K lý thuyết đại số và ứng dụng để tính k lý thuyết của một số các c đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Ái Mỹ K-LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH K-LÝ THUYẾT CỦA MỘT SỐ CÁC C*-ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Ái Mỹ K-LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH K-LÝ THUYẾT CỦA MỘT SỐ CÁC C*-ĐẠI SỐ Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Tôi chân thành cảm ơn Thầy tận tình hướng dẫn, trang bị cho tơi nhiều kiến thức, tài liệu, giúp tơi hồn thành tốt đề tài Qua đây, xin chúc Thầy gia đình nhiều sức khỏe thành cơng nghiệp giáo dục Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức tài chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Cùng với bạn Học viên K24 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập viết luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bên tôi, hỗ trợ tinh thần truyền động lực giúp vượt qua tất khó khăn sống Lê Ái Mỹ ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng quan C*-đại số 1.1.1 C*-đại số 1.1.2 Đại số unita - Đồng cấu unita 1.2 Lý thuyết phổ 1.2.1 Phổ 1.2.2 Phép toán hàm liên tục 1.3 Đại số ma trận tích tensor 1.4 Đồng luân cho unita 1.5 Sự tương đương phép chiếu 13 1.6 Nửa nhóm phép chiếu 17 Chương K -NHÓM CHO CÁC C*-ĐẠI SỐ 19 2.1 Xây dựng K-nhóm theo phương pháp Grothendieck 19 2.1.1 Cấu trúc Grothendieck 19 2.1.2 Các tính chất Nhóm Grothendieck nửa nhóm giao hốn iii 20 2.2 Định nghĩa K-nhóm cho C*-đại số unita 22 2.2.1 Ảnh K 22 2.2.2 Tính phổ dụng K 23 2.2.3 Tính chất hàm tử 24 2.2.4 Bất biến đồng luân 25 2.3 K -nhóm cho trường hợp tổng quát 26 2.3.1 Định nghĩa K -nhóm K -hàm tử 26 2.3.2 Bức tranh K -nhóm tính nửa khớp K -nhóm 29 2.3.3 Giới hạn quy nạp, tính liên tục tính ổn định K -nhóm 33 Chương CHU KÌ BOTT 39 3.1 K -hàm tử dãy khớp 39 3.1.1 K -hàm tử 39 3.1.2 Dãy khớp 40 3.1.3 Đẳng cấu K (A) K (SA) 43 3.2 Chu kì Bott 44 3.2.1 Định nghĩa ánh xạ Bott 44 3.2.2 Định lý chu kì Bott 46 3.3 Dãy khớp 6-thành phần 52 Chương SỬ DỤNG DÃY MAYER-VIETORIS 54 Dãy Mayer-Vietoris 54 Ví dụ sử dụng dãy Mayer-Vietoris để tính K-nhóm 58 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A = A Å   ( A) = ∞ ( A)/  G ( S ) = ( S ´ S )/  GL( A) nhóm phần tử nghịch đảo A ={a Ỵ GL( A) | a  h GL( A)} GL0 ( A) M n () ma trận vuông n-chiều phức  ( A) tập phép chiếu C*-đại số A n ( A) =  ( M n ( A)) ∞ ¥ ( A) =  n ( A) n =1 sp (a ) ={l Î { | a - l1A không khả nghịch A}  ( A) nhóm phần tử unita A 0 ( A) = {u Ỵ  ( A) | u  h 1A  ( A)} n ( A) =  ( M n ( A)) ∞ ∞ ( A) =  n ( A) n =1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình đào tạo cao học chuyên ngành hình học, biết số vấn đề K-lý thuyết tôpô vốn xem nhánh tôpô đại số, nghiên cứu phân thớ vectơ không gian tôpô Để mở rộng thêm hiểu biết K-lý thuyết, chúng tơi đầu tư thời gian để nghiên cứu K-lý thuyết đại số, chủ yếu tìm hiểu K-lý thuyết C * -đại số Một cách tổng qt, chúng tơi tìm hiểu mối liên hệ K-lý thuyết Đại số, cụ thể việc dùng K-lý thuyết để nghiên cứu C * -đại số làm sáng tỏ việc tìm hiểu K -nhóm cho C * -đại số ngược lại, dùng cơng cụ Đại số để tính K- nhóm Từ đó, có hội tìm hiểu cách xây dựng K-nhóm theo phương pháp Grothendieck, thơng qua định nghĩa K-nhóm cho C * -đại số unita Hơn nữa, K-lý thuyết xem lý thuyết đối đồng điều, từ kiến thức thu thập trước đây, tiếp tục nghiên cứu sâu chu kỳ Bott dãy khớp K-lý thuyết Không thế, Đại số cịn có cơng cụ để giúp tính K-lý thuyết nhóm tích chéo dãy Mayer-Vietoris.v.v… Thơng qua việc thực Luận văn này, chúng tơi có hội tìm hiểu đưa mối liên hệ phương pháp hỗ trợ cho K-lý thuyết Đại số, nhờ thấy rõ tương quan K-lý thuyết Đại số thấy Hình học Đại số có mối liên hệ chặt chẽ, chúng hỗ trợ nhau, làm phương tiện tiền đề cho trình nghiên cứu Đó lý chúng tơi chọn đề tài “K-lý thuyết đại số ứng dụng để tính K-lý thuyết số C*-đại số” 2 Mục đích đề tài Tìm hiểu K-Lý thuyết đại số K-Lý thuyết C * -đại số Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Tổng quan C * -đại số • K -nhóm cho C * -đại số unita trường hợp tổng quát • Chu kỳ Bott dãy khớp K-lý thuyết • Các cơng cụ để tính K-nhóm Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp hoàn thiện kết từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan tới vấn đề cần nghiên cứu Đưa số ví dụ ứng dụng cụ thể đề tài Bố cục Đề tài gồm chương với nội dung sau: + Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm phần lớn, cho ta biết tổng quan C * -đại số, lý thuyết phổ, đại số ma trận, tích tensor vấn đề liên quan đến đồng luân + Chương K -nhóm cho C * -đại số Chương gồm phần lớn, tìm hiểu K -nhóm tính chất + Chương Chu kì Bott dãy khớp K-lý thuyết Chương gồm phần lớn, nghiên cứu chu kì Bott dãy khớp 6-thành phần + Chương Sử dụng dãy Mayer-Vietoris để tính K-nhóm Chương cuối cho ta biết cơng cụ để tính K-nhóm dãy Mayer-Vietoris Để thực luận văn này, chủ yếu tham khảo giáo trình An introduction to K-theory for C * - algebras M Rørdam, F Larsen, N J Laustsen, xuất vào năm 2000 London Math Society Student Texts 49, Cambridge University Press Đây tài liệu tham khảo chi tiết đề cập đến nhiều vấn đề K-lý thuyết cho C * -đại số Tuy nhiên, chọn vấn đề liên quan đến đề tài luận văn để tìm hiểu viết lại theo hiểu biết Trong trình tham khảo tài liệu chúng tơi tìm hiểu số tài liệu khác như: K-Theory for operator algebras B Blackadar (1998) Cambridge University Press K-Theory and C * -algebas N E Wegge-Olsen (1993) Oxford University Press Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày cách sơ lược khái niệm cần thiết liên quan đến luận văn, cụ thể kiến thức liên quan đến tôpô đại số, C * -đại số, không gian tôpô, không gian compact nhóm tơpơ Vì kiến thức chuẩn bị tương đối lớn khn khổ luận văn có hạn nên chúng tơi trình bày khái niệm cần thiết 1.1 TỔNG QUAN VỀ C*-ĐẠI SỐ 1.1.1 C*-đại số Định nghĩa 1.1.1 Một C * -đại số A đại số  với phép liên hợp phức a  a* (*-đại số), trang bị chuẩn a  a , cho A không gian Banach thỏa mãn ab ≤ a b a*a = a (tính chất C * ) Tính chất: a* = a a* liên hợp a 1.1.2 Đại số unita - Đồng cấu unita Một C * -đại số A gọi unita có tốn tử đơn vị 1A = Tính chất: 1* = , = ( = 1= ) Nếu A B C * -đại số, *-đồng cấu ϕ : A → B ánh xạ nhân tuyến tính giao hốn với phép liên hợp Nếu A B unita ϕ gọi unita ϕ (1A ) = 1B Một tồn ánh ϕ ln unita Một C * -đại số A gọi rời rạc chứa tập trù mật đếm 49  a0 a1 a2  −z  n  m m ( f )( z ) =  − z      0  am−1 am  0  0     − z  phần tử M m+1 ( M n ( A) ) (ma trận ta viết thay cho 1n z cho z1n ) Rõ ràng,  ( f )( z= m ) T0 + T1 z m n với T0 , T1 ∈ M mn+ n ( A) ánh xạ  ( f ) liên tục Ta khẳng định sau: f m m n  n ( f )( z ) khả nghịch với z, (i) m m  n ( f )(1)  , (ii) m m h mn + n  n ( f )  diag ( f ,1 ) (iii) m m h mn Một tính chất (i)-(iii) thiết lập, ta có ánh xạ cần tìm mmn (  n ( f )(1) mmn ( f ) = m m ) −1  ( f ) m m n Để chứng minh tính chất (i)-(iii), ta xét ma trận sau: 1 0 Am =    0 0 −am   ,      0  1  Am−1 =    0 − ( am−1 + am z )   0 , ,     1  − ( a1 + a2 z + + am z m−1 )  A1 =    0     ,    ma trận Bk có đường chéo chính, z cột k dòng k + lại Ta 50   n  A1 A2 Am m m ( f )( z ) =     0 0     − z  f ( z ) − z   0  ( f )( z ) B B B = diag ( f ( z ),1 ) A1 A2 Am m m m m −1 mn n (3.2.1) Vì f ( z ) ma trận A1 , , Am , B1 , , Bm khả nghịch với z, dẫn đến (i) Hơn nữa, ma trận Aj B j biến dạng liên tục để đồng với tập vòng lặp đa thức với tham số t ∈ [ 0,1] Vì vậy, (3.2.1) dẫn đến (ii) (iii) Bước 3: Theo bước 2, đủ để kết luận hạng β A chứa lớp tương đương tất vịng lặp tuyến tính n : PL1n → PRLn cho ν ( f )  h f f ∈ PL1n Thật vậy, cho bên PL1n với f ( z= ) a0 + a1 z Thì f (1) = a0 + a1 phần tử nghịch đảo M n (1A ) ta đặt g = f (1) −1 f Khi đó, g ( z ) =1n + b( z − 1), với = b ( a0 + a1 ) −1 a1   Khi z ≠ ta viết g ( z ) = (1 − z )  1n − b  g ( z ) khả nghịch với 1− z  z ∈  , ta thấy (1 − z ) ∉ sp (b) z  / (1 − z ) từ  \ {1} vào đường z ∈  \ {1} Vì hàm 2} , ta {λ ∈ { : R (λ ) = sp (b) ⊆ {{ \ {λ ∈ : R (λ ) = 2} Với t ∈ [ 0,1] xét hàm R (λ ) = 2, tz gt ( z ) =  tz + (1 − t ) R (λ ) = thấy 51 Mỗi hàm gt chỉnh hình lân cận sp (b) đó, phép tốn hàm chỉnh hình cảm sinh phần tử gt (b) ∈ M n ( A) , phụ thuộc cách liên tục tham số t Vì vậy, ảnh gt ( z ) không giao với đường 2} , phần tử {λ ∈ { : R (λ ) =   ht ( z ) = 1n + gt (b)( z − 1) = (1 − z )  1n − gt (b)  khả nghịch 1− z  Ta có g1 ( z ) = z g1 (b) = b Mặt khác, ( g0 ( z ) ) = g ( z ) e = g (b) lũy đẳng Vậy t  ht đồng luân PL1n g vòng lặp lũy đẳng 1n + e( z − 1) Cho ρ :  n ( A) → n ( A) ánh xạ định nghĩa bổ đề 3.1.1 (với 1n + ρ (e)( z − 1) cảm sinh ánh xạ v : PL1n → PRL1n B = M n ( A) ) Thì v( f ) = Đơn ánh: Cho p, q ∈ n ( A) giả sử β A ([ p ]0 − [ q ]0= )  f p fq* =1 [1]1 K1 (SA) Khi đó, tăng n đủ lớn ta có f p  h f q GLn Ta kết luận tồn m ∈  cho diag ( p,1m )  h diag (q,1m ) n+ m ( A) Như bước đầu tiên, ta lưu ý tồn đồng cấu đa giác tuyến tính mảnh t  ht từ f p đến f q cho ht vòng lặp Laurent bị chặn với âm dương Vì vậy, tồn m, k ∈  cho z m ht ∈ PLnk với k Vì z m f p  h f diag ( p ,1m ) PLmm+ n nên ta thấy f diag ( p ,1m ) f diag ( q ,1m ) đồng luân PLmm++nk Cho t  et đồng luân Khi đó, dùng ánh xạ mmm++kn ν hình thành bước phần chứng minh toàn ánh, ta đồng luân 52 t  n ( mmm++kn (et ) ) = f pt từ f diag ( p ,1m ) đến f diag ( q ,1m ) vòng lặp phép chiếu Vì ánh xạ f pt  pt liên tục nên ta thấy diag ( p,1m ) diag (q,1m ) đồng luân theo đường phép chiếu Vậy [ p ]0 = [ q ]0 K ( A) Theo định lý 3.1.2 3.2.1 ta có: K j ( SA) ≅ K1− j ( A) với C * -đại số A j = 0,1 Vì vậy, với số tự nhiên n ta có K n+ ( A) ≅ K n ( A) 3.3 DÃY KHỚP 6-THÀNH PHẦN Với định lý chu kì Bott, ta biểu thị dãy khớp 6-thành phần K-lý thuyết_một công cụ quan trọng bậc ứng dụng Cho ϕ ψ  → J  → A  → B  →0 dãy khớp C * -đại số Áp dụng tính chất hàm tử dừng, ta thu dãy khớp Sϕ Sψ  → SJ  → SA  → SB  → Kí hiệu ∂ : K1 ( SB) → K ( SJ ) ánh xạ số phù hợp Đặt θ J : K1 ( J ) → K ( SJ ) β B : K ( B) → K1 ( SB) đẳng cấu từ định lý 3.1.2 3.2.1 ánh xạ mũ ∂ : K ( B) → K1 ( J ) định nghĩa đồng cấu làm sơ đồ sau giao hoán 53 Định lý 3.3.1 Cho dãy khớp C * -đại số ϕ ψ → J  → A  → B  →0  Thì dãy sau khớp nơi (3.3.1) Chứng minh Theo kết định lý 3.1.1 ta thấy tính chẻ K ( B) K1 ( J ) Để chứng minh tính khớp (3.3.1) K ( B) , ta xét sơ đồ giao hoán (vì tính tự nhiên ánh xạ Bott) Theo định lý 3.1.1 tất ánh xạ ββ A , B ,θ J đẳng cấu dãy khớp Vì vậy, dãy khớp Để chứng minh tính khớp (3.3.1) K1 ( J ) , ta xét sơ đồ giao hốn (vì tính tự nhiên ánh xạ Bott) Theo định lý 3.1.1 tất ánh xạ β B ,θ J ,θ A đẳng cấu dãy khớp Vì vậy, dãy khớp 54 Chương SỬ DỤNG DÃY MAYER-VIETORIS ĐỂ TÍNH CÁC K-NHĨM Có nhiều cơng cụ sử dụng cho việc tính tốn K-nhóm Trong khn khổ luận văn này, sử dụng dãy phổ Mayer-Vietoris để tính Knhóm DÃY MAYER-VIETORIS Dãy Mayer-Vietoris trường hợp cổ điển khơng gian tơpơ có liên quan đến đồng điều (đối đồng điều) không gian dán từ hai hay nhiều không gian đến đồng điều (đối đồng điều) không gian cách mà chúng dán với Cho không gian Hausdorff compact X hợp hai không gian compact có giao khác rỗng Xét sơ đồ: ánh xạ phép nội xạ tập hợp Về đối ngẫu, định lý Gelfand cho sơ đồ sau: với ánh xạ ánh xạ thu hẹp tự nhiên Thật ta có C ( X ) ≅ {( f1 , f ) ∈ C1 ⊕ C2 | f1 | X ∩ X= f | X ∩ X } 55 Do dẫn đến việc ta xét sơ đồ giao hoán sau C * -đại số unita: (4.1) = A {( b , b ) ∈ B ⊕ B 2 b1 ) π (b2 )} , với π , π *-đồng cấu | π (= toàn ánh, pr1 pr2 thu hẹp phép chiếu tự nhiên B1 ⊕ B2 → B1 B1 ⊕ B2 → B2 để không gian A ⊆ B1 ⊕ B2 A gọi kéo lại B1 B2 (trên D) tích thớ B1 B2 (trên D) sơ đồ gọi sơ đồ kéo lại Ta có: Định lý 4.2.1 Tương ứng với sơ đồ 4.1, ta có dãy khớp 6-thành phần Chứng minh Định nghĩa  A ⊆ B1 ⊕ B2 ⊕ C ([ 0,1] , D )  A = (0) {( b , b ,ω ) b ∈ B , b ∈ B ,ω= 1 2 (1) π (b2 )} π (b1 ), ω = Đặt C0 ( ( 0,1) , D ) = ω (1) = 0} {ω ∈ C ((0,1), D) | ω (0) = Thì dãy sau khớp → C0 ( ( 0,1) , D ) →  A → B1 ⊕ B2 → (4.2) C0 ( ( 0,1) , D ) →  A → B1 ⊕ B2 A ω  ( 0,0, ω ) ánh xạ  ( b1, b2 ,ω )  ( b1, b2 ) Tính khớp dãy C0 ( ( 0,1) , D )  A hiển nhiên 56 B1 ⊕ B2 ω ∈ C ([ 0,1] , D ) có giá trị độc lập ω (0), ω (1) ∈ D (hai phần tử khơng gian vectơ đồng luân) Vì C0 ( ( 0,1) , D ) suspension D, ta có K j ( C0 (0,1), D ) ≅ K1− j ( D ) , j = 0,1 ( ) Kj  A ≅ K j ( A) , j = 0,1 Ta (4.3) (4.4) Khi đó, (4.3) (4.4) kết luận dãy khớp 6-thành phần tương ứng với dãy khớp (4.2) có dạng với phép quay ngược chiều kim đồng hồ với vị trí khẳng định định lý Phần lại chứng minh (4.4) Mục tiêu ánh xạ i : A →  A, ( b1, b2 )  ( b1, b2 ,π (b1 ) ) K-đẳng cấu, với π (b1 ) đường bất biến π (b1 ) Giả sử ideal = I1 : Ker(pr1 : A → B = 1) A} {( 0, b ) ∈ B ⊕ B {( 0, b ) ∈= 2 | p (b= 0} ⊆ A 2) đẳng cấu đến Kerπ ( I1 → Kerπ , ( 0, b2 )  b2 đẳng cấu) Ảnh I A I1 I1 dưới= ( 0, b ,0 ) | π (b ) 0} {= 2 I1 đẳng cấu đến I1 , ideal  A Vì vậy, ta có sơ đồ giao hoán (4.5) Ở đây, j1 đẳng cấu, j k phép nội xạ Ta k 57 tương đương đồng luân Trước tiên ta kí hiệu  = A / I1 , ω ) | ω (0) {( b , b = = π= π (b2 )} / {( 0, b2 ,0 ) | π (b2 ) 0} (b1 ), ω (1)  ≅ {( b1 , ω ) | b1 ∈ B1 , ω (0) =π (b1 )} := B  , hạt nhân Đẳng cấu cho ánh xạ ( b1 , b2 , ω )  ( b1 , ω ) ,  A→ B {( 0, b ,0 ) | π 2 (b2 ) = 0} toàn ánh Định nghĩa  → B ≅ A / I ,ψ : b → B  ϕ= ϕ:B ( b1,ω ) b= , ϕ ( b1 ) 1 1 Khi ϕ ψ = id B , ( ψ  ϕ ( b1 , ω ) = b1 , π (b1 )    cho ϕ ( b , ω )= ϕt= A / I1 → B :B t 1 (b ,π (b ) ) ) ( b ,(1 − t )ω + tπ (b ) ) 1 1 đồng cấu thỏa ϕ0 = id, ϕ1 = ψ  ϕ Điều chứng minh A / I1 A / I1 tương đương đồng luân K j (k ) đẳng cấu Vì vậy, từ sơ đồ giao hốn (4.5) ta có sơ đồ giao hoán khác việc kết hợp hai dãy khớp 6-thành phần: Sơ đồ có hai vịng lặp khớp, K i ( j1 ) K i (k ) đẳng cấu nên từ Five Lema ta có K i ( j ) đẳng cấu Vậy ta chứng minh đẳng cấu K i ( A) = K i (  A) 58 Bây giờ, ta mô tả đồng cấu nối Cho đồng cấu K ( D) → K1 ( A) , P ∈ M n ( D) lũy đẳng Chọn P1 ∈ M n ( B1 ) P2 ∈ M n ( B2 ) cho π ( P1 )= P= π ( P2 ) (Ở đây, π , π mở rộng đến ma trận tồn ánh.) Thì ( e 2π iP1 , e 2π iP2 ) ∈ B1 ⊕ B2 thực B1 ⊕ D B2 , e 2π iP1  e 2π iP = I n + (1 − e 2π i ) P ∈ I n , e −2π iP2  e −2π iP = I n + (1 − e −2π i ) P ∈ I n Vì vậy, ta có cấu trúc phần tử khả nghịch ( e 2π iP1 , e −2π iP2 ) ∈ M n ( A) Ánh xạ P  ( e 2π iP1 , e −2π iP2 ) định nghĩa cho đồng cấu yêu cầu K ( D) → K1 ( A) Giả sử P tự đồng cấu P1 , P2 chọn tự đồng cấu Khi đó, cấu trúc cho một unita M n ( A) Ta dùng dấu trừ không chiều phần tử kết ( e 2π iP1 = , e 2π iP2 ) e 2π i ( P1 , P2 ) ∈ M n ( A) đồng luân với đồng thức [0,1] → M n ( A), t → e2π i (tP ,tP ) ) (đồng luân dẫn đến ánh xạ tầm thường K ( D) → K1 ( A) Để xây dựng cấu xạ liên thông K1 ( D) → K ( A) , ta đặt θ phần tử khả nghịch M n ( D) Ta xem θ tác động phải D ⊕ D ⊕ D Xét tập hợp Mθ : = {(( v , , v ) , ( w , , w )) ∈ B ⊕ ⊕ B ⊕ B ⊕ ⊕ B | (π (v ), ,π (v ) ) , (π (w ), ,π (w ) )} n n 1 2 1 n 2 n M θ module xạ ảnh hữu hạn chiều A Cấu xạ liên thơng mà ta tìm [θ ]  [ M θ ] − [ n ] : K1 ( D) → K ( A), [ n ] module tự hạng n A (ta sử dụng mối tương quan phép lũy đẵng module xạ ảnh hữu hạn chiều.) VÍ DỤ SỬ DỤNG DÃY MAYER-VIETORIS ĐỂ TÍNH K-NHĨM 59 Xét đường trịn S hợp hai khoảng đóng, S 1= I ∪ I Khi ta có kéo lại dãy khớp 6-thành phần Mayer-Vietoris tương ứng Ta giả sử K ()= = K (C ( I )) K1 ()= 0= K1 (C ( I )) Khi sơ đồ giảm đến → K ( C ( S ) ) →  ⊕  →  ⊕  → K1 ( C ( S ) ) → Ta xác định K (π ) − K (π ) :  ⊕  →  ⊕  = π π : C ( I ) →  ⊕  ánh xạ f  ( f (0), f (1) ) P K ( C ( I ) ) sinh [1]0 , K (π ) xác định K (π ) ([1]0 ) = ([1]0 , [1]0 ) (trong vế phải 1∈  ) Ta khẳng định K (π ) − K (π ) có ([1] ,0 ) ( 0,[1] ) K ( C ( I ) ⊕ C ( I ) ) mà giá ([1] ,[1] ) Vì Im ( K (π ) − K (π ) ) đường K ( C ( S ) ) ≅  ⊕  / ∆ ≅  0 0 0 1 Mặt khác, Ker ( K (π ) − K (π ) ) = ∆ ([1] ,[1] )  − ([1] ,[1] ) + ([1] ,[1] ) = ( n [1] , m [1] )  (m − n) ([1] , [1] ) ≠ với m ≠ n 0 0 0 0 0 trị ( − [1]0 , [1]0 ) chéo ∆ ⊆  ⊕  60 Vì ∆ K ( C ( S ) ) ≅ ∆ ≅  ảnh đơn ánh K0 (C (S1) ) →  ⊕  nghĩa 61 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: C * -đại số, lý thuyết phổ, đại số ma trận, tích tensor vấn đề liên quan đến đồng luân, tương đương phép chiếu, nửa nhóm phép chiếu K -nhóm cho C * -đại số unita, K -nhóm cho C * -đại số tổng qt tính chất K -nhóm tính phổ dụng, tính hàm tử, bất biến đồng luân số tính chất nâng cao khác Chu kỳ Bott dãy khớp 6-thành phần K-lý thuyết Một cơng cụ để tính K-nhóm sử dụng dãy Mayer-Vietoris Với nội dung trình bày, chúng tơi có hội tìm hiểu đưa mối liên hệ phương pháp hỗ trợ cho K-lý thuyết Đại số, nhờ thấy rõ tương quan K-lý thuyết Đại số thấy chúng có mối liên hệ chặt chẽ, chúng hỗ trợ nhau, làm phương tiện tiền đề cho trình nghiên cứu Trong khn khổ luận văn, chúng tơi trình bày cơng cụ để tính K-nhóm dãy Mayer-Vietoris, cịn số cơng cụ khác hữu ích tích chéo, đẳng cấu Thom-Connes công thức Künneth nghiên cứu tương lai Hơn nữa, chu kỳ Bott không gian Hilbert vấn đề mở để nghiên cứu Cuối cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo sai sót điều khơng thể tránh khỏi, chúng tơi mong góp ý để luận văn hoàn thiện 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Thanh Vân, Nguyễn Văn Đông (2013), Lý thuyết hàm phức biến chương cổ điển, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tiếng Anh B Blackadar (1998), K-Theory for operator algebras, MSRI Publ 5, Cambridge Uni- versity Press B Booss and D D Bleecker (1985), Topology and analysis, Springer-Verlag, New York G J Murphy (1990), C * -algebras, Academic Press J Cuntz (1981), K-theory for certain C * -algebras, Ann of Math 113, 181-197 J Dixmier (1977), C * -algebras, North Holland M Rieffel (1983), C * -algebras associated with irrational rotations, Pacific J Math 93, 415–429 M Rørdam, F Larsen, N J Laustsen (2000), An introduction to K-theory for C * - algebras, London Math Society Student Texts 49, Cambridge University Press 10 M Takesaki (1979), Theory of operator algebras I, Springer 11 N E Wegge-Olsen (1993), K-Theory and C * -algebas, Oxford University Press 12 P F Baum (1972), Lectures on K-theory, (based on lectures by F Hirzebruch), Alge- braic Topology, ed J F Adams, London Math Soc 63 Lecture Notes Series 4, 223–238, Cambridge University Press, Cambridge ... ? ?K- lý thuyết đại số ứng dụng để tính K- lý thuyết số C* -đại số? ?? 2 M? ?c đích đề tài Tìm hiểu K- Lý thuyết đại số K- Lý thuyết C * -đại số Đối tượng phạm vi nghiên c? ??u • Tổng quan C * -đại số • K. ..BỘ GIÁO D? ?C VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI H? ?C SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Ái Mỹ K- LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ TÍNH K- LÝ THUYẾT C? ??A MỘT SỐ C? ?C C*-ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Hình h? ?c tơpơ Mã số: 60460105... biết K- lý thuyết, đầu tư thời gian để nghiên c? ??u K- lý thuyết đại số, chủ yếu tìm hiểu K- lý thuyết C * -đại số Một c? ?ch tổng qt, chúng tơi tìm hiểu mối liên hệ K- lý thuyết Đại số, c? ?? thể vi? ?c dùng