Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách [r]
(1)TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết ) TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Thuộc các nguyên hàm : a/ sin ax+b dx cos ax+b a c/ cos ax+b dx sin ax+b dx ln c os ax+b cos ax+b b/ sin ax+b a d/ cos ax+b dx ln sin ax+b sin ax+b Đối với : I f ( x)dx a/ Nếu f(x)= R sin m x; cos n x thì ta chú ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m,n lẻ thì : đặt cosx=t sinx =t ( gọi tắt lẻ sin lẻ cos ) - Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi Nói chung để tính tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thục - Có kỹ khéo léo nhận dạng cách biến đỏi đưa dạng đã biết nguyên hàm II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính các tích phân sau : a (ĐH, CĐ Khối A – 2005) I sin 2x sin x cos x dx b ĐH, CĐ Khối B – 2005 sin 2x cos x dx cos x I KQ: ln Giải cos x 1 s inx dx sin x sin x dx a I 3cos x 3cos x 0 1 t2 1 cosx= ;s inxdx=- tdt Đặt : t 3cos x x t 2; x t 2 t 1 1 2 tdt 2t dt t t 34 Khi đó : I 1 t 27 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (2) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x cos x 2sin x cos x cos x dx dx s inxdx cos x cos x c osx+1 0 2 b I 1 dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= t Đặt : t cosx f ( x)dx t 1 dt t dt t t 2 1 Do đó : I f ( x)dx 2 t dt t 2t ln t ln t 1 2 Ví dụ Tính các tích phân sau sin 2x I a ĐH- CĐ Khối A – 2006 cos x 4sin x 2 dx KQ: cos 3x dx sin x b CĐ Bến Tre – 2005 I KQ: 3ln Giải sin 2x a I dx Đặt : t cos x 4sin x t cos x 4sin x cos x 4sin x 2tdt 2sin x cos x 8sin x cos x dx 3sin xdx sin xdx tdt Do đó : x t 1; x t 2 Vậy : I f ( x)dx 2 tdt 2 2 dt t 31 t 31 3 cos 3x dx sin x b I Ta có : cos3x=4cos3 x 3cos x cos x 3 cosx= 4-4sin x 3 cosx= 1-4sin x cosx 1 4sin x cosxdx cos3x Cho nên : f ( x)dx dx 1+sinx s inx dt=cosxdx,x=0 t=1;x= t 2 Đặt : t s inx 1 t 12 dt 4t dt f ( x)dx t t 2 Vậy : I f ( x)dx 4t dt 8t 2t 3ln t 3ln t Ví dụ Tính các tích phân sau Trang Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (3) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I I b CĐ Y Tế – 2006 sin x cos x sin 2x sin xdx sin x cos x.cos dx x KQ: ln Giải 2 sin xdx s inx dx ln cosx ln a I x sin x cos x 1 cosx 1+cosx sin x cos x.cos 2 b I sin xdx sin x cos x sin 2x dx sin x cos x sin x cos x dx s inx+cosx dx s inx+cosx 1 Vì : s inx+cosx= sin x ; x x sin x 4 2 4 4 Do đó : s inx+cosx s inx+cosx Mặt khác : d s inx+cosx cosx-sinx dx Cho nên : I d s inx+cosx ln s inx+cosx ln1 ln ln sinx+cosx Ví dụ Tính các tích phân sau cos 2x I a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 dx KQ: KQ: ln sin x cos x 3 32 b CĐ KTKT Đông Du – 2006 cos 2x dx 2sin 2x I Giải cos 2x a I sin x cos x 3 Cho nên : f ( x)dx dx Vì : cos x cos x sin x cosx+sinx cosx-sinx cos2x sinx-cosx+3 dx cosx-sinx cosx+sinx dx sinx-cosx+3 dt= cosx+sinx dx; x t 2, x t Đặt : t s inx-cosx+3 f ( x)dx t dt dt t3 t3 t 1 14 3 dt t t t t 32 2 Vậy : I f ( x)dx Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang (4) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dt cos xdx cos2xdx= dt cos 2x b I dx Đặt : t 2sin x 2sin 2x x t 1; x t 3 cos 2x dt dx ln t ln 2sin 2x 41 t 4 Vậy : I Ví dụ Tính các tích phân sau : 4sin3 x I dx cos x a CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 KQ: sin 3x sin3 3x dx cos3x b CĐ Bến Tre – 2006 I Giải cos2 x 4sin3 x a I dx s inxdx=4 1 cosx s inxdx=4 1 cosx cos x cosx 0 0 sin 3x sin3 3x dx cos3x b I Ta có : sin 3x sin 3x sin 3x 1 sin 3x sin 3x.cos 3x dt=-3sin3xdx sin3xdx=- dt Đặt : t cos3x x t 2; x t Vậy : t 1 1 11 f ( x)dx dt t dt t 2t ln 32 t 31 t 3 2 1 2 t ln 1 Ví dụ Tính các tích phân sau a I = c I = sin x sin x cot gx dx sin x b I = x) dx sin( x) sin( 2 4 d I = cos x( sin x cos x)dx sin x dx 0 Giải a I = Trang s inx sin x sin x sin x cot gx dx cot xdx sin x s inx Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (5) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 cot xdx cot x cot xdx sin x 3 sin( x) cosx-sinx b I = dx dx sin( x) cosx+sinx 2 d cosx+sinx ln cosx+sinx cosx+sinx 2 cos2x cos4x dx 1 2cos 2x dx 0 0 sin x dx c I = 2 1 3 3 3 cos2x+ cos4x dx x sin 2x sin 4x 32 8 16 08 4 d I = cos x( sin x cos x)dx Vì : sin x cos x sin 2 x Cho nên : 12 1 I 1 sin 2 x cos2xdx= cos2xdx- sin 2 x cos xdx sin x sin x 20 0 0 Ví dụ Tính các tích phân sau a I = sin xdx b I = sin x cot gx dx c I = tg x cot g x 2dx d */I = ( cos x sin x )dx Giải 0 a I = sin xdx 1 cos x 2 sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx cosx+ cos x cos x 15 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang (6) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b I = sin x cot gx dx 1 tdt dx dx 2tdt sin x sin x Đặt : t cot x t cot x x t 3; x t 2tdt dt 2t 2 t 1 Vậy : I 1 c I = tg x cot g x 2dx Vì : tanx-cotx= t anx-cotx dx t anx-cotx dx sinx cosx sin x cos x cos2x 2 2 cot x cosx sinx s inxcosx sin2x t anx-cotx<0;x ; 3 6 4 Cho nên : x ; x ; cot x ; 6 3 3 3 3 t anx-cotx>0;x ; 4 3 4 6 cos2x cos2x dx dx Vậy : I t anx-cotx dx t anx-cotx dx sin2x sin2x ln sin x 4 12 ln sin x 3 ln d I = ( cos x sin x )dx (1) Đặt : x t dx dt , x t ;x t 0 Do đó : I cos t sin t dt 2 0 sin t cost dt sin x cosx dx 2 Lấy (1) +(2) vế với vế : I I Ví dụ Tính các tích phân sau cos x dx (NNI-2001) sin x a tan xdx (Y-HN-2000) b cos2x 0 sinx+cosx+2 dx (NT-2000) c Trang Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (7) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC d sin x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000) e sin x 0 cos2 x dx f 2sin x 0 sin x dx (KB-03) Giải sin x 1 cos x 1 2 1 a tan xdx Ta có : f ( x) tan x 4 cos x cos x cos x cos x 4 3 Do đó : I f ( x)dx 1 dx 2 1 dx 1 tan x tan x x 2 cos x cos x cos x 4 4 t anx+ tan x 12 3 12 12 * Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác : f ( x) tan x tan x tan x 1 tan x 1 tan x tan x tan x 1 tan x tan x 1 3 4 Vậy : I tan x 1 tan x tan x 1 1 dx tan x dx dx dx cos x cos x 4 1 1 1 I tan x t anx+x 3 3 12 3 3 b cos2x sinx+cosx+2 dx Ta có : f ( x) sinx+cosx+9 4 cos x sin x cosx-sinx cosx+sinx cos2x sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 3 cosx+sinx cosx-sinx dx sinx+cosx+2 Do đó : I f ( x)dx cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= t 2, Đặt : t s inx+cosx+2 dt cosx-sinx dx f ( x)dx t dt dt t3 t3 t Vậy : 1 1 1 1 22 1 I dt t t t t 3 2 2 9 2 sin t cost sin t cost dt sin t cost cost sin t dt f ( x) sin t cost+9 sin t cost+9 2 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang (8) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC cos x dx sin x c cos x 1 sin x 3sin x 3sin x sin x 1 sin x Ta có : f ( x) 4 sin x sin x sin x sin x sin x Vậy : I 1 cot x dx dx cos2x dx dx 2 sin x sin x 2 4 1 5 23 cot x 3cot x x x sin x 12 sin x cos x 1 dx dx dx dx dx 0 cos6 x 0 cos6 x 0 cos6 x cos4 x 0 cos4 x cos2 x 0 1 tan x cos2 x d 2 4 1 tan x 4 1 2 dx tan x dx tan x tan x d tan x tan x d t anx 2 cos x cos x 0 1 1 t anx+ tan x tan x t anx- tan x tan x tan x 5 3 15 2 d cos2x sin x sin x 2sin x dx dx dx ln cos2x ln e cos2x cos x cos2x cos2x 0 4 0 2 f 2sin x cos2 x d 1 sin x 1 dx dx 0 sin x 0 sin x 0 sin x ln sin x ln 4 Ví dụ Tính các tích phân sau : a sin x cos xdx b sin x 2cos3x dx sin x cos x dx J dx K c I s inx+ c osx s inx+ c osx 0 cos2x dx s inx cosx- Giải 2 0 a sin x cos xdx 1 cos x cos x.s inxdx cos6 x cos x d cosx 1 cos x cos5 x 7 35 Trang Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (9) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2 sin x 3sin x d 1 cos x 1 dx dx ln cos x ln b 2cos3x cos x cos x 6 0 sin x cos x 1 16 dx dx dx 2 s inx+ c osx 0 sin x s inx+ cosx 3 2 x d tan 1 1 Do : x x x x sin x 2sin cos x+ tan 2cos tan 3 2 6 6 2 6 2 6 2 6 x d tan 1 x Vậy : I ln tan ln ln (1) 20 x 2 6 tan 2 6 c Ta có : I J 2 sin x 3cosx sin x 3cosx sin x 3cos x dx dx s inx+ c osx s inx+ c osx 0 - Mặt khác : I 3J 2 Do đó : I 3J s inx- 3cosx dx cosx- s inx (2) 0 3 1 I ln I J ln 16 4 Từ (1) và (2) ta có hệ : I 3J J ln 16 3 Để tính K ta đặt t x dt dx x ; t 0.x t cos 2t+3 cos t+3 sin t+3 2 2 Vậy : K cos2t 1 dt I J ln sint+ 3cost dt Ví dụ 10 Tính các tích phân sau a c 0 sin x dx ( CĐ-99) b dx s inx+cosx (ĐH-LN-2000) 10 10 4 sin x cos x sin x cos x dx (SPII-2000)d dx (MĐC-2000) s inxsin x+ 6 Giải 4 1 a dx dx 0 sin x 0 s inx+cosx dx tan x 4 cos x 4 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang (10) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC b dx s inx+cosx x Đặt : t tan dt 1 x cos 2 1 x 2dt dx 1 tan dx; dx ; x t 0, x t 2 2 1 t 1 2dt 2dt dt 1 t t 2t t 12 2 2 t t 2 1 t2 1 t2 du; t tan u ; t tan u dt 2 cos u Đặt : t tan u 2dt 2 f (t )dt du 2du 2 cos 2u tan u t u2 u Vậy : I 2du 2u u2 u1 arxtan arctan u1 u1 Vậy : I c sin 10 x cos10 x sin x cos x dx Ta có : sin10 x cos10 x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos6 x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos4x cos8x 15 1 cos 2 x 1 sin 2 x cos 2 x sin x cos4x+ cos8x 16 32 32 32 15 1 15 1 15 Vậy : I cos4x+ cos8x dx sin x sin x 32 32 32 32.8 64 0 0 dx s inxsin x+ 6 Ta có : x x sin x x sin x cosx-sinxco x = * 6 6 6 6 sin x cosx-sinxco x 6 6 2 2 Do đó : f ( x) s inxsin x+ s inxsin x+ s inxsin x+ 6 6 6 cos x+ cos x+ 3 cosx I f ( x)dx cosx dx ln s inx ln sin x+ sinx 6 sinx sin x sin x 6 6 d I ln s inx 3 ln ln ln 2 sin x+ 6 Trang 10 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (11) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC * Chú ý : Ta còn có cách khác f(x)= 1 sin x s inxsin x+ s inx s inx+ cosx 6 2 3 Vậy : I dx cot x sin x 6 2d cot x cot x cot x 2 ln cot x ln Ví dụ 11 Tính các tích phân sau a 2 s inxcos x 0 cos2 x dx (HVBCVT-99) b cos x cos 2 xdx ( HVNHTPHCM-98) c sin x 0 cos6 x sin x dx (ĐHNT-01) d dx cos x (ĐHTM-95) Giải a s inxcos3 x cos x dx (sin x)dx 0 cos2 x 0 cos x 1 dt 2sin x cos xdx sin xdx Đặt : t cos x cos x t 1; x t 2; x t 1 2 ln 1 t 1 1 Vậy : I dt 1 dt ln t t 22 t 1t 2 b cos x cos 2 xdx cos2x cos4x 1 cos2x+cos4x+cos4x.cos2x 2 1 1 1 cos2x+cos4x+ cos6x+cos2x cos2x+ cos4x+ cos6x 4 Ta có : f ( x) cos x cos 2 x 1 1 Vậy : I cos2x+ cos4x+ cos6x dx x sin x sin x sin x 8 16 16 48 4 0 c sin x cos x sin 6 x dx Vì : d sin x cos6 x 6sin x cos x 6cos5 x sin x dx 6sin x cos x sin x cos x d sin x cos x 3sin x sin x cos x sin x cos x dx 3sin x cos xdx sin xdx sin xdx d sin x cos x 6 sin x d sin x cos x 6 dx ln sin x cos x ln Vậy : 6 6 cos x sin x sin x cos x 3 0 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang 11 (12) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 4 dx dx tan x d t anx t anx+ tan x d cos x cos x cos x Ví dụ 12 Tính các tích phân sau b sin x cos xdx (NNI-96) a sin11 xdx ( HVQHQT-96) 0 c cos x cos xdx (NNI-98 ) d cos2x dx (ĐHTL-97 ) Giải a sin11 xdx Ta có : sin11 x sin10 x.s inx= 1-cos x s inx= 1-5cos x 10 cos3 x 10 cos x 5cos5 x cos x s inx Cho nên : I 1-5cos x 10 cos3 x 10 cos x 5cos5 x cos6 x s inxdx 5 1 118 cos x cos x cos5 x cos x cos3 x cosx 21 7 0 b sin x cos xdx Hạ bậc : cos2x cos2x sin x cos x 1 cos2x 1 cos x cos x 2 1 cos x cos 2 x cos2x-2cos 2 x cos3 x 1 1+cos4x 1+cos4x 1 cos2x-cos 2 x cos3 x 1 cos2x cos2x 8 2 1 cos6x+cos2x 1 cos2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 cos2x-cos4x+ 16 16 3cos x cos6x-cos4x 32 1 1 sin x sin x Vậy I 3cos x cos6x-cos4x dx x sin x 32 64 32.6 32.4 32 0 2 d cos2x dx cos xdx cosx dx cosxdx cosxdx 0 0 s inx s inx 1 1 2 Trang 12 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (13) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến số dạng * Sử dụng công thức : b b f ( x)dx f (b x)dx Chứng minh : x t b x b t Đặt : b-x=t , suy x=b-t và dx=-dt , Do đó : b b b b 0 f ( x)dx f (b t )(dt ) f (b t )dt f (b x)dx Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính các tích phân sau a/ 4sin xdx s inx+cosx 5cos x 4sin x s inx+cosx b/ 3 dx c/ log 1 t anx dx d/ sin x 0 sin x cos6 x dx e/ x m 1 x dx n f/ sin x cos x 0 sin x cos3 x dx Giải a/ I 4sin xdx s inx+cosx .(1) Đặt : dt dx , x t ; x t 0 2 4sin t t x x t cos t 2 2 f ( x)dx dt dt f (t )dt cost+sint sin t cos t Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên : I f (t )dt 4cosx sinx+cosx dx 2 Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : I s inx+cosx s inx+cosx dx I s inx+cosx dx I 2 dx tan x 4 cos x 4 b/ I 5cos x 4sin x s inx+cosx dx Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau : Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang 13 (14) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I 5cos x 4sin x s inx+cosx dx 5sin t cos t cost+sint dt 5sin x 4cosx s inx+cosx dx 2 Vậy : I 1 dx dx tan x I 4 cos x 4 s inx+cosx c/ log 1 t anx dx Đặt : dx dt , x t ; x t 4 t x x t 4 f ( x)dx log 1 t anx dx log 1 tan t dt tan t Hay: f (t ) log 1 dt log 2 log t dt log tan t tan t 4 0 Vậy : I f (t )dt dt log tdt I t I sin x dx (1) sin x cos x d/ I sin t cos x 2 d t 0 cos6 x sin x dx I (2) sin t cos t 2 2 cos x sin x dx dx x I Cộng (1) và (2) ta có : I 6 cos x sin x 0 6 e/ x m 1 x dx Đặt : t=1-x suy x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx n 0 1 0 Do đó : I 1 t t n (dt ) t n (1 t )m dt x n (1 x)m dx m MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 4sin x dx cosx x5 1 x3 dx (ĐHKT-97 ) Trang 14 (XD-98 ) s inxcos x 0 cos2 x dx cosx+2sinx cos x 3sin x dx x s inx dx ( HVNHTPHCM-2000 ) cos x x sin x cos x dx ( AN-97 ) Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (15) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC s inx ln dx ( CĐSPKT-2000 ) 1+cosx s inx+2cosx 0 3sin x cosx dx ( CĐSPHN-2000) x sin x 0 cos2 x dx (ĐHYDTPHCM-2000 ) * Dạng : I 10 sin x cos x 0 sin x cos3 x dx asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c' Cách giải : Ta phân tích : asinx+bcosx+c a 's inx+b'cosx+c' dx A B a ' cosx-b'sinx C a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' - Sau đó : Quy đồng mẫu số - Đồng hai tử số , để tìm A,B,C - Tính I : B a ' cosx-b'sinx C dx I A dx Ax+Bln a 's inx+b'cosx+c' C a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' a 's inx+b'cosx+c' VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Tính các tích phân sau : a s inx-cosx+1 0 s inx+2cosx+3 dx ( Bộ đề ) b cosx+2sinx cos x 3sin x dx ( XD-98 ) s inx+7cosx+6 dx c 4sin x 3cos x d I = cos x 3sin x dx sin x 3cos x Giải a s inx-cosx+1 s inx+2cosx+3 dx Ta có : f ( x) B cosx-2sinx s inx-cosx+1 C A s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 1 Quy đồng mẫu số và đồng hệ số hai tử số : A A 2B A B s inx+ 2A+B cosx+3A+C f ( x) 2 A B 1 B Thay vào (1) s inx+2cosx+3 3 A C C 2 d s inx+2cosx+3 1 I dx dx ln s inx+2cosx+3 J 5 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 10 5 0 4 I ln J 10 5 - Tính tích phân J : Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang 15 (16) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC dx ; x t 0, x t dt x cos x 2dt Đặt : t tan (3) J 2dt 2dt t f ( x)dx 2t 1 t2 t t 2t 2 3 1 t2 1 t2 Tính (3) : Đặt : du t tan u u1 ; t tan u u2 dt 2 cos u t tan u 2du du f (t )dt 2 c os u cos 2u u2 2 4 tan u1 Vậy : j= du u2 u1 I I ln u2 u1 2 10 5 u tan u b cosx+2sinx cos x 3sin x dx; f ( x) B 3cos x 4sin x cosx+2sinx C A 1 cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 3sin x 5 Giống phàn a Ta có : A ; B ;C=0 3cos x 4sin x 2 Vậy : I dx x ln cos x 3sin x ln 5 cos x 3sin x 5 10 0 Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện BÀI TẬP sin x s inx cot x dx sin x 3cosx 4sin x dx x cos x 3sin cos x sin x dx 5 sin x sin x dx sin x s inx-cosx dx sin x 15sin x cos xdx s inxcosx a cos x b sin x dx a, b tan xdx ln s inx cos2 x dx 10 cos4x.cos2x.sin2xdx Trang 16 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net (17) TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x tan x 4 dx ( KA-08) 11 12 dx (KB-08) cos2x sin x 1 s inx+cosx 0 13 15 x sin x x 1 cosx 0 x sin x cosx dx (KA-2011 ) 2 cos x 1 cos xdx (KA-09 ) x sin x 0 cos2 x dx (KB-2011) 14 16 17 18 sin x cos x 4sin x dx (KA-06) sin 2004 x 0 sin 2004 x cos2004 x dx ( CĐSPHN-05) sin x sin x dx ( CĐHY-06) cos3x 19 x sin x 0 sin x cos2 x dx CĐST-05) 20 dx CĐSPHN-06) s inxsin x+ 3 21 sin x 1 sin x dx ( CĐKT-06) Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐT: 0985.270.218 Lop12.net Trang 17 (18)