Giải tích fourier và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH F G ĐINH NHO THẮNG CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2005 LỜI NÓI ĐẦU G iải tích Fourier hay giải tích điều hòa khai sinh công trình Fourier, Euler số nhà toán học khác sở nghiên cứu chuỗi lượng giác Vì ứng dụng quan trọng nên giải tích Fourier không ngừng mở rộng phát triển nghiên cứu giải tích Fourier vấn đề thời toán học Giải tích Fourier công cụ đắc lực để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng lý thuyết số đại số Nhiều lónh vực toán học hình thành từ giải tích Fourier Hai vấn đề quan trọng giải tích Fourier biến đổi Fourier phân bố Luận văn đặt mục tiêu khiêm tốn trình bày cách ngắn gọn tương đối đầy đủ hai vấn đề kể Để chứng tỏ giải tích Fourier công cụ mạnh để nghiên cứu, trình bày số ứng dụng cụ thể Luận văn bao gồm ba chương Chương I nhằm cung cấp khái niệm tính chất chuẩn bị Nội dung chương II chương III Chương II : Biến đổi Fourier Chương trình bày biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược n , biến đổi Fourier ngược hình xuyến Trong định lý tính chất biến đổi Fourier trình bày có kết quan trọng định lý Plancherel (định lý 9), công thức tổng Pois- son (định lý 12), định lý Berstein (định lý 14) Trong chương II trình bày xuất nhân Gauss, nhân Poisson, nhân Dirichlet nhân Fejér Trong chương đề cập đến trung bình Abel trung bình Casàro Như biết trung bình Casàro tổng riêng đối xứng chuỗi Fourier liên quan đến công trình nhà toán học tiếng Dirichlet (1829), Raymond (1876), Fejér (1904), Kolmogorov (1926), Carleson (1966), … Đặc biệt §4 chương II, áp dụng kết lý thuyết độ đo, diện tích mặt cầu thể tích hình cầu n để làm rõ xuất tự nhiên hàm gamma Dựa vào chứng minh công thức biểu diễn nhân Poisson (các tài liệu mà có không chứng minh) Chương III : Phân bố không gian Sobolev Trong chương trình bày khái niệm tính chất phân bố, xây dựng không gian Sobolev Trong định lý trình bày có định lý nhúng Sobolev (định lý 8), định lý Rillich tính compắc (định lý 12) Đặc biệt §3 chương III trình bày áp dụng lý thuyết giải tích Fourier vào phương trình đạo hàm riêng Với kết đơn giản (định lý 12) cho áp dụng thành tựu lý thuyết vào phương trình đạo hàm riêng hữu hiệu Ngôn ngữ, ký hiệu cách tiếp cận vấn đề chủ yếu theo sách B Folland [3] sách R Meise D Vogt [6] Chúng tham khảo số tài liệu khác, đặc biệt sách “Giải tích hàm – Lý thuyết ứng dụng” H Brezis [1] qua dịch TS Nguyễn Hội Nghóa TS Nguyễn Thành Long Các vấn đề luận văn khó Tuy nhiên trình làm việc cảm nhận đẹp đẽ, hấp dẫn giải tích Fourier, hữu ích lónh vực chuyên sâu toán học Chính điều đó, tự tìm tòi, nghiền ngẫm học hỏi mệt mỏi Chúng tin luận văn có ích cho người bước đầu tìm hiểu giải tích Fourier Vì thời gian tập dượt nghiên cứu không dài, kiến thức thân lại nhiều bất cập nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp giáo giúp đỡ Nhân dịp hoàn thành luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt sâu sắc đến thầy PGS TS Đậu Thế Cấp dành nhiều thời gian quý báu giúp đỡ nhiệt tình động viên để luận văn hoàn thành thời hạn Chúng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo khoa Toán – Tin học trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, thầy giáo khoa Toán – Tin học trường ĐH Khoa học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy suốt thời gian học, đồng thời cảm ơn thầy giáo bạn đồng nghiệp đọc luận văn cho nhận xét bổ ích Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Nai, trường THPT Nhơn Trạch tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 KHÔNG GIAN Lp Cho ( X, M , μ ) không gian độ đo f hàm đo X Với ≤ p < ∞ , ta đặt f p = ( ∫ f dμ ) p p định nghóa Lp = Lp ( X, μ ) = {f : X → Nếu A ≠ ∅ , ta ký hiệu p : f đo f p < ∞} ( A ) thay cho Lp ( A, μ ) , μ độ đo đếm ( A, P ( A ) ) Với p = ∞ , ta đặt f ∞ { ({ }) } = inf a ≥ : μ x : f ( x ) > a = định nghóa L∞ = L∞ ( X, μ ) = {f : X → ( Với p (1 ≤ p ≤ ∞ ) , Lp , f p : f đo f ∞ < ∞} ) không gian Banach Chúng ta cần đến khẳng định sau: Bất đẳng thức Holder Giả sử < p < ∞ , X Khi fg ≤ f p g q 1 + = f, g hàm đo p q Đặc biệt, f ∈ Lp , g ∈ Lq fg ∈ L1 đẳng thức xảy p q α f = β g h k n với α, β số thỏa mãn αβ ≠ Định lý Nếu < p < q < r ≤ ∞ Lp ∩ Lr ⊂ Lq f q ≤ f λ p f 1−λ r , λ 1− λ = + q p r Định lý Cho ( X, M , μ ) , ( Y,N , γ ) không gian độ đo σ _hữu hạn K M ⊗ N _hàm đo X × Y Giả sử tồn taïi C > cho : ∫ K ( x, y ) dμ ( x ) ≤ C h k n y ∈ Y , ∫ K ( x, y ) dγ ( y ) ≤ C h k n x ∈ X Neáu f ∈ Lp ( γ ) (1 ≤ p ≤ ∞ ) tích phaân Tf ( x ) = ∫ K ( x,y ) f ( y ) dγ ( y ) hoäi tụ tuyệt đối h k n X, Tf ∈ Lp ( μ ) vaø Tf p ≤ C f p Định lý (Riesz-Thorin) Giả sử ( X, M , μ ) vaø ( Y,N , γ ) không gian độ đo nửa hữu hạn p , p1 , q , q1 ∈ [1, ∞ ] Với < t < ñaët 1− t t 1− t t = + , = + pt p0 p1 q t q0 q1 Nếu T ánh xạ tuyến tính từ Lp0 ( μ ) + Lp1 ( μ ) vaøo Lq ( γ ) + Lq1 ( γ ) thỏa mãn Tf Tf q0 q1 ≤ M0 f p0 với f ∈ Lp0 ( μ ) , ≤ M1 f p1 với f ∈ Lp1 ( μ ) Tf qt ≤ M10−t M1t f pt §2 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Một không gian vectơ X K (= ) trang bị tôpô cho ánh xạ ( x, y ) → x + y ( λ, x ) → λx liên tục từ X × X K × X vào X gọi không gian vectơ tôpô Một không gian vectơ tôpô gọi compắc địa phương điểm có lân cận compắc Không gian Hausdorff compắc địa phương ký hiệu LCH Nếu X không gian vectơ tôpô f ∈ C ( X ) = C ( X, ) giá f, ký hiệu supp ( f ) , tập đóng nhỏ mà f = 0, nghóa supp ( f ) = {x ∈ X : f(x) ≠ 0} Cho X không gian vectơ tôpô E ⊂ X Một phân hoạch đơn vị E tập hợp {h α }α∈A hàm C ( X,[ 0,1]) cho : i) Mỗi x ∈ X có lân cận mà có hữu hạn h α ≠ ii) ∑ h ( x ) = với x ∈ E α∈A α Một phân hoạch đơn vị {h α } phụ thuộc phủ mở U E với α tồn taïi U ∈ U cho supp ( h α ) ⊂ U Định lý Cho X không gian LCH, K tập compắc X {U j} n j=1 phủ mở K Khi có phân hoạch đơn vị K phụ thuộc {U } n j j=1 gồm hàm có giá compắc Cho X không gian vectơ tôpô F ⊂ C ( X ) F gọi liên tục đồng bậc x ∈ X với ε > tồn lân cận U x cho f ( y ) − f ( x ) < ε với y ∈ U với f ∈F F gọi liên tục đồng bậc liên tục đồng bậc x ∈ X F gọi bị chặn điểm {f ( x ) : f ∈F } tập bị chặn với x ∈ X Định lý (Ascoli-Arzelà) Cho X không gian σ _compắc LCH Nếu {fn } dãy liên tục đồng bậc, bị chặn điểm C ( X ) tồn dãy { } fn j {fn } vaø f ∈ C ( X ) cho fn j → f tập compắc Một tập A C ( X, ) C ( X ) gọi tách điểm với x, y ∈ X, x ≠ y tồn f ∈ A cho f ( x ) ≠ f ( y ) A gọi đại số không gian vectơ thực (tương ứng phức) C ( X, ) (tương öùng C ( X ) ) cho fg ∈ A f ∈ A g ∈ A Định lý (Stone-Weierstrass) Cho X không gian compắc Hausdorff Nếu A đại số phức C ( X ) , tách điểm đóng phép toán lấy liên hợp (nghóa f ∈ A f ∈ A) A = C ( X ) hoaëc A = {f ∈ C ( X ) : f ( x ) = 0} với x ∈ X Định lý Cho X, Y không gian vectơ với tôpô xác định họ nửa chuẩn {pα }α∈A , {qβ }β∈B vaø T : X → Y laø ánh xạ tuyến tính Khi T liên tục với β∈ B tồn α1 , , α k ∈ A vaø C > cho k q β T ( x ) ≤ C∑ p α j ( x ) j=1 Cho X không gian vectơ phức Một tích vô hướng X ánh xạ ( x, y ) → x, y từ X × X vào thỏa maõn : i) ax + by,z = a x,z + b y,z với x, y ∈ X a, b ∈ ii) y, x = x, y với moïi x, y ∈ X iii) x, x ≥ với x ∈ X , x, x = ⇔ x = Một không gian vectơ phức trang bị tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Nếu X không gian tiền Hilbert x ∈ X , ta đặt x = x, x hàm x → x chuẩn X Một không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn x = x, x gọi không gian Hilbert Bất đẳng thức Schwartz Với x, y ∈ X , ta coù x, y ≤ x y Dấu đẳng thức xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Đẳng thức Parseval Nếu họ {uα }α∈A sở trực chuẩn x = ∑ x,uα 2 với x ∈ X α∈A Cho X Y không gian Hilbert Một phép đẳng cấu tuyến tính T : X → Y gọi unita Tx, Ty = x, y với x, y ∈ X §3 C∞ _HÀM Cho U tập mở , ta ký hiệu C k ( U ) không gian k ∈ n hàm U có đạo hàm riêng liên tục đến cấp k đặt ∞ C∞ ( U ) = ∩ C k ( U ) k =1 Nếu E ⊂ n ta ký hiệu C∞c ( E ) không gian C∞ _hàm n có giá compắc chứa E Đặt Cc ( X ) = {f ∈C ( X ) : f có giá compắc Với U ⊂ } , ta ký hiệu C0 ( U ) tập hàm liên tục U triệt tiêu ∞ Định lý a) Nếu f ∈ Cc ( n ) f liên tục b) C∞c trù mật Lp (1 ≤ p < ∞ ) c) (Bổ đề C ∞ _Urysohn) Nếu K ⊂ n tập compắc U tập mở K tồn f ∈ C∞c cho ≤ f ≤ 1, f = treân K supp ( f ) ⊂ U Một đa số n số nguyên không âm thứ tự Nếu α = ( α1 , , α n ) đa số, ta đặt α1 αn ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ α = ∑ α j , α! = ∏ α j !, ∂ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ j=1 j=1 ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x n ⎠ n n với x = ( x1 , ,x n ) ∈ n α , n x = ∏xj j α j=1 α §2 KHÔNG GIAN SOBOLEV , ta đặt H k không gian tất hàm f ∈ L2 ( Với k ∈ n ) có đạo hàm phân bố ∂ α f L2 _hàm với α ≤ k H k không gian Hilbert với tích vô hướng ( ) f,g = ∑ ∫ ( ∂ α f ) ∂ α g α ≤k Từ định lý Plancherel suy raèng f ∈ H k ⇔ ξα f ∈ L2 với α ≤ k Vì tồn số C1 , C2 > cho ( C1 + ξ ( neân f ∈ H ⇔ + ξ k k 2 ) ) k ( ≤ ∑ ξα ≤ C2 + ξ α ≤k ) k f ∈ L2 vaø chuẩn ⎛ f → ⎜ ∑ ∂αf ⎜ α ≤k ⎝ ⎞ vaø f → + ξ ⎟ 2⎟ ⎠ ( ) k f tương đương Chuẩn thứ hai có nghóa với số thực k nên định nghóa H k với k∈ : ( Với s ∈ , haøm + ξ s 2 ) C∞ _hàm tăng chậm nên ánh xạ Λ s xác định ⎛ Λsf = ⎜ + ξ ⎜ ⎝ ( ) s ⎞ f⎟ ⎟ ⎠ ∨ toán tử liên tục S ′ đẳng cấu Λ s−1 = Λ −s ta gọi không gian Sobolev H s Với s ∈ H s = {f ∈S ′ : Λ s f ∈ L2 } với tích vô hướng chuẩn xác định f,g (s) ( ) = ∫ ( Λ s f ) Λ sg , f (s) = Λsf Ta coù tính chất sau đây: i) Biến đổi Fourier đẳng cấu unita từ L2 ⎛⎜ ⎝ n ( , 1+ ξ ii) S ) dξ ⎞⎟⎠ Noùi riêng, H s s Hs đến không gian Hilbert không gian trù mật H s với s ∈ (suy từ i)) iii) Nếu s > t Hs không gian trù mật H t tôpô H t vaø (t) ≤ (s) iv) Λ t đẳng cấu unita từ Hs đến Hs−t với s, t v) H = L2 (0) = H s ⊂ L2 với s > (còn s < phần tử Hs nói chung hàm) vi) ∂ α ánh xạ tuyến tính bị chặn từ Hs đến H s− α với s, α ( (vì ξ ≤ + ξ α ) α ) Định lý Mọi s ∈ cặp S ′ S cảm sinh đẳng cấu unita từ H −s đến ( H s ) Chính xác hơn, f ∈ H −s phiếm hàm ϕ → f, ϕ S ∗ mở rộng liên tục lên Hs với chuẩn f ( Hs ) ∗ ( −s) với phần tử mở rộng phiếm hàm Chứng minh Nếu f ∈ H −s ϕ∈S f, ϕ = f, ϕ = ∫ f ( ξ ) ϕ ( ξ ) dξ f , f vậy, hàm trạng thái Theo bất đẳng thức Shwartz ( 2 f, ϕ ≤ ⎢⎡ ∫ f ( ξ ) + ξ ⎣ ) −s ( ) 2 2 s dξ ⎤⎥ ⎢⎡ ∫ ϕ ( ξ ) + ξ dξ ⎤⎥ = f ⎦ ⎣ ⎦ ( −s) ϕ (s) Do phiếm hàm ϕ → f, ϕ mở rộng tới H s với chuẩn không vượt f ( −s) , thực chuẩn f ( −s) ( f,g = ∫ f ( ξ ) + ξ g ( x ) = Λ −2s f ( −x ) g ∈ Hs ) −s dξ = f Cuối cùng, G ∈ ( H s ) G F ∗ ( chặn L2 ⎛⎜ + ξ ⎝ ( −s) = f ( −s) g (s) phiếm hàm tuyến tính bị −1 ) dξ ⎠⎞⎟ , tồn g ∈ L ⎛⎜⎝ (1 + ξ ) dξ ⎞⎟⎠ cho s s ( G ( ϕ) = ∫ + ξ ) g ( ξ ) ϕ ( ξ ) dξ s Chú ý G ( ϕ ) = f, ϕ , f = Λ 2sg Điều chứng tỏ lấy cặp , S S ′ tuyến tính liên hợp H −s đối ngẫu liên hợp Hs Ký hiệu { C0k = f ∈ C k ( n ) : ∂ f ∈C , α ≤ k } α Định lý (định lý nhúng Sobolev) Nếu s > k + n H s ⊂ C0k Chứng minh Giả sử f ∈ Hs , theo định lý Fourier ngược bổ đề Riemann- Lebesgue cần chứng minh ( ∂ α f ) ∈ L1 với α ≤ k Thật vậy, theo bất ∧ đẳng thức Schwartz ( 2π ) ∫ ( ∂ −α ( ≤ ⎡⎢ ∫ + ξ ⎣ ) s α α f (ξ) ( Chú ý ⎡⎢ ∫ + ξ ⎣ ( f ) ( ξ ) d ξ = ∫ ξ f ( ξ ) dξ ≤ ∫ + ξ ∧ ) k −s mong muốn s > k + ( 2 dξ ⎤⎥ ⎡⎢ ∫ + ξ ⎦ ⎣ dξ ⎤⎥ ⎦ ) k −s k 2 ) f ( ξ ) dξ ( dξ ⎤⎥ = f ⎦ ⎡ 1+ ξ (s) ⎢ ∫ ⎣ ) k −s dξ ⎤⎥ ⎦ hữu hạn ( k − s ) < −n nên ta có điều n Hệ Nếu f ∈ Hs với s f ∈ C∞ Định lý Với ξ, η∈ ( n s ∈ , ta có ( ) Chứng minh Vì ξ ≤ ξ − η + η neân ξ ≤ ( ξ − η + η ) + ξ ≤ (1 + ξ − η )(1 + η ) 1+ ξ )( s 1+ η ) −s s ≤ 1+ ξ − η 2 s 2 2 Nếu s > 0, lũy thừa s hai vế bất đẳng thức ta coù (1 + ξ ) ≤ (1 + ξ − η ) (1 + η ) ⇔ (1 + ξ ) (1 + η ) s s s s s −s Neáu s < 0, đổi chỗ ξ η , thay s –s, ta thu ( 1+ η ) −s ( ≤ −s + ξ )( −s 1+ ξ − η ) −s Kết hợp hai trường hợp ta có điều phải chứng minh Định lý 10 Cho ϕ∈ C ( n ) ϕ hàm thỏa mãn ( ≤ 1+ ξ − η s ) s ∫ (1 + ξ ) α ϕ ( ξ ) dξ = C < ∞ ( α > ) Khi ánh xạ M ϕ : f → ϕf toán tử bị chặn Hs với s ≤ α Chứng minh Vì Λ s ánh xạ unita từ Hs đến H = L2 , nên cách tương đương cần Λ s M ϕ Λ −s toán tử bị chặn L2 Thaät vaäy ( Λ M Λ f ) ( ξ ) = (1 + ξ ∧ s ϕ −s s 2 ) ⎡ϕ ∗ ( Λ − s f )∧ ⎤ ( ξ ) = K ( ξ, η) f ( η) dη ∫ ⎣ ⎦ ( K ( ξ, η) = + ξ s 2 s −2 ) (1 + η ) ϕ ( ξ − η) Theo định lý 9, ta coù s ( K ( ξ, η) ≤ + ξ − η Do s ≤ α ∫ K ( ξ, η) dξ ) s ϕ ( ξ − η) α ∫ K ( ξ, η) dη bị chặn 2 C p dụng định lý Plancherel định lý chương I, suy Λ s M ϕ Λ −s bị chặn L2 Hệ Nếu ϕ∈S M ϕ toán tử bị chặn H s với s Định lý sau tính compắc quan trọng việc ứng dụng không gian Sobolev Định lý 11 (Rellich) Cho {fk } dãy Hs thỏa mãn: 1) sup f k (s ) ta viết lại tích phân fk t − fk j (t ) ( = ∫ 1+ ξ ) t fk t − fk j ( ξ ) dξ thành tổng tích phân miền ξ ≤ R ξ > R Với ξ ≤ R , ta sử dụng đánh giá ( 1+ ξ ) t ≤ (1 + R ) T ( T = max ( t,0 ) ) Vơí ξ > R , ta sử dụng ñaùnh giaù ( 1+ ξ ) t ≤ (1 + R ) t −s ( 1+ ξ ) s Khi fk t − fk j (t) ≤ CR n (1 + R ) sup fk t − fk j T ξ ≤R ( ξ ) + (1 + R ) t −s fk t − fk j (s) Với ε > , ta coù (1 + R ) t −s fk t − fk j CR n (1 + R ) sup fk t − fk j T ε < , với R đủ lớn t – s < (s) 2 ξ ≤R (ξ) < ε với i, j đủ lớn R cố định Từ ta có điều phải chứng minh §3 ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong phần trình bày ứng dụng giải tích Fourier vào phương trình đạo hàm riêng Cho toán tử vi phân Lf = ∑a ∂ α ≤m α α f, aα ∈ C∞ Nếu aα số L gọi toán tử hệ số Trường hợp theo định lý chương II, ta coù ( Lf ) ( ξ ) = ∑ aα ( 2πiξ ) f ( ξ ) ∧ α α ≤m Để thuận tiện ta viết L dạng khác, thay aα ( πi ) aα đưa vào α toán tử Dα = ( 2πi ) Như L = ∑a D α ≤m vaø P ( ξ ) = ( P ( D) f ) ∧ α α ∑a ξ α ≤m α α vaø ( Lf ) = ∧ ∑a ξ α α ≤m α −α ∂α f Do P đa thức n ẩn ta có toán tử hệ số P ( D ) = ∑ aα Dα thỏa mãn α ≤m = Pf Đa thức P gọi ký hiệu toán tử P ( D ) phần bậc cao nhaát Pm ( ξ ) = ∑a ξ α α α =m gọi ký hiệu toán tử P ( D ) Toán tử vi phân quan trọng toán tử Laplace n Δ = ∑ ∂ = −4 π j=1 j n ∑D j=1 j Ta có kết sau : Định lý 12 Toán tử vi phân L thỏa mãn L ( f T ) = ( Lf ) T với phép tịnh tiến phép quay T tồn đa thức P ẩn cho L = P (Δ) Chứng minh Dễ thấy L bất biến với phép tịnh tiến L có hệ số hằng, trường hợp L = Q ( D ) với Q đa thức n biến Hơn nữa, ( Lf ) ∧ = Qf biến đổi Fourier giao hoán với phép quay nên L bất biến với phép m quay Q bất biến với phép quay Đặt Q = ∑ Q j , Q j j= bậc j Q bất biến với phép quay Q j bất biến với phép quay Nghóa Q j ( ξ ) phụ thuộc ξ tính nhất, suy Q j ( ξ ) = c j ξ Hơn nữa, ξ môït đa thức j chẵn nên c j = với j lẻ Nếu j j b k = ( −4 π2 ) c2 k , ta coù −k ( Q ( ξ ) = ∑ b k −4 π2 ξ ) k nghóa L = ∑ b k Δ k Bài toán Dirichlet Bài toán biên quan trọng liên quan đến toán tử Laplace toán Dirichlet: Cho tập mở Ω ⊂ n hàm f xác định biên ∂Ω Tìm hàm u Ω = Ω ∪ ∂Ω cho Δu = Ω u ∂Ω = f Ta giải toán Dirichlet trường hợp Ω nửa không gian Xét không gian nửa không gian n +1 Laplace n , toán tử Laplace Cho hàm f hàm u n n n × ( 0, ∞ ) Sử dụng ký hiệu Δ toán tử n +1 ( Δ + ∂ 2t ) ∂ t = ∂ ∂t thỏa mãn điều kiện trình bày phía Ta tìm × [ 0, ∞ ) cho ( Δ + ∂ 2t ) u = vaø u ( x,0 ) = f ( x ) Sử dụng biến đổi Fourier ta đưa phương trình ( Δ + ∂ 2t ) u = phương trình vi phân thường ( −4 π 2 ) ξ + ∂ 2t u = Nghiệm tổng quát phương trình vi phân u ( ξ,t ) = c1 ( ξ ) e −2 π ξ t + c2 ( ξ ) e Ta bỏ số hạng thứ hai (tức chọn c2 = ) e 2π ξ t 2π ξ t không hàm trạng thái nên biến đổi Fourier ngược Đặt t = 0, ta coù c1 ( ξ ) = u ( ξ,0 ) = f ( ξ ) neân u ( ξ,t ) = f ( ξ ) e −2 π ξ t ( Từ u ( x,t ) = ( f ∗ Pt ) ( x ) , Pt = e −2 π ξ t ) Vì ∧ Pt nhân Poisson nên theo tính toán §4 chương II, ta có ⎛ n +1⎞ Γ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ Pt ( x ) = n +1 π2 t (t +x ) n +1 Vấn đề lại f thỏa mãn điều kiện u tìm nghiệm toán Dirichlet? Ta có định lý sau : Định lý 13 Cho f ∈ Lp ( ( Δ + ∂ ) u = treân t n n ) (1 ≤ p ≤ ∞ ) Khi hàm u ( x,t ) = ( f ∗ P ) ( x ) thỏa mãn t × ( 0, ∞ ) Hơn a) lim u ( x,t ) = f ( x ) h k n x với x mà f liên tục t →0 b) lim u ( ,t ) − f t →0 p = p < ∞ Chứng minh Ta có Pt đạo hàm thuộc Lq ( ∂ αx Pt ( x ) ≤ Ct x − n−t − α vaø ∂ t Pt ( x ) ≤ Ct x − n −1 n ) với ≤ q ≤ ∞ , với x đủ lớn Bằng biến đổi Fourier ta coù ( Δ + ∂ 2t ) Pt = , suy f ∗ Pt xác định (Δ + ∂ )(f ∗ P ) = f ∗ (Δ + ∂ ) P = t t t t ⎛x⎞ Vì Pt ( x ) = t − n P1 ⎜ ⎟ vaø ∫ P1 ( x ) dx = P1 ( ) = nên áp dụng định lý 11 định lý 12 ⎝t⎠ chương I, ta có điều phải chứng minh Phương trình nhiệt Bây ta ứng dụng để giải phương trình nhiệt (∂t − Δ ) u = n × ( 0, ∞ ) thỏa mãn điều kiện đầu u ( x,0 ) = f ( x ) (Ý nghóa vật lý : u ( x,t ) biểu diễn nhiệt độ vị trí x thời điểm t môi trường đồng nhất, đẳng hướng, cho trước nhiệt độ thời điểm t = f ( x ) ) ( Bằng biến đổi Fourier ta đưa phương trình vi phân thường ∂ t + π2 ξ )u = với điều kiện u ( ξ,0 ) = f ( ξ ) Nghieäm toán u ( ξ,t ) = f ( ξ ) e −4 π2 ξ t theo định lý chương II, ta coù n u ( x,t ) = f ∗ G t ( x ) , G t ( x ) = ( πt ) e − − x 4t n ⎛ x ⎞ Nhận xét Ta có G t ( x ) = t G1 ⎜ ⎟ , dùng phép đổi biến s = t áp ⎝ t⎠ − dụng định lý 11 định lý 12 chương I ta thu kết qủa định lý 13 toán ( ∂ t − Δ ) u = , u ( x,0 ) = f ( x ) Phương trình sóng Một phương trình đạo hàm riêng khác toán vật lý phương trình sóng (∂ t − Δ) u = (Ý nghóa vật lý : u ( x, t ) biểu diễn biên độ vị trí x thời điểm t lan truyền sóng môi trường đồng nhất, đẳng hướng) Ta cần có hai điều kiện đầu t = u ( x, ) = f ( x ) vaø ∂ t u ( x, ) = g ( x ) Aùp dụng biến đổi Fourier ta đưa phương trình (∂ t + π2 ξ ) u ( ξ,t ) = với điều kiện u ( ξ,0 ) = f ( ξ ) , ∂ t u ( ξ,0 ) = g ( ξ ) Nghiệm phương trình : u ( ξ,t ) = cos ( π ξ t ) f ( ξ ) + cos ( π ξ t ) = sin ( π ξ t ) 2π ξ g (ξ) ∂ ⎡ sin ( π ξ t ) ⎤ ⎢ ⎥ nên ta có ∂ t ⎣⎢ π ξ ⎦⎥ ⎡ sin ( π ξ t ) ⎤ u ( x,t ) = f ∗ ∂ t Wt ( x ) + g ∗ Wt ( x ) , Wt ( x ) = ⎢ ⎥ ⎢⎣ π ξ ⎥⎦ ∨ Toán tử elliptic Toán tử hệ số P ( D ) bậc m gọi elliptic ký hiệu Pm ( ξ ) ≠ với ξ ≠ Định lý 14 Cho P ( D ) toán tử vi phân cấp m Khi P ( D ) elliptic tồn C, R > cho P ( ξ ) ≥ C ξ m ξ ≥ R Chứng minh Nếu P ( D ) elliptic, lấy C1 giá trị nhỏ Pm ( ξ ) mặt cầu đơn vị ξ = Khi C1 > Pm bậc m nên Pm ( ξ ) ≥ C1 ξ m với ξ Mặt khác, P − Pm có bậc ( m − 1) nên tồn C2 cho P ( ξ ) − Pm ( ξ ) ≤ C2 ξ m −1 Suy m P ( ξ ) ≥ Pm ( ξ ) − P ( ξ ) − Pm ( ξ ) ≥ C1 ξ với ξ ≥ 2C2C1−1 Ngược lại, P ( D ) không elliptic tồn ξ ≠ cho Pm ( ξ ) = Khi P ( ξ ) ≤ C ξ m −1 với ξ thuộc không gian vectơ sinh ξ Định lý 15 Nếu P ( D ) elliptic bậc m, u ∈ H s vaø P ( D ) u ∈ H s u ∈ H s+m ( Chứng minh Từ giả thiết suy + ξ s 2 ) ( u ∈ L vaø + ξ s 2 ) Pu ∈ L2 Theo định lý 14 với R ≥ , ta coù (1 + ξ ) m ≤ m ξ ≤ C−1 m Pm ( ξ ) với ξ ≥ R m m (1 + ξ ) ≤ (1 + R ) 2 m với ξ ≤ R Do (1 + ξ ) s+ m ( u ≤ C1 + ξ s 2 ) ( Pu + u ) ∈ L , nghóa u ∈ H s+ m TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H Brezis Giải Tích Hàm lý thuyết ứng dụng Nguyễn Hội Nghóa Nguyễn Thành Long dịch, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh [2] A V Efimov Mathematical Analysis (Avanced Topics), Mir Publishers Mosow 1985 [3] B Folland Real Analysis, Awiley, Interscience Publication [4] E M Stein and G Weiss Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton Univ Press, Princeton, N.J., 1971 [5] H Royden Real analysis, 2nd ed., Macmillan, New York, 1968 [6] R Meise and D Vogt Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press – Oxfort 1997 [7] W Rudin Functional Analysis, McGraw-Hill, New York, 1973 [8] W Rudin Real and Complex Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1974 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………………………… Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………………………………………………………… §1 Không gian Lp ……… …………………………………………………………… §2 Không gian vectơ tôpô ……… ………………………………………………………6 §3 C∞ _ hàm ………………………………………………………………………… …9 §4 Tích chập ………………………………………………………………………….…11 Chương II BIẾN ĐỔI FOURIER ……… ……………………………………………….…13 §1 Biến đổi Fourier ……………………………………………………………….……13 §2 Biến đổi Fourier ngược n ……… …………………………………… ……19 §3 Biến đổi Fourier ngược hình xuyến ……… ………………………………… 24 §4 Vài ứng dụng tính tích phân chuỗi ……………………………………… ……31 Hàm gamma ………………………………………………………….………31 Vài toán tính tổng chuỗi ……… ……………………………………33 Nhân Poisson …………………………………………………………… …34 Chương III PHÂN BỐ VÀ KHÔNG GIAN SOBOLEV ……………………………… …36 §1 Phân bố ………………………………………………………………………….…36 §2 Không gian Sobolev ……… ……………………………………………………….45 §3 p dụng vào phương trình đạo hàm riêng ………………………………………….52 Bài toán Dirichlet ……………………………………………………………53 Phương trình nhiệt ………………………………………………………….…55 Phương trình sóng ……………………………………………………………56 Toán tử elliptic ……………………………………………………………….56 TÀI LIỆU THAM KHAÛO ……………………………………………………………………58 ...LỜI NÓI ĐẦU G iải tích Fourier hay giải tích điều hòa khai sinh công trình Fourier, Euler số nhà toán học khác sở nghiên cứu chuỗi lượng giác Vì ứng dụng quan trọng nên giải tích Fourier không ngừng... cứu giải tích Fourier vấn đề thời toán học Giải tích Fourier công cụ đắc lực để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng lý thuyết số đại số Nhiều lónh vực toán học hình thành từ giải tích Fourier. .. Hai vấn đề quan trọng giải tích Fourier biến đổi Fourier phân bố Luận văn đặt mục tiêu khiêm tốn trình bày cách ngắn gọn tương đối đầy đủ hai vấn đề kể Để chứng tỏ giải tích Fourier công cụ mạnh