Phương pháp toán tử cho bài toán Exxcition hai chiều

Với ý nghĩa đóng góp vào sự phát triển của OM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ   o0o   KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM Sinh viên thực hiện: TRƯƠNG MẠNH TUẤN Tp. HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 1 Lời cảm ơn Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của bản thân, tôi ñã nhận ñược sự quan tâm giúp ñỡ và ñộng viên của quý thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tôi xin ñựơc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm - giáo viên hướng dẫn luận văn này – cô ñã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tôi những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm quý báu ñể tôi thực hiện khóa luận này, ñồng thời truyền cho tôi lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin ñược cảm ơn anh Lê Quý Giang, chị Nguyễn Thị Mận và các thành viên cùng ñề tài Nghiên cứu khoa học ñã hướng dẫn, giúp ñỡ tôi trong việc lập trình với ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77. Xin cảm ơn gia ñình, người thân ñã hỗ trợ tinh thần tôi có thể hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn. Trương Mạnh Tuấn Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 2 MỞ ĐẦU Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử ñược xét ñến ngày càng ña dạng, trong ñó có nhiều bài toán chưa tìm ñược lời giải, từ ñó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài toán cơ học lượng tử - cụ thể là giải các phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp mạnh và phổ biến có thể kể ñến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần: một phần có thể xác ñịnh ñược nghiệm chính xác, phần còn lại là “nhiễu loạn” sẽ ñóng góp vào kết quả thông qua các bổ chính; trong ñó ñiều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu loạn” phải nhỏ so với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chế lớn của phương pháp này, vì trong thực tế một số trường hợp thành phần tách ra không ñủ nhỏ ñể coi là “nhiễu loạn”. Như vậy, việc xây dựng một phương pháp ñể giải các bài toán phi nhiễu loạn là cần thiết. Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từ thập niên 80 của thế kỉ trước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng các bài toán phi nhiễu loạn nêu trên [7]. Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy: ˆ ˆ ( , ) ( , , )H x p H a a ω + → ; (2) - Tách Hamiltonian thành phần trung hòa và không trung hòa: 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( , , ) ( , ) ( , , )H a a H a a V a a ω ω ω + + + = + ; (3) - Chọn tham số ω sao cho 0 ˆ ˆ ( , )H a a ω + là thành phần chính của Hamiltonian và từ ñây ta có nghiệm riêng của 0 ˆ ˆ ( , )H a a ω + là năng lượng gần ñúng bậc không; (4)- Xem ˆ ˆ ( , , )V a a ω + là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ ñồ thích hợp. Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài toán cụ thể về lý thuyết trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM ñã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó [7] . Một số ưu ñiểm có thể kể ra như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp, ñưa về các phép biến ñổi thuần ñại số. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 3 tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica ñể tự ñộng hóa quá trình tính toán; (2) - Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường ñộ bất kì. Từ ñây có thể tìm giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay ñổi của tham số trường ngoài. Một trong những khó khăn chung khi áp dụng OM là ña phần các bài toán có toán tử Hamilton chứa các biến ñộng lực ở mẫu số hoặc trong trong dấu căn nên nếu ñơn thuần chuyển sang biểu diễn các toán tử sinh hủy thì sẽ gây khó khăn khi tính toán. Để giải quyết vấn ñề này, trong các công trình trước [2], [7] các tác giả ñã sử dụng mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán dao ñộng tử ñiều hòa thông qua phép biến ñổi Levi-Civita giúp ñưa các phương trình về dạng bài toán dao ñộng tử phi hòa khá quen thuộc – cách giải này khá “ñẹp mắt” về hình thức và cũng ñã phát huy tác dụng ñối với một số bài toán [7]. Tuy nhiên, ñối với các bài toán phức tạp hơn, việc xác ñịnh năng lượng một cách gián tiếp như vậy gây một số khó khăn khi tính toán, lập trình ñể tìm nghiệm. Do ñó, trong ñề tài này tôi sử dụng phương pháp toán tử tìm năng lượng E một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phép biến ñổi Laplace ñể ñưa phần tọa ñộ ra khỏi mẫu số và dấu căn. Đây ñược coi là một bước phát triển OM. Với ý nghĩa ñóng góp vào sự phát triển của OM, luận văn này chỉ áp dụng OM cho một bài toán ñơn giản, dễ dàng tìm nghiệm chính xác bằng phương pháp giải tích ñể tiện ñối chiếu, so sánh và rút ra kết luận: bài toán exciton hai chiều, từ ñó có cơ sở ñể áp dụng cho các bài toán phức tạp hơn sau này. Tuy ñây là bài toán ñơn giản nhưng cũng là một bài toán ñược quan tâm do ý nghĩa thực tiễn của nó [3], [8]. Một trong những khâu quan trọng khi sử dụng OM là chọn giá trị tham số tự do ω , việc chọn ω phù hợp sẽ tối ưu hóa tốc ñộ tính toán do ñó khảo sát sự hội tụ của phương pháp theo tham số ω là một nhiệm vụ quan trọng. Với mục tiêu là tìm hiểu sâu hơn về một số vấn ñề trong cơ học lượng tử và bước ñầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tác giả tự ñặt ra cho mình các nhiệm vụ như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 4 - Tìm hiểu về lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể là nhiễu loạn dừng, tính lại sơ ñồ xác ñịnh các bổ chính năng lượng, hàm sóng, áp dụng cho một bài toán phổ biến trong cơ học lượng tử là bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. - Tìm hiểu về OM (sơ ñồ tính toán, các ưu ñiểm ) trên cơ sở ñối chiếu, so sánh với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc giải bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. - Hoàn thiện các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán tử sinh hủy, biến ñổi giải tích. - Bước ñầu làm quen với ngôn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90). - Đưa ra lời giải cho bài toán exciton hai chiều bằng phương pháp toán tử, so sánh với kết quả thu ñược bằng lời giải giải tích. - Khảo sát tính hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số ω . Phương pháp nghiên cứu: - Tính toán ñại số ñể tìm biểu thức giải tích. - Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 ñể tìm nghiệm số. - Đối chiếu, so sánh kết quả số thu ñược bằng lời giải giải tích và lời giải theo OM. Bố cục của luận văn ñược tác giả chia làm 4 chương: Chương 1: Giới thiệu phương pháp toán tử qua bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa Tác giả giới thiệu OM thông qua ví dụ bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa, ñồng thời ñối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống ñể thấy ñược tính hiệu quả của phương pháp này. Trước hết tác giả viết lại sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger và áp dụng cho bài toán nêu trên. Sau ñó tác giả ñưa ra các bước cơ bản của OM và áp dụng cho cùng một bài toán. Kết quả bằng số cho thấy phương pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng ñược cho trường hợp tham số phi ñiều hòa 0.1 λ ≪ trong khi phương pháp toán tử cho kết quả hội tụ nhanh hơn nhiều lần và ñúng cho mọi giá trị của tham số λ . Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này ñể giải quyết vấn ñề nêu ra trong luận văn. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 5 Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chiều Chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton, thiết lập phương trình Schrödinger cho bài toán và ñưa ra lời giải giải tích. Đây là các kiến thức nền, làm cơ sở cho phần tiếp theo. Chương 3 : Phương Pháp Toán Tử Bài toán exciton hai chiều Tác giả tiến hành áp dụng OM ñể giải quyết bài toán exciton hai chiều. Dùng chương trình FORTRAN 77 ñể giải các phương trình truy toán, tìm ra một số mức năng lượng của exciton hai chiều, ñồng thời khảo sát sự hội tụ tương ứng với mức năng lượng cơ bản theo giá trị ω . Phần kết luận: Việc áp dụng phép biến ñổi Laplace và OM có thể giải quyết hiệu quả bài toán exciton hai chiều. Kết quả thu từ bài toán exciton hai chiều ngoài trường hợp mức năng lượng cơ bản, các trường hợp mức năng lượng kích thích hoàn toàn phù hợp với kết quả thu ñược từ phương pháp giải tích. Với việc khảo sát tham số ω trong bài toán, ta ñã xác ñịnh ñược các giá trị ω ñặc biệt trong trường hợp mức năng lượng kích thích. Hướng phát triển tiếp của ñề tài là: tiếp tục khảo sát ω ñể tìm ra quy luật tối ưu hóa tốc ñộ tính toán, sử dụng các sơ ñồ khác nhau ñể tính toán nghiệm chính xác, chọn ra ñược sơ ñồ tính toán phù hợp. Từ ñó ứng dụng OM cho bài toán exciton âm và exciton dương trong từ trường… Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 6 CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ QUA BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA Trong chương này ta sẽ giới thiệu các bước cơ bản của OM thơng qua ví dụ bài tốn dao động tử phi điều hòa. Để minh họa những ưu điểm của phương pháp mới này ta sẽ trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] và so sánh các kết quả bằng số của hai phương pháp. 1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng Xét phương trình Schrưdinger dừng: ˆ ( ) ( )H x E xΨ = Ψ , (1.1) ta tách tốn tử Hamilton của bài tốn thành hai thành phần: 0 ˆ ˆ ˆ H H V β = + ; (1.2) trong đó thành phần 0 ˆ H là tốn tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác: 0 ˆ n n n H ψ ε ψ = , (1.3) thành phần ˆ V còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn ˆ V phải “nhỏ” so với 0 ˆ H , 0 ˆ ˆ V H<< , tham số nhiễu loạn β ( 1 β << ) được thêm vào để chỉ thành phần ˆ V là nhỏ . Khi đó, nghiệm của phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem n ε và n ψ là nghiệm gần đúng bậc khơng của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của ˆ V thơng qua các bổ chính năng lượng và Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 7 hàm sóng. Ở ñây ta ñưa vào tham số nhiễu loạn β ñể coi thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ ñồ tính toán qua số mũ của β . Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆ H là không suy biến và có phổ gián ñoạn, hệ hàm riêng n ψ của 0 ˆ H là ñầy ñủ và trực giao ứng với năng lượng n ε , với 0,1,2, .n = . Khi ñó, chúng ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của 0 ˆ H như sau: 0 ( ) ( ) k k k x C x ψ +∞ = Ψ = ∑ . Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k n x x C x ψ ψ +∞ = ≠ Ψ = + ∑ . (1.4) Thế(1.4) vào phương trình (1.1) ta có: 0 0, 0, ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k k n n k k k k n k k n H V x C x E x C x β ψ ψ ψ ψ +∞ +∞ = ≠ = ≠     + + = +         ∑ ∑ . (1.5) Nhân hai vế của (1.5) với * ( ) n x ψ rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta ñược: * * 0 0, 0, ˆ ˆ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k n n n k k k k n k k n x H V x C x x E x C x ψ β ψ ψ ψ ψ ψ +∞ +∞ = ≠ = ≠     + + = +         ∑ ∑ , suy ra: 0 ( ) nn nn k nk n k k n H V C V E β β +∞ = ≠ + + = ∑ . (1.6) Bây giờ làm tương tự như trên cho * ( ), j x j n ψ ≠ ta ñược: * * 0 0, 0, ˆ ˆ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j n k k j n n k k k k n k k n x H V x C x x E x C x ψ β ψ ψ ψ ψ ψ +∞ +∞ = ≠ = ≠     + + = +         ∑ ∑ , suy ra: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 8 0 ( ) n jj j jn k jk k k n E H C V C V β β +∞ = ≠ − = + ∑ , ( ) j n≠ (1.7) với ký hiệu các yếu tố ma trận: * 0 ˆ ( ) ( ) kk k k H x H x dx ψ ψ +∞ −∞ = ∫ , * ˆ ( ) ( ) jk j k V x V x dx ψ ψ +∞ −∞ = ∫ . (1.8) Hệ phương trình ñại số (1.6) - (1.7) có thể xem tương ñương với phương trình Schrödinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu ñược năng lượng n E và các hệ số j C , nghĩa là tìm ñược hàm sóng ( ) n xΨ qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau: (0) ( ) 1 s s n n s E E E β +∞ = = + ∆ ∑ , (1.9) (0) ( ) 1 , s s j j j s C C C j n β +∞ = = + ∆ ≠ ∑ . (1.10) Ở ñây ta ký hiệu (0) (0) , n j E C là năng lượng và hệ số gần ñúng bậc không, còn ( ) ( ) , , 1 s s n j E C s∆ ∆ ≥ là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.9) và (1.10) thế vào (1.7), (1.8) sau ñó ñồng nhất hai vế theo lũy thừa của tham số β ta ñược: (0) (0) , 0 n nn j E H C= = , (1) (1) (0) , ( ) jn n nn j n jj V E V C j n E H ∆ = ∆ = ≠ − ; 2:s ≥ ( ) ( 1) 0 s s n nk k k k n E V C +∞ − = ≠ ∆ = ∆ ∑ , 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) (0) 0 1 1 ( ) s s s s t t j jk k n j k t n jj k n C V C E C j n E H +∞ − − − = = ≠     ∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠   −     ∑ ∑ . (1.11) Đ ây là s ơ ñồ lý thuy ế t nhi ễ u lo ạ n mà ta s ẽ s ử d ụ ng trong các ph ầ n sau. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010 SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 9 1.2. Phương pháp nhiễu loạn và dao ñộng tử phi ñiều hòa Ta xét bài toán dao ñộng phi ñiều hòa với toán tử Hamilton có dạng sau: 2 2 4 2 1 1 ˆ 2 2 d H x x dx λ = − + + , (1.12) với hệ số phi ñiều hòa 0 λ > . Bài toán này có dạ ng chuy ể n ñộ ng trong h ố th ế và có các m ứ c n ă ng l ượ ng gián ñ o ạ n. Ta s ẽ s ử d ụ ng ph ươ ng pháp nhi ễ u lo ạ n ñ ã ñề c ậ p ở trên ñể gi ả i quy ế t bài toán này. Tr ướ c h ế t ta chia toán t ử Hamilton thành hai ph ầ n nh ư sau: 0 ˆ ˆ ˆ H H V= + , v ớ i : 2 2 0 2 1 1 ˆ 2 2 d H x dx = − + , 4 ˆ V x λ = . (1.13) Toán t ử Hamilton g ầ n ñ úng 0 ˆ H có nghi ệ m riêng chính xác là các hàm sóng c ủ a dao ñộ ng t ử ñ i ề u hòa: ( ) 2 exp 2 n n n x A H x ψ   = −     , (1.14) v ớ i ( ) n H x là ñ a th ứ c Hermit: ( ) 2 2 ( 1) n n x x n n d H x e e dx − = − . Hàm sóng này ứ ng v ớ i tr ị riêng là n ă ng l ượ ng g ầ n ñ úng b ậ c không 1 2 n n ε = + . Các y ế u t ố ma tr ậ n c ủ a các toán t ử 0 ˆ H và ˆ V ứ ng v ớ i các hàm s ố (1.14) có th ể tính ñượ c nh ư sau ( xem ph ụ l ụ c 3): 1 2 nn H n= + [...]... CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TOÁN T CHO BÀI TOÁN EXCITON HAI CHI U Trong chương này tác gi áp d ng OM cách s d ng phép bi n gi i bài toán exciton hai chi u b ng i Laplace, tìm ra nghi m s cho bài toán, so sánh v i k t qu thu ư c b ng l i gi i gi i tích Sau ó, kh o sát tính h i t c a bài toán khi gi i b ng OM cho trư ng h p năng lư ng cơ b n theo tham s ω 3.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chi u... Coulomb 2.2.2 Phương pháp gi i tích cho bài toán exciton hai chi u Trong ph n này ta s ti n hành gi i (2.9) theo phương pháp gi i tích v i phương pháp toán t i chi u ph n sau * Phương trình Schrödinger c a exciton hai chi u trong t a c c: Chuy n toán t Hamiton trong phương trình (2.9) qua bi u di n trong t a c c ta ư c 1 ∂  ∂  1 ∂2 Z ˆ H =− r − − 2r ∂r  ∂r  2r 2 ∂ϕ 2 r  (2.10) V i toán t có d... ng cho mi n λ nh 1.3 Phương pháp toán t cho bài toán dao ng t phi i u hòa Nh ng ý tư ng v OM ã xu t hi n vào nh ng năm 1979 Tuy nhiên, OM ư c ưa ra ư c u tiên vào năm 1982 b i m t nhóm các giáo sư trư ng i h c Belarus và ng d ng thành công cho m t nhóm r ng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trư ng i n t , bài toán tương tác chùm i n t v i c u trúc tinh th , trong v t lý ch t r n; bài. .. bài toán tương tác h các boson trong trong lý thuy t trư ng Phương pháp này ư c phát tri n b i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhi u tác gi khác [7] Ta s trình bày các i m chính c a phương pháp OM trên cơ s ví d bài toán dao ng t phi i u hòa m t chi u K t qu thu ư c s so sánh v i phương pháp nhi u lo n trên Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao ng t phi i u hòa v i toán. ..  2 + 2 − 2  ∂x ∂y  π +∞ ∫ 0 e−t ( x 2 + y2 ) t dt (3.4) 3.2 Phương pháp toán t gi i bài toán exciton hai chi u Ta s gi i phương trình Schrödinger (2.9) b ng OM v i b n bư c cơ b n như sau: Bư c m t: Chuy n toán t Hamilton v bi u di n c a các toán t sinh - h y hai chi u b ng cách t bi n s ng l c (t a và toán t o hàm) thông qua các toán t sau (xem ph l c 6): SVTH: Trương M nh Tu n Trang 29 Lu n văn... ∂ϕ 2 r  (2.10) V i toán t có d ng như trên, khi thay vào phương trình Schrödinger tìm nghi m s khó vì trong phương trình ch a hai bi n s Ta s s d ng m t nguyên lý trong cơ h c lư ng t : “N u hai toán t giao hoán v i nhau thì chúng có chung h hàm riêng”, vì v y ta i tìm các toán t giao hoán v i toán t ˆ H , ta bi t i v i bài toán h nguyên t hai chi u hình chi u moment xung lư ng trên Oz b o toàn.Th... n ( ) = ε n (0) ψ n ( ) Trư c h t ta ch n b hàm sóng cơ s cho bài toán theo b hàm cơ s c a dao t (3.11) ng i u hoà: nx , n y = ( ) n 1 ˆ ( a + ) x bˆ+ nx !n y ! ny 0 (ω ) Như ã nói, hàm riêng c a toán t Hamilton cũng ng th i là nghi m riêng c a ˆ ˆ toán t Lz và toán t M + , ta vi t l i b hàm cơ s cho exciton hai chi u theo tr riêng m ˆ c a toán t Lz (xem ph l c 9): ( ˆ ˆ ˆ ˆ k (m) = Ckm [(a + )2 +... này cho phép ta d dàng s d ng tính toán i s d a vào các tính ch t (3.6) và (3.8) (xem ph l c 7) Bư c hai: Tách Hamiltonian phương trình (3.9) thành hai thành ph n như sau: ( ) ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ Ph n th nh t là H 0 a + a b +b,ω ch ch a các s h ng giao hoán v i các toán t ˆ ˆ ˆ ˆ a + a và b + b , ch a các toán t “trung hòa”: ω ˆ 2ω ˆ H0 = N − Z π 4 +∞ ∫ 0 dτ 1  τ  ∑ ( i!)2  1 + 2τ   τ i =0  ∞ ˆ ây ta khai... a+ = i ˆ ˆ ây toán t a ư c g i là toán t h y” và a + ư c g i là toán t sinh” (xem [1],[4]); ω là tham s th c dương ư c ưa thêm vào t i ưu quá trình tính toán, ta s nói rõ hơn v tham s này trong bư c ba Ta d dàng thu ư c h th c giao hoán:  a, a +  = 1 ˆ ˆ  (1.18) H th c này s giúp ta ưa các toán t sinh h y v d ng chu n, nghĩa là các toán t sinh n m tính toán phía bên trái và các toán t h y n m... ư c phát hi n trong các bán d n có vùng c m r ng như CdS, HgI2, PbI2, CdI2, CuO2, [7] 2.2 Bài toán exciton hai chi u 2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chi u Theo cơ h c c i n, năng lư ng c a h g m electron và l tr ng tương tác E= p12 p2 + 2 + U (r) , 2m1 2m2 (2.1) trong ó + r là kho ng cách gi a hai h t + p1 là xung lư ng c a l tr ng (h) + p2 là xung lư ng c a electron (e) + U ( r ) là . giải cho bài toán exciton hai chiều bằng phương pháp toán tử, so sánh với kết quả thu ñược bằng lời giải giải tích. - Khảo sát tính hội tụ của phương pháp. cơ sở cho phần tiếp theo. Chương 3 : Phương Pháp Toán Tử Bài toán exciton hai chiều Tác giả tiến hành áp dụng OM ñể giải quyết bài toán exciton