Viết tất cả các phân số dương thành dãy:... + Phương pháp phân tích thành nhân tử.[r]
(1)THEO DÃY QUY LUẬT I Dãy cộng : Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên : 0, 1, 2, 3, b) Dãy số lẻ: , 3, , 7, c) Dãy các số chia cho dư : , 4, 7,10 Trong các dãy số trên, mỗi số hạng, kế từ số hạng thứ hai, lớn số hạng đứng liền trước nó cùng số đơn vị, số đơn vị này là ở dãy a); là ở dãy b); là ở dãy c) Ta gọi các dãy trên là dãy cộng Xét dãy cộng 4,7,10,13,16,19 Hiệu giữa hai số liên tiếp của dãy là Số hạng thứ của dãy này là 19, : + (6 – 1).3; số hạng thứ 10 của dãy này là + (10 – 1).3 = 31 Tổng quát, dãy cộng có số hạng đầu là a1 và hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy cộng đó (kí hiệu an) bằng: an = a1 + (n - 1)d (1) Đó tính tổng các số hạng của dãy cộng + + 10 + + 25 + 28 + 31 (gồm 10 số) Ta viết : A = + + 10 + 25 + 28 + 31 A = 31 + 28 + 25 + + 10 + + nên A = (4 + 31) + (7 + 28) + + ( 28 + 7) + (31 + 4) = ( + 31) 10 (4 31).10 175 Do đó A = Tổng quát, dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu là a1, số hạng cuối là an thì tổng của n số hạng đó được tính sau: S= ( a1 +a n ) n (2) (*) Trường hợp đặc biệt, tổng của n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ bằng: n(n 1) + + + + n = (3) II Các dãy khác Ví dụ Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật: a) , , 15 , 24 , 35, (1) b) , 24 , 63 , 120 , 195, (2) c) , , , 10 , 15, (3) (2) d) , , 10 , 17, 26, (4) Giải a) Dãy (1) có thể viết dạng: 1.3 ; 2.4; 3.5 ; 4.6 ; 5.7, Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai theo số, theo số thứ hai lớn theo số thứ là đơn vị Các theo số thứ làm thành dãy : 1,2,3,4,5, dãy này có số hạng thứ 100 là 100 Do đó số hạng thứ 100 của dãy (1) : 100 102 = 10200 b) Dãy (2) có thể viết dạng : 1.3 , 4.6, 7.9 , 10.12 , 13.15, Số hạng thứ 100 của dãy , 4, 7, 10 , 13 , là : + 99.3 = 298 Số hạng thứ 100 của dãy (2) : 298 300 = 89400 c) Dãy (3) có thể viết dạng : 1.2 ; 2.3 ; 3.4 ; 4.5 ; 5.6 ; 100.101 5050 Số hạng thứ 100 của dãy (3) : d) Dãy (4) có thể viết dạng: + 12 , + 22 , + 32 , + 42 , + 52, Số hạng thứ 100 của dãy (4) : + 1002 = 10001 BÀI TẬP Tìm chữ số thứ 1000 viết liên tiếp liền các số hạng của dãy số lẻ : 1, 3, 5, 7, a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số Có số hạng nào của dãy sau tận cùng hay khằng? 1;1+2;1+2+3; + + + ; a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng các chữ số của A b) Cũng hỏi trên viết từ đến 1000000 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 1000! chứa thừa số nguyên tố 7, số bao nhiêu ? (3) Tích A = 1.2.3 500 tận cùng bao nhiêu chữ số ? a) Tích B = 38.39.40 74 có bao nhiêu theo số phân tích thừa số nguyên tố ? b) Tích C = 31 32 33 90 có bao nhiêu thừa số phân tích theo số nguyên tố ? Có bao nhiêu số tự nhiên đồng thời là các số hạng của cả hai dãy sau: 3, , 11, 15 , 407 (1) 2,9,16,23, , 709 (2) Trong dãy số 1, 2, 3, , 1990, có thể chọn được nhiều bao nhiêu số đó tổng hai số bất kì được chọn chia hết cho 38 ? 10 Chia dãy số tự nhiên thành nhóm ( các số cùng nhóm được đặt dấu ngoặc) (1), (2,3), (4,5,6), ( 7,8,9,10), (11,12,13,14,15), a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100 b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 11 Cho S1 = + 2, S2 = + + 5, S3 = + + + 9, S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14, Tính S100 12 Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; 13 Cho A = + + 32 + 33 + + 320 , B = 321 : Tính B – A 14 Cho A = + + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 B Chứng minh : A < 15 Tính giá trị của biểu thức: a) A = + 99 + 999 + + 99 50 chữ số b) B = + 99 + 999 + + 99 (4) 200 chữ số Dãy các số viết theo quy luật đã được trình bày ở chủ đề I Chúng ta gặp các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo các quy luật định Ví dụ Tính nhanh: 1 1 A= + + + .+ 3 3 Giải 1 A=1+ + + .+ 3 Ta có: (1) 1 1 A= + + .+ + 3 3 Lấy (1) trừ (2) được: 2A = - (2) 1 6560 =1− = 6561 6561 3280 A= 6561 Do đó: Ví dụ Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau: a) 1 1 , , , ,⋅¿⋅¿ 2 3 4,5 ¿ b) 1 1 , , , ,⋅¿⋅¿ 66 176 336 ¿ Giải a) Ta chú ý : 1 1 1 1 − = , − = ,⋅¿⋅, − = 2 3 n n+1 n(n+1 ) Do đó: 1 + +¿⋅¿+ = 2 100 101 1 1 1 1 = − + − +¿⋅¿+ − + − = 2 99 100 100 101 =1− 100 = 101 101 b) Trước hết ta viết các mẫu : 6, 66, 176, 336, dạng 1.6; 6.11; 11.16; 16.21; , số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) 1 1 + + +¿⋅¿+ 496 501 Cần tính tổng A = 6 11 11.16 Nhận xét: 1 ; 1.6 1 ; ; 11 6.11 1 496 501 496.501 (5) 1 − = Tổng quát : n−4 n+1 (5 n−4 )(5 n+1 ) 1 1 1 500 A= − + − +¿⋅¿+ − =1− = 6 11 496 501 501 501 Do đó: 100 A= 501 Suy : Ví dụ Tính tổng: Giải áp dụng phương pháp khử liên tiếp ở ví dụ trên: viết mỗi số hạng thành hiệu của hai số cho số trừ ở nhóm trước số bị trừ ở nhóm sau: Ta xét: 1 1 1 − = , − = ,⋅¿⋅, − = 2 3 3 37 38 38 39 37 38 39 Tổng quát : 1 − = n(n+1) (n+1)(n+2 ) n( n+1)(n=2) 2 2 B= + + +¿⋅¿+ = 3 37 38 39 Do đó: 1 1 1 − +( − +¿⋅¿ ( − = ( ) ) ) 2 3 37 38 38 39 = 1 740 370 − = = 38 39 38 39 741 185 741 Suy ra: 1 1 + + = − Tổng quát 3 n( n+1)(n+2 ) (n+1 )(n+2) B= Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức: a) b) 1 1 1+ + +¿⋅¿+ + 97 99 A= ; 1 1 + + +¿⋅¿ + 99 97 95 97 99 1 1 + + +¿⋅¿ 100 B= 99 98 97 + + +¿⋅¿+ 99 Giải a) Ghép các phân số ở số bị chia thành cặp đó mẫu chung, giêng mẫu của các phân số tương ứng ở số chia Biến đổi số bị chia: cộng cặp các phân số cách hai đầu ta được: (6) 100 100 100 + + +¿⋅¿ (1+991 )+( 13 +971 )+( 15 + 951 )+ ¿⋅¿+( 491 +511 )=100 99 97 95 49 51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 b) Biến đổi số chia: Viết các tử thành hiệu 100 – 1, 100 – , 100 – 99 Số chia bằng: 100−1 100−2 100−3 100−99 + + +¿⋅¿+ = 99 100 100 100 100 99 = + + +¿⋅¿ − + + +¿⋅¿ = 99 99 1 + +¿⋅¿ −99= 99 = 100 + 100 ( )( ) ( ) 1 1 1 + +¿⋅¿+ )=100 ( + +¿⋅¿ + ( 99 99 100 ) = + 100 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B = 100 Ví dụ 5: a) Tính tổng A =1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính B = 12 + 22 + 32 + + 972 + 982 c) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính: C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 Giải a) Đó tích mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhóm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của A vì Thừa số này được viết dạng – ở số hạng thứ nhất, – ở số hạng thứ hai, – ở số hạng thứ ba, , 100 – 97 ở số hạng cuối cùng Ta có: 3A = 1.2(3 – 0) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + + 97.98 (99 – 96) + 98.99(100 – 97) = 1.2.3 - 0.1.2 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + + 97.98.99 - 96.97.98 + 98.99.100 - 97.98.99 = 98.99.100 Suy A = 323400 n(n+1)(n+2) Tổng quát ta có : 1.2 + 2.3 + + n(n+1) = b) B = 12 + 22 + 32 + + 972 + 982 = = 1(2 – 1) + 2(3 - 1) + 3(4 – 1) + + 97(98 – 1) + 98(99 – ) = = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 97.98 + 98 99) – (1 + +3 + + 97 + 98) 98 99 =323400−4851=318549 =A- Tổng quát : 12 + 22 + 32 + + n2 = (7) = c) n(n+1 )(n+2) n(n+ 1) n(n+1)(2 n+1 ) − = C = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 = = 1.99 + 2(99 – 1) + 3(99 – 2) + + 98(99 – 97) + 99(99 – 98) = = (1.99 + 2.99+ + 98.99 + 99.99) – (1.2+2.3+ + 97.98 + 98.99) = = 99 ( + + + + 99 ) – A = 99 100 98 99 100 99 100 101 − = =166650 = 99 Tổng quát: 1.n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + + (n –1)2 + n.1 = n(n+1)(n+2) BÀI TẬP 16 Tính nhanh: 1 1 + + +¿⋅¿+ 10 2 2 A= 17 Viết tất cả các phân số dương thành dãy: ; , ; , , ; , , , ; 2 3 a) Hãy nêu quy luật viết của dãy và viết tiếp năm phén số nữa theo quy luật 50 b) Phân số 31 là số hạng thứ của dãy ? 18 Tìm x, biết 1 1 101 + + +¿⋅¿ = x ( x+3) 1540 ; a) 8 11 11.14 1 1 1991 x( x 1) 10 b) = 1993 C/ Phương trình nghiệm nguyên I/ Phương trình nghiệm nguyên: ax + by = c Điều kiện đó có nghiệm: (a,b) = d; c d - Cách giải: + Đặt ẩn phụ liên tiếp + Tìm nghiệm riêng x0 ; y0 của phương trình, từ đã nghiệm của (1) là x x0 bt y y0 at (8) + Phương pháp phân tích thành nhân tử + Phương pháp loại trừ + Phương pháp xuống thang (9)