K lý thuyết áp dụng trong hình học và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phước Thanh K – LÝ THUYẾT ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phước Thanh K – LÝ THUYẾT ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy giảng viên khoa Toán – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dạy bảo tơi tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2015 Học viên Nguyễn Phước Thanh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phân thớ véctơ 1.2 Định lý Swan 1.3 Bất biến đồng luân phân thớ véctơ 10 1.4 Phân thớ véctơ mặt cầu 11 1.5 K - Lý thuyết Tôpô 13 1.6 Trường vectơ mặt cầu 15 CHƯƠNG K - LÝ THUYẾT TRONG HÌNH HỌC 23 2.1 Đẳng cấu Thom cho đối đồng điều kỳ dị 24 2.2 Lớp Thom lý thuyết giao 29 2.3 Lớp Thom K - lý thuyết 37 CHƯƠNG K- LÝ THUYẾT VÀ HÌNH HỌC 44 3.1 Kết nối Đại số, Tôpô Hình học thơng qua K – lý thuyết 44 3.2 Ứng dụng tính K ∗ khơng gian xạ ảnh phức n chiều 48 3.3 So sánh K - Lý thuyết đối đồng điều kỳ dị 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình đào tạo cao học chuyên ngành Hình học, nghiên cứu nhập môn K – lý thuyết tơpơ, chủ yếu tính K-nhóm số không gian tô pô cụ thể mặt cầu đơn vị, khơng gian xạ ảnh thực từ đưa ứng dụng phổ cập chứng minh Định lý Browser điểm bất động hay chứng minh Định lý Đại số Cụ thể, thường phát triển công cụ tôpô cho việc tính tốn K-nhóm, sử dụng chúng để thực vài tính tốn quan trọng áp dụng tính tốn để giải vấn đề thuộc tơpơ, đại số hay hình học Để mở rộng thêm hiểu biết K-lý thuyết, chúng tơi đầu tư thêm thời gian để tìm hiểu Klý thuyết hình học, chủ yếu K-lý thuyết với lớp Thom, lớp khác Thông qua luận văn này, có hội tìm hiểu đưa mối liên hệ phương pháp hỗ trợ cho K-lý thuyết hình học, nhờ thấy rõ tương quan K-lý thuyết hình học, tơpơ đại số hình học có mối liên hệ chặt chẽ, chúng hỗ trợ nhau, làm phương tiện tiền đề cho trình nghiên cứu Đó lý tơi chọn đề tài “K – lý thuyết áp dụng hình học số ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu K – lý thuyết áp dụng hình học số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • K – lý thuyết tơpơ • K – lý thuyết số vấn đề Hình học Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp hồn thiện kết từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Đưa số ví dụ ứng dụng cụ thể đề tài Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: K – LÝ THUYẾT TRONG HÌNH HỌC Chương 3: K – LÝ THUYẾT VÀ HÌNH HỌC Để thực luận văn này, tham khảo yếu dựa vào giáo trình “A geometric introduction to K – theory” (nhập mơn hình học K- lý thuyết) tác giả Daniel Dugger nhà xuất đại học Oregon năm 2012 Đây tài liệu tham khảo chi tiết đề cập đến nhiều vấn đề lớn tô pô K - lý thuyết Tuy nhiên, chúng tơi chọn vấn đề có liên quan đến vấn đề luận văn, tìm hiểu viết lại theo hiểu biết Trong trình tham khảo tài liệu này, chúng tơi đối chiếu số tài liệu khác “Introduction to Algebraic K – theory” John Milnor, “An Introduction to K – theory” Eric M Friedlander* DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Các ký hiệu sau sử dụng suốt luận văn: CW : Phạm trù phức CW Clk : Phạm trù đại số Clifford Ggrd : Phạm trù nhóm Grothendieck ch : Đặc trưng chern Γ(E) Không gian véctơ tiết diện KO st ( X ) : Nhóm Grothendieck phân thớ véctơ ổn định X Th E : Không gian Thom E ch Đặc trưng chern  ( X , x) KO Nhóm KO rút gọn khơng gian X CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Coi kiến thức tảng cho chương sau, chương chúng tơi sử dụng đại số tuyến tính địa phương không gian sở cố định X để giới thiệu sơ lược phân thớ véctơ, định lý Swan, bất biến đồng luân phân thớ véctơ, Trong phần kiến thức sở cho chương sau nên hầu hết chứng minh khơng thực hiện, thay vào chúng tơi tìm hiểu tài liệu tham khảo liệt kể cuối luận văn Các nội dung chủ yếu chương tảng để chúng tơi trình bày kiến thức chương chương K – lý thuyết tô pô 1.1 Phân thớ véctơ Cho X không gian tôpô, E không gian véctơ trường số thực Định nghĩa 1.1.1 Họ không gian véctơ (thực) ánh xạ p : E → X với phép toán + : E × E → E ⋅ :  × E → E làm hai biểu đồ: giao hoán, cho phép tốn biến thớ p −1 ( x) thành không gian véctơ thực X Ta thường ký hiệu Ex Chiều Ex gọi hạng họ x , ký hiệu rank x ( E ) Hạng E định nghĩa sau: = rank ( E ) sup {rank x ( E ) x ∈ X } Ví dụ đơn giản, E= X ×  n , với phép chiếu ánh xạ X ×  n → X Đây gọi họ tầm thường hạng n , thường ký hiệu đơn giản n Định nghĩa 1.1.2 Phân thớ véctơ họ không gian véctơ p : E → X cho với x ∈ X có lân cận x ∈ U ⊆ X , n ∈  n≥0 , đẳng cấu họ khơng gian véctơ Ta nói, phân thớ véctơ họ không gian véctơ tầm thường địa phương Phép đẳng cấu biểu đồ gọi "tầm thường hoá địa phương" Lưu ý số n xuất định nghĩa 1.1.2 phụ thuộc vào điểm x Nó gọi hạng phân thớ véctơ x , kí hiệu rank x ( E ) Ta chứng minh được, hạng không đổi thành phần liên thông X Nếu p : E → X họ không gian véctơ A → X khơng gian con, p −1 (A) → A họ không gian véctơ, thường ký hiệu E A Mệnh đề 1.1.3 Cho E → X họ không gian véctơ với hạng số n Khi họ tầm thường tồn tập hợp tiết diện s1 , s , , s n độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 (Phân thớ véctơ kéo về) Giả sử p : E → X họ không gian véctơ f : Y → X ánh xạ phân thớ Chúng ta định nghĩa kéo Y × X E , thường ký hiệu f ∗ E lý thuyết phân thớ sau: Đặt f ∗ E tập hợp cặp ( y, e) cho f ( y ) = p(e) Ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng f ∗ E ( y, e) + (y,e′) =(y,e+ e′) r⋅ ( y , e) = (y, re) Khi ta kiểm tra f ∗ E khơng gian véctơ Do f ∗ E → Y họ không gian véctơ, gọi họ kéo Nếu y ∈ Y đó, có ánh xạ khơng gian véctơ ( f ∗ E ) y → E f ( y ) đẳng cấu Nếu E phân thớ véctơ f ∗ E gọi phân thớ kéo Nếu f bao hàm Y → X f ∗ E hạn chế E Y Mệnh đề 1.1.5 Cho E → X họ không gian véctơ (a) Nếu {U α } phủ mở X E E phân thớ véctơ {Uα } phân thớ véctơ, 46 trường hợp tơpơ dùng tính khớp thớ Trong đại số, khái niệm tương đương: Bổ đề 3.1.3 Giả sử P phức bị chặn xạ ảnh cảm sinh hữu hạn vành Noether R Cho U ⊆ Spec R đóng ( nghĩa là, có tính chất sau q1 ∈ U q1 ⊆ q2 q2 ∈ U ) Khi đó, phát biểu sau tương đương : ( P )q khớp với số nguyên tố ( P )m khớp với iđêan cực đại q ∈U ; m ∈U ; P ⊗ R R / m khớp với iđêan cực đại m ∈ U 3.1.4 Các lớp Cho Z →  n phân thứ đại số đóng: Z = V ( I ) cho vài iđêan I ⊆  [ x1 , , xn ] Cho Z trơn nhẵn số nguyên hiệp c Khi có lớp tương đối [ Z ]rel ∈ K c (  n ,  n − Z ) Cho P bị chặn, xạ ảnh  [ x1 , , x n ] / I  [ x1 , , x n ] Lưu ý Q ∈ Spec  n Q ∈ Z ⇔ Q ⊇ I ⇔ ( R / I )Q ≠ , cho nên, Q ∉ Z ( P )Q khớp Vậy P cho lớp [ P ] ∈ K a0lg (  n ,  n − Z ) Dùng phép biến đổi tự nhiên K a0lg (  n ,  n − Z ) → K (  n ,  n − Z ) , lớp tương ứng [ P ] K-lý thuyết tôpô tương đối 47 Định lý 3.1.5 Trong trường hợp trên, có [ Z ]= β − c ⋅ [ P ] rel Lưu ý β − c giảm dần xem [ Z ]rel lớp K (  n ,  n − Z ) thay cho K c (  n ,  n − Z ) Định lý 3.1.5 thể rõ mối liên hệ K - lý thuyết đại số đồng điều: phép giải xạ ảnh cho lớp K - lý thuyết Nhắc lại [ Z ]rel xác định việc lựa chọn lân cận hình ống U Z  n , với phép đẳng cấu U phân thớ thường N = N  / Z n Lớp [ Z ]rel lớp mà giới hạn lên lớp Thom  N Điều thể rõ biểu đồ sau: Là hệ Định lý 3.1.5, đạt cơng thức Serre cho tính bội giao: Hệ 3.1.6 Cho Z W trơn nhẵn, phân thứ đóng  n cho Z  W = {0} Khi đó, i ( Z ,W ;0 = ) ∑ ( −1) dim Tor ( R / I , R / J ) , i i J iđêan hàm triệt tiêu Z W R =  [ x1 , , xn ] , I 48 3.2 Ứng dụng tính K ∗ khơng gian xạ ảnh phức n chiều 3.2.1 Phép tính K ∗ ( P n ) Bổ đề 3.2.2 Cho E lý thuyết đối đồng điều nhóm nhân Nếu x1 , , xn+1 ∈ E ∗ ( P n ) , x1  xn +1 = Chứng minh: Chìa khố chứng minh P n phủ n + tập hợp co rút Giả sử = Ui {[ z :  : zn ] ∈ {P n zi ≠ 0} Khi U i mở P n đồng phôi với  n Chọn điểm sở P n [1:1:  :1] (hoặc điểm khác giao tất U i ) Tính co lại U i kéo theo E ∗ ( P n ,U i ) → E ∗ ( P n , ∗) phép đẳng cấu Do đó, với xi , có lớp xi ∈ E ∗ ( P n ,U i ) Ta có ánh xạ sau: E ∗ ( P n ,U1   U n +1 ) → E ∗ ( P n , ∗) Do U1   U n+1 = P n , nên miền nhóm Vậy x1  xn+1 = Mệnh đề 3.2.3 Cho E lý thuyết đối đồng điều định hướng phức Có phép đẳng cấu vành E ∗ ( pt ) [ x ] / ( x n+1 ) → E ∗ ( P n ) 49 biến xi thành P n−i  Chứng minh: Xét quy dãy Gysin cho đa tạp P n−1 → P n : n −1  j! (1) ∈ E! ( P n ) Theo bổ đề 3.1.2 biết Giả sử= x P = x n+1 = , ánh xạ E ∗ ( pt ) [ x ] / ( x n+1 ) → E ∗ ( P n ) Chúng ta chứng tỏ ánh xạ phép đẳng cấu qua phép quy nạp n Trường hợp n = , điều hiển nhiên Lưu ý x = P n−2  theo lý thuyết giao, tổng quát xi = P n−i  Không gian P n − P n−1 đồng phôi với  n co rút Vậy dãy Gysin xét đoạn chia nhỏ vào tập hợp phép đẳng cấu: ≅ j! : E k − ( P n −1 )  → E! k ( P n ) Với tất giá trị k , j! ánh xạ E ∗ ( pt ) - mơđun nên có phép đẳng cấu môđun Bởi phép quy nạp E ∗ ( P n−1 ) E ∗ ( pt ) môđun tự cảm sinh lớp = P n−1  , P n−2  , P n−3  , , P  Vì j! biến P n −i  thành P n −i  , kết luận E ∗ ( P n ) E ∗ ( pt ) - môđun tự P n−1  , , P  Nếu cộng thêm vào tập hợp sở tự E ∗ ( P n ) E ∗ ( pt ) Điều chứng minh ánh xạ E ∗ ( pt ) [ x ] / ( x n+1 ) → E ∗ ( P n ) phép đẳng cấu 50 3.2.4 Các lớp K ∗ ( P n ) Cho Z → P n đa tạp con, phức, chiều thứ nguyên c Nhắc lại, xét lớp đối đồng điều kỳ dị có [ Z ]= d ⋅ P n − c  với d số nguyên gọi bậc Z Trong hình học, d số giao điểm Z với P n−c Chúng ta làm điều tương tự K - lý thuyết Giả sử có lớp [ Z ]K ∈ K ( P n ) , viết [ Z ]K = d0 ⋅ P n  + d1 ⋅ P n−1  +  + d n ⋅ P  = d1 ⋅1 + d1 X + d X +  + d n X n với di số nguyên Các số nguyên bất biến tôpô phép nhúng Z → P n Nhân phương trình với X n để đạt được: d0 X n = [ Z ]K ⋅ X n = [ Z ]K ⋅ P  =  Z  P  Nếu Z có chiều thứ nguyên d = Chúng ta lặp lại điều này, nhân X n−1 thay cho X n , d1 X n =[ Z ]K ⋅ P1  = Z  P1  Nếu Z có chiều thứ ngun P1 chuyển động cho khơng cắt Z chút nào, d1 = Tiếp tục lập luận nhận thấy =  = d c −1 d c = deg ( Z ) d= d= Vì Z cắt P c deg ( Z ) nhiều điểm nên ta đẳng thức cuối Tình tóm tắt sau: di trùng với bậc Z , 51 Chú ý 3.2.5 Lớp [ Z ] viết tổ hợp lớp tuyến tính P n−i  với hệ số từ E ∗ ( pt ) Đầu tiên, lấy c hệ số triệt tiêu, nhận hệ số P n−c  với deg ( Z ) Chúng ta có bất biến mà khơng tìm thấy đối đồng điều kỳ dị Để tìm hiểu sâu với nhận định di K-lý thuyết, liên hệ lớp với phân thớ véctơ mô tả K-lý thuyết : Bổ đề 3.2.6 Trong K ( P n ) , ln có P n−1  = − L L → P n chùm đường thẳng Vì vậy, P n−k  =− (1 L ) , ∀k k Ví dụ 3.2.7 Cho= Z V ( f ) → P n siêu mặt trơn nhẵn bậc d Giả sử R =  [ x0 , , xn ] Vành toạ độ Z R / ( f ) , mà có phép giải tự xác định f → R ( −d )  → R → R / ( f ) → Vậy, [ Z ]= − Ld K ( P n ) Để viết [ Z ] tổ hợp tuyến tính P n−i  , cần viết − Ld theo số hạng lũy thừa − L Ta được: [ Z ] =1 − Ld =1 − 1 − (1 − L ) d =1 − (1 − X )   d  d = − 1 − dX +   X −  + ( −1) X d  2   d  d  =− dX   X +   X −  2 3 d 52 Nên nhận thấy di siêu mặt hệ số nhị thức d Đây bất biến tơpơ (nó bậc lặp lặp lại, ghi theo nhiều cách khác nhau) Sau chúng tơi muốn tìm hiểu thêm ứng dụng K-lý thuyết hình học Mục đích phần nhằm chứng minh rằng: Nếu n ≥ khơng tồn cấu trúc phức S 2n 3.3 So sánh K - Lý thuyết đối đồng điều kỳ dị Chúng ta thấy đối đồng điều kỳ dị K - lý thuyết ứng dụng hình học theo cách tương tự: có lớp Thom, lớp cho đa tạp con, Chúng dùng để tính tốn tích tương giao Mục đích phần xây dựng phép biến đổi tự nhiên Chúng ta tưởng tượng có phép biến đổi tự nhiên φ : K ∗ ( − ) → H ∗ ( − ) , đồng cấu vành Đầu tiên, φ bảo tồn phân bậc, cho β ∈ K −2 ( pt ) đơn vị mà khơng có đơn vị H −2 ( pt ) Giả sử H ∗ t , t −1  lý thuyết đối đồng điều X → H ∗ ( X ) t , t −1  , t có bậc −2 Khi đó, có đồng cấu vành tự nhiên φ : K ∗ ( − ) → H ∗ ( − ) t , t −1  Giới hạn ∗ =0 cho đồng cấu vành tự nhiên φ : K ( − ) → H ev ( − ) =⊕i H 2i ( − ) Nếu L → X chùm đường phức có phần tử e K ( L ) ∈ K ( X ) , mà phương đại diện cho giao lát cắt với thân Nhắc lại e K ( L1 ⊗ L2= ) e K ( L1 ) + e K ( L2 ) − e K ( L1 ) e K ( L2 ) , e H ( L1 ⊗ L2= ) e H ( L1 ) + e H ( L2 ) 53 Do đó, φ khơng thể biến e K ( L ) thành e H ( L ) Tuy nhiên, bảo đảm e K ( L ) phải biến thành biểu thức đại số mà có liên quan với e H ( L ) Thực ra, điều hiển nhiên chùm L → P ∞ , e H ( L ) phần tử sinh H ( P ∞ ) thứ khác H ∗ ( P ∞ ) đa thức phần tử sinh này, trường hợp cho chùm đường chung tương tự Chúng ta biết φ biến e K ( L ) → f ( e H ( L ) ) f ( x ) ∈   x  Lưu ý, X compact hệ số lũy thừa e H ( L ) số không, nên thực tiễn f ( e H ( L ) ) đa thức e H ( L ) Giả sử f ( x ) =α + α1 x + α x + khai triển f Lưu ý, L → X phân thớ tầm thường e K ( L ) e H ( L ) khơng, từ đó, α = Nếu φ đồng cấu vành phải có f ( e H ( L1 ) + e H ( L2 ) ) = f ( e H ( L1 ⊗ L2 ) ) = φ ( e K ( L1 ⊗ L2 ) ) = φ ( e K ( L1 ) + e K ( L2 ) − e K ( L1 ) e K ( L2 ) ) = f ( e H ( L1 ) ) + f ( e H ( L2 ) ) − f ( e H ( L1 ) ) f ( e H ( L2 ) ) Chúng ta nên tìm f ( x ) ∈   x  cho: (3.3.1.) f ( a + b= ) f ( a ) + f (b) − f ( a ) f (b) Chúng ta dùng vài cơng cụ từ phương trình vi phân để , b ) f ( a + b ) xác định f Định nghĩa hàm g h đẳng thức g ( a= h ( a, b ) = f ( a ) + f ( b ) − f ( a ) f ( b ) Tính đạo hàm riêng, ta được: ∂h ∂g a, b ) f ′ ( a ) − f ′ ( a ) f ( b ) , b ) f ′ ( a + b ) ( a= (= ∂a ∂a 54 Nếu g ( a, b ) h ( a, b ) hàm giống đạo hàm riêng giống nhau, f ′ ( a + b= ) f ′( a ) − f ′( a ) f (b) Tại a=0 ′ ( b ) f ′ ( ) − 1 − f ( b )  f= Giả sử y = f ( x ) , ta tách thành dy dy = f ′ ( ) dx = f ′ ( )(1 − y ) hay dx 1− y Lấy tích phân hai bên, ta − ln −= y f ′ ( ) x + C , hay y = − De − f ( 0) x ′ C D số khơng đổi Vì f ′ ( ) = α1 , viết nghiệm thành f ( x ) = y = − De −α x Áp đụng (3.3.1), 1 − De −a1 ( a + b ) 1a  + 1 − De − 1b  − 1 − De − 1a  1 − De − 1b  , = 1 − De −aaaa Rút gọn ta De −aa − ( a +b ) ( a +b ) =D e Suy D = D , nên D = D = Trường hợp D = , tương ứng với f ( x ) = (không nhận) Vậy D = f ( x ) = − e −α1x Chúng ta biết φ tồn tại, phải biến e K ( L ) thành chuỗi luỹ thừa e H ( L ) với chùm đường thẳng L → X Phương trình e ( L1 ⊗ L2 ) K - lý thuyết đối đồng điều kỳ dị khác chuỗi luỹ thừa phải φ ( e K ( L ) ) = − e −α x x =eH ( L ) , với α1 ∈  Chúng ta giả thiết α1 = , (vì tính tự đẳng cấu "tầm thường"), φ ( e K ( L ) ) = − e− x Mặt khác e K ( L ) = − L∗ , cho x =eH ( L ) nên φ ( L∗ ) = e − x x =eH ( L ) Nhưng e H ( L∗ ) = −e H ( L ) (do L ⊗ L∗ ≅ , nên e H ( L∗ ) + e H ( L ) =e H (1) =0 ), nên có 55 x φ ( L∗ ) e= ec1L Từ đó, với chùm đường thẳng L → X , = x = e H L∗ ∗ ( ) viết φ ( L ) = ec L , (3.3.2.) Chúng ta khẳng định φ hồn tồn xác định cơng thức (3.3.2) Nhắc lại, cho bao hàm j : ( P ∞ ) → Grk ( ∞ ) , xét biểu đồ ×k ∗ Chúng ta biết j= η π 1∗ ( L ) ⊕  ⊕ π k∗ ( L ) , thấy = j ∗ (φ (η= ) ) φ ( j ∗η ) = φ (π i∗ ( L ) ) ∑ k k = π i∗ (φ ( L ) ) ∑ k π i∗ ( c1 ( L ) ) e ∑ =i =i =i Rõ ràng biểu thức bất biến tác động å k , miền ánh xạ j ∗ đẳng cấu lên vành å k - bất biến Do đó, φ (η ) định nghĩa công thức Giả sử xi = π i∗ ( c1 ( L ) ) Tổng lũy thừa x1r +  + xkr viết dạng đa thức Sr (σ , ,σ k ) hàm đối xứng xi Sr gọi đa thức Newton thứ r Một vài đa thức Newton S= σ 12 − 2σ , S1 = σ , Nếu E→X phân S2 = σ 13 − 3σ 1σ + 3σ thớ véctơ định nghĩa = sr ( E ) S r ( c1 ( E ) , , ck ( E ) ) ∈ H r ( X ) , k = rank E Đây lớp đặc tính phân thớ, dường khơng có tên thơng thường Chúng tơi nhận thấy 56 ∞ sk (η ) k =0 k ! φ (η ) = ∑ Nhưng f : X → Grk ( ∞ ) ánh xạ phân loại E biểu đồ giao hốn cho ∞ ∞  ∞ ∗ ∗ ∗ ∗ = = = = = E f f f s s f ff η f η η η ( ) ( ( )) ( ( ) )  ∑ k ( )  ∑ k ( ) ∑ sk ( E ) =  k 0=  k =k Nếu có phép biến đổi tự nhiên vành φ : K ( − ) → H ev ( −;  ) t , t −1  tính cơng thức Phép biến đổi tự nhiên gọi đặc trưng Chern, thường ký hiệu ch : K ( − ) → H ev ( −;  ) Công thức định nghĩa ∞ sk ( E ) k =0 k ! ch ( E ) = ∑ Vì ch phép biến đổi tự nhiên, nên biến K ( X ) thành H ev ( X;  ) Thay X å X nâng số mũ, nhận ch : K ( X ) → H odd ( X;  ) Theo tính chu kỳ, xem đặc trưng Chern ánh xạ ch : K n ( X ) → ⊕ p H n + p ( X;  ) Có lẽ theo cách hợp lý nữa, xem ch ánh xạ vành phân bậc K ∗ ( X ) → H ∗ ( X ) t , t −1  t có bậc 57 Mệnh đề 3.3.4 Với n ≥ 1, ảnh ch : K ( S n ) → H ev ( S n ;  ) H ev ( S n ;  ) Vì vậy, X ( 2n − 1) - không gian liên thông E → X phân thớ véctơ phức cn ( E ) ∈ H n ( X;  ) bội ( n − 1)! Chứng minh: Nhắc lại K ( S 2n ) cảm sinh β × n β =1 − L ∈ K ( S ) Chúng ta tính tốn ch ( β ) =1 − ch ( L ) =1 − (1 + c1 ( L ) ) =−c1 ( L ) , phần tử sinh H ( S ;  ) Tính bội đặc trưng Chern cho = ch ( β × n ) ch ( β ) ) (= ×n c1 ( L ) , ×n tích ngồi thứ n phần tử sinh H ( S ;  ) cho cảm sinh H n ( S n ;  ) Điều hoàn tất chứng minh phát biểu Lưu ý, E → S 2n phân thớ véctơ phức ch ( E= ) Đồng Newton ta sn ( E ) = ( −1) n +1 ⋅ sn ( E ) n! n ⋅ cn ( E ) , trường hợp c1 ( E ) , , cn−1 ( E ) phải toàn triệt tiêu ch lấy ảnh H n ( S n ;  ) cho thấy n ⋅ cn ( E ) tích phân ; là, cn ( E ) bội ( n − 1)! n! Cuối cùng, cho X ( 2n − 1) - không gian liên thông Thay X khơng gian tương đương yếu, giả thiết X có cấu trúc khung với khơng có khung nhỏ 2n , là, 2n - khung chèn 2n - hình cầu Xét dãy đối thớ ∨ S 2n → X → Q C đối thớ, ánh xạ cảm sinh đối đồng điều : 58 Chúng ta hiểu biết theo biểu đồ giao hoán, j ∗ ( chn ( E ) ) nằm ⊕ H ev ( S n ;  ) Nhưng H n ( C;  ) = nên ánh xạ j ∗ nội xạ bậc 2n , thật dễ dàng thấy ( j ) ( H (∨S ∗ −1 2n 2n ) ;) = H n ( X;  ) Vì chn ( E ) là lớp tích phân Tính tốn tương tự trước, chn ( E ) = ± cn ( E ) , điều hoàn tất phần chứng minh ( n − 1)! Hệ 3.3.5 Nếu n ≥ khơng tồn cấu trúc phức S 2n Hơn nữa, không tồn phân thớ véctơ phức mà phân thớ thực phụ thuộc vào phân thớ tiếp xúc TS n Chứng minh: Phát biểu thứ hai rõ ràng bao hàm phát biểu thứ Cho T = TS sử T 2n giả có cấu trúc phức Theo mệnh đề 3.4.4, biết cn (T ) ∈ H n ( S n ;  ) bội ( n − 1)! Nhưng cn (T ) lớp Euler phân thớ thực phụ thuộc, nên gấp đơi phần tử sinh (vì χ ( S n ) = ) Suy số nguyên, rõ ràng xảy n ≥ ( n − 1)! 59 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận văn sau: Nghiên cứu lớp Thom lớp khác K-lý thuyết Tính K ∗ khơng gian xạ ảnh phức n chiều Sau hồn thành luận văn, tơi nhận thấy luận văn mở rộng theo hướng sau: Nghiên cứu lớp khác K-lý thuyết lớp Euler, lớp Chern, Tìm thuật tốn tổng qt tính K ∗ khơng gian: S n ,  n , không gian điểm, Hy vọng vấn đề giải thời gian tới Như vậy, với nội dung gồm ba chương, luận văn trình bày sơ lược K-lý thuyết tơpơ, lớp đẳng cấu hình học từ tìm hiểu mối liên kết K-lý thuyết hình học Tuy khơng phải vấn đề đề tài thứ vị có ý nghĩa sâu sắc thân tôi, giúp trưởng thành tư tốn học, tính nhẫn nại tự tin q trình nghiên cứu Nếu có điều kiện tơi muốn tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề đưa Do thời gian lực hạn hẹp nên luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ q Thầy bạn 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Daniel Dugger (2012), A geometric introduction to K – theory, University of Oregon [2] Eric M Friedlander* (2007), An Introduction to K - theory, Department of Mathematics, Northwestern University, Evanston, Trieste, USA [3] Max Karoubi (2008), K – theory An elementary introduction, Conference at the Clay Mathematics Research Academy, Springer [4] John Milnor (1971), Introduction to Algebraic K - theory, Princeton, New Jersey [5] Wikipedia, the free enyclopedia, http://www.wikipedia.org ... số ứng dụng? ?? Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu K – lý thuyết áp dụng hình học số ứng dụng 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu • K – lý thuyết tơpơ • K – lý thuyết số vấn đề Hình học Phương pháp nghiên... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phước Thanh K – LÝ THUYẾT ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tương quan đại số, tơpơ hình học thơng qua số tính chất K- lý thuyết ứng dụng tính K ∗ khơng gian xạ ảnh phức n chiều 3.1 K? ??t nối Đại số, Tôpô Hình học thơng qua K – lý thuyết 3.1.1 Chỉ số địa phương