Dạng3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Từ điều kiện của bài toán, thông qua tọa độ các điểm [r]
(1)Văn Phong Chuyên đề Hàm số CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên (a, b); x1, x2 (a, b) + f là hàm số tăng (đồng biến) trên (a, b) x1 < x2 f(x1) < f(x2) + f là hàm số giảm (nghịch biến) trên (a, b) x1 < x2 f(x1) > f(x2) + Hàm số tăng, giảm gọilà hàm số đơn điệu (*) Đặt x x1 x và y = f(x1) - f(x2) x hàm số đồng biến + Nếu y x hàm số nghịch biến + Nếu y Định lý + Nếu f ' ( x ) x (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b) + Nếu f ' ( x) x (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b) + Nếu f ' ( x) x (a, b) thì f(x) = const Định lý + f(x) tăng trên (a, b) và f ' ( x) x (a, b) + f(x) giảm trên (a, b) và f ' ( x) x (a, b) (ta không xét trường hợp f ' ( x) ) Chú ý Cho hàm số y = f(x, m) (m: tham số) + Điều kiện để hàm số đồng biến trên (a, b) là f ' ( x, m) x (a, b) + Điều kiện để hàm số nghịch biến trên (a, b) là f ' ( x, m) x (a, b) Điểm tới hạn hàm số a Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên (a, b) Điểm x0 (a, b); x0 gọi là điểm tới hạn hàm số f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) không xác định b Chú ý Giả sử x1, x2 là hai điểm tới hạn kề hàm số f(x) thì trên khoảng (x1, x2) f ' ( x ) giữ nguyên dấu B Phương pháp giải toán I Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu hàm số Phương pháp: - Tìm miền xác định hàm số - Tính đạo hàm y ' và tìm các điểm tới hạn - Xét dấu y ' và lập bảng biến thiên VD1: Tìm điểm tới hạn hàm số y = x3 – 2x2 + x + x 2x y x yx x -1- (2) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD2: Xét tính đơn điệu các hàm số sau: a y = -2x3 – 3x2 + 12x + (NB/(-2, 1); ĐB/(- , -2) và (1, + )) 2x 4x 10 10 10 10 b y (ĐB/(- , ) và ( , + ); NB/( ,1) và (1, ) x 1 2 2 c y 2x x (ĐB/(0, 1); NB/(1, 2) d y x 2x x2 (ĐB/(-5, -2) và (-2, 1); NB/(- , -5) và (1, + ) VD3: Xét tính đơn điệu các hàm số f(x) = sinx trên khoảng (0, 2 ) Giải + Hàm số đã cho xác định trên (0, 2 ) + Ta có f’(x) = cosx, x (0, 2 ) 3 f’(x) = 0, x (0, 2 ) x , x 2 + Lập bảng biến thiên: x + f'(x) /2 /2 - + 0 f(x) -1 Hàm số đồng biến trên…; hàm số nghịch biến trên… VD4: Khảo sát biến thiên các hàm số: a y = 2x – sin2012x b y = xx Giải a + TXĐ: D = R + Ta có y’ = – cos2012x > Vậy hàm số luôn tăng trên R b + TXĐ: D = (0, + ) + ln vế: lny = lnxx y' x ' ln x (ln x)'.x ln x y ' x x (ln x 1) y (y’ không xác định x 0) e + Lập bảng biến thiên: y' x y' 1/e - y -2- + x + (3) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD5: Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y x x x Giải + TXĐ: D = R + Ta có: y ' x x 2x x x x x x Xét: g(x) = x x x x x x (2 x 1) x | x | 2 x x Vậy y’ > x nên hàm số đã cho đồng biến trên R BT1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau: x + x2 – 3x + x 2x 2x x c y d y x 1 x2 BT2 Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a y = x3 – 3x2 + 4x – b y = a y x x x b y x x BT3 Xét chiều biến thiên các hàm số sau: a y = x3 + x – cosx – b y = cosx trên khoảng (0, 2 ) c y = sin x + cosx trên khoảng (0, ) d y = cos2x – 2x + II Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước Phương pháp: Sử dụng định lý 2: + f(x) tăng trên (a, b) và f ' ( x) x (a, b) + f(x) giảm trên (a, b) và f ' ( x) x (a, b) *) Hàm số y = f(x, m) tăng x I y ' x I y ' xI *) Hàm số y = f(x, m) giảm x I y ' x I Max y ' xI ' - -5 m - + VD1: Tìm m để hàm số sau luôn giảm trên R: y f ( x) x x (2m 1) x 3m Giải + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = -x2 + 4x + 2m + 1, ' = 2m + + Lập bảng xét dấu ' + y' *) m = -5/2 thì y ' ( x 2) 0, x R Hàm số nghịch biến trên R *) m < -5/2 thì y ' 0, x R Hàm số nghịch biến trên R *) m > -5/2 thì y ' có nghiệm x1, x2 (x1< x2) Hàm số đồng biến trên khoảng (x1< x2) Không thỏa mãn -3- (4) Văn Phong Chuyên đề Hàm số + Vậy hàm số nghịch biến trên R và m VD2: Tìm a để hàm số sau luôn tăng trên R: y f ( x) x ax x 3 Giải + TXĐ: D = R + Ta có y’ = x2 + 2ax + 4, ' = a2 - + Lập bảng xét dấu: ' -2 + - + - a + y' VD3: Tìm m để hàm số y = x + mcosx đồng biến trên R Giải + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = – msinx Cách 1: hàm số đồng biến trên R y ' 0, x R m sin x 0, x R m sin x 1, x R (1) *) m = thì (1) luôn đúng 1 *) m > thì (1) sin x , x R m m m 1 *) m < thì (1) sin x , x R 1 1 m m m Vậy m Cách 2: hàm số đồng biến trên R 1 m y ' 0, x R y ' min(1 m;1 m) 1 m 1 m 1 VD4: Tùy theo m khảo sát biến thiên hàm số: y x ( m 1) x 2mx Giải + TXĐ: D = R + Ta có y ' x (m 2) x 2m ; = m2 + 4m + – 8m = (m – 2)2 *) Nếu m = y ' 0, x R hàm số đồng biến trên R x *) Nếu m y ' có nghiệm phân biệt: x2 m Ta có x1 – x2 = – m - Với m > x1 < x2, ta có bảng biến thiên: -4- (5) Văn Phong Chuyên đề Hàm số y' - m + + - x - y - Với m < x1 > x2, ta có bảng biến thiên: y' m - + + - x - y Kết luận: - Với m = 2: hàm số đồng biến trên R - Với m > 2: hàm số ĐB/(2, m); NB/(- , 2) và (m, + ) - Với m < 2: hàm số ĐB/(m, 2); NB/(- , m) và (2, + ) mx m x m 1 a Tìm m để hàm số tăng trên khoảng xác định b Tìm m để hàm số đồng biến trên(4, ) c Tìm m để hàm số nghịch biến trên (, 3) Giải + Miền xác định: D = R\ m 1 VD5: Cho hàm số: y + Ta có: y ' m 2m x m 12 m m y' a Hàm số tăng trên khoảng xác định x ( m 1) x ( m 1) m 3 m b Hàm số tăng trên (4, ) : m 3 m 3 m 3 y' m 3 m m m x (4, ) m m ( 4, ) m m 5 c Hàm số giảm trên (, 3) : y' m m m 3 m x (, 3) m (, 3) m m VD6: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 +3mx – a Tăng trên TXĐ b Giảm trên (-1, + ) c Tăng trên (-2, 3) -5- (6) Văn Phong Chuyên đề Hàm số - -2 -1 -3 + g(x) + 8 - x g'(x) Giải + TXĐ: D = R + y’ = 3x2 + 6x + 3m a Để hàm số tăng trên TXĐ thì y ' x R ' m b Để hàm số giảm trên (-1, + ) thì: y ' x (1, ) 3x x 3m x (1, ) (*) Đk để bpt (*) có nghiệm là ' đó bpt có nghiệm [x1, x2] với x1, x2 là nghiệm tam thức bậc Như bpt có nghiệm khoảng hữu hạn không m để hàm số giảm trên (-1, + ) c Để hàm số tăng trên (-2, 3) thì y ' x (2, 3) x x m Đặt g(x) = x2 + 2x g’(x) = 2x + g’(x) = x = -1 Lập bảng biến thiên: -1 Trên BBT ta thấy ming(x)/(-2, -3) = g(-1) = -1 Vậy điều kiện để bpt x x m nghiệm đúng x (2, 3) là -m 1 m VD7: Tìm m để hàm số sau: mx a y f ( x) luôn giảm trên (- , 1) xm b y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (- 1, 1) Giải a + TXĐ: D = R\ m m2 + Ta có: y ' f ' ( x ) , x m x m 2 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (- , 1) m y ' 0, x (,1) m 2 m 1 m m m (,1) Vậy m 1 b y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m + TXĐ: D = R + Ta có: y ' f ' ( x ) x x m Cách 1: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1, 1) f ' ( x) 0, x (1,1) (3 x x 1) m, x (1, 1) g ( x ) m [ 1, 1] Xét hàm số g ( x) (3 x x 1), x (1,1) g ' ( x) 6 x 0, x (1,1) g(x) nghịch biến trên (-1, 1) Ta có: lim g ( x ) 2 ; lim g ( x ) 10 x 1 x 1 -6- (7) Văn Phong Chuyên đề Hàm số x -1 - f'(x) -2 f(x) -10 Vậy m 10 Cách 2: f ' ' ( x) x f ' ' ( x ) x 1 Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1, 1) m lim g ( x) 10 x 1 Vậy m 10 Cách 3: Điều kiện để hàm số nghịch biến trên (-1, 1) là y ' x (1,1) Vì y’ liên tục trên R nên y’ liên tục x = -1 va x = nên y ' x (1,1) y ' x [1,1] g ( x ) x x m x [1, 1] Khi đó g(x) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 và [-1, 1] [ x1 , x ] hay x1 1 x a.g (1) g (1) m m 10 a.g (1) g (1) m 10 VD8: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài Giải + TXĐ: D = R + y’ = 3x2 + 6x + m + Điều kiện để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài = là: y’ có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: |x1 – x2| = Vì y ' x [ x1 , x ] ' m Điều kiện là: m | x - x | | x - x | BT1 Tìm m để hàm số sau: a y = f(x) = 2x3 – 2x2 – mx – tăng trên khoảng (1, + ) b y = f(x) = mx3 – x2 + 3x + m – tăng trên (-3, 0) c y = f(x) = x 2(m 1) x (m 1) x m tăng trên (2, + ) BT2 Với giá trị nào m thì hàm số sau luôn đồng biến với x y = (2m + 3)sinx + (2 – m)x BT3 Tìm m để hàm số y = (m –x)x2 – m đồng biến trên (1, 2) BT4 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 - (m + 1)x - 4m nghịch biến trên (-1, 1) BT5 Tìm m để hàm số y = (m - 3)x – (2m + 1)cosx nghịch biến với x? BT6 Tìm m để hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến trên (- , -1] và [2, + ) HD: + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = 3x2 – 6(2m + 1)x + 12m + + ĐK để hàm số đồng biến trên (- , -1] và [2, + ) là: y ' 0, x (- , - 1] [2, + ) x 6(2m 1) x 12m , (*) x (- , - 1] [2, + ) -7- (8) Văn Phong Chuyên đề Hàm số ' Cách 1: sử dụng tam thức bậc thì điều kiện là: ' x1 x 5 Cách 2: sử dụng hàm số ĐS m ; 12 12 x mx m BT7 Cho hàm số: y x m 1 a Xét chiều biến thiên m = b Xác định k để hàm số đồng biến trên (1, + ) mx x BT8 Tìm m để hàm số y nghịch biến trên [1, + ) x2 BT9 Tìm a và b để hàm số y = asinx + bcosx + 2x luôn đồng biến trên R? HD: + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = acosx – bsinx + + ĐK để hàm số đồng biến là y ' 0, x R a cos x b sin x 0, x R (a cos x b sin x 2) R a b Ta có: y ' a b cos x sin x a b cos x , 2 a2 b2 a b a Với cos a b2 Ta có: cos( x ) 1, x R nên y ' a b cos x a b Chứng tỏ y ' a b R y ' a b a b a b R BT10 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên các khoảng đã ra: 1 a y mx (m 1) x 3(m 2) x trên [2, + ) 3 b y x (m 1) x (m 3) x trên (0, 3) III Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trìnhm bất phương trình và HPT Phương pháp: Sử dụng các định lý sau: Định lý 1:Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên [a, b] thì x1, [a, b] mà f(x1) = f(x2) x1 x Định lý 2: Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên [a, b] và f(a).f(b) < thì pt f(x) = có nghiệm trên (a, b) Định lý 3: Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu tăng (giảm) trên [a, b] còn hàm số g(x) liên tục và đơn điệu giảm (tăng) trên [a, b] đó pt f(x) = g(x) có nghiệm trên[a, b] thì nghiệm đó là -8- (9) Văn Phong Chuyên đề Hàm số f ( x) f ( y ) (1) Chú ý: Khi gặp hệ có dạng: ta có thể tìm lời giải theo hai hướng g ( x, y ) (2) sau: Hướng 1: Phương trình (1) f ( x) f ( y ) (3) tìm cách đưa (3) dạng tích Hướng 2: Xét hàm số y = f(t) ta thường gặp hs liên tục trên TXĐ nó Nếu hàm số y = f(t) đơn điệu thì từ (1) x = y VD1: Giải phương trình: a x x x b x x x x 16 14 c x x x d x x (ĐHNH KD00) e x x 13 x Giải a x x x + ĐK: x + Xét hàm số: y = x x 3x ( x y' x 3x ) 3 0 3x y là hàm số tăng trên (- , ) Mà f(-1) = chứng tỏ phương trình đã cho có nghiệm x = -1 b, c, d, e: các em làm tương tự VD2: Giải bất phương trình: y x x x 13 x Giải + ĐK: x 7 13 + y' x [ , ) x 33 (5 x 7) 44 (7 x 5) 55 (13x 7) Chứng tỏ hàm số đồng biến trên [ , ) 5 Mặt khác f(3) = nên bpt f ( x ) f (3) với x [ , ) x 7 VD3: Giải phương trình: a x(2 x ) (4 x 2)( x x 1) b x x x x x c (2 ) x (2 ) x x Giải -9- (10) Văn Phong Chuyên đề Hàm số a x(2 x (4 x 2)( x x 1) 3 x (3x ) (2 x 1) (2 x x ) + Đặt u = -3x, v = 2x +1 phương trình thành: u u v v (*) + Xét hàm số: f (t ) 2t t 3t liên tục trên (0, + ) Ta có: f ' (t ) 2t 3t t 3t với t > f(t) đồng biến trên (0, + ) Khi đó (*) f (u ) f (v) u v 3x x x Vậy x 1 1 b x x x x x y x x x + Đặt y x x Khi đó phương trình đã cho y x x y x x x y x x x y y x 3x x y y ( x 1) x (*) (*) có dạng f(y) = f(x + 1) + Xét hàm số f(t) = t3 + t, t R f’(t) = 3t2 + > 0, t R nên f(t) đồng biến trên R Suy (*) có y = x + Từ đó ta tính x 1 1 Tập nghiệm là: S 5, , 2 c (2 ) x (2 ) x x 2 x 2 x ) ( ) (*) 4 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 Đặt f(x) = ( ) ( ) , f ' ( x) ( ) ln( )( ) ln( )0 4 4 4 => f(x) nghịch biến Mà f(1) = = f(x) => x = là nghiệm + + + VD4: Chứng minh phương trình x x 11 có nghiệm Giải x + Xét hàm số f ( x) x x liên tục trên [2, ) f'(x) x(5 x 8) 0, x + Ta có f ' ( x ) x2 f(x) + Lập bảng biến thiên: ( Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f ( x) x x luôn cắt đường thẳng y = 11 điểm Do đó phương trình đã cho có nghiệm - 10 - (11) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD5: Giải bất phương trình: 3 x 2x 2x Giải + Điều kiện: x 2 x f ( x) g ( x ) (*) + Bpt 3 x 2x 3 + Xét hàm số: f ( x) 3 x liên tục trên , 2x 2 3 3 Ta có f ' ( x) 0, x , nên f(x) nghịch biến trên 3 2x 2 2x 1 3 , 2 + Xét hàm số g(x) = 2x + 6, g’(x) = > nên g(x) đồng biến trên R Ta thấy f(1) = g(1) = *) Nếu x > f(x) < f(1) = g(1) < g(x) nên (*) đúng *) Nếu x < f(x) > f(1) = g(1) > g(x) nên (*) vô nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình là: x VD6: Giải hệ phương trình: x y x x y a b y y x y x x x y y (1) c x y (2) Giải x4 a Điều kiện y x y Ta có: x x y y (*) y x 3 + Xét hàm số f(t) = 2t t trên , 4 2 1 3 , x , Từ (*) ta có f(x) = f(y) x = y + Ta có f’(t) = 2t t 2 Từ đó ta tìm x, y… b Xét hàm số f(t) = t3 + 2t, f’(t) = 3t2 + > suy f(t) đồng biến trên R f ( x) y Hệ phương trình thành: f ( y) x + Nếu x > y f(x) > f(y) y > x (mâu thuẫn) + Nếu x < y f(x) < f(y) y < x (mâu thuẫn) x = y…… Vậy hệ có nghiệm x = y = - 11 - (12) Văn Phong Chuyên đề Hàm số c Từ (2) ( x, y ) [1,1] Từ (1) f ( x) f ( y ) (3) + Xét hàm số f(t) = t3 – 3t liên tục trên [1,1] + Ta có f’(t) = 3t2 – , t [1,1] nên f(t) nghịch biến trên [1,1] , o từ (3) x y Thay lại (2) ta giải được: x y 2 x 3x x 16 x Giải 2 x 3x x 16 + ĐK: 2 x 4 x VD7: Giải bất phương trình: + bpt x 3x x 16 x + Đặt f ( x) x x x 16 x , f(x) liên tục trên [-2, 4] 3( x x 1) + Ta có: f ' ( x) , x (2, 4) x x x 16 x Vậy hàm số f(x) đồng biến trên (2, 4) Mà f(1) = f ( x ) f (1) x Vậy nghiệm phương trình đã cho là: x BT1 Giải phương trình: x 1 x x 84 1 x Giải + ĐK: x + Xét f ( x) x x , f ' ( x) 44 x 44 (1 x) (1 x) x 44 x (1 x) f ' ( x) (1 x ) x x Lập bảng biến thiên ta có max f ( x ) x = 1/2 ( 0,1) + Xét g ( x) x 1 x , g ' ( x) x g ' ( x) 1 x x 1 x x Lập bảng biến thiên ta có max g ( x) x = ( 0,1) 1 Vậy max x x x = ( 0,1) x 1 x Suy nghiệm phương trình là x = - 12 - (13) Văn Phong Chuyên đề Hàm số x 15 x x Giải BT2 Giải phương trình: + TXĐ: D = R + Ta có x 15 x x x 15 x 2 x + Đạo hàm vế trái: (VT )' x x 15 3 x x 15 x 15 x 3| x | x 15 0, x hàm số y x 15 x nghịch biến trên R 0, x x + Đạo hàm vế phải: (VP )' x 0, x Nên hàm số y 2 x ĐB/[0, + ) ; NB/ (, 0) *) Xét x (, 0) ta có y x 15 x y x 15 x x , phương trình vô nghiệm *) Xét x [0, ) , VT đồng biến, VP nghịch biến Mà VT có f(1) = VP có f(1) = => x = là nghiệm BT3 Tìm x để f(x) = x(1 – x)(x – 3)(4 – x) đạt GTNN HD: f(x) = x(1 – x)(x – 3)(4 – x) = (4x – x2)(4x – x2 – 3) Tính f’(x), lập bảng biến thiên 10 f ( x) tai x 2 BT4 Giải các bất phương trình: a x7 + x3 > 2(3- x – x2) b x 2x BT5 Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + BT6 Giải phương trình: 81sin 10 x cos10 x BT7 Giải phương trình: cos x 81 256 cos x 17 12 cos x BT8 Giải phương trình: e tg x cos x 2, x ; 2 x x BT9 Giải phương trình: 2003 + 2005 = 4006x + - 13 - (14) Văn Phong Chuyên đề Hàm số NHỮNG BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Điều kiện để f(x) = a có nghiệm là: a Nếu M = Maxf(x) trên D m = mìn(x) trên D thì điều kiện là: m a M b Nếu M = Maxf(x) trên D, không có GTNN thì điều kiện là a M c Nếu m = minf(x) trên D, không có GTLN thì điều kiện là a m Điều kiện để bất phương trình f(x) > m x D là m f ( x ) D f(x) > m với x D là Max f ( x) m D Điều kiện để bất phương trình f(x) < m x D là Max f ( x) m D f(x) < m với x D là f ( x) m D VD0: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x (3 x )(6 x) m (*) Giải + Điều kiện: x + Đặt t x x (3 x)(6 x) t2 9 t2 m (**) 1 6 x 3 x 2x t' x x x x x x x x t’ = => x = 3/2 + Lập bảng biến thiên: + Phương trình (*) thành: t x -3 + t' - t 3 Vậy t [3, ] Như (*) có nghiệm (**) có nghiệm t [3, ] + Xét hàm số f (t ) t t2 9 , t [3, ] f ' (t ) t + Lập bảng biến thiên: t f'(t) 3 - f(t) 2- Dựa vào bảng biến thiên suy (**) có nghiệm t [3, ] - 14 - 9 m3 (15) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD00: Tìm m để phương trình sau có đúng nghiệm x [ , ] : cos3 – sin3x = m (*) 4 Đặt t cos x sin x cos x 4 Do x x 4 cos x t 4 Ứng với giá trị t [0, ] có tương ứng giá trị x [ , ] cho t cos x 4 4 t -1 - f'(t) + 1 t2 m t (3 t ) 2m t 3t 2m (**) (*) sin x cos x)(1 sin x cos x) m t 1 (*) có đúng nghiệm x [ , ] (**) có đúng nghiệm t [0, ] 4 + Đặt f (t ) t 3t , f ' (t ) 3t , f ' (t ) t 1 + f(t) Từ bảng biến thiên ta có (**) có đúng nghiệm t [0, ] và 2m VD000: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x m (*) Đặt t x x t (*) m(t 3) t m 1, t m(t 2) t m Đặt f (t ) t 1 t2 t 1 , t0 t2 Khảo sát biến thiên, dựa vào bảng biến thiên suy m VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1 4x x 4x 9x m Giải 5 + TXĐ: D = 1, 4 + Đặt x x t (Chú ý xét giá trị t VD0) 2 Ta có: t ( x x )(12 12 ) t t t 2t m + Phương trình thành: 1 t + Xét f (t ) t 2t , t - 15 - m 1 (16) Văn Phong Chuyên đề Hàm số 1 [1, ] Vậy hàm số đồng biến trên [1, ] f (t ) f (1) ; Max f (t ) f ( ) f ' (t ) 4t , f ' (t ) t [1, ] [1, ] Vậy m VD2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: ( x x 2) x x x x m Giải + TXĐ: D = R f'(t) - -1 f(t) + - + t + Đặt x x t Phương trình trở thành: t3 – 2t2 – 4t – m + = (*) + Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt là phương trình (*) có nghiệm phân biệt t 1 + Ta có f’(t) = 3t2 – 4t – t f ' (t ) t + Lập bảng biến thiên + -4 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có nghiệm phân biệt t m 1 VD3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x ; : + 2sin2x = m(1 + cosx)2 2 Giải + Xét cosx = - không phải là nghiệm phương trình + Phương trình đã cho: 2(1 sin x ) m (1 cos x ) 2 sin x cos x 2 m (*) cos x x + Đặt t tg Do x ; nên t 1;1 2 1 t2 2t Ta có sin x ; cos x nên (*) thành (2t t ) m 2 1 t 1 t + Xét hàm số: f (t ) (2t t ) 2 f ' (t ) 2(t 3t t 1) - 16 - (17) Văn Phong Chuyên đề Hàm số t f ' (t ) t (loại) t Ta có f(1) = 2, f(-1) = 2, f( 1 ) = Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm t 1;1 là f (t ) m Max f (t ) m [ 1, 1] VD4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: [ 1, 1] x x (2 x)( x 2) m Giải + ĐK: x [2, 2] + Đặt x x = t t t2 (2 x)(2 2) - t 2t + Phương trình thành: -t + 2t + = 2m m 2 - t 2t Xét hàm số: f (t ) trên [ , ] f ' (t ) t Lập bảng biến thiên tìm minf(t), Maxf(t) Kết luận minf(t) m Maxf(t) VD5: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với x: m x x m Giải x Bpt m 2x x Xét hàm số: f ( x) 2x 1 2x x x. 2 x 2x f ' ( x) 2 2x 2x f ' ( x ) x 21 Xét lim f ( x) lim x x lim f ( x) lim x x x 2x 1 x 2x 1 lim x 1 x2 x 1 2 x x 2 lim x 2 - 17 - (18) Văn Phong Chuyên đề Hàm số - 21 f'(x) f(x) - 21 - + - x + - 2 - 21 2 - 21 Vậy minf(x) = 21 21 m f ( x) m 6 VD6: Tìm m để bất phương trình: a (4 x )( x 2) x x m 18 có nghiệm x [2, 4] b (1 x)(3 x) x x m có nghiệm x [ , 3] c x m x có nghiệm với x Giải a TXĐ x [2, 4] + Bpt (4 x )( x 2) x x m 18 4 (4 x )( x 2) x x 18 m + Đặt (4 x)( x 2) t t Bất phương trình có dạng: t2 – 4t + 10 < m (*) Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình nghiệm đúng t [0, 3] Xét hàm số f(t) = t2 – 4t + 10, f’(t) = 2t – 4, f’(t) = suy t = 2 - f'(t) + - t + 10 f(t) Từ BBT ta thấy f (t ) 6, Max f (t ) 10 D D Vậy để bpt nghiệm đúng x [2, 4] thì m > 10 b, c: các em làm tương tự Chia vế cho x2 x 9 ta 4 x 2(m 1).6 x x (m 1)4 x có nghiệm với x thỏa mãn: |x| Giải VD7: Tìm m để bất phương trình: x x2 x 3 2(m 1). 2 x2 x x 0 x2 x (m 1) (1) 3 Đặt t Với |x| 2x2 – x nên t Khi đó (1) tr thành: 2 f(t) = t – 2(m – 1)t + (m + 1) (2) - 18 - (19) Văn Phong t 2t t 2t m Xét y với t 2t 2t Khảo sát y => miny = nên m VD8: Tìm m để bất phương trình: m.9 x x (2m 1).6 x có nghiệm với x thỏa mãn: |x| Làm tương tự VD7 ĐS: m Chuyên đề Hàm số x m.4 x x 0 VD9: Tìm số nghiệm phương trình: x3 – 3sin(x2 + a100 – a) + 3x – a3 = Giải 100 Xét hàm số: f(x) = x – 3sin(x + a – a) + 3x – a3 f’(x) = 3x2 – 6xcos(x2 + a100 – a) + ' = 9cos2(x2 + a100 – a) – f’(x) nên f(x) đồng biến trên R Mặt khác lim f ( x) và lim f ( x) x x Mà hàm số liên tục trên R nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành điểm nên phương trình đã cho có nghiệm VD10: Tìm m để phương trình (x2 + 2x)2 – (m+ 1)(x2 + 2x) + m + = có nghiệm phân biệt x [3, 0] Đặt x2 + 2x = t, vì x [3, 0] t [0, 3] Bài toán trở thành tìm m để phương trình: t2 – (m + 1)t + m + = có nghiệm phân biệt t [0, 3] t2 t 1 m t 1 Xét hàm số: f (t ) t2 t 1 , f ' (t ) 2(t 1) , f ' (t ) t t 1 Lập BBT… IV Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức + Đưa bất đẳng thức dạng f ( x) M , x (a, b) + Xét hàm số y = f(x), x (a, b) + Lập bảng biến thiên hàm số trên khoảng (a, b) + Dựa vào bảng biến thiên và kết luận VD1: CMR: sinx + tgx > 2x với x 0, 2 Giải + Xét hàm số: f(x) = sinx + tgx - 2x liên tục trên 0, 2 1 + Ta có f’(x) = cosx + cos x , x 0, 2 cos x cos x 2 Nên f(x) đồng biến trên 0, và f(x) > f(0), x 0, hay sinx + tgx > 2x với x 0, 2 2 2 - 19 - (20) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD2: Chứng minh rằng: a sinx x, x 0, 2 x b sinx > x , x (0, ) 2 x x c cosx < , x (0, ) 24 sin x d cos x , x (0, ) x Giải a Xét hàm số f(x) = sinx – x liên tục trên đoạn 0, 2 Ta có f’(x) = cosx – , x 0, f(x) là hàm nghịch biến trên 0, 2 2 f(x) f (0) sin x x , x 0, 2 x b Xét hàm số f(x) = sinx – x + liên tục trên nửa khoảng 0, 2 x2 Ta có f’(x) = cosx – + f ' ' ( x) sin x x với x 0, (theo câu a) 2 f ' ( x ) f ' (0) , x 0, f ( x) f (0) , x 0, 2 2 x , x (0, ) sinx > x x2 x4 c Xét hàm số f(x) = cosx – + , liên tục trên nửa khoảng 0, 24 2 x Ta có f’(x) = -sinx + x , x 0, (theo câu b) f ( x ) f (0) , x 0, 2 2 x2 x4 , x (0, ) cosx < 24 d Theo câu b ta có: 3 x3 sin x x2 x2 x2 x4 x6 sin x sinx > x , x (0, ) 1 1 x 6 12 216 x x2 x4 x4 x2 sin x 1 1 24 24 x x2 x2 x4 sin x Vì x (0, ) 0 1 24 x x2 x4 sin x Mặt khác theo câu c): cosx < , x (0, ) cos x , x (0, ) 24 2 x - 20 - (21) Văn Phong Chuyên đề Hàm số sin x *) Tổng quát: CMR , ta có cos x, x (0, ) x Ta có < sinx < x VD3: Chứng minh rằng: 2 sin x tgx 2 Ta có: 2 sin x tgx 2 sin x.2 tgx 2.2 sin x tgx sin x sin x sin x , x (0, ) cos x , x (0, ) x 2 x x x 1 với x 0, 2 Giải sin x tgx 3x 3x 2 sin x tgx với x 0, 2 2 3x Xét hàm số: f ( x) sin x tgx liên tục trên 0, 2 2 3 cos x cos x (cos x 1) (2 cos x 1) Ta có: f ' ( x) cos x 0 cos x 2 cos x cos x 3x f (x ) đồng biến trên 0, f ( x ) f (0) sin x tgx , x 0, 2 2 2 Ta chứng minh; VD4: Chứng minh rằng: 2sinx + 2tgx > 2x+1 với x (0, ) (tương tự VD3) VD5: Cho tam giác ABC nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > Giải Ta có: sinA, sinB, sinC (0,1) nên: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > sinA2 + sinB2 + sinC2 =…= + 2cosAcosBcosC > (do ABC nhọn) - 21 - (22) Văn Phong Chuyên đề Hàm số BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f(x0) C§ C§ C§ y = f(x) CT x0 o x CT CT A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Cho hàm số f: (a, b) R, x (a, b) + f đạt CĐ x0 tồn lân cận V x0 cho f ( x) f ( x ), x V + f đạt CT x0 tồn lân cận V x0 cho f ( x) f ( x ), x V + Gọi chung CĐ, CT là cực trị *) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì x = a, x = b không gọi là các điểm cực trị *) Các điểm cực trị có tính chất địa phương Điều kiện để hàm số có cực trị a Định lý Fecma: x0 là điểm cực trị hàm số có đạo hàm x0 và f’(x0) = b Hệ quả: Mọi điểm cực trị hàm số là điểm tới hạn hàm số Các định lý cực trị a Định lý Cho f đạt cực trị x0 và tồn f’(x0) thì f’(x0) = *) Nhận xét: - Có thể xảy f đạt cực trị x0 mà f’(x0) không tồn - Có thể xảy f’(x0) = mà f không đạt cực trị x0 VD: Với f(x) = |x| thì f đạt cực tiểu x = không có f’(x0) Với f(x) = x3 thì f’(0) = f không đạt cực trị x = b Định lý Cho f: (a, b) (a, b) R có đạo hàm + Nếu f’(x) đổi dấu từ “+” sang “–” x0 thì hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ “–” sang “+” x0 thì hàm số đạt cực tiểu x0 *) Nhận xét: hàm số f đạt cực trị x0 và f’(x) đổi dấu x0 c Định lý + Nếu f’(x0) = và f’’(x0) < thì f đạt cực đại x0 + Nếu f’(x0) = và f’’(x0) > thì f đạt cực tiểu x0 - 22 - (23) Văn Phong Chuyên đề Hàm số B Phương pháp giải toán I Dạng 1: Tìm các điểm cực trị hàm số Phương pháp 1: Áp dụng định lý + Tìm f’(x) + Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3…) có f’(xi) = hàm số liên tục không có đạo hàm + Xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu x qua x0 thì hàm số đạt cực trị điểm x0 Phương pháp 2: Áp dụng định lý + Tìm f’(x) + Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3…) phương trình f’(x) = + Với xi ta tính f”(xi): - Nếu f”(xi) < thì hàm số đạt cực đại điểm xi - Nếu f”(xi) > thì hàm số đạt cực tiểu điểm xi VD1: Tìm cực trị các hàm số sau: a y = x4 – 2x2 + b y = x2(3 – 2x)2 c y x x x e y = x1/x f y = excosx g y sin x a Hàm số đạt CĐ x = 0, yCĐ = 1; xCT = -1, yCT = b y’ = 6x(3 – 2x)(1 – x) Hàm số đạt CĐ x = 1, yCĐ = Hàm số đạt CT x = 0, x = 3/2 c, d: các em HS tự làm e TXĐ: D = (0, + ) d y x x x x y' ln x x 1 ln x y ' 1 ln x x y x x Ta có y’ = x = e + Bảng biến thiên: y' e + + x - Ta có ln y ln x - CÐ y Vậy hàm số đạt cực đại x = e f TXĐ: D = R Ta có: y’ = excosx - exsinx = ex(cosx – sinx) y’ = sinx = cosx x = k , (k Z ) y’’ = ex(cosx – sinx) – ex(sinx + cosx) = – 2exsinx Tại x k , (k Z ) , ta có y ' ' k – 2exsin k 4 4 + Khi k chẵn: y ' ' 2e k 4 sin nên y đạt cực đại x = k , (k Z ) 4 - 23 - (24) Văn Phong Chuyên đề Hàm số + Khi k lẻ, ta có sin k = sin l 2 sin y ' ' nên y đạt CT 4 4 x = k , (k Z ) g Các em tự làm VD2: Tìm cực trị các hàm số sau: a y = |x| b y = |x|(x – 3) c y = | x | ( x 2) Giải y' + + - - + - x a y = |x| + TXĐ: D = R x x + y x x 1 x + Ta có y ' x + Lập bảng biến thiên: y Hàm số đạt cực tiểu x = 0, f(0) = 0 y' + 3/2 - 0 y 9/4 - Vậy hàm số đạt cực đại x = 0, f(0) = Hàm số đạt cực tiểu x = 3/2, f(3/2) = 9/4 - 24 - + - x + b y = |x|(x – 3) + TXĐ: D = R x( x 3) x + y x ( x 3) x 2 x x + Ta có: y ' x x y' x Hàm số liên tục x = không có đạo hàm x = + Lập bảng biến thiên: + (25) -2/5 y' 0 + - - + + 16 5 y + - x Chuyên đề Hàm số Văn Phong c y = | x | ( x 2) + Hàm số xác định và liên tục trên R x ( x 2) x + Ta có y | x | ( x 2) x ( x 2) x 5x x x + Ta có y ' | x | ( x 2) x x x 2 y' x + Lập bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực đại x = -2/5, f(-2/5) = 16 5 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, f(0) = VD3: Cho hàm số y x 4x Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị hàm số 1 x Giải + TXĐ: D = R\ 1 x x 2x , y' (1 x ) x + Lập bảng biến thiên: + Ta có: y ' y' - + + 0 y Vậy hàm số ĐB/(0, 1) và (1, 2); NB/(- , 0) và (2, + ) Hàm số đạt CĐ x = 2, yCĐ = y(2) = Hàm số đạt CT x = 0, yCT = y(0) = - 25 - + - x - (26) Văn Phong Chuyên đề Hàm số VD4: Tìm các điểm cực trị hàm số: y = – 2cosx – cos2x Giải + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = 2sinx + 2sin2x = 2sinx(1 + cosx) sin x x k y' (k Z ) cos x x 2 k 2 y ' ' cos x cos x 2 2 2 2 y' ' k 2 cos 3 y đạt CĐ x k 2 , y k 2 , k Z 3 y ' ' k cos k 0, k Z y đạt CT x k , y (k ) 2(1 cos k ) II Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phương pháp: sử dụng định lý và định lý với các chú ý: *) Hàm số f xác định trên D có cực trị x D thỏa mãn hai điều kiện: + Tại đạo hàm hàm số x0 phải triệt tiêu hàm số không có đạo hàm x0 + f’(x) phải đổi dấu qua x0 f”(x0) *) Nếu f’(x) là tam thức bậc hai triệt tiêu và cùng dấu với tam thức bậc hai thì hàm có cực trị phương trình f’(x) = có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ VD1: Tìm m để hàm số sau: a y = (2m – 1)x3 + 2x2 – 3x + đạt cực đại x = x mx b y = đạt cực đại x = xm c y = mx mx x đạt cực đại x = 3 d y = x3 + (m + 3)x2 + – m đạt cực đại x = -4 Giải a + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = 3(2m – 1)x2 + 4x – y’’ = 6(2m – 1)x + m y ' (1) 6m + Hàm số đạt cực đại x = (vô nghiệm) y ' ' (1) 12m m Vậy không có giá trị nào m để hàm số đạt cực đại x = b + TXĐ: D = R\ m + Ta có: y ' x 2mx m x m 2 , xm + Hàm số đạt cực đại x = thì y’(2) = m2 – 4m + = m = 1, m = –3 - 26 - (27) Văn Phong Chuyên đề Hàm số x , x ; y' x 1 x Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận *) Tương tự với m = –3 *) Với m = y ' x 2x c + TXĐ: D = R + Ta có: y ' mx 2mx ; y ' ' 2mx 2m y ' (3) 3m m + Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là: 3m y ' ' (3) 4m m Vậy m d + TXĐ: D = R + Ta có: y = 3x2 + (2m + 6)x = x(3x + 2m + 6) x y' x 2m + Lập bảng biến thiên: - 2m+6 y' + - 0 + - x + y Hàm số đạt cực đại x = -4 2m 4 m 3 VD2: Tìm a, b để hàm số y = x3 – ax2 + bx + đạt cực đại A(1, -7) Giải + TXĐ: D = R + Ta có y’ = 3x2 – 2ax + b; y’’ = 6x – 2a + Điều kiện để hàm số đạt cực đại và xCĐ = 1, yCĐ = là: y (1) 7 4a b 7 4a b 11 a a 2a b 3 b y ' (1) 3 2a b b y ' ' (1) 6 2a a a a Vậy b VD3: Tìm a, b để hàm số: y = 2x3 – mx2 + nx + có xCĐ = 1, xCT = Giải + TXĐ: D = R + Ta có y’ = 6x2 – 2mx + n; y’’ = 12x -2m + Điều kiện để hàm số đạt cực đại xCĐ = và đạt cực tiểu xCT = là: - 27 - (28) Văn Phong Chuyên đề Hàm số 21 y ' (1) 2m n 12 2m n 12 m 21 y ' (3) 6m n 54 6m n 54 m n y ' ' (1) 12 2m m m n 9 y ' ' (3) 36 2m m 18 m 18 21 m Vậy n 9 VD4: Tìm m để hàm số: y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + a Hàm số có cực trị b Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại c Hàm số có cực tiểu và cực đại Giải + TXĐ: D = R + Ta có: y’ = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3m +3); y’’ = 12x2 + 24mx + 6m + x y' f ( x ) x 6mx 3m Nhận xét: *) Nếu f(x) có nghiệm x1, x2 khác thì y’ đổi dấu qua điểm 0, x1, x2 đó hàm số có cực tiểu và cực đại *) Nếu f(x) có nghiệm x = 0, đó y’ đổi dấu từ - sang + qua điểm nên hàm số có cực tiểu *) Nếu f(x) có nghiệm kép vô nghiệm thì y’ đổi dấu từ - sang + qua x = nên hàm số đạt cực tiểu x = Như hàm số luôn có cực trị a Hàm số có cực trị và f(x) có nghiệm phân biệt khác 1 m ' 3(3m 2m 2) 1 f ( 0) m m 1 b Theo nhận xét trên thì hàm số có cực tiểu mà không có cực đại và hàm số không có cực trị: 1 1 m 3 c Giống câu a) VD5: Tìm các hệ số a, b, c, d để hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu x = 0, f(0) = và đạt cực đại x = 1, f(1) = Giải + TXĐ: D = R + f’(x) = 3ax2 + 2bx + c; f”(x) = 6ax + 2b + Hàm số đạt cực tiểu x = 0, f(0) = và khi: - 28 - (29) Văn Phong Chuyên đề Hàm số f ( 0) d d (1) f ' (0) c c f ' ' ( 0) 2b b (*) + Hàm số đạt cực đại x = 1, f(1) = và khi: f (1) a b c d f ' (1) 3a 2b c (2) f ' ' (1) 6a 2b (**) a b 1 a 3a 2b b 3 Từ (1) và (2) (không thỏa mãn điều kiện (*) và (**) c c d d Vậy không có giá trị nào a, b, c , d thỏa mãn bài toán BT1 Tìm m để hàm số f ( x) 3x m x x có cực đại BT2.(ĐH Văn Phong12) Tìm m để hàm số f(x) = x3 – 3(m + 1)x2 – x + có cực trị mx x m BT3.(ĐH Văn Phong12) Tìm m để hàm số: f ( x) không có cực trị xm BT4.(ĐHKiến trúc99) Tìm m để hàm số: f(x, m) = mx4 + (m – 1)x2 + – 2k có điểm cực trị BT5.(ĐH Văn Phong12) Tìm m để hàm số f(x) = 2mx3 – 2(m + 1)x2 + mx + đạt cực đại M(1, 2) BT6.(ĐHBK00) Xác định m để hàm số f(x) = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – không có cực trị mx (2 m) x 2m BT7.(ĐHXD) Tìm m để hàm số: f ( x) có cực trị xm BT8.(ĐHBK02) Tìm m để hàm số: f(x, m) = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có cực trị III Dạng3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Từ điều kiện bài toán, thông qua tọa độ các điểm cực trị đồ thị hàm số từ đó ta tìm điều kiện tham số Chú ý: + Nếu gặp biểu thức đối xứng hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các điểm cực trị là nghiệm tam thức bậc thì ta sử dụng định lý Viét + Khi tính giá trị cực trị hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết sau: Định lý 1: Cho hàm đa thức y = P(x), giả sử y = (ax + b)P’(x) + h(x) đó x là điểm cực trị hàm số thì giá trị cực trị hàm số là y(x0) = h(x0) gọi là phương trình quỹ tích các điểm cực trị u( x) , đó x0 là điểm cực trị hàm số thì giá trị g ( x) u' ( x ) u ' ( x) cực trị hàm số là: y ( x ) , và y là phương trình quỹ tích các điểm cực trị g ' ( x0 ) g ' ( x) Định lý 2: Cho hàm phân thức y (đến trang 77/149), và trang - 29 - (30)