần tìm giá trị biến số thực để biểu thức nhận giá trị nguyên nên tìm trước giá trị nguyên có biểu thức, từ suy giá trị biến số
Thí dụ Cho biểu thức 4 3 216
4 16 16
− =
− + − +
a A
a a a a Tìm giá trị nguyên a để a có giá trị
nguyên
Lời giải Trước hết ta rút gọn biểu thức a Ta có:
( )( )( )
( )( )
2
2
4 2 2 4
1
2
4
+ + − +
= = = +
− −
+ −
a a a a
A
a a
a a ( với điều kiện a≠2 )
A nhận giá trị nguyên a−2 ước số 4, tức a− ∈ − − −2 { 4; 2; 1;1; 2; 4}
Suy a∈ −{ 2; 0;1;3; 4; 6}
Thí dụ Cho biểu thức
2
4 4
8 16
+ − + − −
=
− +
m m m m
B
m m
Tìm giá trị nguyên m để a có giá trị nguyên
Lời giải Trước hết ta rút gọn biểu thức b Ta có:
( ) (2 )2
2
4 4
4
4 1
1
− + + − − − + + − −
= =
− −
m m m m
B
m m
Nhận thấy 4
4
− − >
− − =
− − + ≤ ≤
m khi m
m
(16)4
1
4
4
1
− ≥ <
− =
− < <
khi m hoac m m
m
khi m
m
-Nếu 4≤m≤8 4 16
4
= = +
− −
m B
m m
Với m nguyên, để b nguyên m−4 ước 16, 4≤m≤8nên m∈{5; 6;8}
-Nếu m>8 =
−
m B
m
Với m nguyên, để b nhận giá trị nguyên ( *)
4
− = ∈
m k k N suy m=k2+4
Do ( )
2
2 8
2 +
= k = +
B k
k k
B nguyên k ước số 8, mà k >2 ( m>8 ) nên k∈{ }4;8
Suy m∈{20; 68}
Vậy với m∈{5; 6;8; 20; 68} b nhận giá trị nguyên
Thí dụ Cho :
1
1
= − −
+
− − + −
x C
x
x x x x x Tìm giá trị nguyên m để c có
giá trị nguyên
Lời giải Điều kiện x≥0và x≠1
Ta có:
( )( )
1
1 1
+
= −
− + − − +
x C
x x x x x
( )( )
1 1
1
1
− + +
= =
− + − +
+ −
x x x
x x x x
x x
Đặt x=a a( ≥0,a≠1) Nếu tồn x để p có giá trị nguyên phương trình 2
1 a C
a a
+ =
− + ( ẩn a , tham số c ) có nghiệm Tức là:
( ) ( )
2 1 1 0
Ca − C+ a+ C− = có nghiệm
( )2
2 3
3 1
3
C C C C
⇔ ∆ = − + + ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +
Dễ thấy C>0 c nguyên nên C∈{ }1;
Với C=1 1 0
4
x x
x x
x
x x
=
+ = ⇔ −
= ⇔ =
(17)Với C=2 2 0, 25
x
x x x
x x
+ = ⇔ − + = ⇔ =
− + ( x≠1)
Vậy x∈{0; 0, 25; 4} Cnhận giá trị nguyên
Dạng Chứng Minh Giá Trị Của Biểu Thức Không Là Số Nguyên Phương pháp Ta thường sử dụng cách sau:
-Chỉ giá trị biểu thức nằm hai số nguyên liên tiếp
-Hoặc biến đổi biểu thức dạng phân thức tổng đa thức với hệ số nguyên phân thức, chứng minh tử thức không chia hết cho mẫu thức
-Hoặc giá trị biểu thức số vô tỉ
Thí dụ Cho , ,a b c số dương C a b c
b c b c c a
= + +
+ + + Chứng minh giá trị c không số nguyên
Lời giải Ta có:
1
a b c a b c
C
a b c a b c a b c a b c
+ +
> + + = =
+ + + + + + + +
Ta lại có:
1 1
b c a
C
a b b c a c
b c a
a b c a b c a b c
= − + − + −
+ + +
< − + +
+ + + + + +
< − =
Do đó: 1<C<2 Vậy giá trị c khơng phải số ngun
Thí dụ Chứng minh giá trị D= x2+ 4x2+ 36x2+10x+3 ( với x số tự nhiên )
không số nguyên Lời giải Do x∈N nên
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
4 36 10
4 36 10
2 36 10 2
2 36 10 2
1 36 10 2
1
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x D x
+ < + + < + ⇒ + < + + < +
⇒ + < + + + < + + < +
⇒ + < + + + < +
⇒ + < + + + + < + + < +
⇒ + < < +
Giá trị d nằm hai số tự nhiên liên tiếp nên khơng số ngun
Thí dụ Cho biểu thức 23
2 1
n E
n n n
= +
(18)Lời giải Rút gọn biểu thức
( )( ) (( )()( ))
2 3 1 1
3
1
2 1 1 2
n n
n n n
E
n n n n n n n
− + −
= + = = = +
− + + − + − −
Gọi d= ưcln(n; 2n−1) n d , 2( n−1)d suy d hay d =1
Lại có n≠ ±1,n≠0 nên 2n− ≠1
Vì n(2n−1) Do e khơng phải số nguyên với số n nguyên n≠ ±1,n≠0
Thí dụ Cho p tích n số nguyên tố (n>1) Chứng minh p+1 không
số nguyên
Lời giải Giả sử p+ =1 k k( ∈N)thì p=k2− =1 (k−1)(k+1)
Vì p tích n số ngun tố nên p2 suy k−1,k+1 số chẵn nên p4 ( điều
này vơ lý p2 p4 )
Vì p+1 phải số hữu tỉ Suy điều phải chứng minh
Dạng Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Thỏa Mãn Một Bất Đẳng Thức Hoặc Một Đẳng Thức
Phương pháp Trước hết rút gọn biểu thức, từ điều kiện cho dẫn đến phương trình bất phương trình ( ẩn biến số cho )
Thí dụ Cho biểu thức 3
3
x x x F
x x x x x
+
= + +
− − − + +
a) Tìm x cho F =6
b) Tìm x cho F >2
c) So sánh f với 1,5
Lời giải F có nghĩa 3
x
x x
− ≥
⇔ ≥
≥
Khi 3( ) (3 ) 3
3
x x x x x
F x x x x
x x
− + + − − −
= + = + = − −
− − −
a) ( )2
6 3 12
F = ⇔ −x x− = ⇔ x− − = ⇔ − = ⇔ =x
b) ( ) ( )2
2 3 3
F > ⇔ −x x− > ⇔ x− − x− + > ⇔ − − >
3
4
x x
x x
− ≥
≥
⇔ ⇔ ≠
− ≠
C) xét hiệu ( )2
1, 1, 0,
F− = −x x− − = x− − + >
Vậy F >1,
Thí dụ Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
( )
1
1
2
(19)Lời giải Biến đổi đẳng thức cho thành dạng
( ) (2 ) (2 )2
1 3
1 1 1
3
x x
x y z y y
z z
− = =
− + − − + − − = ⇔ − − = ⇔ =
− − = =
Dạng Tìm Điều Kiện Để Biểu Thức Có Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Thí dụ 10 Tìm x để biểu thức
( )2 ( )2 ( )2
2010 2011 2012
G= x− + x− + x− có giá trị nhỏ
Lời giải Áp dụng công thức
A = A , ta có
2010 2011 2012
G= −x + −x + −x
Nhận thấy
2010 2012 2010 2012 2010 2012
x− + −x = −x + − +x ≥ −x − +x =
Và x−2011≥0 với x Suy G≥2
2
G= ( 2010)( 2012) 2011 2011
x x
x x
− − + ≥
⇔ =
− =
Vậy x=2011 g có giá trị nhỏ
Thí dụ 11 Tìm x để biểu thức H = 6− +x x+2 có giá trị lớn Lời giải Điều kiện xác định h 6
2 x
x x
− ≥
⇔ − ≤ ≤
+ ≥ Nhận thấy H >0 nên h lớn
H lớn Ta có
( )2
2 8 2 12 4 8 2 16 2
H = + + x−x = + − x−
Do
8 16 16
H ≤ + = ; H2 =16⇔ =x Vậy h có giá trị lớn x=2
Bài Tập
Bài Cho biểu thức ( ) ( )
2
2
3 12
2
x x
M x x
x
− +
= + + −
a) Rút gọn m
b) Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức m có giá trị nguyên
Bài Cho biểu thức
(20)b) Tìm x để N< −
c) Tìm giá trị nguyên x để n nhận giá trị nguyên
Bài Cho biểu thức ( ( ) )
13 10
P= − x+ x− + x Tìm x nhỏ để p nhận giá trị nguyên
Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không số nguyên
a) 1
1+ + 3+ + + 99+ 100
b) 2 2
4 16 100 39
x + x + x + x + x+ với x∈
c) 22 2
3
x
x x x
− −
− − + với x số nguyên khác khác Bài Tìm x để f x( )= 2− +x 1+x đạt giá trị lớn