K lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá reeb và một vài MD phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hiếu Thảo Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A B hợp rời A B Ab phạm trù nhóm aben A A   đại số bổ sung đơn vị   đại số A  A  A H tích xiên A H tác động  C( X )   đại số hàm phức liên tục X C  (V , F )   đại số liên kết với phân (V , F ) Cc ( H , A) hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A C0 (, A)   đại số hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu vô C0 ( X )   đại số hàm phức liên tục X triệt tiêu vô Ext ( B, J ) KK  nhóm Kasparov S khơng gian đối ngẫu không gian S  không gian Hilbert Index A số *  đại số A k ( )   đại số toán tử compact  K i ( A) K i  nhóm   đại số A (  ) toán tử tuyến tính bị chặn  L2 () khơng gian hàm thực bình phương khả tích M n ( A) đại số ma trận vuông cấp n đại số A 2 xuyến hai chiều (V , F ) phân F đa tạp V Xˆ compact hóa điểm khơng gian X MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đa tạp phân nhánh tương đối mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân Mặc dù địa phương, phân k chiều đa tạp vi phân n chiều hoàn toàn giống  cụ thể chúng ln có “dáng điệu” phân tầm thường tồn cục chúng khác Bởi thế, nghiên cứu phân lá, ta quan tâm đến vấn đề toàn cục, tức nghiên cứu yếu tố bất biến qua phép tương đương tơpơ Chẳng hạn tìm hiểu số đóng, tuần hồn, trù mật hay compact, kiểu phân Một yếu tố phản ánh tốt thông tin phân (V , F ) không gian V F phân Tuy nhiên, dù đa tạp phân có tơpơ tốt (do có cấu trúc vi phân), khơng gian thường lại xấu, khơng Hausdorff, chí khơng nửa tách Mà ta biết, tính K  lý thuyết hình học khơng gian tơpơ X , ta hay thay X   đại số C0 ( X ) Với tôpô xấu V F cách thay khơng cịn phù hợp C0 (V F ) khơng cho ta thơng tin cần thiết phân (V , F ) Đây cản trở lớn nghiên cứu tôpô phân Để khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes liên kết tắc phân (V , F ) với   đại số C  (V , F ) cho ta thông tin cần thiết phân (V , F ) Cần ý trường hợp phân cho phân thớ p : V  B (có khơng gian B với tơpơ tốt) K  lý thuyết C  (V , F ) K  lý thuyết hình học khơng gian V F  B thông thường Khái niệm   đại số có nguồn gốc vật lý Gelfand – Naimark đưa năm 1943 Việc mô tả   đại số khó khăn Một phương pháp mô tả hiệu   đại số phương pháp K  hàm tử Đỗ Ngọc Diệp đưa vào năm 1974 Nhờ phương pháp nhà toán học mô tả nhiều   đại số Việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết phân gọi K  lý thuyết phân Ta biết K  lý thuyết số phân đơn giản giải Năm 1980, Pimsner Veiculeseu tính K  lý thuyết phân Kronecker Ngay sau đó,   đại số liên kết phân Reeb S mô tả Năm 1984, A M Torpe giải cho phân Reeb 2 Đến năm 1990, Lê Anh Vũ thành công trường hợp phân tạo K  quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD Sau tìm hiểu nhìn nhận vấn đề, thấy thú vị với việc mô tả   đại số tương ứng phân phương pháp K  hàm tử việc làm mở nhiều phân Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tơi định tìm hiểu công việc chọn đề tài “ K  Lý thuyết không gian phân phân Reeb vài MD  phân lá” Nội dung phương pháp nghiên cứu Nội dung luận văn tìm hiểu kĩ thuật tính K  lý thuyết Torpe cho số phân đơn giản trụ [0,1]  S xuyến 2 Ngồi ra, phân nhận tác động nhóm Lie  tính K  lý thuyết   đại số liên kết với chúng nhúng tắc vào mở rộng tầng Nên mở rộng phạm vi phân việc tìm hiểu cơng trình Lê Anh Vũ K  lý thuyết phân kim cương thực Phân MD  phân cho tác động    đại số khơng nhúng vào mở rộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng Về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tơi phân tích số cơng trình nghiên cứu có liên quan để khái quát đường chung q trình tính K  lý thuyết phân Sau chúng tơi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung cho số phân cụ thể để từ vấn đề sáng tỏ Ý nghĩa khoa học luận văn Đến số lượng cơng trình tính K  lý thuyết phân khiêm tốn, K  lý thuyết nhiều phân chưa nghiên cứu Do vậy, luận văn nhiều cung cấp kiến chuẩn bị hữu ích cho độc giả bắt đầu tìm hiểu K  lý thuyết phân Đồng thời với việc mô tả   đại số phương pháp K  hàm tử, gốc độ luận văn tiếp cận số vấn đề đại số toán tử Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, chương nội dung phần kết luận Phần mở đầu: Khái quát lịch sử nội dung vấn đề, phạm vi phương pháp nghiên cứu đề tài Chương 1: Gồm số vấn đề   đại số K –lý thuyết chúng Ở chúng tơi trình bày vấn đề tính tốn cần thiết cho chương Chương 2: Gồm số vấn đề tôpô phân K –lý thuyết phân Chương đóng vai trị cung cấp kiến thức chuẩn bị cho chương Chương 3: Chương chứa nội dung luận văn, trình bày K –lý thuyết thành phần Reeb, vài phân xuyến 2 phân kim cương thực Phần kết luận: Chúng khái quát lại vấn đề làm luận văn nêu lên hướng nghiên cứu mà chúng tơi tiếp tục sau hồn thành luận văn Ký hiệu luận văn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thơng dụng có liệt kê Danh mục ký hiệu giải thích dùng lần đầu Để trích dẫn kết hay tài liệu tham khảo, viết theo quy cách chung Chẳng hạn, ghi “2.1.3” có nghĩa tiểu mục mục chương 2, ghi “[1, tr.44  45]” tức từ trang 44 đến trang 45 tài liệu tham khảo số Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ K  LÝ THUYẾT CỦA   ĐẠI SỐ Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị   đại số cần thiết cho tính tốn chương Bên cạnh đó, với việc xây dựng K  nhóm dãy khớp K  nhóm, chúng tơi có tính chi tiết K  nhóm vài   đại số  , C ( S ) , C0 () hay M n () Đây xuất phát điểm để chúng tơi tính tốn K  nhóm đề cập đến phần luận văn Một trình bày đầy đủ nội dung chương này, độc giả quan tâm tham khảo [4], [5], [10] [12] 1.1 Một số vấn đề   đại số Mục tiêu phần cung cấp cho độc giả ví dụ kinh điển   đại số với hai dạng tích thớ tích xiên Các   đại số liên kết phân xét đến luận văn có hai dạng 1.1.1 Định nghĩa (xem [10, tr.35  37]) Một   đại số A đại số Banach trường số phức  với ánh xạ đối hợp  : A  A, x  x thỏa mãn tính chất sau: (i) Với x, y  A,   , ta có: ( x  y )  x  y , ( xy )  y  x , ( x)   x ( x )  x (ii) Thỏa   đồng x* x  x 2 (điều tương đương với x x*  x ) Một ánh xạ tuyến tính bị chặn  : A  B   đại số gọi   đồng cấu với x, y  A , ta có  ( xy )   ( x) ( y )  ( x )   ( x) Từ   đồng ta suy  bị chặn với chuẩn  1.1.2 Các ví dụ (i) Đại số M n ()   đại số xét ma trận tốn tử   khơng gian Euclide  n , dùng chuẩn toán tử f  sup f (v) : v   n , v  cho ma trận Cịn ánh xạ đối hợp phép chuyển vị liên hợp  : A  A (ii) Khơng gian () tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert    đại số với ánh xạ đối hợp  : x  x toán tử phụ hợp toán tử x :    (iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian C0 ( X ) hàm liên tục nhận giá trị phức X triệt tiêu vô làm thành   đại số giao hoán với phép nhân, phép cộng phép đối hợp theo điểm C0 ( X ) có đơn vị nhân X compact Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa phương C0 ( X ) có phần tử đơn vị xấp xỉ sau: Xét tập định hướng tập compact X , với tập compact K ta ký hiệu f K hàm đồng K Các hàm tồn theo định lí mở rộng Tietze X phủ tập compact K thế, ta gọi { f K }K phần tử đơn vị xấp xỉ   đại số C0 ( X ) Ta có kết quan trọng   đại số sau: Định lí Gelfand  Naimark A   đại số giao hốn có đơn vị A  C ( X ) ,   đại số hàm phức liên tục không gian Hausdorff compact X Và A   đại số A   đẳng cấu với   đại số đóng () ,   đại số toán tử bị chặn không gian Hilbert  (iv) Xét  không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách Đại số k ( ) toán tử compact  đại số đóng với chuẩn   đại số () k ( ) đóng với phép đối hợp nên   đại số 1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175  177]) Cho A   đại số, H nhóm Lie compact địa phương  : H  AutA tác động liên tục H lên A Tức với h  H ,  h  AutA   tự đẳng cấu A với a  A , ánh xạ h   h (a ) liên tục theo chuẩn Khi đó, ta xác định   đại số A  A H gọi tích xiên A H tác động  sau: Xét không gian véctơ Cc ( H , A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A) với phép nhân phép đối hợp sau ( dh độ đo Haar trái H ):   f1 f (h)   f1 (h1 ). h1 f (h11h) dh1 , với f1 , f  Cc ( H , A), h  H ,   f  (h)   (h) 1. h f (h 1 ) , với đồng cấu  : H  * , d (h 1 )   (h).d (h) Khi Cc ( H , A)   đại số Ta xây dựng chuẩn Cc ( H , A) Một biểu diễn hiệp biến  ( A,  ) cặp gồm biểu diễn unita  A A biểu diễn  H H không gian Hilbert cho:  H (h). A (a). H (h 1 )   A  h (a)  , h  H , a  A Với  ta định nghĩa biểu diễn đối hợp  Cc ( H , A) sau:  ( f )    A  f (h)   H (h)dh, f  Cc ( H , A) Khi ta định nghĩa A   đại số bổ sung   đại số Cc ( H , A) chuẩn f  sup   ( f ) :   (với  biểu diễn hiệp biến ( A,  ) ) Tính chất tích xiên: (i) Nếu f : A  B   đồng cấu H  đẳng biến   đại số,  xác định cơng thức: A B cảm sinh   đồng cấu đối ngẫu ˆf :   fˆ (a)  (h)  f  a(h)  , với a  C ( H , A), h  H c j  (ii) Nếu  J   A   B  dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng biến ( H tác động liên tục lên   đại số J , A,B ), dãy tích xiên sau ˆ j  khớp (chẻ ra)  J  H   A H   B H  ˆ 1.1.4 Tích thớ Cho A1 , A2 , A'   đại số,  i : Ai  A ' (i  1, 2)   đồng cấu   đại số A cặp đồng cấu pi : A  Ai (i  1, 2) gọi tích thớ (hay cịn gọi sơ đồ kéo lại) cặp ( ,  ) thỏa điều kiện sau: (i) Có sơ đồ giao hốn: p1 A   A1 p2 1   A' A2   (ii) Bộ ba ( A, p1 , p2 ) có tính chất phổ dụng, tức với ba ( B, q1 , q2 ) có tính chất tương tự làm cho sơ đồ sau giao hoán: q1 B   A1 q2  1 A2   A'  Thì tồn   đồng cấu  : B  A cho   pi  qi (i  1, 2) 1.2 Một số vấn đề K  lý thuyết K  lý thuyết đại số lý thuyết đồng điều suy rộng việc tìm hiểu K  lý thuyết vấn đề không dễ dàng Tuy nhiên, mục tiêu luận văn, chúng tơi trình bày cách đơn giản việc xây dựng K  lý thuyết cho   đại số Các ví dụ phần kết cần thiết cho việc tính tốn K  lý thuyết phân chương 1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4  9]) Một phân thớ véctơ n chiều không gian Hausdorff compact X cặp ( E , p ) gồm không gian tôpô E ánh xạ liên tục p : E  X thỏa điều kiện sau: (i) Mỗi x  X , thớ E x   1 ( x) X có cấu trúc không gian véctơ n chiều (ii) Tất thớ “buộc” với cách liên tục tầm thường địa phương Các ví dụ phân thớ véctơ phân thớ tiếp xúc TM phân thớ đối tiếp xúc TM  đa tạp compact M , ví dụ TS n1  {( x, v)  S n1   n : x.v  0} Trong luận văn xét phân thớ véctơ phức Nếu ( E , p) phân thớ véctơ X , nhát cắt E hàm liên tục f : X  E cho s ( x)  E x , x  X Tập  ( E ) nhát cắt E có cấu trúc không gian véctơ cách tự nhiên với ( s   t )( x)   s ( x)   t ( x) , tổ hợp tuyến tính vế phải thực không gian véctơ E x Thực  ( E ) môđun C ( X ) theo cách tự nhiên với ( f s )( x)  f ( x).s ( x) Định lí Serre  Swan Nếu ( E , p ) phân thớ véctơ không gian Hausdorff compact X ,  ( E ) mơđun xạ ảnh hữu hạn sinh C ( X ) (tức tồn s1 , s2 , , sn   ( E ) cho  ( E )   i 1 C ( X ).si ) Ngược lại, môđun xạ n ảnh hữu hạn sinh C ( X ) có dạng 1.2.2 Xây dựng K  nhóm (xem [12, tr.144  154]) Xét A   đại số có đơn vị, cách tự nhiên M n ( A)   đại số có đơn vị, phép tốn đại số phép tốn thơng thường chuẩn M n ( A) thu cách tự nhiên Do đó, nhúng A  () (   đại số toán tử bị chặn khơng gian Hilbert  ), ta nhúng 0  1 (ii) Mở rộng  J  A2  B  B  mở rộng hấp thụ ˆ ˆ cặp ( , 1 )   (1 1),(1 1)  xác định A2 (sai khác tương   đương unita) phần tử nhóm Ext C ( S1 )  C ( S ), C ( S1 ) 3.3 K  lý thuyết phân cho thành phần Reeb 2 Trong phần ta ký hiệu ( , F ( n)) phân 2 tạo n thành phần Reeb chia cách compact ổn định Trước tiên ta trình bày định lí quan trọng [6] K  nhóm phân (2 , F ( n)) Sau ta xét K  lý thuyết vài phân cụ thể 2 3.3.1 Định lí (xem [6, tr.48]) Đối với phân (2 , F (n)) 2 tạo n thành phần Reeb chia cách compact ổn định ta có: (i) Nếu phân khơng định hướng hồnh thì:   K  C ( , F ( n))      K C  (2 , F (n))   n (3.13) (ii) Nếu phân định hướng hồnh thì:   K  C ( , F (n))      K C  (2 , F (n))    n (3.14) Nhận xét Như nhận xét ban đầu phân (2 , F (n)) phân định hướng hồnh chứa số chẵn thành phần Reeb đảo hướng Do từ Định lí 3.3.1 ta thấy phân 2 tạo số thành phần Reeb K  nhóm   đại số chúng phụ thuộc vào lớp đồng dư modulo số thành phần Reeb đảo hướng Do để xác định K  nhóm   đại số phân (2 , F (n)) ta cần xét trường hợp n thành phần Reeb đảo hướng, lúc K  nhóm   đại số chúng chất phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n 3.3.2 K  lý thuyết phân (2 , F ) Phân (2 , F ) phân 2 tạo thành phần Reeb đảo hướng, tức phân 2 nhận đồng hai biên thành phần Reeb đảo hướng ([0,1]  S , F ) Theo (3.13) ta xác định K  nhóm   đại số phân (2 , F ) sau:     K C  ( , F )  K1 C  ( , F )     Xét dãy khớp K  lý thuyết dãy khớp Mayer  Vietoris để mô tả C  (2 , F ) Dãy khớp K  lý thuyết Ta có ((0,1)  S , F ) tập mở bảo hòa (2 , F ) phần bù biên S Hoàn toàn tương tự xét thành phần Reeb đảo hướng ta có dãy khớp   đại số: 0  J1  C  (2 , F )   B  ˆ (3.15) Dãy khớp (3.15) sinh dãy khớp thành phần K  lý thuyết:   0 K1 ( J1 )   K1 C  ( , F )  K1 ( B ) 0    ˆ 1 (3.16) K ( B )  K C  (2 , F )  K ( J1 ) ˆ 0 Chọn phần tử sinh cho K  nhóm K i ( J1 ) K i ( B ) (i  0,1) thơng thường (3.16) viết thành: 0           0 1 ˆ    (0)   (0) (3.17) Đến đây, theo [6, tr.47] ta có C  ( , F )   đại số loại I có dãy hợp thành tắc  J1  C  (2 , F ) ta có: (i) Cặp đồng cấu nối ( , 1 )  Index C  (2 , F ) (3.17) cho   1  (ii) Mở rộng (3.15) hấp thụ cặp ( , 1 ) xác định C  (2 , F ) phần tử KK  nhóm Ext ( B , J1 ) sai khác tương đương unita Dãy khớp Mayer – Vietoris Xét thành phần Reeb đảo hướng ([0,1]  S 1, F ) có G1  [0,1]  S  H1 , H1   (V2 , F2 )  ( S ,1) phân có S có đồ thị G2  S  H , H  S Lá biên S ([0,1]  S , F ) có nhóm holonomy N   H  S     H1 N nên (V2 , F2 ) phân cho tác động  S lên S xác định bởi:  : S  Homeo( S ) ,  t ( x)  x  t (t  S  [0,1)   ) Rõ ràng ta xem  tác động  lên S Khi (2 , F ) phân thu dán biên chung (V1 , F1 )  ([0,1]  S , F ) (V2 , F2 ) Hai phân thành phần thỏa điều kiện để C  (2 , F ) xác định tích thớ: C  (2 , F )   B   Id  A1 0  1  B  B ˆ ˆ Trong  : B  B : ( f )( , v)  f ( , v)  f  C (S c   ) Ta dùng đồng cấu ˆ : B  B viết tích thớ thành: C  ( , F )   B  Id ˆ 1  0  1  A1   B  B ˆ ˆ ˆ Tích thớ sinh dãy khớp Mayer  Vietoris K  nhóm:  K1 C  ( , F )  1  2  K1 ( A1 )  K1 ( B )   K1 ( B  B )    1  2 K ( B  B )   K ( A1 )  K ( B )   K C  ( , F )  Chọn phần tử sinh cho K  nhóm Ki ( A1 ) K i ( B ) (i  0,1) thông thường viết dãy khớp thành:  1  2                             0 1 2 Bây ta tính   đồng cấu  1   2 K  nhóm (i) Trong K Ta có Id : K ( B )  K ( B ) [ p]  [ p] (ˆ   ) : K ( B )  K ( B ) [ p]  [ p] 1 1   1    0 0 Và ˆ 0 : K ( A1 )  K ( B ) 1 ([v ])  [ p] (ˆ  ˆ1 ) : K ( A1 )  K ( B ) 1 ([v ])  [ p]  0   2     1  1  Vậy  1   2    K 1 1 (ii) Trong K1 Ta có Id : K1 ( B )  K1 ( B ) [u ]  [u ] (ˆ   ) : K1 ( B )  K1 ( B ) [u ]  [u ]  1    1    0  Và ˆ 0 : K1 ( A1 )  K1 ( B )  ([1])  0 ([1])  [u ] (ˆ  ˆ1 ) : K1 ( A1 )  K1 ( B )  ([1])  0 ([1])  [u ] 0 0   2    1 1  1 Vậy  1   2    K1 1     3.3.3 K  lý thuyết phân (2 , F ) Phân (2 , F ) phân 2 tạo thành phần Reeb bảo toàn hướng, tức phân 2 nhận đồng hai biên thành phần Reeb bảo toàn hướng ([0,1]  S , F ) Theo (3.14) ta xác định K  nhóm   đại số liên kết phân (2 , F ) sau:     K C  (2 , F )   K1 C  (2 , F )     Hoàn toàn tương tự phân ( , F ) C  (2 , F ) nhúng vào dãy khớp ngắn: 0  J  C  (2 , F )   B  ˆ (3.18) Dãy khớp sinh dãy khớp K  lý thuyết: 0         ˆ  0 1       ˆ (3.19) 0 Ta có C  (2 , F )   đại số loại I có dãy hợp thành tắc  J  C  (2 , F ) cặp đồng cấu nối ( , 1 )  Index C  (2 , F ) (3.19) cho   1  (xem [6, tr.48]) Đồng thời mở rộng (3.18) hấp thụ cặp ( , 1 ) xác định C  (2 , F ) phần tử KK  nhóm Ext ( B , J ) sai khác tương đương unita Đồng thời đặt C  (2 , F ) vào dãy khớp Mayer  Vietoris:  K1 C  (2 , F )  1  2  K1 ( A2 )  K1 ( B )   K1 ( B  B )    1  2  K ( A2 )  K ( B )   K C  ( , F ) K ( B  B )   Chọn phần tử sinh cho K  nhóm Ki ( A2 ) Ki ( B ) (i  0,1) thông thường viết dãy khớp thành:  1  2                           1 2  1 1 1 K  1   2   Khi  1   2     K1 1 1  1 3.4 K  lý thuyết phân kim cương thực Mục tiêu phần nêu ví dụ K  lý thuyết MD  phân Cụ thể ta xét K  lý thuyết phân kim cương thực, MD  phân có   đại số liên kết khơng nhúng cách tắc vào mở rộng đơn trường hợp thành phần Reeb Do ta phải nhúng vào dãy mở rộng lặp hai tầng tính số phần tử thuộc nhóm tổng trực tiếp hai KK  nhóm, điểm khác biệt so với phân mà ta xét mục 3.3 Phân kim cương thực có số đẹp, nhiên ta trình bày súc tích quy trình tính tốn K  lý thuyết nó, cịn việc tính tốn đầy đủ chi tiết độc giả tham khảo [9] 3.4.1 Phân kim cương thực Xét đại số Lie S có sở {T , X , Y , Z } thỏa mãn: [T , X ]   X ,[T , Y ]  Y ,[ X , Y ]  Z [T , Z ]  [ X , Z ]  [Y , Z ]  Nhóm Lie đơn liên tương ứng với S ký hiệu .H gọi nhóm kim cương thực Gọi S   không gian đối ngẫu S xét tập mở S xác định bởi: V  {(t , x, y, z )  S : x  y  z  0}    (3 ) Khi họ F K  quĩ đạo chiều cực đại S làm thành phân V gọi phân kim cương thực Hơn ta có: Mệnh đề (xem [9, tr.229]) Phân kim cương thực (V , F ) phân cho tác động  nhóm Lie  đa tạp V xác định bởi:  : 2 V  V  (r , s),(t , x, y, z )   ( t , x , y , z ) Trong t  t  r x2  y xyz  r2 2 x y z x2  y2  z   ,     yz xz x  e s  x  r , y  es  y  r z  z 2 2  x y z x y z         3.4.2 Dãy mở rộng lặp C  (V , F ) Xét đa tạp sau V : V1  {(t , x, y , z )  V : z  0}       W1  V \ V1    ( ) V2  {(t , x, y, z )  W1 : xy  0}       W2  W1 \ V2    (   {0}  {0}   ) Ta kiểm tra tác động  bảo toàn đa tạp này, thật vậy: (i) Trường hợp z   z  , nên  bảo toàn V1 W1 (ii) Trường hợp xy   x y  xy  , nên  bảo toàn V2 W2 Gọi i1 , i2 ánh xạ nhúng 1 , 2 phép thu hẹp sau: i1 : C0 (V1 )  C0 (V ) , i2 : C0 (V2 )  C0 (W1 ) , 1 : C0 (V )  C0 (W1 ) , 2 : C0 (W1 )  C0 (W2 ) Ở hàm C0 (V1 ) (tương ứng C0 (V2 ) ) mở rộng thành hàm C0 (V ) (tương ứng C0 (W1 ) ) cách lấy giá trị khơng bên ngồi V1 (tương ứng V2 ) Hơn i1 , i2 , 1 , 2 đồng cấu   đẳng biến ta có dãy khớp   đẳng biến: i1 1  C0 (V1 )   C0 (V )   C0 (W1 )  i2 2  C0 (V2 )   C0 (W1 )   C0 (W2 )  Ta ký hiệu (V1 , F1 ), (W1 , F1 ), (V2 , F2 ) (W2 , F2 ) theo thứ tự thu hẹp phân (V , F ) V1 ,W1 ,V2 W2 Khi ta có định lí sau: Định lí (xem [9, tr.230]) C  (V , F ) nhúng cách tắc vào dãy mở rộng lặp hai tầng sau: ˆ i1 1  J1   C  (V , F )   B1  ˆ ˆ i2 2  J   B1   B2  ˆ ( ) ( ) Trong J1  C  (V1 , F1 )  C0 (V1 )    C0 (   )  k J  C  (V2 , F2 )  C0 (V2 )    C0 (    )  k B1  C  (W1 , F1 )  C0 (W1 )   B2  C  (W2 , F2 )  C0 (W2 )   C  (V , F )  C0 (V )   3.4.3 Hệ bất biến số C  (V , F ) Các mở rộng ( i ) (i  1, 2) xác định tương ứng phần tử  i (i  1, 2) KK  nhóm Ext ( Bi , J i ) (i  1, 2) Cặp { ,  } hệ bất biến số C  (V , F ) xác định kiểu ổn định C  (V , F ) Theo [9] ta có: Định lí (xem [9, tr.231  237]) (i)   (1 1) nhóm Ext ( B1 , J1 )   1  1 0  1 0   nhóm Ext ( B , J )  Hom( ,  ) (ii)    2  1    1   0 KẾT LUẬN Một đóng góp quý báu Alain Connes cho ngành Hình học phân cơng trình xây dựng *  đại số liên kết với phân Chính *  đại số làm cho K  lý thuyết trở thành công cụ thực hữu dụng nghiên cứu tôpô phân Như ban đầu, đặt mục tiêu luận văn vạch rõ đường tính K  lý thuyết phân lá, đồng thời tích lũy khái niệm số thao tác tính tốn định Với định hướng đó, nội dung mà chúng tơi hồn thành chương tìm hiểu K  lý thuyết số phân thành phần Reeb, vài phân đơn giản 2 phân kim cương thực Trong trọng tâm đặt vào trường hợp thành phần Reeb, nghĩ chúng ví dụ thực tốt cho độc giả bước đầu vào đường thú vị gian khó Để tiện theo dõi vấn đề, chuẩn bị kiến thức liên quan hai chương 2, với phạm vi mức độ phù hợp với mục tiêu chương Dựa vào tảng quan trọng này, tiếp tục cố gắng hy vọng tự giải K  lý thuyết cho nhiều phân hơn, đặc biệt phân mở TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K  quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD , Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam Tiếng Anh Alain Connes (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products of a *  Algebra by an Action of  ”, Advances in Mathematics, 39(2), pp.31-55 Alain Connes, A Survey of Foliations and Operator Algebras Alain Connes, Noncommutative Geometry Allen Hatcher (2003), Vector Bundles and K  Theory Anne Marie Torpe (1984), “ K  Theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Components”, Journal of Functional Analysis, 61(1), pp.1-116 Kasparov G.G (1981), “The Operator K  Funtor and Extensions of *  Algebras”, Math USSR Izv, 16(3), pp 513-572 Le Anh Vu (1990), “On the Foliations Formed by the Generic K  Orbits of MD  Groups”, Acta Mathematica Vietnamica, 15(2), pp.39-55 Le Anh Vu (1990), “On the Structure of the *  Algebra of the Foliation Formed by the K  Orbits of Maximal Dimension of the Real Diamond Group”, Journal of Operator Theory, 24, pp.227-238 10 Murphy J.G (1990), *  Algebras and Operator Theory, Academic Press, New York 11 Pierre Molino (1988), Riemannian Foliations, Birkhäuser, Boston Basel 12 Taylor J.L (1975), “Banach Algebras and Topology”, Algebras in Analysis, Academic Press, New York CHỈ MỤC A D Ánh xạ đối hợp 7, 8, 29 Dạng vi phân 19 Ánh xạ holonomy 25 Dãy hợp thành tắc 51, 52, 56 Ánh xạ nhúng 14, 16, 58 Dãy khớp thành phần 15, 31, 42, 52 B Dãy khớp Mayer  Vietoris 16, 52, 56 Bản đồ địa phương 29 Dãy khớp ngắn (chẻ ra) 10, 15, 16 Bản đồ phân 23 Dãy mở rộng lặp 32, 58, 59 Bảo hòa 20, 30, 37, 52 Dòng (flow) 35 Bất biến Busby 17 Đa tạp tích phân 20 Bất biến số 17, 59 Đa tạp phân 20 Bất biến đồng luân 13, 39 Đa tạp vi phân 19 Bất biến tịnh tiến 35 Đại số Banach Biến đổi Fourier 40 Đại số đa nhân tử (ngoài) 16 Biến đổi sơ cấp 13 Đại số Lie 57 Biểu diễn hiệp biến Đẳng biến 9, 10, 36, 37, 58 Biểu diễn unita Đẳng biến borel 24 Bình phương khả tích 29 Đẳng cấu nhóm 13 Đẳng cấu Thom  Connes 13, 40, 41, 50 C   đại số 7, 9, 11, 27, 49 * Chỉ số 18, 59 Chuẩn 9, 11, 14 Chuẩn tốn tử Co rút 14, 15 Compact hóa điểm 14 Định hướng hoành 35, 51 Đồ thị phân 27, 30, 57 Độ đo Haar trái Độ đo hoành 24 *  Đồng cấu 7, 9, 15, 30, 39 Đồng cấu đối ngẫu Đồng cấu không 14, 42 Đồng cấu nối 15, 42, 54, 56 K  nhóm 13, 39, 41 Đồng luân 14, 40 K1  nhóm 13, 39, 41 Đơn liên 26, 36, 57 Khả nghịch 40, 44 Đơn vị 12, 14 Khả tách Đơn vị xấp xĩ 8, 17 Khả tích 19, 21 E Khơng gian nửa mật độ 28, 29 Etale  ánh xạ 25 Không gian định chuẩn 29 G Không gian Hausdorff compact 8, 13 Giá 29, 44 Không gian Hilbert 8, 9, 29 H Không gian 22, 23 Hạch 17 Hàm liên tục 8, 11, 16, 47 Hàm tử 13 Hạt nhân 48 Kiểu ổn định 18, 32 Kiểu tôpô phân 22, 29 KK  nhóm 17, 32, 56, 59 L Hấp thụ 18, 32, 50, 53 Lá 20, 23, 27 Hiệp biến 13 Lá compact ổn định 35, 51 Holonomy 24, 27, 29 Lá đóng 34 Hữu hạn sinh 11 I Ideal 19, 31, 37, 38 K k  dạng tuyến tính đan 28 K –lý thuyết 10, 31, 36, 51, 52, 54 K –lý thuyết phân 34, 57 K –nhóm 11, 39 *  Liên tục mạnh 49 Loop 25, 42, 44, 47 Lớp đồng luân 25 M Ma trận đơn vị 13 Mầm 25, 26 Môđun 11 Môđun xạ ảnh 11, 13 N Phân thớ tiếp xúc 11, 19 Nghịch ảnh 48 Phân thớ véctơ 11 Nhát cắt 11 Phần bù 38 Nhóm 12 Phần tử sinh 39, 40, 45, 50, 54 Nhóm aben 12 Phần tử unita 12 Nhóm aben tự 17, 32 Phép chiếu 12, 22, 40, 43, 44, 47 Nhóm chuẩn tắc 13, 17 Phép dìm 27 Nhóm Grothendieck 12,13 Phép đồng phơi 22 Nhóm holonomy 26 Phép ngập 25, 29, 37 Nhóm kim cương thực 57 Phỏng nhóm holonomy 26 Nhóm Lie 9, 13, 24, 32 Phủ 25 Nhóm Lie trung bình hóa 14, 32, 38 Phủ holonomy 29 Nửa khớp 30 Phức *  đại số 31 Nửa mật độ 27 Q P Quan hệ tương đương 22 Phạm trù 13 Quĩ đạo 24, 57 Phân bố 19 S Phân 19, 22, 44 Song ánh Borel 24 Phân cho phân thớ 23, 29 Số vòng quay 42, 44, 49 Phân cho tác động nhóm 23, 36 Sơ đồ giao hoán 10, 14 Phân đo 24 T Phân kim cương thực 32, 57 Phân Kronecker 19, 22, 26 Phân thớ nửa mật độ 27 Phân thớ 19 Phân thớ đối tiếp xúc 11 Tác động liên tục 9, 12 Tấm 19, 24 Tầm thường 28 Tập Borel 24 Tập hoành 20, 24, 26, 28 Tập mở đơn 19, 25 Tổng trực tiếp 17, 56 Tập hoành Borel 24, 25 Tôpô thương 23 Tập mở 22, 31, 52 Triệt tiêu 19 Tập thương 12 Triệt tiêu vô Thành phần Reeb bảo toàn hướng 35 Trụ phân 34 Thành phần Reeb đảo hướng 35, 40, 50 Trường véctơ 20 Thớ 11, 19, 23 Trượt dọc 25 Tích chập 29, 38, 44 Tương đương Morita 34 Tích thớ 7, 10, 16, 33, 53 Tương đương unita 18, 32, 50, 52 Tích xiên 7, 9, 34 V Tính chất phổ dụng 10 Vết 41 Tọa độ dịng 38, 48 Vết đối ngẫu 41 Tốn tử bị chặn 8, 29 Vi phơi 25, 35, 38, 44 Tốn tử compact 8, 29, 37 Vi phôi địa phương 26 Tốn tử Fredholm 47, 48 Vị nhóm aben 12 Tốn tử phụ hợp X Tốn tử tích phân 48 Tốn tử trơn 29 Tốn tử unita 17 Xích tập mở đơn 25 Xuyến 21, 34 ... Tất phân Kronecker ứng với k   kiểu tôpô với   nhau, kiểu với phân S  { } S 2 2.1.4 Không gian Định nghĩa Cho (V , F ) phân lá, không gian V F nhận từ V sau dán thành điểm (tức không gian. .. nửa khớp khớp 2.3 K  lý thuyết phân Ta biết K  lý thuyết hình học K  lý thuyết đại số có liên hệ chặt chẽ với K i ( X )  K i  C0 ( X )  Như đề cập phần mở đầu, không gian V F K  lý thuyết. .. số liên k? ??t phân gọi K  lý thuyết phân Ta biết K  lý thuyết số phân đơn giản giải Năm 1980, Pimsner Veiculeseu tính K  lý thuyết phân Kronecker Ngay sau đó,   đại số liên k? ??t phân Reeb S