Các bài toán về nhị thức newton

1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton: Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d­¬ng ta cã: (a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cnnbn 2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn: + Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña nhÞ thøc ë vÕ tr¸i. + Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n. + C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn l­ît lµ: C0n; C1n; C2n; … Cn-1n; Cnn; Víi chó ý: Ckn = Cnn–k 0 < k < n. 3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt: + D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®­îc (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn + D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®­îc (2) (1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3)

GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Nhị thức newton và ứng dụng I - Nhị thức newton 1 - Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có: (a + b) n = c o n a n + c 1 n a n 1 b + c 2 n c 1 n 2 b 2 + + c n n-1 ab n 1 + c n n b n (*) kkn n nk k n baC = = 2 - Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. + Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n. + Các hệ số của khai triển lần lợt là: C 0 n; C 1 n ; C 2 n ; C n-1 n ; C n n ; Với chú ý: C k n = C n n k 0 < k < n. 3 - Một số dạng đặc biệt: + Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x + C 2 n x 2 + + C n-1 n x n-1 + C n n x n + Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta đợc (2) (1 - x) n = C 0 n - C 2 n x+ C 2 n x 2 + (-1) k C k n x k + + (-1) n C n n x n (3) 4 - Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức + Thay x = 1 vào (2) ta đợc C 0 n + C 1 n x + C 2 n + + C n n = 2 n + Thay x = -1 vào (3) ta đợc: C 0 n - C 1 n x + C 2 n - + (-1) n C n n = 0 A - áp dụng I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó: Bài 1: Thực hiện khai triển: (3x 4) 5 TRUNG TM LTH TI C Trang1 1 1 + = k n k n C k kn C GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton CT: Ta có (3x 4) 5 kk k k xC )4.()3( 5 5 0 5 = = = 3 5 . C 0 5 . x 5 + 4.3 4 C 1 5 x 4 + + 4 5 C 5 5 Trong khai triển đó + Có 6 số hạng. + Các hệ số có tính đối xứng nhau + Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số C 0 5 = 1 C 1 5 = 5 C 2 5 = 10 Vậy (3x 4) 5 = 243x 5 1620 x 4 + 4320 x 3 5760 x 2 + 3840 x 1024 Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a: S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 b: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 C 2 5 + +2 5 C 5 5 c: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 d: S 4 = C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 e: 0 1 2001 2002 2001 20022002 2000 2001 1 2002 2001 2002 0 20024 CCCCCCCCS k k k +++++= Giải:a ta có S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 = (1 + 1) 6 = 2 6 = 64 b:Ta có (1 + x) 5 k k k xC = = 5 0 5 (1) Thay x = 2 vào (1) ta đợc: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 . C 2 5 + +2 5 C 5 5 = 3 5 = 243 c:Ta có: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 = C 0 17 .3 17 + C117.3 16 (-4) 1 + C 2 17 3 15 (-4) 2 + C 3 17 3 14 (-4) + + C 17 17 (-14) 17 = (3 4) 17 = (3 4) 17 = -1 d: Ta có (1 + 1) 11 = C 0 11 + C 1 11 + C 2 11 + + C 6 11 + C 2 11 + + C 11 11 Mặt khác C k 11 = C 11 11-k với k (0,1,2, 11) Do vậy: (1 + 1) 11 = 2 (C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 ) = 2S 4 S 4 = 2 10 TRUNG TM LTH TI C Trang2 GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton e: Ta có k k k k C kk k k kk CC 2001 2001 20022002 2002 )!2001(! !2002!2002 )!2001( )!2002( . )!2002(! !2002 = = = Từ đó: S 5 = 2002 ( 20012001 2001 1 2001 0 2001 )11(2002) . +=+++ CCC Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho: C o n + 2 C 1 n + 4 C 2 n + + 2 n C n n = 243 (1) Giải: Ta có C o n + 2 C 1 n + 2 C 2 n + + 2 n C n n = (1 + 2) n = 3 n Vậy (1) 3 n = 243 = 3 5 n = 5 Bài tập tơng tự Bài 4: Viết khai triển (3x 1) 16 và chứng minh rằng 3 16 . C o 16 3 15 C 1 16 + + C 16 16 = 2 16 . Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau: a: S 1 = 2 n C 0 n + 2 n-2 C 2 n + 2 n-4 C 4 n + + C n n b: S 2 = 2 n-1 C 1 n + 2 n-3 C 3 n + 2 n-5 C 5 n + +C n n c: S 3 = C 6 10 C 7 10 + C 8 10 + C 9 10 + C 10 10 Bài 6: Tính tổng S = 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2001 .3. CCCC ++++ II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lu ý: 1 Ta có: (a + b) n = Do đó hệ số của số hạng thứ i là C i n , và số hạng thứ i: C i n a n-i b i 2 Ta có Do đó: Hệ số x k trong khai triển trên là C i n với i là nghiệm của phơng trình ( n i) + i = k Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x. Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức. Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là: TRUNG TM LTH TI C Trang3 iin n n i baC = 1 0 = + = ==+ n i ini n i in n i i n n xCxxCbx 0 )( 0 )()()( ( ) = =+= + n i ni n n xxCxx x x xx 0 3/212/53/22/52 )()( GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết. C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 Giải: + Xét PT: C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 (1) Ta có PT (1) (do n N) Khi đó: Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển. T/m Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C 5 12 Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho. Giải: Ta có: Ta có ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là: c 0 n ; c 1 n 2 -1 ; c 2 n 2 -2 ; Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng C 0 n + C 2 n 2 -2 = 2C 1 n 2 -1 a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ TRUNG TM LTH TI C Trang4 9 072 72)1(36 )2(!2 ! 36 2 2 = = == = n nn nn n n C n 2/763/232/56 9 84)()( xxxC = ( ) n xxx 15/283 + 12 015679 2 )1( 1 2 = =+= ++ n nn nn n = =+ 12 0 5/28123/41215/28 3 )()() k kkk n xxCxxx 15 28 3 )12(4 12 0 12 kk C k k = = 50 15 28 3 )12(4 == k kk n x x ) 2 1 ( 4 + nknk n n k nn xxCxx x x )2()()2() 2 1 ( 4/112/1 0 4/112/1 4 = =+=+ 4 32 0 2 kn k n k x = = = 089 8 )1( 1 2 =+= + nnn nn = = 8 1 n n 4 316 8 8 0 8 4 2 1 k kk k xcc x x = = + + 4 2 1 x x GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton b) n = 8 ta đợc: Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8 Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C o 8 2 0 x 4 = x 4 k = 4 hạng tử hữu tỷ: C 4 8 2 -4 Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x) n CT: Ta có (1 + x) n = - Các hệ số trong khai triển là: C o n ; C 1 n ; C n n. Ta có n, k nguyên, không âm và k < n ta có: & Ta có: Tức là: C k n tăng khi k tăng và C k n giảm khi k giảm và Vậy n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại Với n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2 Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b) n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096 CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b) n bằng: C o n + C 1 n + C 2 n + + C n n = 2 n = 4096 n = 12 Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: C o 12 ; C 1 12 ; , C 12 12 Thực hiện so sánh C k 12 và C 12 k-1 bằng cách xét; TRUNG TM LTH TI C Trang5 16 3k = 4i; i N 0 < k < 8 = = 4 0 k k xx 8 35 = kk n n k xC = 0 )!(! ! knk n C k n = 1)1()!1( ! 1 + = knk n C k n 2 1 11 1 1 1 1 + <> = >< n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1 11 1 1 1 1 + >< = <> n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1 + < n k 2 1 + > n k 2 1 + = n k 1 1313 )!13()!1( !12 )!12(! !12 1 12 12 = = = kk k kk kk C C k k GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton (1) Từ (1) suy ra Vậy C k 12 đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C 6 n = 924 Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển. Giải: Ta có gọi t k là số hạng thứ k + 1 trong khai triển. Ta có = = 8 0K Xét (1) Từ (1) suy ra: t k 1 < t k t k 1 > t k Tức là: Khi k chạy từ 0 dến 8 thì: t k tăng khi k tăng và k < 6 t k giảm khi k tăng và k > 6 Vậy t k đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng Ví dụ 7: Khai triển đa thức . P x = ( 1 + 2x) 12 Thành dạng P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 20 x 10 Max (a 1 a 2 a 12 ) TRUNG TM LTH TI C Trang6 2 13 1 1 12 12 12 1 12 <>< k C C CC k k kk 2 13 11 2 13 1 1 12 12 12 1 12 ><<<> kk C C CC k k kk )270(32) 3 2 () 2 1 ( 272 27 27 27 == kCCa kkkkkk k )270(32) 3 2 () 2 1 ( 272 27 27 27 == kCCa kkkkkk k k k C C t t kk k kk k k k )9(2 3 2 3 1 3 2 3 1 19 1 8 8 8 1 = = 61 )9(2 1 1 <> > k k k t t k k 61 )9(2 1 1 << < k k k t t k k 2187 1792 3 2 3 1 62 6 8 = C hk k C 3 2 3 1 8 8 GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Giải: Ta có (1 + 2x) 12 = Suy ra : a k = C k 12 2 k với k = 1,12 Xét (1) Từ (1), suy ra: a k + 1 < a k a k + 1 > a k Vậy a k đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C 8 12 . 8 8 = 126720 VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất Giải: Ta có Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2) n . Xét khai triển (x+2) n = Hạng tử thứ 9 có h.s là C 8 n 2 8 lớn nhất trong các hệ số VD9: Cho khai triển 1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức trên. 2 Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Tìm n. Giải: Ta có Theo gt TRUNG TM LTH TI C Trang7 kkk k kk k xCxC 2)2( 12 12 0 12 12 0 == = )12(2 1 )!11(!)1( !122 )!12(! !12 2 2 11 12 1 k k kk kk C C a a kk n kk k k + = + == ++ + 3 23 1 )12(2 1 1 1 >> + > + k k k a a k k 3 23 1 )12(2 1 1 1 << + < + k k k a a k k nn x n x )2( 5 1 ) 5 2 5 ( +=+ n5 1 knkk n n k xC = 2 0 12 2 25 11 2 1 2 2 1 2 22 22 78 98 7 8 9 8 7788 9988 = > > > > > > nn CC CC C C C C CC CC nn nn n n n n nn nn n x) 3 2 2 1 ( + n 2 1285 27 0115564161285 9 )1(16 3 4 1 2 1285 9 4 2 1 2 3 2 2 1 2 1 ) 3 9 ( . 9 4 2 1 3 2 2 1 2 1 ) 3 2 2 1 ( 2 2 2 1 10 2 2 2 1 10 = === ++ =+++ +++++=+ n nn nn CCC xCxCxCCx nn n n n n n nnn n n n n n n n n n x ) 5 2 5 ( + GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton (thoả mãn) hoặc n = -26,75 (l) Vậy n = 7 ta có khai triển : HST9: Lập tỉ số: Do đó (a k ) tăng khi 0 < k < 15 => (a k ) max = a 15 Do đó (a k ) giảm khi 16 < k < 27 => (a k ) max = a 16 Mà Nên (a k ) max = a 15 = C 27 2 3 . 3 -15 . 2) Kết quả: n {17, 18, 19 }làm tơng tự VD8 VD10: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khi khai triển. Giải: ta có Để hạng tử là số nguyên thì Vậy các hạng tử là số nguyên là C 3 19 3 8 2; C 9 19 3 5 2 3 ; C 15 19 3 2 2 5 VD11: Biết rằng trong khai triển (x - ) n = C 0 n x 4 C 1 n x n-1 + C 2 n x n-2 Hệ số của hạng tử thứ ba - (1) n C n n ( ) n Trong KT trên là : C 2 n = 5 n 2 n 90 = 0 n = 10 hoặc n = -9 (loại) Khi n = 10 thì khai triển (x - ) 10 sẽ có 11 số hạng. Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 đó là: TRUNG TM LTH TI C Trang8 kkkk k xCx ) 3 2 () 2 1 () 3 2 2 1 ( 27 27 27 0 27 = =+ )270(32) 3 2 () 2 1 ( 272 27 27 27 == kCCa kkkkkk k 1501 1 27 5 4 32 3.2 . 272 27 )1(27)1(2 1 27 1 + == ++ + k k k C C a a kkk kk k k k 1516 15 16 1 16 1517 4 3 aa a a ==>= = n x ) 5 2 5 ( + 32 19 19 19 0 3 19 19 19 0 19 3 23)2()3()23( k k k k kkk k CC = = ==+ == == == = 155 95 31 2 319 60 1930 2 319 190 , 2 19 3 190 , 3 2 19 190 km km km Nk N m m m N k k Nkm N k mk k Nkm N k N k k Nk 3 1 3 1 9 1 3 1 9 1 90)1(45 )!2(!2 ! == nn n n 3 1 5355 10 27 28 ) 3 1 ( xxC = GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton III Tính các tổng C k n và cmđt chứa C k n Bài 1: Với n số nguyên dơng CMR a) C 1 n + 2 C 2 n + + (n 1) C n-1 n + n C n n = n. 2 n-1 b) 2.1 C 2 n + 3.2 C 3 n + + n (n 1) C n n = n (n 1) 2 n-2 CM: Với mọi x và n là số nguyên dơng ta có; (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x+ C 2 n x 2 + + C n-1 n x n-1 + C n n x n (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x ta đợc. n(1 + x) n-1 = C 1 n + 2C 2 n x + + (n - 1) C n-1 n . x n-2 + n C n n x n-1 (2) a) thay x = 1 vào (2) ta đợc. n. 2 n-1 = C 1 n + 2 C 2 n + + (n 1) C n-1 n + n C n n (ĐPCM) b) Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x Ta đợc: n(n 1) (1 + x) n-2 = 2.1 C 2 n + 3 . 2 C 2 n x + + (n 1) (n 2) C n-1 n x n-3 + n (n 1) C n n x n-2 (3) Thay x = 1 và (3) ta đợc. n(n 1) 2 n-2 = 2.1 C 2 n + 3 . 2 C 2 n x + + (n 1) (n 2) C n-1 n + + n(n-1) C n n (ĐPCM). * Chú ý: (1) Nếu phải tính tổng có dạng: S 1 = C 1 n + 2C 2 n + 3 C 3 n + + (n-1) C n-1 n n-2 + n C n n n-2 + Xét khai triển (1 + x) n = (1) + Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc: n(1 + x) n-1 = (2) + Thay x = vào (2) kết quả. + Nếu phải tính tổng dạng. S 1 = 2. 1C 2 n + 3.2C 3 n + + (n-1) (n-2) C n n-1 n-3 + n (n-1)(n 2)C n n-1 n-3 + n(n- 1) C n n n-2 Phơng pháp: + Xét khai triển (1) + Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc (2) TRUNG TM LTH TI C Trang9 n k n n k xC = 0 1 0 = kk n n k xC GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton + LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x ®îc n(n-1) (1+x) n-2 = (3) Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶ Ch¼ng h¹n tÝnh tæng: C 1 n + 2 2 C 2 n 1 + 3 C 3 n 2 2 + + (n-1) C… n n-1 c n-2 + n C n n 2 n-1 = n(1+ 2) n-2 = n3 n-2 . VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau: C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n . 3 n-2 + + (n-1) C… n n-1 3 + n C n n = n 4 n-1 (1) Híng dÉn: C1: §Ó ý: k. C k n 3 n-l = k C k n . 3 -k+1 . 3 n-1 = k 3 n-1 C k n Tõ ®ã (1) ⇔ C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n 3 n-1 + + (n – 1) C… n n-1 n – 2 + 3 n-1 n C n n n-1 = n. 4 n-2 ⇔ C 1 n + 2 C 2 n + + ( n – 1) C… n n-1 ( ) n-2 + n C n n k-1 = n ( ) n-1 = n (1 + ) n-1 ⇒ Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm C¸ch 2: §Ó ý : n. 4 n-1 = n (3+ 1) n-1 ⇒ XÐt khai triÓn (1) + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc. (2) + Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc. n(3 + 1) n-1 = C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n 3 n-2 + + n C… n n 3 n-1 ⇔ ®iÒu ph¶i chøng minh * Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng. S 3 = C 1 n ∝ n - 1 + C n 2 ∝ n-2 + + (n-1) C… n n-2 ∝ + n C n n C¸ch 1: + XÐt khai triÓn (∝ + x) n (1) + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang10 2 0 )1( − = − ∑ kk n n k xCkk 1 3 1 − k 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 3 1 3 1 kknk n n k n xCx − = ∑ =+ 3)3( 0 1 0 1 3)3( −− = − ∑ =+ kknk n n k n xCkx 1 0 −− = ∑ = kknk n n k xCk α [...]... điều phải chứng minh Bài tập: Bài 1: Chứng minh rằng: 0 1 4 2n 1 3 5 2n C 2 n + C 2 n + C 2 n + + C 2 n = C 2 n + C 2 n + C 2 n + + C 2 n 1 Bài 2: Chứng minh rằng: 0 1 n n (C n ) 2 + (C2 n ) 2 + + (Cn ) 2 = C 2 n Bài 3: Chứng minh: 0 1 2 2n 1 (C n ) 2 + (C2 n ) 2 + (C2 n ) 2 + (C 2 n ) 2 = (1) n C2 n Bài 4: Chứng minh rằng: (-1)n C0n + (-1)n-1 2C1n + + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cnn = 1 Bài 5: Chứng minh... (C22nn ) 2 = 22n-1 Bài 6: chứng minh rằng: 1 0 1 1 ( 1) n n 1 Cn Cn + + Cn = 2 4 2n + 2 2( n +1) Bài 7: Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 n +1 1 n C n C n + + Cn = 3 6 3n + 3 3(n +1) Bài 8: Chứng minh rằng với các số k, nN và 5 < k < n ta có k 0 k C n +5 = C 5 C n + C 1 k 1 5 k C n + + C 5 C n 1 5 TRUNG TM LTH TI C Trang18 GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Bài 9: Tính tích phân... Cnn-1 TRUNG TM LTH TI C (6) Trang13 GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Từ (3) và (6) => điều phải chứng minh Chuyờn Nh thc Newton n n k = 0 k =0 k k = Cn k hoặc = k ( k 1)C n Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau: 2005 C 2006 1) S1 = 2006 32005 C02006 + 2005 32004 C12006 + C22006 + + C 2005 HDG: + Xét khai triển (x... kC k n k x k 1 k =0 n Chuyờn Nh thc Newton (2) Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả VD3: CMR 2n-1 C1n + 2n-1 C2n + 3.2n-3 C3n + 4 2n-4 C4n + + n Cnn = n 3n-1 1 2 (làm tơng tự VD2 với = VD4: 1 Chứng minh các hệ thức sau: Con + 2 C1n + 3 C2n + + (n + 1) Cnn = (n + 2) 2n-1 2) Tính tổng : S = 2 1 C1n + 3 2 C2n + + n (n 1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn Giải: a) Cách 1: Xét khai triển: (1 + x)n = Con... (1) và (2) => điều phải chứng minh VD 10: 1 - Tính tích phân= 1 I 0 1- Chuyờn Nh thc Newton x(1 x 2 ) n dx 1 0 1 1 1 2 (1) n n 1 Cn Cn + C n + + Cn = 2 CM 2 4 6 2n + 2 2(n + 1) 1 1 1 2 n 2 n 2 Ta có: I = 0 x(1 x ) dx = 2 0 (1 x ) d (1 x ) 1 (1 2 2 ) n +1 1 1 = 0 = 2(n +1)(1) 2 n +1 2 Theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có 0 1 2 2 n (1 + x) n = C n + C n x + C n + C n x 2 + + C n x n 0 1... 2 1 C n C n + C n + = 2 4 6 2(n + 1) 2(n + 1) Bài 10: Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 a Tính tích phân 1 I = x 2 (1 x 2 ) n dx 0 b Chứng minh rằng 1 0 1 1 1 2 1 2 n+1 1 n cn + cn + cn + + Cn = 3 6 9 3n + 3 3(n + 1) Bài 11: Tính tích phân: 1 I = x (1 x )19 dx 0 Rút gọn tổng S= 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 C19 C19 + C19 + C19 C19 2 3 4 20 21 Bài 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001 a Tính f (x) b... + C19 C19 2 3 4 20 21 Bài 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001 a Tính f (x) b Tính tổng 0 1 2000 2001 S = C 2001 + 2C 2001 + + 2001C 2001 + 2002C 2001 Bài 13: Tính tổng 0 1 2004 2005 S = C 2005 + 2C2005 + + 2003C2005 + 2006C2005 Bài 14: Chứng minh rằng với các số m, p, n nguyên, dơng sao cho P< n và p < m ta có 0 p 1 p 1 0 C np+m = C n C m + C n C m 1 + + C np 1C n + C np C m TRUNG TM LTH TI C Trang19... 2 (3) [ 1 1 1 2 ( 1) k n +1 n 1 C n + 2 3 C n + + 2 Cn = 1 + ( 1) n 2 3 n +1 n +1 ] Chú ý: Để tính tổng dạng = k Cn k +1 n k = 0 n hoặc k = 0 C nk (k + 1)(k + 2) Ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần của nhị thức Niu tơn Ví dụ 7: CM 0 Cn 1 2 n Cn Cn ( 1) n C n 2.4 2n + + = 3 5 2n + 1 3.5 (2n + 1) Giải: Xét: 1 I n = (1 x 2 ) n dx 0 với n N Ta xác định tích phân In bằng phơng pháp tích phân từng phần,... GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Ta có Từ khai triển (1) ta có: 2 2 I = (1 x) n dx = (1 x) n d (1 x) = 0 0 Mặt khác: n 2 I = 0 k =0 0 = 2C n 2 2 n k k ( 1) k C n x k = ( 1) k C n k =0 (1 x) n +1 1 +1 x k +1 k +1 = 0 [ 1 1 + ( 1) n n +1 ] (2) 2 0 1 1 1 2 (1) n+1 n C n + 2 3 C n + + 2 Cn 2 3 n +1 k Từ (2) và (3) ta có đẳng thức: 0 = 2C n 2 2 2 (3) [ 1 1 1 2 ( 1) k n +1... + + (n + 1) n Cnn Lấy (2) (1) S2 = 2n 2n-1 + n ( n- 1)n-2 n 2n-1 = n 2n 2 (3n 1) TRUNG TM LTH TI C Trang12 GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) VD6: Với n nguyên dơng hãy chứng minh Chuyờn Nh thc Newton (1) 4n Con 4n-1 C1n + 4 n-2 C2n + + (-1)n Cnn = Con + 2 C1n + + n 2n-1 Cnn + + 2n Cnn (2) C1n + 4 C2n + + n.2n-1 Cnn = n 4n-1 Con (n-1) 4n-2 C1n + (n-2) 4n-3 C2n + + (-1)n-1 Cnn-1 Giải (1) . Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton Nhị thức newton và ứng dụng I - Nhị thức newton 1 - Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi số. = 2 - Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. + Tổng các số