Đang tải... (xem toàn văn)
Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về số học và đại số” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc[r]
(1)SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Phần I: MỞ ĐẦU I) LÝ DO CHON ĐỀ TÀI: Cùng với việc đổi phương pháp dạy học(PPDH) nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học và kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá học tập và áp dụng vào thực tế sống, việc hướng dẫn học sinh trung học sở(THCS) nói riêng và học sinh nói chung sử dụng máy tính bỏ túi để hỗ trợ tính toán là việc làm cần thiết dạy học Do tính hữu dụng và thiết thực máy tính bỏ túi(MTBT) và điều kiện kinh tế xã hội cho phép, hoạt động ngoại khoá toán học nói chung và ngoại khoá MTBT nói riêng các nhà trường nhằm mục đích : Mở rộng và nâng cao phần tri thức MTBT học sinh đã học tiểu học Phát triển tư thuật toán HS, hợp lí hoá và tối ưu hoá các thao tác, hỗ trợ đoán nhận kết các phép thử, để kiểm tra nhanh kết tính toán theo hướng hình thành các phẩm chất người lao động có kĩ tính toán Tạo môi trường và điều kiện cho hoạt động ngoại khoá toán phong phú bậc học THCS và THPT “…Với máy tính điện tử, dạng đề thi học sinh giỏi toán xuất hiện: kết hợp hữu suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có bài toán khó không đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, đó các dạng toán này thích hợp các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử” Trong năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) sử dụng rộng rãi học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh nhiều việc tính toán và bài tập không thể giải tay Một dạng bài tập chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán số học vả đại số ” mà hầu hết các thi giải toán trên MTCT có cấu trúc chiếm tỉ lệ từ 70% trở lên đề Đồng thời là hai môn học toán học Trong thực tế, bồi dưỡng các em đội tuyển trường, sử dụng MTCT để dạy giải “Một số bài toán số học và đại số” thì phần lớn các em nắm kiến thức sau đó việc vận dụng ,cũng kĩ trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác Vì tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và số học và đại số nói riêng cách thành thạo và chính xác là cần thiết Làm nào học sinh nắm cách giải các bài toán liên quan Đặc biệt là các đề thi giải toán MTCT đã và diễn hầu hết các tỉnh thành nước Do đó tôi chọn đề tài:“Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT ” II)NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI: Nhiệm vụ chính: Đề tài này nghiên cứu với mục đích là nhằm trang bị cho HS kĩ cần thiết để các em có thể sử dụng thành thạo MTBT hỗ trợ cho việc học toán và các môn học khác Nâng cao hiệu hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán số học, đại số và các bài toán liện quan khác Đối với giáo viên: Levanbinh -1– (2) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Có nội dung ôn tập cho học sinh lồng ghép các tiết giảng dạy với hỗ trợ MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu Định hướng các dạng toán các phương pháp giải các bài toán đa thức MTCT Đối với học sinh: Nắm sở lý luận phương pháp giải các bài toán số học và đại số Vận dụng linh hoạt, có kĩ thành thạo III)PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Đan xen việc giải toán trên MTCT các tiết dạy( đưa thêm số bài tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…) Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT trường THCS Phước Hòa.( Theo kế hoạch đã phận chuyên môn nhà trường duyệt) Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT trường Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT Huyện IV)CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: Năm học 2009-2010 lại năm tôi nhà trường phân công bồi dưỡng đội tuyển học sinh giải toán Bản thân các đồng nghiệp khác việc bồi dưỡng học sinh giải toán MTCT các cấp là vấn đề có nhiều trăn trở và khó khăn Qua trao đổi và học hỏi số đồng nghiệp như: Thầy Nguyễn Chơn Bộ, Nguyễn Thành Hưng, Võ Ngọc Phương, Nguyễn Kim Dũng, cô Bùi Thị Anh Thư… Đồng thời thông qua các buổi chuyên đề, bồi dưỡng chuyên môn, thao giảng ngành tổ chức thân đã đúc kết số kinh nghiệm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp Bản thân hình thành và thực áp dụng đề tài này từ các lớp học trường THCS Phước Hòa Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh các khối lớp) Học sinh trường THCS Phước Hòa.(học sinh lựa chọn các khối 8,9 từ 10/2009 đến 11/2009) Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT trường THCS Phước Hòa( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009) Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT trường THCS Phước Hòa( Từ 10/2010 đến 1/2010) Tổng hợp và viết đề tài từ năm tháng 09/2010-11/2010 Levanbinh -2– (3) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Phần II: KẾT QUẢ A-MÔ TẢ TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC HIỆN TẠI: Học sinh không biết giải các bài toán MTCT nào Nhìn chung số em giải là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa hướng giải chung cho dạng bài tập này Trong thực tế giảng dạy cho HS số các bài toán đòi hỏi phải có kĩ tính toán suy luận mức độ cao và yêu hoàn thành khuôn khổ thời gian hạn hẹp thì phần lớn HS thường có tâm lí căng thẳng không có hứng thú học tập, lí là các em ngại tính toán Vì để giúp HS tính toán nhanh và đơn giản và đỡ lãng phí tốn thời gian đồng thời kích thích tập trung cao độ HS vào việc giải toán ta nên hướng dẫn HS cách sử dụng MTBT hỗ trợ các hoạt động tính toán học Thống kê việc sử dụng MTCT trường THCS Phước Hòa năm học 2008 – 2009 chưa thực đề tài: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 60 10 16,7% 50 83,3% 80 20 25% 60 75% 180 46 25,6% 134 74,4% Thống kê việc sử dụng MTCT trường THCS Phước Hòa năm học 2009 – 2010 thực đề tài qua năm: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 80 51 63,75% 29 36,25% 180 112 62,22% 68 37,78% Thống kê việc sử dụng MTCT trường THCS Phước Hòa năm học 2010 – 2011 thực đề tài qua năm: BIẾT SỬ DỤNG MTCT CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT LỚP SL SL TL SL TL 180 167 92,77% 13 7,23% B - NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP: I/ MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP : A/ GIỚI THIỆU: - Các loại máy sử dụng trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES - Tuỳ theo cách sử dụng nhìn chung có hai cách dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS dòng máy 500ES;500VNPlus;570ES thì việc nhập liệu vào máy kết truy xuất hiển thị giống phép toán sách giáo khoa - Các phím chức , các hàm bố trí dạng hiển thị menu thông dụng - Trong phạm vi đề tài này chúng ta xem học sinh đã biết cách sử dụng MTCT B.HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG MÁY TÍNH : Levanbinh -3– (4) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT I/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC Ở THCS: DẠNG 1: TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ: 1-Tìm ước số a: Phương pháp: Gán: A = nhập biểu thức A=A+1: a ÷ A Ấn nhiều lần phím Gán: Shift STO A Nhập: Alpha A Alpha Alpha A Alpha : a Alpha A ấn nhiều lần dấu VD : giả sử A = Ư(120) Các khẳng định nào sau đây là đúng : a,7 A; b,15 A; c,30 A Giải: ấn 120 = Kết : 120 ( đúng ) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 60 ( đúng ) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 40 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 30 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 24 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 20 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 17,1429 ( sai) Chỉnh lại thành 120 = Kết :15 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 = Kết : 13,3333 ( sai) Chỉnh lại thành 120 10 = Kết : 12 ( đúng) Chỉnh lại thành 120 11 = Kết : 10,909 ( sai) Chỉnh lại thành 120 12 = Kết : 10 ( đúng) Ta thấy : 10,909 < 11 nên ngừng ấn Vậy kết là Ư(120) = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 } Kết trả lời câu hỏi đầu bài : a, sai b, đúng c, sai 2- Tìm bội b: Phương pháp: Gán: A = -1 nhập biểu thức A=A+1: a X A Ấn nhiều lần phím Ví dụ : Tìm tập hợp các bội nhỏ 100 Ta gán: A = -1 Ấn nhiều lần phím 0;7;14; 21; 28;35; 42; 49;56;63;70;77;84;91;98 Ta có: B = 3-Kiểm tra số nguyên tố: * Với nguyên tắc số nguyên tố là số lẻ Và số không chia hết cho thừa số nguyên tố nào là số nguyên tố Cách 1: (-1) A A + A:(Số cần xđ) ÷ A bấm = số cần dừng, kết không là số nguyên thì số đó không phải là nguyên tố Levanbinh -4– (5) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Cách 2: Gán số đó vào B; Tính B = … (điểm dừng) B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Số 647 là số nguyên tố không? (-1) A A + A:647 ÷ A bấm = … đến A = 25 thì thương là 23,9… Vậy 647 không chia hết cho A => 647 là số nguyên tố Ví dụ : Xét xem 10007 nguyên tố hay hợp số? 10007 B B = 100, 034… B÷3= B ÷ (B ÷ Ans + 2) = … đến điểm dừng Ví dụ: Xét xem 8191 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát các kết ta thấy không nguyên, cho nên khẳng định 8191 là số nguyên tố Ví dụ: Xét xem 99 873 là số nguyên tố hay hợp số? Quan sát màn hình thấy có kết nguyên là 441, cho nên khẳng định 99 873 là hợp số Bài tập: Số nào sau đây là số nguyên tố: 403; 569; 1361; 1363 (ĐS: 569 và 1361) DẠNG 2: TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B 1-Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số: A A Bx Số dư B phần nguyên (A chia cho B ) Cách ấn: A B màn hình kết số thập phân Đưa trỏ lên biểu thức sửa lại A B X phần nguyên A chia cho B và ấn VD : Tìm số dư phép chia 9124565217 123456 Ta có : 9124565217 123456 = 73909,…………… Tiếp theo ta ấn 9124565217 – 123456 73909 = 55713 Vậy R = 55713 2- số bị chia A lớn 10 chữ số : Nếu số bị chia A là số bình thường lớn 10 chữ số Ta ngắt thành nhóm đầu chữ số ( kể từ bân trái ) Ta tìm số dư phần a) viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa chữ số tìm số dư lần hai Nếu còn thì liên tiếp VD: Tìm dư phép chia 2345678901234 4567 + 234567890 4567 dư 2203 + 22031234 4567 dư 26 Ta có: 2345678901234 4567 = ( 234567890 10 + 2201234) 4567 (2203 10 + 26) 4567 = 482,379…… (2203 10 + 26) - 4567 482 = 1732 Vậy dư là 1732 3- Tìm số dư số bị chia cho dạng lũy thừa quá lớn: ta dùng phép đồng dư theo công thức sau : a m(mod p) b n(mod p) Levanbinh a.b m.n(mod p ) c c a m (mod p ) -5– (6) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Vd: Tìm dư phép chia : 272002 : 13 Ta có : 27 1 ( mod 13 ) 272002 12002 (mod 13) ( mod 13 ) Vậy 272002 : 13 dư * Khi sử dụng máy tính cần chú ý: thực phép tính mà máy kết là số đủ 10 chữ số ( số nguyên ) thì phải lưu ý đó có thể là 10 chữ số phần nguyên còn phần lẻ thập phân bị làm tròn số DẠNG 3: TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI SỐ: A Phương pháp giải toán Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN hai số nguyên dương A và B (A < B) A B Thuật toán: Xét thương Nếu: A Thương B cho kết dạng phân số tối giản cho kết dạng số a thập phân mà có thể đưa dạng phân số tối giản b (a b là các số nguyên dương) thì: ƯCLN(A, B) = A:a = B:b; BCNN(A, B) = A.b = B.a A Thương B cho kết là số thập phân mà không thể đổi dạng phân số tối giản A thì ta làm sau: Tìm số dư phép chia B Giả sử số dư đó là R (R là số nguyên dương nhỏ A ) thì: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, R) ( Chú ý: ƯCLN (B, A) = ƯCLN(A, B)) Đến đây ta quay giải bài toán tìm ƯCLN hai số A và R R Tiếp tục xét thương A và làm theo bước đã nêu trên Sau tìm ƯCLN(A, B), ta tìm BCNN(A, B) cách áp dụng đẳng thức: A.B ƯCLN(A.B).BCNN(A, B) = A.B => BCNN(A, B) = UCLN(A, B) Bài toán 2: Tìm ƯCLN và BCNN ba số nguyên dương A, B và C Thuật toán: Để tìm ƯCLN(A,B,C) ta tìm ƯCLN(A, B) tìm ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] Điều này suy từ đẳng thức: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] Để tìm BCNN(A, B, C) ta làm tương tự Ta có: ƯCLN(A,B,C) = ƯCLN[ƯCLN(A,B), C] = ƯCLN[ƯCLN(B, C), A] = ƯCLN[ƯCLN(A, C), B] B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN 220887 và 1697507 220887 2187 = Giải: Ta có: 1697507 16807 Suy ra: ƯCLN(220887, 1697507) = 220887:2187 = 101; BCNN(220887, 1697507) = 220887.16807 = 3712447809 Ví dụ 2: Tìm ƯCLN và BCNN 3995649 và 15859395 Levanbinh -6– (7) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT 3995649 = 0,2519424 Giải: Ta có: 15859395 Ta không thể đưa số thập phân này dạng phân số tối giản Vậy ta phải dùng phương pháp 15859395 Số dư phép chia 3995649 là 3872428 Suy ra: ƯCLN(15859395, 3995649) = ƯCLN(3995649, 3872428) 3872428 Ta có: 3995649 = 0,9691612051 Ta không thể đưa số thập phân này dạng phân số tối giản Ta tiếp tục tìm số 3995649 dư phép chia: 3872428 Số dư tìm là 123221 Suy ra: ƯCLN(3995649, 3872428) = ƯCLN(3872428, 123221) 123221 607 = Ta có: 3872428 19076 Suy ra: ƯCLN(3872428, 123221) = 123221:607 = 203, 15859395.3995649 203 BCNN = = 312160078125 Ví dụ 3: Tìm ƯCLN ba số 51712, 73629 và 134431 Giải: Ta tìm ƯCLN(51712, 73629) = 101, và ƯCLN(101, 134431) = 101 => ƯCLN(51712, 73629, 134431) = 101 C Bài tập vận dụng Tìm ƯCLN và BCNN của: a 43848 và 8879220 b 1340022 và 622890625 c 1527625 và 4860625 d 1536885 và 24801105 Tìm ƯCLN và BCNN 416745, 1389150 và 864360 Tìm ƯSCLN 40096920 , 9474372 và 51135438 ĐS : 678 DẠNG 4: TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n an an xa0 m VỚI m N Phương pháp: Ta thay x từ đến cho n m Ví dụ: tìm chữ số x để 79506 x 47 23 Giải: Thay x = 0; 1; 2; …… ;9 Ta 79506147:23 Ví dụ: Tìm số lớn và số nhỏ các số tự nhiên có dạng 1x y3z chia hết cho Giải: số lớn dạng 1x y3z chia hết cho phải là 19293 z Lần lượt thử z = 9; 8; 7………;1;0 Vậy số lớn có dạng 1x y3z chia hết cho là 1929354 Tương tự số nhỏ có dạng 1x y3z chia hết cho là 1020334 DẠNG 5: TÌM CẶP NGHIỆM (x;y) NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃN PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ: tìm cặp số (x;y) nguyên dương cho x2= 27 y2+1 Ta có x2= 27 y2+1 nên y < x suy x = 37 y 1 Levanbinh -7– (8) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Do đó gán: Y = 0, X= 0; nhập Y=Y+1:X = 37Y ấn phím = liên tục X nguyên KQ: x =73; y= 12 Bài tập: Tìm cặp số (x;y) nguyên dương cho x2= 47y2+1 KQ: x= 48; y= Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn phương trình 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312 Giải : ta có 4x3 + 17(2x-y)2 = 161312 y 2 x 161312 x 17 161312 X 17 Do đó gán: Y = 0; X = 0; nhập X= X+1: Y = 2X ấn dấu liên tục y nguyên KQ: x = 30; y = DẠNG 6: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN – SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẨN HOÀN VD : phân số nào sinh số thập phân tuần hoàn sau : a, 0,123123123123 = 0, (123) b, 4,353535353535 = 4, (35) c, 2,45736736736736 = 2,45(736) 123 đó là số 999 đó là 4 35 99 45 136 245491 đó là : 2,45(736) = + 0.45 + 0,00(736) = + 100 + 99900 = 99900 17 VD : Tính chữ số thập phân thứ 105 số thập phân 13 Ta có : 17 13 = 1,307692308 ( thực kết nó là 1,307962307962 ) Ta thấy chu kì kết là 1,(307692) Mặt khác 105 ( mod ) chữ số thứ 105 phần thập phân kết phép chia 17 13 là số VD : tìm n N nhỏ cho n có ba chữ số biết n121 có chữ số đầu là chữ số Ta không thể dùng máy tính bỏ túi để tính n121 Nhưng ta có 123121 , 12 3121 , 23121 có các chữ số giống ta tính : 00121 =1 01121 = 3,333390164 n = 101 DẠNG 7: LÀM TRÒN SỐ Máy có hai cách làm tròn số: Làm tròn số để đọc ( máy lưu nhớ đến 12 chữ số để tính toán cho các bài toán sau ) NORM hay FIXn Làm tròn và giữ luôn kết số đã làm tròn cho các bài toán tính sau FIX và RnD VD : 17 13 = 1,307692308 ( trên màn hình ) nhớ máy lưu kết 1,30769230769 ( máy giữ đủ 12 chữ số và 12 chữ số ) Nếu muốn làm tròn số thì bấm MODE MODE MODE MODE và chọn làm tròn từ đến Levanbinh -8– (9) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Nếu chọn FIX và ấn tiếp SHIFT RnD máy kết 1,3077 và giữ kết này nhớ ( có chữ số phần lẻ đã làm tròn ) Ans 13 = 17,0001 II/ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Ở THCS: DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC: 1.1.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ: VD : Tính : 1 2 1 2 27 : 27 91919191 4 1 80808080 4 1 49 343 49 343 a, A = Đối với bài tập dạng này thì trước tính chúng ta phải rút gọn biểu thức tính biểu thức bình thường 1 1 1 27 91 27 : A 1 80 49 343 49 343 1 1 91 27 49 343 A 1 1 80 49 343 27 91 91 A 80 640 : 0,4 0,9 : 0,15 : 2,5 2,1 1,965 : 1,2 0,045 B 0,32 6 0,03 5,3 3,88 0,67 0,00325 : 0,013 b, Đối với bài này chúng ta cần phải ghi các phép tính biểu thức vào số nhớ máy tính : : 0,4 - 0,9 : 0,15 : 2,5 SHIFT STO A 0,32 6 0,03 5,3 3,88 0,67 SHIFT STO B 2,1 1,965 : 1,2 0,045 SHIFT STO C 0,00325 : 0,013 SHIFT STO D Sau đã ghi các phần trên vào máy các phần hướng dẫn trước chúng ta bấm vào máy tính sau: A ab/c B + C ab/c D = ( cách gọi số nhớ cách ALPHA A ) 1.2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA BIẾN Ta có cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp nút Ans VD1: Tính giá trị biểu thức: 20x2 -11x – 2006 a) x = 1; b) x = -2; c) x = −1 ; 0,12345 d) x = 1,23456 ; Cách làm: Gán vào ô nhớ X: Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết là -1 997) Levanbinh -9– (10) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là -1 904) 1995 Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) Ta có thể sử dụng phím Ans: = 20Ans2 – 11Ans – 2006 = VD2: Tính giá trị biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y a/ x = 2; y = -3 b/ x = −3 ; y tại: 3 y = -2 Cách làm: Gán vào ô nhớ X: Gán -3 vào ô nhớ Y: (Ghi kết là - ) Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X: # ; d) -2006,899966) c/ x = 2+ 2,35 2,69 y= Nhập biểu thức đã cho vào máy # Dùng phím để tìm lại biểu thức, ấn để nhận kết (Ghi kết là 25,12975279) Làm tương tự với trường hợp c) (Ghi kết là -2,736023521) 3x5 2x 3x2 x 4x3 x2 3x x = 1,8165 Bài tập: 1/ Tính (Kq: 1.498465582) 3x5 2x 3x2 x A 4x3 x2 3x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 2/ Tính A 3/ a Tính x 5x 3x x x = 1,35627 b Tính P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357 x = 2,18567 4/ æ x æ x + 9ö ÷ ç3 x + ÷ ç T(x) = ç + ÷: ç ç ç ÷ ç3 + x çx - x - xø è è ö ÷ ÷ ÷ x÷ ø 2007 Tính T( 231007) ; T( 2008) 2007 Kq: T( 231007) 1,194910171 T( 2008) = - 0,50063173 1.3 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ Phương pháp: Tính từ lên tính từ trên xuống a0 a1 .an a an dạng b Dạng toán này Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số gọi là tính giá trị liên phân số Với trợ giúp máy tính ta có thể tính cách nhanh chóng dạng biểu diễn liên phân số đó Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) b/ c b/ c Ans a0 ab/ c Ans Ấn an a an an a Ví dụ: Viết A phân số thường và số thập phân A 3 2 2 2 2 Giải: Levanbinh - 10 – (11) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Cách 1: tính từ lên 1 Ấn: x X x X x X x X x X a b / c shift d / c Ấn tiếp: Cách 2: Tính từ trên xuống 233 1761 KQ: A= 4,6099644= 382 382 Nhập: ( (2 (4 (2 (5 (2 (4 (2 3)))))))) BIỂU DIỄN PHÂN SỐ RA LIÊN PHÂN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) là công cụ toán học hữu hiệu các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó Bài toán: Cho a, b (a > b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số b a a0 a0 b b b a b0 b có thể viết dạng: Vì b0 là phần dư a chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân số b b a1 a1 b0 b0 b0 b1 b a a0 a0 b b a1 1 .an an Cứ tiếp tục quá trình này kết thúc sau n bước và ta được: Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có a ,a , ,a n biểu diễn dạng liên phân số, nó viết gọn Số vô tỉ có thể biểu diễn dạng liên phân số vô hạn cách xấp xỉ nó dạng gần đúng các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số 329 A 1051 5 Ví dụ : Tính a) 15 B 17 1 a b b) 329 1 1 1 1051 1051 64 3 3 1 329 329 5 5 5 64 64 7 9 Giải: Vậy a= 7; b= Cách ấn máy : Levanbinh - 11 – a b (12) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT 1051 và ấn Ghi vào màn hình: 329 1 ấn tiếp x (máy 64 ấn tiếp (máy 64 ấn tiếp x 329) 329) 1 (máy ấn tiếp (máy 9 64) 64) 1 ấn tiếp x (máy b) KQ: a= 7; b=2 9) KQ: a=7; b=9 Bài tập: B 7 3 3 3 1/ Biểu diễn B phân số 15 17 4 5 1 2 1 3 3 4 98 Kq : 157 3 C= (a = 7; b = 2) 1 4/ Tính b 5 3/ Biểu diễn M phân số: a 2/ Tính a, b biết (a, b nguyên dương) M 43 1037 B 7 142 142 1 1 12246 5 2107 Kq: 101 4,208(3) 24 1 4 3 8 a b 5/ Tìm các số tự nhiên a, b cho (a = ; b = 7) x x 4 1 1 4 1 2 3 12556 1 x 3 2 1459 ) 6/Giải phương trình ( 12585 20052006 a) b) a 1354 2007 10 b 1 a c b d 7/ Tìm a, b,c,d biết : Kq: a) a = 11 ;b = 12; b) a = 9991 ; b = 29 ; c = 11 ; d = Levanbinh - 12 – (13) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT 2 x 1 2 5 1 8/ Tìm x biết : 1389159 1,106910186 (x = 1254988 ) 2 4 1 3 DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước thực giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dạng chính tắc để đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn Ví dụ Dạng chính tắc phương trình bậc có dạng: ax2 + bx + c = Dạng chính tắc phương trình bậc có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = Dạng chính tắc hệ phương trình bậc có dạng: a1x b1y c1 a2 x b2 y c2 a1x b1y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 Dạng chính tắc hệ phương trình bậc có dạng: Dạng 3.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) 3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) MODE MODE 85432 ( ) 321458 ( ) 45971 x1 = 2.308233881 x2 = -0.574671173 Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn trên máy góc trái màn hình máy R I thì nghiệm đó là nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm này chưa học đó không trìn bày nghiệm này bài giải Nếu có nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, hai nghiệm là nghiệm phức coi phương trình đó là vô nghiệm 3.1.2: Giải theo công thức nghiệm Tính b 4ac + Nếu > thì phương trình có hai nghiệm: b 2a b 2a x1,2 x1,2 + Nếu = thì phương trình có nghiệm kép: + Nếu < thì phương trình vô nghiệm Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) ( ) 542 x2 2 354 ( ( ) 141 ) SHIFT STO A (27,197892) Levanbinh - 13 – (14) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT ( 542 ALPHA A ) 2 2 354 ( 542 ALPHA A ) 2 2 354 (x1 = 1,528193632) (x2 = - 0,873138407) Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải Hạn chế không nên tính trước tính các nghiệm x1, x2 vì dẫn đến sai số xuất biến nhớ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm lớn Dạng toán này thường ít xuất trực tiếp các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực đa thức, … Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể dạng này Dạng 3.2 Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a≠0) 3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất các nghiệm gần đúng với chữ số thập phân phương trình x3 – 5x + = Giải -Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím MODE MODE 0 ( ) 1 (x1 = 2, 128419064) (x2 = -2, 33005874) (x3 = 0, 201639675) Chú ý: Khi giải chương trình cài sẵn trên máy góc trái màn hình máy R I thì nghiệm đó là nghiệm phức, chương trình Trung học sở nghiệm này chưa học đó không trìn bày nghiệm này bài giải 3.2.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc thành tích phương trình bậc và bậc nhất, đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết Chú ý: Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn máy tính để giải Dạng 3.3 Giải hệ phương trình bậc ẩn Ấn MODE MODE nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím giá trị ghi vào nhớ máy tính Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998) 83249x 16751y 108249 x Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình 16751x 83249y 41715 thì y (chọn đáp số) A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 Giải – Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím 83249 16751 108249 16751 83249 41751 (1, 25) = (0, 25) Ấn tiếp: MODE 1 25 a Vậy đáp số E là đúng Levanbinh b/ c 25 (5) - 14 – MODE MODE (15) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm vô định thì máy tính báo lỗi Math ERROR Dạng 3.4 Giải hệ phương trình ba ẩn Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn MODE MODE nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau lần nhập hệ số ấn phím giá trị ghi vào nhớ máy tính 3x y 2z 30 2x 3y z 30 x 2y 3z 30 Ví dụ: Giải hệ phương trình Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) MODE MODE 3 1 2 30 2 3 1 30 1 2 3 30 (x = 5) (y = 5) (z = 5) Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta x + y + z = 15 suy x = y = z = Nhận xét: Dạng toán là dạng bài dễ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính Do đó các kỳ thi dạng toán này ít chúng thường xuất dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là số lẻ Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các phương trình: 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 1.3 x3 + x2 – 2x – =0 1.4 4x3 – 3x + = Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1,372x 4,915y 3,123 2.1 (Sở GD Đồng Nai, 1998) 8,368x 5,214y 7,318 13,241x 17,436y 25,168 2.2 (Sở GD Hà Nội, 1996) 23,897x 19,372y 103,618 1,341x 4,216y 3,147 2.3 (Sở GD Cần Thơ, 2002) 8,616x 4,224y 7,121 2x 5y 13z 1000 3x 9y 3z 0 5x 6y 8z 600 2.4 DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC Dạng 2.1 Tính giá trị đa thức Bài toán: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) n n Viết P(x) a0 x a1x an dạng P(x) ( (a0 x a1 )x a2 )x )x an Vậy P(x ) ( (a0 x a1 )x a2 )x )x an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: bk-1 ALPHA M + ak Levanbinh - 15 – (16) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính A 3x 2x 3x x 4x3 x 3x x = 1,8165 Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans An phím: 8165 ( Ans ^ Ans ^ Ans x Ans ) ( Ans ^ Ans x Ans ) Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ X An phím: 8165 SHIFT STO X ( ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X x ALPHA X ) ( ALPHA X ^ ALPHA X x ALPHA X ) Kết quả: 1.498465582 Nhận xét: Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 và fx500A, còn máy fx-500 MS và fx-570 MS nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể các giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? đó khai báo các giá trị biến x ấn phím là xong Để có thể kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x vào biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị 3x5 2x 3x2 x 4x3 x 3x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Ví dụ: Tính Khi đó ta cần gán giá trị x = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678 SHIFT STO X A Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím là xong Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm đến điểm bài thi Khả tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu là kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Bài tập Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a Tính x 5x 3x x x = 1,35627 b Tính P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357 x = 2,18567 Dạng 2.2 Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn P(x)=Q(x)(ax+b) + r, đó r là số (không chứa biến x) Thế x b b a ta P( a ) = r b Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( a ), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1 x14 x9 x5 x x x 723 x 1,624 Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P= Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: 624 SHIFT STO X Levanbinh - 16 – (17) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT ALPHA X ^ 14 ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X ^ ALPHA X 723 Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319 x 2,318 P Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho x P(x) cho x – và x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? x 5x 4x 3x 50 Tìm phần dư r1, r2 chia Dạng 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn b a ) Như bài toán trở dạng toán P(x) chia hết cho x – a thì m + r = hay m = -r = - P( 2.1 Ví dụ: Xác định tham số 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x 7x 2x 13x a chia hết cho x+6 a ( 6)4 7( 6)3 13 Số dư - Giải Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: ( ) SHIFT STO X ( ) ( ALPHA X ^ ALPHA X x ALPHA X x ) 13 ALPHA X Kết quả: a = -222 1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x + 17x – 625 Tính a để P(x) + a chia hết cho x + 3? Giải – 3 17 625 3 17 3 625 => a = Số dư a2 = - Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) ( ) ( ( ( ) ) x3 17 ( ( ) ) 625 ) Kết quả: a = 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x + 17x – 625 = (3x – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298 Dạng 2.4 Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương là đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(xc) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có công thức truy hồi Horner: b = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát Ví dụ: Tìm thương và số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Levanbinh - 17 – (18) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT ( ) SHIFT STO M ALPHA M (-5) ALPHA M (23) ALPHA M ( ) (-118) ALPHA M (590) ALPHA M (-2950) ALPHA M (14751) ALPHA M ( ) (-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 Dạng 2.5 Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r 0+r1(xc)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x – 3x + x – = + 28(x-3) + 27(x-3) + 9(x-3)3 + (x-3)4 Dạng 2.6 Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương đa thức Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri với i = 0, 1, …, n thì nghiệm thực P(x) không lớn c Ví dụ: Cận trên các nghiệm dương đa thức x – 3x3 + x – là c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259) Nhận xét: Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán (chưa thấy xuất các kỳ thi) dựa vào dạng toán này có thể giải các dạng toán khác phân tích đa thức thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, … Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano quá phức tạp Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng cách khéo léo hợp lí các bài làm Bài tập tổng hợp Bài 1: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + b Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107 Tính P(12)? Bài 2: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) = N + 51 Tính N? Bài 3: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 Bài 4: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) Levanbinh - 18 – (19) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 5: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương là đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? Dạng 2.7.Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm là x 1, x2 thì nó viết dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)” p “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ q thì p là ước a0, q là ước a0” Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+ + a1x + a0 có a1 = thì nghiệm hữu tỷ là ước a0” Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a) Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc hai cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 2; x2 = -3 Khi đó ta viết được: x2 + x – = (x – 2)(x + 3) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1 Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử? Dùng chức giải phương trình bậc cài sẵn máy để tìm nghiệm f(x) ta thấy có nghiệm thực là x1 = Nên ta biết đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2) Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có: Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x – 2) Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5) Tam thức bậc hai x2 - 3x + vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5) Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử? Nhận xét: Nghiệm nguyên đa thức đã cho là Ư(60) Ta có Ư(60) = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức: Do ta biết x = -3 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x - 3) Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20) * Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20 Nghiệm nguyên là ước 20 Dùng máy ta tìm Ư(20) = { 1; 2; 4; 5; 10; 20} Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm đa thức g(x): Do ta biết x = -5 là nghiệm đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5) Khi đó bài toán trớ tìm thương phép chia đa thức f(x) cho (x+5) Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4) Levanbinh - 19 – (20) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Tiếp tục dùng chức giải phương trình bậc để tìm nghiệm nguyên h(x) = x3 - 3x2 + 6x Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4) Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4) III/ TRÁNH NHỮNG SAI SÓT TRONG QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG MTBT ĐỂ GIẢI TOÁN: 1/những sai sót chức hiển thị kết : Với máy tính FX-500MS màn hình hiển thị gồm dòng, dòng trên hiển thị biểu thức nhập vào từ phím, dòng hiển thị kết phép toán -Khả nhập tối đa 79 ký tự, liệu là số thực, số phức màn hình nhập hiển thị và cách nhập gần giống cách viết thông thường trên giấy - khả hiển thị kết không quá 10 chữ số, các chữ số của kết vượt quá 10 chữ số thì kết hiển thị dạng khoa học làm tròn a) Kết là số thập phân vượt quá 10 chữ số máy tính hiển thị kết sau làm tròn : Khi kết phép tính là số thập phận vượt quá 10 chữ số( tổng các chữ số phần nguyên và phần thập phân) thì máy tính cát bớt chữ số thập phân và làm tròn chữ số thập phân thứ 11 theo quy tắc Ví dụ : số 1:23 có là số thập phân vô hạn tuần hoàn(TPVHTH) không? Nếu là số TPVHTH hãy xác định chu kỳ số đó + Thực hành trên máy : 1:23 = cho kết là : 0.04347826 và học sinh thản nhiên kết luận số trên không phải số TPVHTH điều đó ta không hiểu tính máy tính thì ta dễ dàng thừa nhận kết trên + Nhưng thực tế không phải mà số 1:23 là số TPVHTH là: 1: 23 = (0434782608695652173913) thật bất ngờ * Nguyên nhân : Do chức hiển thị máy tính, thì ký tự thứ 11 máy tính không hiển thị nó cắt và làm tròn theo quy tắc * Cách khác phục : Khi có kết phép toán là số TP đủ 10 chữ số ta cần kiểm tra lại, tính toán thử trên giấy, và khả kết trên là gần đúng “»” b) Kết đúng là phân số máy tính hiển thị số TP 2005 Ví dụ : tính : + 2006 + Thực hành trên máy : + 20005┘2006 = thì kết hiển thị là : 1.999950015 4011 thực hành trên giấy ta dễ có kết là : 2006 * Nguyên nhân: Do chức hiển thị máy tính thì tổng ký tự tử và mẫu vượt quá 10 ký tự phân số thì máy tự động thực phép chia, sau đó hiển thị kết là số TP * Cách khác phục : Khi xảy tượng trên ta cần xác định kết đó là gần đúng “»”, muốn có kết đúng ta cần kiểm tra lại, tính toán trên giấy c) Kết là số nguyên vượt quá 10 chữ số máy tính hiển thị dạng khoa học ax10n sau làm tròn Ví dụ : giải phương trình : x - 11111111110x – 11111111111 = ( ) + Thực hành trên máy tính : MODE MODE ► Nhập hệ số: a? = ; b? -11111111110 = ; c? -11111111111 = Kết : x1 = 1.111111111x1010 ; x2 = -0.995 Nhưng tính trên giấy ta có : a - b + c = đó x1 = -1 ; x2= 111111111111 Levanbinh - 20 – (21) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT * Nguyên nhân : Do chức hiển thị máy tính thì tổng ký tự nhập vào hệ số vượt quá 10 chữ số thì máy tính bị tràn nhớ đó kết sai, máy tính hiển thị kết là số dạng khoa học * Cách khác phục : Khi xảy tượng trên ta cần xác định kết đó là sai, muốn có kết đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán trên giấy d) Kết đúng là số vô tỉ máy tính hiển thị kết là số TP Ví dụ : thực phép tính : +2006 – + Thực hành trên máy tính : (4 ) +2006 – (5 ) = thì kết hiển thị là : 2004.585786 Nhưng thực tế phép toán trên ta nhẩm kết là 2006- * Nguyên nhân : Do chức hiển thị máy tính gần cách viết thông thường Riêng kết là biểu thức chứa dấu thì các nhà sản xuất chưa thể đây là nhược điểm hệ máy tính này Song bán máy thì các nhà sản xuất không thông báo cho khách hàng, gặp bài toán trên máy tính hiển thị kết là số TP * Cách khác phục : Khi xảy tượng trên ta cần xác định kết đó là gần đúng "»”, muốn có kết đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán trên giấy e)Kết nghiệm hệ PT hay phương trình trên tập số phức học sinh công nhận nghiệm đó trên số thực Ví dụ : Giải phương trình : x + 2x + 2006 = + Thực hành trên máy tính : MODE MODE ► + Nhập hệ số : a? = ; b? = ; c? 2006 = thì kết hiển thị là : x1 = -1 ; x2 = -1 Nhưng thực tế giải phương trình trên công thức nghiệm ta có phương trình vô nghiệm * Nguyên nhân : Do chức xử lý máy tính là giải toán trên trường số phức Do đó phương trình trên vô nghiệm trên trường số R có nghiệm trên trường số phức Học sinh không hiểu ký hiệu R- l trên góc trên bên phải màn hình máy tính là thông báo cho biết kết trên máy trường số phức * Cách khác phục : Khi xảy tượng trên ta cần xác định kết đó là sai trên trường số thực, muốn có kết đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành giải phương trình trên công thức nghiệm 2/ Những sai sót kết thứ tự ưu tiên các phép toán gây : Nhà sản xuất máy tính FX-500MS đã thiết kế cho máy tính phép toán với mức độ ưu tiên các phép toán quy tắc ưu tiên toán học Nhưng thực tế máy FX500MS có thêm tính mức độ ưu tiên chúng ta không nghiên cứu thực hành giải toán cho kết sai, mặc dù chúng ta nhập đúng biểu thức và giá trị biểu thức đó và máy tính không báo lỗi Người sử nhận kết sai mà chắn là kết đúng a) Phép nhân không dấu ưu tiên phép nhân có dấu : Nếu ta không biết tính này thì thực hành trên máy dễ nhận kết sai mà không hay biết.Ví dụ : thực phép tính: : x(5-3) + Thực hành trên máy: Cách ; 3┘4(5-3) = cho kết là : 0.375 hay 3┘8 (phép toán không có dấu x trước ngoặc đơn) và học sinh thản nhiên công nhận kết trên Cách : 3┘4x(5-3) = cho kết là : 1.5 hay 3┘2 (phép toán có dấu x trước ngoặc đơn) lần học sinh lại vô tư nhận lấy kết Thật bế tắc cho giáo viên để khảng định kết đúng, ta không nắm vứng tính máy tính * Nguyên nhân : Do tính máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên phép toán nhân không có dấu ưu tiên phép nhân có dấu Levanbinh - 21 – (22) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT * Cách khác phục : Khi có kết phép toán kết cách là sai, kết đúng cách , Giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính này, và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định Nhập lại biểu thức trên máy và kiểm tra lại trên giấy b) Phân số thực tối giản trước, trước thực các phép toán khác : Nếu ta không biết tính này thì thực hành trên máy dễ nhận kết sai mà không hay biết Ví dụ : thực phép tính : A= ( 18 )/2 + Thực hành trên máy : Cách 1: 18 ┘2 = cho kết là : A = (phân số thực tối giản trước khai ) và học sinh thản nhiên công nhận kết trên + Cách : ( 18 )┘2 = cho kết là : A = 2.121320344 (phân số tối giản sau khai căn) lần học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả.Thật bế tắc cho giáo viên để khảng định kết đúng, ta không nắm vứng tính này máy tính *Nguyên nhân : Do tính máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên tối giản phân số trước thực các phép toán khác biểu thức tính * Cách khác phục : Khi có kết phép toán kết cách là sai, kết đúng cách 2, giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính này và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định Nhập lại biểu thức trên máy tử và mẫu có biểu thức phức tạp tốt ta nên cho các biểu thức tử hay mẫu vào ngoặc, sau đó kiểm tra lại trên giấy Phần III: KẾT LUẬN 1.Khái Quát Cục Bộ : Qua thực tế dạy – học sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắm vững chu trình tổng quát : Levanbinh - 22 – (23) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Muốn đạt kết cao giải các bài toán đa thức MTCT chúng ta cần nắm vững số vấn đề: 1.Tính các phím, chủng loại máy, 2.Dạng bài, kiểu bài, … định hướng 3.Các phép biến đổi, thuật toán,… Dãy lệnh cho máy 4.Trình bày bài làm(lộ trình bài tập yêu cầu viết qui trình kết quả) Đề tài: “Một số kinh nghiệm giải các bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp giải dạng toán đó Giúp cho học sinh tự tin việc giải các dạng bài tập đaị số và số học cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng tư và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu và khai thác hết chức MTCT Đối với khối đại trà thì 100% học sinh có MTCT sử dụng thành thạo và giải hầu hết các bài toán liên quan Điều này đã kích thích lòng ham mê môn học và dẫn đến các em yêu quý môn học Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện: 1.Nguyễn Như Thanh Trâm (lớp 9A6 ) Trịnh Thị Thanh Lài (lớp 9A3) Hai học sinh vào đội tuyển cấp huyện tham gia kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh: Lợi Ích Và Khả Năng Vận Dụng: - Giáo viên định hướng cách giải các bài tập đa thức MTCT - Có tài liệu việc giải toán MTCT đan xen các tiết dạy chính khoá và sử dụng các buổi sinh hoạt ngoại khoá giải toán trên MTCT - Học sinh nắm phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu MTCT việc giải toán Kết hợp tư và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu phát triển CNTT Đề Xuất Kiến Nghị: - Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao chất lượng các kì thi - Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc giảng dạy - Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT dạy học Với kinh nghiệm còn ít mặc dù đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu không tránh thiếu sót Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào quá trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn thiện đề tài tốt / NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO: – SGK toán 6, ,8, tập – SGK toán 6, 7, 8, tập – Tạp chí toán tuổi thơ – Hướng dẫn hoạt động ngoại khoá Toán MTBT Số 8685/ THPT ngày 15/09/1999 Bộ GD & ĐT – Giải toán trên MTĐT - Nguyễn Trường Chấng – Giải toán trên MTĐT - Tạ Quang Phượng – Bộ đề thi HSG “ Giải toán trên máy tính Casio” – Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính casio.( Nhà xuất GD) – Đề kiểm tra HSG – Giải toán trên máy tính casio các tỉnh, thành phố.(Từ năm 1998 đến nay) Levanbinh - 23 – (24) SKKN Giải số bài toán số học và đại số bậc THCS MTCT Phước Hòa, ngày 21 tháng 11 năm 2010 Người viết Lê Văn Bính Levanbinh - 24 – (25)