- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một tron
Trang 1-PHAÀN I ẹAậT VAÁN ẹEÀ
I Lý do chọn đề tài:
- Trong thụứi ủieồm hieọn nay, chuựng ta ủang noó lửùc xaõy dửùng vaứ ủaồy maùnh coõng nghieọp hoựa vaứ hieọn ủaùi hoựa ủaỏt nửụực nhaốm tieỏn tụựi moọt xaừ hoọi vaờn minh hieọn ủaùi Muoỏn vaọy con ngửụứi phaỷi coự tri thửực Chớnh vỡ vaọy ẹaỷng ta ủaừ xaực ủũnh giaựo duùc laứ quoỏc saựch haứng ủaàu Trong nhửừng naờm gaàn ủaõy, ẹaỷng vaứ nhaứ nửụực ta luoõn quan taõm ủeỏn giaựo duùc, tửứng bửụực coự nhửừng caỷi caựch giaựo duùc tửứ baọc maàm non ủeỏn ủaùi hoùc vaứ sau ủaùi hoùc nhaốm ủửa neàn giaựo duùc nửụực nhaứ phaựt trieồn ngang taàm khu vửùc Trong chửụng trỡnh giaựo duùc trung hoùc phoồ thoõng,moõn toaựn laứ moõn hoùc quan troùng, laứ thaứnh phaàn khoõng theồ thieỏu cuỷa neàn vaờn hoựa phoồ thoõng cuỷa con ngửụứi mụựi Moõn toaựn coự tieàm naờng coự theồ khai thaực goựp phaàn phaựt trieồn naờng lửùc trớ tueọ chung, reứn luyeọn vaứ phaựt trieồn caực thao taực tử duy vaứ caực phaồm chaỏt tử duy
Trong quaự trỡnh giaỷi toaựn ụỷ nhaứ trửụứng cuừng nhử trong caực kyứ thi hoùc sinh sinh gioỷi caực caỏp, chuyeõn ủeà veà baỏt ủaỳng thửực laứ moọt chuyeõn ủeà hay vaứ lyự thuự chớnh vỡ vaọy maứ noự thửụứng xuyeõn coự maởt trong caực kyứ thi choùn hoùc sinh gioỷi caực caỏp ủaởc bieọt laứ caỏp THCS vaứ kyứ thi vaứo lụựp 10
Trong chuyeõn ủeà veà baỏt ủaỳng thửực thỡ vieọc sửỷ duùng caực baỏt ủaỳng thửực cụ baỷn ủeồ giaỷi caực loaùi toaựn vaứ baứi toaựn khaực laứ khaự hieọu quaỷ thoõng qua ủoự maứ lụứi giaỷi ủửụùc ủụn giaỷn hụn, thu ủửụùc keỏt quaỷ nhanh choựng Baỏt ủaỳng thửực Bunhiacopski laứ moọt baỏt ủaỳng thửực kinh ủieồn nhử vaọy Vỡ vaọy neỏu khai thaực baỏt ủaỳng thửực naứy vaứo vieọc giaỷi caực baứi toaựn khaực thỡ coự theồ ủem laùi keỏt qua nhieàu maởt, kớch thớch tớnh saựng taùo cuỷa hoùc sinh.Vụựi yự nghú nhử vaọy toõi giụựi thieọu vieọc sửỷ duùng baỏt ủaỳng thửực bunhiacopxki vaứo giaỷi moọt soỏ baứi toaựn nhử : chửựng minh caực baỏt ủaỳng thửực ủaùi soỏ
Trang 2- Xuất phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đứng trước một bài toán có rất nhiều phương pháp giải khác nhau song một trong những phương pháp giải tương đối có hiệu lực là việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải Học sinh được tiếp xúc rất nhiều về các phương pháp giải các bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học
II PHẠM VI ĐỀ TÀI
Tuy nội dung đề cập khá rộng và các bài toán dạng này cũng phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một số bài toán điển hình và sắp xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp
III ĐỐI TƯỢNG
Đề tài này được áp dụng cho học sinh khá giỏi THCS lớp 8-9
IV MỤC ĐÍCH
Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức.Qua đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thứcvà rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh
Trang 3-PHAÀN II NOÄI DUNG
I Cễ SễÛ LYÙ LUAÄN KHOA HOẽC
1 Cễ SễÛ LYÙ LUAÄN KHOA HOẽC
- Trong chửụng trỡnh giaựo duùc trung hoùc phoồ thoõng,moõn toaựn laứ moõn hoùc quan troùng, laứ thaứnh phaàn khoõng theồ thieỏu cuỷa neàn vaờn hoựa phoồ thoõng cuỷa con ngửụứi mụựi Moõn toaựn coự tieàm naờng coự theồ khai thaực goựp phaàn phaựt trieồn naờng lửùc trớ tueọ chung, reứn luyeọn vaứ phaựt trieồn caực thao taực tử duy vaứ caực phaồm chaỏt tử duy
Trong quaự trỡnh giaỷi toaựn ụỷ nhaứ trửụứng cuừng nhử trong caực kyứ thi hoùc sinh sinh gioỷi caực caỏp, chuyeõn ủeà veà baỏt ủaỳng thửực laứ moọt chuyeõn ủeà hay vaứ lyự thuự chớnh vỡ vaọy maứ noự thửụứng xuyeõn coự maởt trong caực kyứ thi choùn hoùc sinh gioỷi caực caỏp, ủaởc bieọt laứ caỏp THCS vaứ kyứ thi vaứo lụựp 10
- ẹửựng trửụực moọt baứi toaựn coự theồ coự nhieàu caựch giaỷi khaực nhau song vieọc tỡm ra moọt lụứi giaỷi hụùp lyự, ngaộn goùn, thuự vũ vaứ ủoọc ủaựo laứ moọt vieọc khoõng deó thoõng qua ủoự maứ thu ủửụùc keỏt quaỷ nhanh choựng Baỏt ủaỳng thửực Bunhiacopski laứ moọt baỏt ủaỳng thửực kinh ủieồn nhử vaọy Vỡ vaọy neỏu khai thaực baỏt ủaỳng thửực naứy vaứo vieọc giaỷi caực baứi toaựn khaực thỡ coự theồ ủem laùi keỏt quỷa nhieàu maởt, kớch thớch tớnh saựng taùo cuỷa hoùc sinh
2 ẹOÁI TệễẽNG PHUẽC VUẽ
ủeà taứi naứy duứng ủeồ giaỷng daùy cho caực hoùc sinh tham gia thi hoùc sinh gioỷi lụựp 8-9
3 NOÄI DUNG PHệễNG PHAÙP NGHIEÂN CệÙU
A áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh các bất đẳng thức
I Chửựng minh caực baỏt ủaỳng thửực ủaùi soỏ
Trang 4- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng Sau dây là
3 kỹ thuật thường gặp:
Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
Dồn phối hợp.
Kỹ thuật nghịch đảo.
1
Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại
Ví dụ 1: Cho a+b= 2 , a,b∈R
Chứng minh rằng:a4 +b4 ≥ 2
Lời giải:
Ta viết a4+b4= ( )( )
1 2 +1 2 2 2+( 2 ) 2
2
1 2
1
b a
Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
8
1 2
=
=
+
Ví dụ 2: cho a(a− 1 ) +b(b− 1 ) +c(c− 1 ) ≤34
Chứng minh rằng:− 1 ≤a+b+c≤ 4
Lờigiải:
Tư øgiả thiết ta có:
) (
) )(
1 1 1 ( 3
1 ) (
) 1 ( ) 1 ( )
1
(
3
c b a c b a c
b a c b a c
c b b a
≥
B.C.S
3
c b a c
b
≥
( + + )2 − 3 ( + + ) − 4 ≤ 0
0 ) 4 )(
1
Trang 5-4
−
Ví dụ 3: cho x,y ∈R Chứng minh rằng nếu x,y>0 và x+y=1 thì ( +1) 2 + ( +1) 2 ≥252
y
y x x
Lời giải:
Ta sử dụng (a+b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 )
2
)
2
2 b a b
⇔
Khi đó ta có:
2 2
2
2
1 ) 1 1
( 2
1 ) 1 (
)
1
(
xy y
y x
x y
y
x
x+ + + ≥ + + + = +
4
1 4
1 2
xy xy
xy xy
y
x
2
1 ) 1 ( )
1
( + 2 + + 2 ≥ + 2 =
y
y x
x
2 Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 3x2 + 4y2 ≥ 7
Lời giải:
Ta viết( 3x2 + 4y2 ){3 2 + ( − 2 ) 2}≥ ( 3x− 4y) 2 = 49
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý Chứng minh rằng
q p qb pa
c qa pc
b c
q
b
p
a
+
≥ +
+ +
+
+
3
.
Lời giải
) (
. a pb qc
qc
pb
a
+
=
) (
. b pc qa
qa
pc
b
+
=
) (
. c pa qb
qb
pa
c
+
=
Gọi S là vế trái ta có:
)
(a+b+c 2 ≤S a pb+qc +b pc+qa +c pa+qb =S p+q ab+bc+ca (2)
Trang 63
1
c b a ca bc
Vì (3)
2
2 2 2 2 2 2 2
) (
2 2 2 ) )(
( ) (
2 )
(
3
) (
) (
3
c b a
ca bc ab c
b a c b a ca bc ab ca bc ab ca bc ab
c b a ca bc ab
+ +
=
+ + + + + +
+
≤ + + + + +
= + +
+ +
≤ + +
⇔
3
1 ).
( ) (a+b+c ≤S p+q a+b+c
⇒
q
p
S
+
≥
Ví dụ 3:
Cho x≥y≥z> 0 Chứng minh rằng: 2 2 2 x2 y2 z2
y
x z x
z y z
y x
+ +
≥ +
Lời giải : Xét hai dãy số: x z y ,y x z ,z y x và x y z ,y z x ,z x y
Ta có:( 2 2 2 ).( 2 2 2 ) (x2 y2 z2 ) 2
x
y z z
x y y
z x y
x z x
z y z
y
x
+ +
≥ +
+ +
Xét hiệu
0 ) )(
)(
)(
(
1
(
1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2
2 2 2 2
2
≥ + +
−
−
−
=
−
−
− + +
=
−
−
− + +
=
zx yz xy x z z y
y
x
xyz
y z x y z x x z z y y x xyz x
y z z
x y y
z x y
x z x
z
y
z
y
x
A
x
y z z
x y y
z x y
x z x
z
y
z
y
x2 2 2 2 2 2
+ +
≥ + +
Từ (2), (3) suy ra đpcm
3
Kỹ thuật nghịch đảo
1
2 1
2 1
) (
) )(
=
=
=
i i n
i i
i n
i
y
x
Chứng minh:
=
=
≥
i
n i
i i
i i n
i
n
i n
i
i i
i n
i
y
x y y
x y
y
x y
1
2 1 2
2 2
2 2
1
2 1
) ( )) ( ( ) ( ) ( )(
(
Trang 72
2 2
2
>
∀ + +
≥ +
+ +
+
c b a b a
c a c
b c b
a
(1) Lời giải
b a
c a c
b c b
a b a a c c
+
+ +
+ + +
+ + + +
2 )
( 2
)
2 2
c b a
c b a b a
c a c
b
c
b
+ +
+ +
≥ +
+ +
+
+
⇒
Ví dụ 2 Chứng minh rằng
c b a c b a
c b a c
b
a
c
b
− +
+
− +
+
−
+
2 2
2
(1)
∀a,b,c là độ dài cạch của ∆ABC
Lời giải
[(b+c−a) + (c+a−b) + (a+b−c)][.VT( 1 )]≥ (a+b+c) 2
c b a
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
c b a c b a b a
c a
c
b
c
b
a
, , 2
2 2 2 3 3
3
∀ + +
≥ +
+
+
+
Lời giải:
2 )
1
(
2 2 2 4
4
cb ca
c ba bc
b ac
ab
+
+ +
+
+
⇔
Theo bất đẳng thức B.C.S :
[(ab+ac) + (ba+bc) + (ca+cb)][.VT( 1 )]≥ (a2 +b2 +c2 ) 2
Mặt khác ta có: a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca
2 )
( 2
) )(
(
)
1
(
2 2 2 2
2
ca bc ab
ca bc ab c b a
+ +
+ + +
+
≥
1 1
1
) ( ) )(
(∑= ∑= ≥ ∑=n
i i n
i i i n
i
i
y
x y
Chứng minh:
Trang 8-Theo bất đẳng thức B.C.S ta có:
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
≥
i i n
i n
i
i i n
i n
i
i
y
x y
x y
x y
x
VT
1 2 2
1 1
1
2 2
1
) (
)
( ) (
2
3
>
∀
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
Lời giải:
Ta viết {a(b+c) +b(c+a) +c(a+b)}{.VT( 1 )}≥ (a+b+c) 2 ≥ 3 (ab+bc+ca)
2
3 ) (
2
) (
3
= + +
+ +
≥
⇒
ca bc ab
ca bc ab
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
3
2 3 2 3
2 3
2 3
+ +
+ + +
+ + +
+
+
d b
a d
c a
d c
b d
c
b
a
Lời giải:
+ + +
3 2 ).
3 2
d c b
a d
c b
a
Ta sẽ chứng minh ∑ + + ≤ ( + + + ) 2
2
3 ) 3 2
a
0 ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) (
3 ) (
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
≥
− +
− +
− +
− +
−
⇔
+ + +
≤ + + + +
+
⇔
d c c b d a c a b
a
d c b a cd bd bc ad ac
ab
II Chứng minh các bất đẳng thức hình học
Cho ∆ABC có AB=c, AC=b, BC=a Chứng minh rằng
0 ) ( ) ( )
2b a−b +b c b−c +c a c−a ≥
Lời giải:
Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0
Sao cho a=x+z
b=z+x c=x+y
0 ) )(
( ) ( ) )(
( ) ( ) )(
( )
(
)
1
≥ + +
− +
+
⇔
≥
− + +
+
− + +
+
− + +
x A
C B
z x
y y
z
Trang 9-z y x z
x
y
z
x
y
+ +
≥
+
2
Theo bất đẳng thức B.C.S ( )( 2 2 2) (x y z) 2
z
x y
z x
y z y
x+ + + + ≥ + +
z y x z
x
y
z
x
y
+ +
≥ +
+
Ví dụ 2: ∆ABC có AB=c, AC=b, BC=a p là nửa chu vi Chứng minh rằng
) (
35
36 2
2
2
2
p
abc p c
b
Lời giải
+ + + + +
≥ + +
⇔
c b
abc c
b a c
b
a
2
2 2
) (
35
36 (
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2
(
35 a +b +c ≥ a+b+c
Theo CôSi: a2 + b2 + c2 ≥ 33 a2b2c2
3
3 abc
c
b
a+ + ≥
c b a
abc c
b
a
+ +
≥ +
+
⇒ 8 ( 2 2 2 ) 72 (3)
Từ (2)và (3) suy ra ĐPCM (dấu bằng xẩy ra khi ∆ABC đều)
Ví dụ 3:
Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của ∆ABC tại M,N,P Chứng minh rằng: S(MNP)≤S4
(S- Diện tích tam giác)
Lời giải:
Đặt S(ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3
Ta phải chứng minh: 1+ 2 + 3 ≥43
S
S S S
(1)
2 2
2 2
) (
) ( ) (
)
(
p ca bc ab ab
c p ca
b p
bc
a
p
≥ + +
A
M
Trang 10-4
3 ) (
4
) (
)
1
(
2
≥ + +
+ +
≥
⇒
ca bc ab
c b a VT
4
3 3
2
S
S
S
S
( ) 41
≤
⇒
S
S MNP
(Daỏu “=” xaồy ra khi ∆ABC ủeàu)
B
Sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPSKI để giảng các bài toán cực trị đại số :
Sửỷ duùng keỏt quaỷ:
a Neỏu a1x1 +a2x2 + +a n x n =C , C laứ haống soỏ thỡ
2 2
2
2 1
2 2
2
2
2
1
)
(
n n
a a
a
C x
x
x
Min
+ +
+
= + +
+
Daỏu “=” xaồy ra khi
n
n x
a x
a x
a
=
=
= 2
2 1 1
b Neỏu x +x2 + +x n2 =C2 −Const
2
2
2 2
2 2 1 2
2
1
1 ) |
Daỏu “=”xaồy ra khi 0
2
2 1
n
n x
a x
a x a
Vớ duù 1: Cho x2 +y2 = 1 tỡm Max(x 1 +y +y 1 +x)
Lụứi giaỷi:
2 2 2 ) )(
1
1
(
2 )
1 ( ) 1 ( (
1 1
.
2 2 2
2
2 2
2 2
+
≤ + + +
≤
+ +
= + + + +
≤ + +
+
=
y x
y x x
y y
x x y y
x
A
2
2 2
2 + ⇔ = =
=
Vớ duù 2: Cho 36x2 + 16y2 = 9 Tỡm Max, Min cuỷa A=(y-2x+5)
Lụứi giaỷi:
Theo baỏt ủaỳng thửực Bunhiacopski ta coự:
4
1 ( ) 3
1 ( 16
+
4
5 2 4
5 )
2
(
16
25 5 2
Trang 11-) 20
9 , 5
2 ( 4
25 ) 5 2
(y− x+ = ⇔ x= − y=
Max
) 20
9 , 5
2 ( 4
15 ) 5
2
Min
Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x4+y4+z4
Lời giải:
Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 ≤(x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2)
Suy ra: (x2+y2+z2)2 ≥ 42
16 ) )(
1
1
1
( 2 + 2 + 2 4 + 4 + 4 ≥
3
16
4
4
4 +y +z ≥
x
3
2 3
MinA
Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z≥ − 1 và x+y+z=1 Tìm MaxA biết
z y
x
Lời giải: Theo B.C.S ta có
3 2 4 3 ) 1 1 1 )(
1 1 1 ( 1
1
1 + + + + + ≤ 2 + 2 + 2 + + + + + = =
A
3
1 3
=
Ví dụ 5: cho
≥ +
= +
= +
20 25
16 2 2
2 2
yv xu
v u
y x
Tìm Max (x+v)
Lời giải: Aùp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
20 25 20 ) )(
(
20 ≤xu+yv≤ x2 +y2 u2 +v2 = =
yu xv v
y u
x yv
Mặt khác 41 = (x2 +y2 ) + (u2 +v2 ) = (x2 +v2 ) + (y2 +u2 ) ≥x2 +v2 + 2yu=x2 +v2 + 2xv= (x+v) 2
41
=
+
Trang 12-
= +
=
= +
= +
⇔
=
+
20
25
16 41
)
(
2 2
2 2
yv xu
y u
v u
y x v
x
+
=
⇒
= +
⇔
v x u v
x y
41
20
=
y , x= 1641, z = 2541
Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để
x
y y
x x
y y
x x
y
y
x
A= 44 + 44 − 22 − 22 + + đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải:
Đặt = + ⇒t≥ 2
x
y
y
x
t
2 2
2
2
2
2
−
=
+
x
y
y
x
4 4 4
4
+
−
=
x
y y x
[( 2 ) 2] ( 2 ) ( 2 )( 3 ) 2 4
=
Do t≥ 2 ⇒t2 ≥ 4 ,t2 − 3 ≥ 1
2 4 )
2 ( ) 2 (
2 ⇒ 2 − + − = 2 + − ≥
≥
y x MinA= ⇔ =
C Một số bài tập áp dụng
1 Cho ∆ABC (a,b,c) Chứng minh:
c b a c b a
c b
a c
b a
c
b
− +
+
− +
+
−
+
2 Cho a,b,c,d >0 Chứng minh rằng:
2
≥ +
+ +
+
+
+
d a d
c d
c
b
c
b
a
3 Cho ∆ABC (a,b,c) Chứng minh rằng:
p c p b p a
p
4 Cho ∆ABC nhọn H là trực tâm Chứng minh(AH +BH +CH) 2 <a2 +b2 +c2
− +
+
− +
+
−
c b c a
b a c b a
Trang 13-6 Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a, A=x2+y2
b, B=2x2+5y2
7 Cho x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2 =1 Tìm Max = x+2y+3z
Cho a+b+c=1 và vế trái có nghĩa Chứng minh
21 1 4 1 4
1
4a+ + b+ + c+ ≤
8 Có tồn tại hay không 3 số: a≥1, b≥1, c≥1 thỏa mãn điều kiện:
) 1 ( 1 1
a
9 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a, A=x2+y2+z2
b, B=x4+y4+z4
10 Cho: a, b,c ≥ 43 và a+b+c=3 Chứng minh: 4a+ 3 + 4b+ 3 + 4c+ 3 ≤ 3 7
11 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x,y,z) =xy+yz+zx−mxyz
Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+y+z=1
12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:f(x,y)=2 x+ y
Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0, x3 +y3 ≤ 1
4 KẾT QỦA
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 8-9 vòng huyện và vòng tỉnh Trong quá trình học đềø tài này, học sinh thực sự thấy tự tin khi gặp các bài toán về bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn
Trang 14-nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu
5 GIẢI PHÁP MỚI
- Bài toán nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Do đó học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan
II THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
1 QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG
- Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được mộït số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải
2 HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học tự nghiên cứu
3 BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là: trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản vận dụng linh hoạt các kiến thức này Từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp ly ùvới các đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh
Trang 15-Chuyên đề này chủ yếu đưa ra các bài tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng bài tập khác nhau để phát triển tư duy học sinh
4 KIẾN NGHỊ
- Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên các lớp chuyên đề, các cuộc hội thảo chuyên đề để giáo viên các trừờng có thể trao đổi, bàn luận nhất là vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng về giáo dục của huyện nhà so vối các huyện thị khác trong tỉnh
PHẦN C KẾT LUẬN
- Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong hàng chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vân dụng linh hoạt cáckiến thưc cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu
Tuy nội dung đề cập khá rộng song trong khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết cũng chỉ chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình
- Rất mong sựï đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn