Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa tôpô và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Thanh KHÁI NIỆM DẦY ĐẶC TRONG ĐẠI SỐ THEO NGHĨA TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn q thầy tổ Đại số , q thầy Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh quý thầy cô tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tảng cho q trình viết luận văn này, tồn thể q thầy phịng Khoa học Cơng nghệ Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Tiền Giang tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu hồn thành chương trình khố học Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt thầy PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn giúp đỡ bảo trình xây dựng hồn thành luận văn Q trình xây dựng hồn thành luận văn, tơi nhận động viên giúp đở tinh thần bạn học viên khố 14 chun ngành Đại số Tơi xin ghi nhận nơi lòng biết ơn sâu sắc Tác giả luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HOÁN 10 I.1 Modul bất khả qui trung thành 10 I.1.1 Định nghĩa : 10 I.1.2 Bổ đề : 10 I.1.3 Bổ đề : 10 I.1.4 Định nghĩa : 10 I.1.5 Định nghĩa : 11 I.1.6 Bổ đề Schur: 11 I.1.7 Bổ đề : 11 I.2 Radical vành 11 I.2.1 Định nghĩa: 11 I.2.2 Định nghĩa : 12 I.2.3 Bổ đề : 12 I.2.4 Định lý: 12 I.2.5.Bổ đề: 12 I.2.6 Định lý: 12 I.2.7 Định nghĩa: 13 I.2.8 Định lý: 13 I.2.9.Định nghĩa: 13 I.3 Radical đại số: 14 I.3.1 Định nghĩa: 14 I.3.2 Mệnh đề: 14 I.4.Vành nửa đơn 15 I.5 Vành Artin 15 I.5.1 Định nghĩa: 15 I.5.2 Các ví dụ: 15 I.5.3 Định lý: 16 I.5.4 Hệ : 16 I.6 Định lý dày đặc : 16 I.6.1 Định nghĩa: 16 I.6.2 Định lý : 16 I.6.3 Định nghĩa: 17 I.6.4 Định lý (Định lý dày đặc) 17 I.6.5.Định lý: 18 I.6.6 Định lý: 19 I.7 Vành nguyên tố: 20 I.7.1 Định nghĩa: 20 I.7.2 Bổ đề: 20 I.7.3 Mệnh đề: 20 I.7.4.Bổ đề: 20 I.8.Vành đơn : 21 I.8.1 Định nghĩa: 21 I.8.2 Nhận xét : 21 I.8.3 Định lý (Wedderburn-Artin): 21 CHƯƠNG II: TÔPÔ HỮU HẠN VÀ TÔPÔ ZARISKI 22 II.1.Một số khái niệm không gian tôpô 22 II.1.1 Tôpô tập hợp Tập mở 22 II.1.2 Tập đóng : 22 II.1.3 Cơ sở tôpô: 23 II.1.4 Cơ sở lân cận: 23 II.1.5 Tôpô cảm sinh –không gian con: 24 II.1.6 Bao đóng , điểm dính: 24 II.1.7 Ánh xạ liên tục: 25 II.1.8 Tích khơng gian tơpơ: 26 II.2.Tôpô hữu hạn: 26 II.2.1.Mệnh đề: 26 II.2.2.Mệnh đề: 27 II.2.3.Mệnh đề: 28 II.2.4 Mệnh đề: 28 II.2.5 Mệnh đề: 30 II.3.Tôpô Zariski: 30 II.3.1 Định nghĩa : 30 II.3.2 Định nghĩa : 31 II.3.3 Bổ đề: 31 II.3.4 Mệnh đề: 31 II.3.5 Mệnh đề: 32 CHƯƠNG III.ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR: .33 III.1.PI đại số vành giao hốn có đơn vị: 33 III.1.1 Định nghĩa : 33 III.1.2 Định nghĩa: 33 III.1.3 Ví dụ: 34 III.1.4 Định nghĩa: 34 III.2 Đại số K X  34 III.2.2 Bổ đề: 35 III.2.3 Định nghĩa: 35 III.2.4 Bổ đề: 35 III.2.5 Bổ đề: 35 III.3 Định lí Kaplansky-Amitsur 36 III.3.1.Định nghĩa: 36 III.3.2.Bổ đề: 36 III.3.3.Bổ đề: 36 III.3.4 Bổ đề : 37 III.3.5 Bổ đề : 37 III.3.6 Bổ đề : 37 III.3.7 Định lý (Kaplansky-Amitsur) 38 III.3.8 Định nghĩa: 40 III.3.9 Định lý Amitsur-Levitzki 40 III.3.10 Định lý Kaplansky- Amitsur-Levitzki 40 CHƯƠNG IV.ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG: .41 IV.1 Định lý Formanek đa thức tâm Mn(K) 41 IV.1.1.Cho K vành giao hoán tuỳ ý xét Mn(K) 41 IV.1.2 Định lý (Formanek) 44 IV.1.3 Định lí Amitsur: 47 IV.1.4.Mệnh đề: 47 IV.1.5 Định lý: 47 IV.2.Đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực 48 IV.2.1.Các radical đại số : 48 IV.2.3 Địa phương hóa giao hốn: 50 IV.2.3.1 Định nghĩa : 50 IV.2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực 51 KẾT LUẬN: 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 LỜI NÓI ĐẦU -Trong đại số khơng giao hốn có khái niệm dày đặc “định lý dày đặc” vành nguyên thuỷ Jacobson Chevalley chứng minh làm sở để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur đại số nguyên thuỷ PI đại số,định lý dày đặc đặt móng việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở hướng nghiên cứu toán học Tuy nhiên sách PI-đại số tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur có sử dụng kết quả: f đa thức K{X}, ánh xạ (l1,l2,…,ln)  f (l1,l2,…,ln) với li  L  End FV liên tục tôpô hữu hạn f đồng thức tập dày đặc L f đồng thức L mà khơng trình bày chứng minh rõ ràng.Cũng chứng minh định lý Formanek đa thức tâm đại số ma trận tác giả sách PI-đại số áp dụng tính chất tơpơ Zariski mà khơng có chứng minh Mục đích luận văn giải hai vấn đề: Thứ xây dựng không gian tôpô tập YX tất ánh xạ từ X vào Y gọi tôpô hữu hạn Gọi V không gian vectơ thể  EndV tập tất phép biến đổi tuyến tính V  ,ta chứng minh EndV tập đóng không gian tôpô VV.Tôpô hữu hạn VV cảm sinh tôpô End V A tác động dày đặc EndV theo nghĩa đại số A dày đặc (trù mật) EndV theo nghĩa tơpơ tức : A = End V Sau chứng minh ánh xạ (l1,l2,…,ln)  f(l1,l2,…,ln) với li  L  EndV liên tục tôpô hữu hạn nhờ ánh xạ (l,m)  l+m , (l,m)  lm , l   l (với   K ) liên tục không gian tôpô hữu hạn.Dựa vào tính chất hàm liên tục ta suy A dày đặc EndV , f đồng thức A f đồng thức EndV Áp dụng kết để chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur Thứ hai xây dựng tôpô Zariski không gian vectơ hữu hạn chiều V trường vô hạn K làm sở để chứng minh định lý Formanek đa thức tâm đại số ma trận mà sách PI-đại số tác giả Nathan Jacobson nêu không chứng minh rõ.Xem K không gian vectơ chiều K với tơpơ Zariski,khi hàm đa thức : V K n  e i 1 i i  f (1 , , , n ) liên tục tôpô Zariski tập mở khác rỗng V dày đặc tơpơ Zariski.Từ suy hàm đa thức triệt tiêu tập mở khác rỗng V triệt tiêu V.Áp dụng điều để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm Mn(K) phương pháp Formanek.Tiếp theo luận văn sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý PosnerRowen đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực Nội dung luận văn chia thành bốn chương sau: Chương I:Một số khái niệm định lý vành khơng giao hốn Chương chủ yếu trình bày số khái niệm,định lý,bổ đề có vành khơng giao hốn nhằm làm sở lý luận cho chương III chương IV như: Rađical Jacobson vành,đại số,các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành nguyên tố mối quan hệ chúng, đặc biệt khái niệm dày đặc định lý dày đặc mà sử dụng xuyên suốt luận văn Chương II:Tôpô hữu hạn tôpô Zariski Chương xây dựng tôpô tập tất ánh xạ từ X vào Y gọi tôpô hữu hạn làm sở lý luận cho việc chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur chương III đồng thời xây dựng tôpô Zariski không gian vectơ hữu hạn chiều V trường vô hạn K làm sở để xây dựng đa thức tâm đại số ma trận trình bày chương IV Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur Hệ thống kiến thức PI-đại số vành giao hốn có đơn vị áp dụng kết đạt chương II tơpơ hữu hạn để hồn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur đại số nguyên thuỷ Chương IV:Đa thức tâm đại số ma trận áp dụng Chương nội dung chủ yếu xây dựng đa thức tâm Formanek đại số ma trận Mn(K) việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tơpơ Zariski trình bày chương II áp dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen đại số nửa nguyên tố thoả đồng thức thực Chắc luận văn không tránh khỏi sai sót.Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến q báo q thầy bạn đồng nghiệp CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN Trong chương chủ yếu trình bày số kiến thức có vành khơng giao hốn nhằm làm sở lý luận cho chương sau,do có số định lý nêu mà chứng minh Trong chương này,kí hiệu R vành khơng giao hốn, M R modul phải, EndRM vành R đồng cấu M I.1 Modul bất khả qui trung thành I.1.1 Định nghĩa : M gọi R-modul trung thành từ M.r = (0) suy r = I.1.2 Bổ đề : Kí hiệu A(M) =rR/M.r = (0) ;ta có A(M) ideal hai phía R M R A(M ) modul trung thành Cho M R-modul,aR, ánh xạ Ta:M M cho mTa = ma, m M đồng cấu nhóm cộng.Kí hiệu E(M) tập tất đồng cấu nhóm cộng.E(M) vành với phép toán cộng,nhân đồng cấu nhóm Xét ánh xạ : R  E(M) a  Ta Vì Ta+b = Ta+ Tb Tab = TaTb nên  đồng cấu vành Mặt khác : Ker  = A(M) nên R A(M )  Im  I.1.3 Bổ đề : R A(M ) đẳng cấu với vành vành E(M) Đặc biệt: Nếu M R-modul trung thành A(M) = (0) ,khi  đơn cấu nhúng R vào E(M) vành đồng a  Ta ,aR I.1.4 Định nghĩa : Vành giao hoán tử R M C(M) =  fE(M) / Taf = fTa ,aR Rõ ràng C(M) vành vành E(M).Với fC(M),mM,aR ta có: Nếu f    ( )   1 nn11  Z [ , , ( ) n 1 ],( )  ( , ,  ) n 1 (4) ta định nghĩa:           x y1 x y2 x n yn x n1  Z  x, y  Z x, y , , y (5) n f ( ) ( ) Chú ý f f cộng tính f đa thức tuyến tính theo y i Đặc biệt thay n x   e , y  e ,…, y  e : i1 j1 n in jn i ii 1  2   x y1 x j1i2 j2i3 (  n y2 x 1  ij 0 .  n1 yn x         n  n1 e e e i1 i2 in jn i1 j1 i j2 in jn        n  n1 e jn1in i1 i2 in jn i1 jn i j ) Do đó: i j n     e , e , , e f  i ii i1 j1 in jn 1     j i  j i  j i f ( i , , i ,  j ).ei j 2 n 1 n n n n  (6) (6) với dãy (e i1 j1  f , , e ,e ) trừ (e , e , , e ) i1i2 i2i3 in1in in jn in jn (7)  f (  , ,,  ,  ).e i1 in jn i1 jn Vì có n số nên có số dãy (i1,…, in, jn)là Giả sử f thoả:   g  , ,   f ( , , , ) đối xứng  , , n n 1 n f  , , chia hết cho    (i  j ) trừ    n 1 i j n 1 (i) (ii) Khi     e , e , , e f  i ii i1 j1 in jn    với dãy (ei j , , ei j ) 1 n n  (e , e , , e ) với i j khác đôi i1i2 i2i3 ini1 trừ  (  e , e , , e )  f (  , ,  ,  )e f i ii i1i2 ini1 i1 in i1 i1i1  g ( 1, , n )ei1i1 ( g đối xứng ) Ta định nghĩa: n 1 q ( x, y , , y )   p ( x, y , , y ) (8) f n f i 1 in i0 với số lấy theo modul n, tức: qf(x,y1,…,yn) = pf(x,y1,…yn)+pf(x,y2,…yn,y1)+…+pf(x,yn,y1,…,yn-1) Khi q (  e , e f i ii i1 j1 , , e )  với cách chọn dãy (e , , e ) trừ i1 j1 in jn in jn (e , e , , e ) với ij khác i1i2 i2i3 ini1 q (  e , e , , e )  g (  , ,  ).1 (9) f i ii i1i2 ini1 n Cách chọn đơn giản đa thức f thoả (i) (ii) đa thức Formanek: n n c   (   )(  ) (   )2 (10)  i n 1 i i j i2 i, j  2; i  j Hệ số c 1  Z trường hợp ta có : n d ( , , )  c( , , , )   (   ) n n i j i j ánh xạ biệt thức xét Đặc biệt lấy g = d ta có thêm tính chất : (iii) Với trường K tồn aMn(K) cho G(a)  với G ánh xạ định nghĩa (1) Nếu K trường vô hạn ta chọn ma trận chéo a với phần tử đường chéo khác đơi G (a)  d (  , ,  )   (    )  n i j i j Nếu K trường hữu hạn ta áp dụng tính chất trường hữu hạn : tồn đa thức bất khả qui bậc n có hệ số cao h( )  K[ ] tồn ma trận a nhận h() làm đa thức đặc trưng Vì h() có n nghiệm phân biệt trường đóng đại số K K ánh xạ G:ah(tra,…,deta) khơng đổi mở rộng K G(a) 0.Sau trình bày chứng minh định lí Formanek đa thức tâm Mn(K) IV.1.2 Định lý (Formanek) Giả sử f  Z [ , , n 1 ] thoả mãn (i) ,(ii) ,(iii) Khi qf(x,y1,…,yn) định nghĩa (5) (8) đa thức tâm Mn(K) với vành giao hốn K Tồn aMn(K) cho G(a) khơng lũy linh với a tồn b1,b2, …,bn Mn(K) cho qf(a,b1,…,bn)0 Nếu f xác định 1) l ( , , )  Z [ , , ] l đối xứng : n n (11) qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) ,với a, bi  M n ( K ) L định nghĩa (1) ứng với l ( , , ) n Chứng minh : Trước hết ta giả sử K trường đóng đại số ta chứng minh [qf(x,y1,…,yn),z] đồng thức Mn(K) (11) Điều tương đương với việc chứng minh ánh xạ: (a,b1,…,bn,c)[qf(a,b1,…,bn),c] (12) (a,b1,…,bn)qlf(a,b1,…,bn)-L(a)qf(a,b1,…,bn) (13) ánh xạ Vì qf(x,y,…,yn) [qf(x,y1,…,yn),z] tuyến tính theo y i z nên ta cần chứng minh với cách chọn bi,c thuộc sở Mn(K) K đủ Cố định bi c ánh xạ (12),(13) ánh xạ đa thức a (từ Mn(K) vào Mn(K)) từ xác định đa thức Pij,Qij theo n2 biến xij cho ánh xạ (12), (13) : (a   a e , b , , b , c)   P (a , a , )e ij ij n ij 11 12 ij i, j (a, b , , b )   Q (a , a , )e n ij 11 12 ij i, j Do ta cần chứng minh hàm đa thức (a, b , , b , c)  P (a); n ij (a,b1,…,bn)Qij(a) ( cố định b1,b2,…,bn,c sở) với a thuộc tập mở Zariski Mn(K) ,tức G(a)  Vì g ( , , )  f ( , , , ) chia hết cho    (ij) K đóng đại số nên i j n n G(a)= g (  , ,  )(  n i nghiệm đặc trưng a), điều kiện G(a)0 suy g (  , ,  )    i khác đơi Do a đồng dạng với ma trận chéo áp n dụng tự đẳng cấu Mn(K) ta giả sử a ma trận chéo :  a    e chọn sở tập hợp ma trận e Theo (9) ta có : ij i ii q (  e , e , , e )  g (  , ,  ).1 f i ii i1i2 ini1 n cách chọn khác dãy (e , , e ) qf i1 j1 in jn   f  , , e ), c    g ( , ,  ).1 c  c  g ( , ,  ).1 i ii i1i2 ini1   n  n   Khi đó:  q (  e , e  g (  , ,  ).c  g (  , ,  ).c   [q (a, b , , b ), c]  0, b , c thuộc sở n n f n i Mn(K) a thuộc tập mở Mn(K)  ánh xạ (12) Mn(K) (mệnh đề II.3.5) Tương tự ta có L(a)=l(  , ,  ) , qf(a,b1,…,bn)=g(1,…,n).1 n l ( , , ) f ( , , , )  l ( , , ).g ( , , )  (lg)( , , ) đối xứng n n 1 n n n  q (  e , e , , e )  (lg)(  , ,  ).1 lf i ii i1i2 ini1 n  l (  , ,  ).[ g (  , ,  ).1] n n  L(a).q (a, b , , b ) f n Do ánh xạ (13) Mn(K) Vậy ánh xạ (12),(13) Mn(K) K trường đóng đại số Nếu K trường tuỳ ý giả sử K bao đóng đại số K Khi ta nhúng Mn(K) vào Mn( K ) Do kết Mn(K) Với giả thiết f thoả iii) a  M n (K ) cho G(a)  Vì K trường nên G(a) G(a) không lũy linh Giả sử a có tính chất Vì a đồng dạng với ma trận chéo M n (K ) nên theo (9) ta chọn b1,…,bn  M n (K ) cho qf(a,b1,…,bn)  Do qf tuyến tính theo y i sở Mn(K) sở M n (K ) nên ta chọn biMn(K) cho qf(a,b1,…,bn)0 Vậy định lý chứng minh với K trường Bây giả sử K vành giao hoán Xét vành đa thức m=(n+2)n2 ẩn (1) ( n) ( n) (1) Z [ x , y , , y , z ],(1  i, j  n) Khi a=(aij), b  (b ) ,…, b  (b ) , ij ij n ij ij ij ij c  (c )  M ( K ) ta có đồng cấu vành từ Z[xij,…] đến K cách thay ij n (k ) (k ) x a ;y  b ; Từ mở rộng đến đồng cấu vành từ ij ij ij ij (1) (1) M ( Z [ x , y , ]) đến Mn(K) thay x= (xij)a; Y  ( y )  b , , Z=(cij)c n ij ij ij Vì G L đa thức với hệ số nguyên lấy hệ số đa thức đặc trưng nên đồng cấu biến L(X) thành L(a) Vì Z[xij,…] nhúng vào trường nên ta có: [qf(X,Y1,…,Yn),Z] = qlf(X,Y1,…,Yn) = L(X).qf(X,Y1,…,Yn) Áp dụng đồng cấu từ Mn(Z[xij,…]) đến Mn(K) ta nhận được: [qf(a,b1,…,bn),c] = qlf(a,b1,…,bn) = L(a).qf(a,b1,…,bn) Giả sử P ideal tối đại K F = K P ( F trường) Theo giả thiết a  M n (F ) cho G(a )  Chọn aMn(K) mà đồng cấu chiếu : M n (K )  M n (F ) aa (ở a =a+Mn(P)) Khi G(a)  G(a ) Suy G(a) lũy linh G(a )  (vơ lý) Do G(a) khơng lũy linh Vậy aMn(K) cho G(a) không lũy linh Với a  Mn(K) mà G(a) không lũy linh K, nil radical K giao tất ideal nguyên tố K nên tồn ideal nguyên tố P K cho G(a)P  G(a)  G(a)  P  Khi G(a )  với a  a+Mn(P) Giả sử D  K P miền nguyên F trường thương D Khi b1 , , bn  M n ( F ) cho q (a , b , , b )  Bỏ thương ta giả sử f n b1 , , bn  M n ( D) Chọn bi  Mn(K) tạo ảnh bi đồng cấu chiếu Mn(K)Mn(D) ta q (a, b , , b )  f n IV.1.3 Định lí Amitsur: Giả sử q0(x,y1,…,yn) = qc(x,y1,…,yn) (c đa thức Formanek ).Khi tồn đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn) ,…,qn(x,y1,…,yn) Mn(K) cho với a,bi  Mn(K) ta có: q0(a,b1,…,bn)n –q1(a,b1,…,bn)n-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn)a() với a() đa thức đặc trưng a.Từ ta có q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) đồng thức Mn(K) Chứng minh Áp dụng phần định lí Formanek (định lí IV.1.2) với f = c đa thức Formanek l(1,2,…,n) đa thức đối xứng p   , , p    i n n Ta có  ( )  det( I  a)   n  (tra) n    (1)n det a a  q0  a ( )  q n  L0 (a)q0 n 1   (1) n Ln (a)q0  q0 n  q1n 1   (1) n q n (với q1=L0(a)q0=qlc ) Phần sau định lí suy từ định lí Hamilton-Cayley IV.1.4.Mệnh đề: Mọi đa thức tâm với hệ số Mn(K) đồng thức Mn-1(K) Chứng minh: Giả sử q(x1,x2,…,xm) đa thức tâm có hệ số Mn(K).Thay xi=ui  M n1 ( K ) q(x1,x2,…,xm)  M n1 ( K ) (do q có hệ số 0) q(u1,u2,…,um) nằm tâm Mn(K) nên có dạng k1 q  M n1 ( K ) nên k = suy q đồng thức Mn-1(K) Ta có Mn(K) đại số đơn tâm hữu hạn chiều,sau ta mở rộng định lí HamiltonCayley đa thức tâm đại sơ đơn tâm hữu hạn chiều IV.1.5 Định lý: Cho K trường vơ hạn,A đại số đơn tâm có số chiều n2 K.Khi đó: 1/Tồn đa thức bậc n  A ( )  n  Tn 1   (1)n N T,…,N hàm đa thức xác định A cho an-T(a)an-1+…+(-1)nN(a)=0,a A Đa thức a ( )  n  T (a)n 1   (1)n N (a) gọi đa thức sinh nhỏ a,T(a) N(a) gọi vết sinh chuẩn sinh tương ứng a 2/Vết sinh T hàm tuyến tính A triệt tiêu với giao hoán tử [a,b]=abba.Chuẩn sinh đẳng cấp bậc n: N(  a)=  nN(a) nhân tính.Hơn T(1)=n N(1)=1 3/Phần tử a  A gọi tách  a ( ) có nghiệm phân biệt đại số đóng K K.Do tập hợp phần tử tập mở khác rỗng tôpô Zariski A 4/Gọi q0(x,y1,…,yn) đa thức Formanek Mn(K) q0 đa thức tâm A.Ngoài tồn đa thức tâm q1(x,y1,…,yn) ,q2(x,y1,…,yn) ,…,qn(x,y1,…,yn) Mn(K) có tính chất q0 cho : q0(a,b1,…,bn)n –q1(a,b1,…,bn)n-1+…+(-1)nqn(a,b1,…,bn)=q0(a,b1,…,bn)  a() Từ ta có : q0(x,y1,…,yn) xn – q1(x,y1,…,yn) xn-1 +… + (-1)nqn(x,y1,…,yn) đồng thức A Nếu a tách tồn bi  A cho q0(a,b1,…,bn)  Từ định lý IV.1.4 ta có kết sau đậy : Nếu A đại số nguyên thuỷ thỏa mãn đồng thức thực bậc d=2n đa thức Formanek fc Mn(K) đa thức tâm A.Mọi đa thức tâm A đồng thức đại số nguyên thuỷ thoả mãn đồng thức thực có bậc bé 2n Sau trình bày số áp dụng định lý Kaplanski Amitsur đa thức tâm Fomanek Mn(K) IV.2.Đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực IV.2.1.Các radical đại số : IV.2.1.1.Định nghĩa : Đại số A gọi luỹ linh địa phương tập hữu hạn sinh đại số lũy linh.Tức b1, b2 , , bk  tập hữu hạn A tồn số m cho tích m bi Một ideal phía gọi lũy linh địa phương có tính chất đại số lũy linh địa phương IV.2.1.2.Định lý : Tồn nil ideal tối đại,kí hiệu unA (gọi upper nil radical) chứa nil ideal đại số A Tồn ideal lũy linh địa phương tối đại,kí hiệu L(A) (gọi Levitzki nil radical) chứa ideal lũy linh địa phương phía đại số A IV.2.1.3.Định nghĩa : Trên đại số A xây dựng dãy ideal siêu hạn sau : N(0) tổng tất ideal lũy linh A,khi N(0) nil ideal Nếu  số siêu hạn không giới hạn     N(  ) ideal A cho N ( ) N (  ) tổng tất ideal lũy linh A N (  ) Nếu  số siêu hạn giới hạn N ( )   N ( )   Ta có N(  ) < N(  / )  <  / tồn số siêu hạn T cho N(T)=N(T+1).Gọi N(T) lower nil radical kí hiệu lnA Từ định nghĩa ta suy : A unA không chứa nil ideal khác 0, A ln A không chứa ideal lũy linh khác , L( A L( A) ) = lnA  L( A)  unA IV.2.1.4.Định lý : Lower nil radical lnA trùng với giao tất ideal nguyên tố A IV.2.1.5.Định lý : Nếu A khơng có nil ideal khác khơng (tức unA = 0) A[  ] nửa đơn IV.2.2 Đồng thức đại số khơng có đơn vị IV.2.2.1 Định nghĩa :  f gọi đa thức qui chặt f  hệ số khác f khả nghịch K  f gọi đồng thức qui chặt A f đồng thức A f qui chặt  Nếu A thỏa đồng thức qui chặt bậc n A thỏa đồng thức qui chặt đa tuyến tính có bậc bé hay n IV.2.2.2 Định lý : Một nil đại số thỏa mãn đồng thức qui chặt lũy linh địa phương IV.2.2.3 Định lý : A đại số thỏa đồng thức qui chặt bậc d Khi đại số B A nil B d  2    N (0) Với N(0) tổng tất ideal lũy linh A IV.2.2.4 Định lý : A đại số thỏa đồng thức qui chặt bậc d d  2   lnA = L(A) = unA L Chứng minh:  N (0) , L=N(1) d    Gọi N = unA nil A ta có N  N (0) N    N (0) N  N( 1) (do N N (0) lũy linh N (1) N (0) tổng tất ideal lũy linh A N (0) ).Mà N(1)  N nên N=N(1) d  2   N  ln A  N (T )   N (1)  N  lnA = L(A) = unA L  N (0) , L=N(1) IV.2.3 Địa phương hóa giao hốn: IV.2.3.1 Định nghĩa : Cho S nửa nhóm nửa nhóm nhân vành giao hóan K M K modul Xét   tập : S  M= (s, x) s  S , x  M Trên S  M ta định nghĩa quan hệ ~ sau : (s1,x1) ~(s2,x2)  s  S :s(s2x1-s1x2)=0 ,khi ~ quan hệ tương đương S  M.Gọi MS tập lớp tương đương (s,x) kí hiệu s-1x Trên MS ta định nghĩa phép toán sau : s11 x1  s21 x2  ( s1s2 ) 1 ( s2 x1  s1 x2 ) k ( s 1 x)  s 1 (kx) Khi MS K modul gọi địa phương hố M S Ta có ánh xạ  vs : x  1-1x  từ M đến MS K đồng cấu modul Kervs= x  M s  S : sx  Đặc biệt KS K đại số giao hoán với phép nhân (s11k1 )(s21k2 )  (s1s2 )1 k1k2 Ánh xạ vs đồng cấu đại số vs(s) khả nghịch KS (1-1s)(s-11)=1-11=1 KS IV.2.3.2.Bổ đề: MS  KS K M IV.2.3.3 Định nghĩa: Phần tử a đại số A gọi qui a không ước bên trái bên phải,tức aba = b = IV.2.3.4 Định lý : Xem AS đại số K đồng thức f A đồng thức AS.Chiều ngược lại phần tử S phần tử qui A IV.2.3.5 Định lý : Nếu C tâm A CS nằm tâm AS CS tâm AS phần tử S phần tử qui A Chứng minh: N ếu s,t  S ,c  C,a  A (s-1c)(t-1a)=(st)-1(ca) v (t-1a)(s-1c)=(st)-1(ac) s-1c nằm tâm S-1A.Giả sử phần tử S qui s-1c nằm tâm AS từ (st)-1(ca)= (st)-1(ac) suy 1-1(ca)= 1-1(ac) (nhân hai vế cho 1-1(st) ).Vì vs đơn cấu nên ac = ca với a  A c thuộc tâm A.Do tâm AS CS IV.2.4 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực A đại số K , C tâm A.Khi xem A đại số C S nửa nhóm nửa nhóm nhân C ta có địa phương AS.Ta định nghĩa phép nhân ngồi AS sau: k(s-1a) = s-1(ka) , k  K Khi AS K đại số Giả sử A đại số nguyên tố phần tử khác tâm C qui , C miền nguyên.Nếu S nửa nhóm nửa nhóm nhân C  S vS đơn cấu xem A AS IV.2.4.1.Bổ đề: Nếu A đại số nguyên tố S nửa nhóm C khơng chứa AS nguyên tố Chứng minh: Giả sử với t 1a  AS (stu)1 ( xay)  suy xay = với a  A , A nguyên tố nên x = y = 0,do s 1 x  u 1 y  Vậy AS nguyên tố Đặc biệt lấy S=C\ 0 ta có địa phương hóa AS  A0 gọi đại số tâm thương A.Nếu F trường thương miền nguyên C A0  AF  F K A ( v ì AS  CS  A  F  A ),theo định lý IV.2.3.5 F tâm A0 IV.2.4.2.Bổ đề(Amitsur) A đại số nguyên tố thỏa mãn đồng thức thực bậc n A thoả mãn đồng thức chuẩn S n 2  2 Chứng minh: Xem A đại số tâm C.Nếu k  K k.1  C ka =(k.1)a.Thay hệ số k k.1 ta f đồng thức A C,khi f đồng thức A0  AF trường F (do f0  C  X   F  X  ).Vậy A0 thỏa mãn đồng thức qui chặt nên nil radical trùng : lnA  L( A0 )  unA0 Theo bổ đề IV.2.2.3 A0 đại số nguyên tố suy A0 khơng có nil khác d  2   (do N(0)=0  L  N (0)   L   unA0  0) Theo định lý IV.2.1.5 A0    nửa đơn.Giả sử f, f đa tuyến tính f đồng thức bậc n A0   Giả sử P ideal nguyên thuỷ A0   A0   P đại số nguyên thuỷ trường thoả đồng thức thực bậc n Theo định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzki S A0   P đồng thức Do a1 , a2 , , a  n   A0   S  n  (a1 , a2 , , a  n  )  P 2  2 2  2 P  J ( A)  nên S Vì n 2  2 P n 2  2 (a1 , a2 , , a n 2  2 2  2 )  0, ai  A0    S mà A  A0  A0   nên A thoả đồng thức chuẩn S n 2  2 đồng thức A0   n 2  2 IV.2.4.3.Bổ đề : A đại số nguyên tố thoả đồng thức thực A khơng chứa nil ideal khác Chứng minh: Theo bổ đề IV.2.4.2 A thỏa đồng qui chặt lnA =L(A) = unA = ,mà A nguyên tố nên A không chứa nil ideal khác IV.2.4.4 Định lý : A đại số nguyên tố thoả đồng thức thực I ideal khác A I  A  Chứng minh: Trước tiên giả sử A nửa đơn thoả mãn đồng thức chuẩn S2d Nếu P ideal nguyên thuỷ A P đại số nguyên thuỷ thoả đồng thức thực S2d nên A P đại số đơn tâm có chiều ( I  P) P A không lớn d tâm nó.Ta có ( I  P) P ideal A P nên P I  P (do A P đơn).Vì I  P  (do A nửa đơn).I không nằm P nên tồn ideal nguyên tố P cho I không nằm P suy I+P=A.Chọn P0 nguyên tố thoả I+ P0 =A có bậc n0 A P lớn ( bậc A P không lớn d).Gọi q đa thức tâm có hệ số M n ( K ) (đa thức Formanek),khi q tâm đồng thức đa thức nguyên thuỷ có bậc n  n0 q tâm A P ai  A,  A : q(a1 , , an0 )  q(a1 , , an0 )  C ( A ), P p P a  A : q.a  a.q  aq  qa  P, P  aq  qa, a  A  q(a1 , , an0 )  C P Vì q tâm A P nên a1 , , an  A P : q(a1 , , an )  q(a1 , , an )   q(a1 , , an )  P0 0 0 0  I  P0  bi  I :  bi nên giả sử  I  q(a1 , , an0 )  I   q  I  C Bây với A đại số nguyên tố thoả đồng thức thực A khơng chứa nil ideal khác A thoả đồng thức chuẩn suy A   thoả đồng thức chuẩn.M ặt khác tâm A  C   I   ideal A    ,theo ta có C   I     (C  I )    C   I     C  I  IV.2.4.5.Hệ quả: A đại số nguyên tố thoả đồng thức thực giả sử tâm C A trường A đại số đơn Chứng minh: I  ideal A I C  C trường nên I C  C  1 I  I  A Vậy A đại số đơn IV.2.4.6 Định nghĩa : A đại số đại số Q gọi cấp trái (phải) Q phần tử qui A có nghịch đảo Q phần tử Q có dạng a 1b(ba 1 ) với a,b  A IV.2.4.7 Định lý (Posner –Rowen): A đại số nguyên tố thoả đồng thức thực Thế : 1/ Đại số tâm thương A0  F  A (F trường thương tâm C A) đơn hữu hạn chiều tâm F 2/A cấp trái,phải A 3/A A thoả đồng thức Chứng minh: A nguyên tố thoả đồng thức thực tâm F trường nên A đơn A đơn có đơn vị nên A đại số nguyên thuỷ suy A hữu hạn chiều tâm F ,do A đại số đơn Artin.A  M n ( D) với D thể.Vậy phần tử A khơng có ước khả nghịch.Mọi phần tử A có dạng c1a  ac1 ( c  C, a  A) Mọi phần tử qui A qui A nên có nghịch đảo A Vậy ta có kết quan trọng sau : Mọi đại số nguyên tố vành giao hốn có đơn vị thoả đồng thức thực nhúng vào đại số đơn hữu hạn chiều tâm cấp trái, phải KẾT LUẬN: Vậy xây dựng tôpô hữu hạn tập VV với V không gian vectơ thể  , EndV tập tất phép biến đổi tuyến tính V  , EndV tập đóng khơng gian tơpơ VV.Tơpơ hữu hạn VV cảm sinh tôpô EndV A tác động dày đặc EndV theo nghĩa đại số A dày đặc (trù mật) EndV theo nghĩa tôpô tức là: A = EndV , ánh xạ (l1,l2,…,ln)  f(l1,l2,…,ln) với li L  EndV liên tục tôpô hữu hạn nhờ ánh xạ (l,m)  l+m , (l,m)  lm , l   l (với   K ) liên tục khơng gian tơpơ hữu hạn.Dựa vào tính chất hàm liên tục ta suy A dày đặc EndV , f đồng thức A f đồng thức EndV Áp dụng kết ta chứng minh hoàn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur Đồng thời ta xây dựng tôpô Zariski không gian vectơ hữu hạn chiều V trường vô hạn K làm sở để chứng minh định lý Formanek đa thức tâm đại số ma trận.Áp dụng điều để hoàn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm Mn(K) phương pháp Formanek sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen đại số nguyên tố thoả mãn đồng thức thực TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1.Bùi Tường Trí, Giáo trình đại số tuyến tính, Tài liệu lưu hành nội Trường ĐHSP Tp.HCM – 2000 2.Ngơ Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục – 1985 3.Mỵ Vinh Quang, Đại số đại cương, NXB Giáo dục – 1985 Tiếng Anh 4.I.N.Herstein Noncommutative rings 5.Nathan Jacobson, PI-Algebras an Introduction, Springer – Verlag – Berlin – Heidelberg – New York – 1975 ... lý dày đặc. Định lý chứng minh với khái niệm dày đặc theo nghĩa đại số. Sau xây dựng tôpô để khái niệm dày đặc đại số trùng với dày đặc theo nghĩa tôpô số tính chất để hồn thiện việc chứng minh... trực tiếp số hữu hạn vành Artin vành Artin - Đại số hữu hạn chiều trường đại số Artin - Ảnh đồng cấu vành Artin vành Artin, nên vành thương vành Artin vành Artin I.5.3 Định lý: Nếu R vành Artin... bày số khái niệm, định lý,bổ đề có vành khơng giao hốn nhằm làm sở lý luận cho chương III chương IV như: Rađical Jacobson vành ,đại số, các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành