an 1 Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả.. Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc..[r]
(1)D·y sè cã qui luËt I > Ph¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè trêng hîp gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách nào đó ta biết đợc kết (dự đoán , bài toán chứng minh đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh nào chứng minh đợc VÝ dô : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dù ®o¸n Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết đúng gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp bài toán đợc chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 T¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc 1, + 2+3 + + n = n(n+1) 2, 12 + 2 + + n = n(n+1)(2 n+1) 3, 13+23 + + n3 = [ n( n+1) 2 ] n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) 12 4, 15 + 25 + + n5 = II > Ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ đó ta có : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + VÝ dô : tÝnh tæng : Ta cã : 1 1 + + + + 10 11 11 12 12 13 99 100 S= 1 = − 10 11 10 11 , 1 = − 11 12 11 12 , 1 = − 99 100 99 100 (2) Do đó : S = 1 1 1 1 − + − + .+ − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 D¹ng tæng qu¸t VÝ dô : tÝnh tæng Ta cã Sn = Sn = Sn = Sn = Sn = 1 + + .+ 2 n (n+1) (n> 1) = 1- n = n+1 n+ 1 1 + + + + 3 n(n+1)(n+2) 1 1 1 1 − + − + + − 2 2 3 n (n+1) (n+ 1)(n+ 2) ( ) ( ) ( 1 1 1 − + − + + − ( 2 3 n(n+1) (n+1)(n+2) ) n( n+3) 1 (2 − (n+1)(n+2) )= (n+1)(n+2) ) VÝ dô : tÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dô : tÝnh tæng Sn = ¿2 ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ Ta cã : Do đó i +1 ¿ ¿ ¿ 2i +1 1 = 2−¿ [i (i+1) ] i Sn = ( 1- i = ; ; 3; ; n n+1 ¿2 (¿¿) 1 − n2 ¿ 1 ¿+ − + + ¿ 2 ( ) = 1- n+1 ¿2 ¿ n+1 ¿2 ¿ ¿ ¿ III > Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: VÝ dô : TÝnh tæng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101 VËy S = 2101-1 VÝ dô : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) ( 5) (3) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) =>Sn = 1+p ( Sn –pn ) n+1 Sn = +p.Sn –p n+1 =>Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 =>Sn = P − p −1 VÝ dô : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) p , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 n n+1 p.Sn=Sn- P − +(n+1) Pn +1 ( theo VD ) P−1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - P −1 ¿ ¿ n+1 n+1 (n+1) P p −1 − ¿ p −1 p n+1 − =>S = n P −1 IV > Phơng pháp tính qua các tổng đã biết n ∑ ai=a 1+ a2+ a3 + .+a n C¸c kÝ hiÖu : i=1 n n n n ∑ (ai +b i)=∑ +∑ b i C¸c tÝnh chÊt : 1, i=1 i=1 ; n ∑ a =a ∑ 2, i=1 i=1 i=1 VÝ dô : TÝnh tæng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Ta cã : Sn = n n n n n i=1 i=1 i=1 i=1 ∑ i(i+1)=∑ (i2 +i )=∑ i2+∑ i n(n+1) (Theo I ) n n(n+1)(2 n+1) ∑i = i=1 ∑ i=1+2+3+ +n= V× : i=1 cho nªn : Sn = n(n+1) + n( n+ 1)(2 n+1) = n(n+1)(n+2) VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) n ta cã : Sn = n ∑ i(3 i− 1)=∑ (3 i − i) i=1 i=1 n n i=1 i == = ∑ i2 − ∑ i Theo (I) ta cã : Sn = n (n+1)(2 n+ 1) − n(n+1) =n2 (n+1) VÝ dô 11 TÝnh tæng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) (4) Sn = n+2 ¿ ¿ n+1 ¿2 ¿ 8n ¿ n+1¿ ¿ ¿ ¿ ( theo (I) – )=( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp ) C¬ së lý thuyÕt : + để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách cùng số đơn vị , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0) : ( kho¶ng c¸ch ) + + Để tính tổng các số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách cùng số đơn vị , ta dïng c«ng thøc: Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dô 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm toán VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ đó tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [ (k +2)−(k −1) ] = k (k+1) = 3k(k+1) C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k +2)−(k −1) = k (k +1)(k + 2) − k (k +1)(k −1) 3 * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2.3 0.1.2 1.2 = 2.3.4 1.2.3 3 n(n 1)( n 2) (n 1)n(n 1) n(n 1) 3 2.3 1.2.0 (n 2)n(n 1) (n 1)n(n 2) 3 S= VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ đó tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [( k +3)−(k −1) ] = k( k+1) ( k +2 ) (5) Rót : k(k+1) (k+2) = k (k +1)(k + 2)(k +3) − (k − 1) k ( k +1)( k +2) 4 ¸p dông : 1.2.3 = − 4 2.3.4 = − 4 n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) − (n −1)n (n+1)(n+2) 4 Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3) * Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , 5, S = 1 1 + + + .+ 2 3 99 100 6, S = 4 + + + 5.7 7.9 59 61 7, A = 5 5 + + + + 11 16 16 21 21 26 61 66 8, M = 1 1 + + + + 2005 3 3 9, Sn = 1 + + + n(n+1)( n+2) 10, Sn = 2 + + + 3 98 99 100 11, Sn = 1 + + .+ n(n+1)(n+2)(n+3) n = 1,2,3 , 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 (6) c, + 1 1989 + + + .+ =1 10 x(x +1) 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña b, B =2 + 22 + + + 60 ⋮ ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮ Chuyên đề 1: dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật n 1 = − (1) D·y 1: Sö dông c«ng thøc tæng qu¸t a (a+n) a a+n - - - Chøng minh - - ( a+n)− a n a+ n a 1 = = − = − a (a+n) a (a+n) a (a+ n) a (a+n) a a+n Bµi 1.1: TÝnh a) A= + + + .+ b) B= + c) d) 8 11 11 14 2006 2009 10 10 10 10 C= + + + .+ 12 12 17 17 22 502 507 1 + + + 10 10 14 14 18 402 406 4 4 D= + + + .+ 13 13 18 18 23 253 258 Bµi 1.2: TÝnh: a) A= + + + + c) b) B= + + + + 9 7 19 252 509 10 18 13 26 17 802 405 3 C= − + − + + − 10 13 301 304 401 405 Bµi 1.3: T×m sè tù nhiªn x, tho¶ m·n: x 1 1 a) − − − − − = c) 2008 10 15 21 120 1 1 15 + + + .+ = 3.5 5.7 7.9 (2 x +1)(2 x +3) 93 b) + + + 4 29 + .+ = x 9 13 13 17 41 45 45 Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: 1 1 n + + + + = a) b) 5 8 11 (3 n− 1)(3 n+ 2) n+ 5 5 5n + + + .+ = 7 11 11 15 n+3 (4 n− 1)( n+3) Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥2 ta cã: 3 3 + + + + < 14 14 19 19 24 (5 n − 1)(5 n+ 4) 15 (7) Bµi 1.6: Cho A= + 15 19 19 23 + + 399 403 chøng minh: 16 < A< 16 81 80 2 ; ; ; Bµi 1.7: Cho d·y sè : 11 11 18 18 25 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi S lµ tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y TÝnh S Bµi 1.8: 1 1 Cho A= + + + + Chøng minh < A< Bµi 1.9: 2 2 Cho A= + + + + Chøng minh: A < 1003 1 1 Bµi 1.10: Cho B= + + + + Chøng minh: B< 334 3 2007 2006 2008 2007 1 Bµi 1.11: Cho S= + + + Chøng minh: S < 12 409 9 9 Bµi 1.12: Cho A= + + + + Chøng minh: A < 11 17 305 24 48 200 202 Bµi 1.13: Cho B= + + + + Chøng minh: B> 99 , 75 25 49 201 Bµi 1.14: Cho A=11 + 18 + 27 + + 1766 Chøng minh: 40 20 < A< 40 20 16 25 1764 43 2 2 Bµi 1.15: Cho B= + + + + .+ 99 98 100 21 T×m phÇn nguyªn cña B Bµi 1.16: Cho C= + + 15 + + 2499 Chøng minh C > 48 16 Bµi 1.17: Cho Bµi1.18: M= 2500 1 M + + + 1+ 2+ 1+2+3+ 1+2+3+ +59 Chøng minh Cho N= + + + + 98 101 Chøng minh 97 < N < 98 3 4 99 100 2n 1 = − Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) Chøng minh: (a+2 n)− a 2n a+ 2n a 1 = = − = − a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n)( a+2 n) a (a+n)(a+2 n) a(a+ n)(a+2 n) a(a+ n) (a+ n)(a+2 n) 3n 1 = − a(a+ n)(a+2 n)(a+3 n) a( a+n)(a+2 n) (a+n)(a+ 2n)(a+3 n) Bµi 1.19: TÝnh S= + 2 + + 3 37 38 39 Bµi 1.20: Cho A= + 1 + + Chøng minh 3 18 19 20 A< (8) Bµi 1.21: Cho B=36 36 36 + + + Chøng minh B < 3 5 25 27 29 Bµi 1.22: Cho C= 5 + + + Chøng minh 11 11 14 302 305 308 Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n C< N; n > ta cã: 1 1 A= + + + + < n TÝnh M = Bµi 1.24: 1 + + + 27 28 29 30 1 + + .+ 51 52 100 P= 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99 100 Bµi 1.25: TÝnh (n− 1)(n+1) 1002 1004 + .+ (2 n− 1)(2 n+1) 2005 2007 Bµi 1.26: TÝnh: Q= + + + .+ Bµi 27: 2 2 TÝnh: R= + + + + 2006 5 7 Bµi 1.28: Cho S= 2005 2007 22 23 2n+1 22006 + + + + + + 2005+1 20052+ 20052 + 20052 +1 20052 + n 2005 1002 So s¸nh S víi m m mk+m− mk+ m 2m m m 2m Hướng dẫn: k − − k +1 = (k −1)( k+ 1) = ⇒ k +1 = k −1 − k −1 k −1 Áp dụng vào bài toán với m {2; , …., } và k { 2005, 2005 , … 20052 2006 } ta có: 2 22 = − 2005+1 2005− 20052 − 2 2 = − 2 2005 +1 2005 −1 2005 −1 ……………… n a { } (2) D·y 2: D·y luü thõa víi n tù nhiªn 1 1 Bµi 2.1: TÝnh : A= + + + + 100 2 2 1 1 1 Bµi 2.2: TÝnh: B= − + − + + 99 − 100 2 2 2 48 (9) 1 1 Bµi 2.3: TÝnh: C= + + + + 99 2 2 1 1 Bµi 2.4: TÝnh: D= − + − 10 + − 58 2 2 n Bµi 2.5: Cho A= + + 26 + + −n Chøng minh A >n − 27 98 Bµi 2.6: Cho B= + 10 + 28 + + 98+1 Chøng minh B < 100 27 5 5 Bµi 2.7: Cho C= + + + + 99 Chøng minh: C< 4 4 19 Bµi 2.8: Cho D= 2 + 2 + 2 + + 2 102 Chøng minh: D < 1 100 Bµi 2.9: Cho E= + + + .+ 100 Chøng minh: E< 3 3 4 10 n+1 Bµi 2.10: Cho F= + + + .+ n víi n 3 3 N* Chøng minh: F< 11 11 302 Bµi 2.11: Cho G= + + + + 100 Chøng minh: <G<3 3 13 19 601 Bµi 2.12: Cho H= + + + + 100 Chøng minh: < H <5 3 11 17 23 605 Bµi 2.13: Cho I = + + + + 100 Chøng minh: I < 3 3 13 22 904 Bµi 2.14: Cho K= + + + + 101 Chøng minh: K < 17 3 11 15 403 Bµi 2.15: Cho L= + + + .+ 100 Chøng minh: L < 4,5 3 3 (3) D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: Bµi 3.1: TÝnh: A= 15 24 2499 Bµi 3.2: Cho d·y sè: 1 ,1 , 1 ,1 , 1 , 16 25 2500 15 24 35 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y Bµi 3.3: TÝnh: B= 1− 1− 1 − 1 − − ( )( )( 10 )( 15 ) ( 780 ) (10) Bµi 3.4: Cho C= 199 Chøng minh: C2 < 200 201 Bµi 3.5: Cho D= 99 1 < D< 15 10 Chøng minh: 100 Bµi 3.6: TÝnh: E= +1 +1 + +1 ( )( )( ) (99 ) Bµi 3.7: TÝnh: F= − 1 − 1 − −1 ( )( )( ) (100 ) 15 899 Bµi 3.8: TÝnh: G= 30 Bµi 3.9: TÝnh: H= 30 31 10 62 64 000 ⏟ Bµi 3.10: TÝnh: I =101 10001 100000001 00 n −1 c/ s 1 Bµi 3.11: Cho K= −1 −1 − ( )( )( ) ( −1 100 Bµi 3.12: So s¸nh L= 1− 1− 1− − ( )( )( ) ( 20 ) So s¸nh K víi ) ( )( )( ( 16 ) 21 víi Bµi 3.13: So s¸nh M = 1− 1− 1 − − 100 ) −1 víi 11 19 2 2 Bµi 3.14: TÝnh: N= 50 49 51 Bµi 3.15: TÝnh P= 1− 1 − − 1− 10 ( )( )( ) ( ) Bµi 3.16: TÝnh: Q= 1− − − − ( )( )( ) ( 2007 ) Bµi 3.17: TÝnh: T = − 1 − 1 − − ( )( )( ) ( 99 ) Bµi 3.18: So s¸nh: U= .39 21 22 23 40 Bµi 3.19: Cho V = 1+ ( 1.3 vµ V = 20 −1 )(1+ 2.14 )( 1+ 31.5 ) (1+99 1101 ) Chøng minh V < Bµi 3.20: Cho S= 200 Chøng minh: 201<S <400 199 Bµi 3.21: Cho A= 10 208 Chøng minh: A < 12 210 25 (11) 2 2 Bµi 3.22: TÝnh: B= 100 2 3 100 101 Bµi 3.23: TÝnh: 1999 1999 1999 1999 1+ 1+ 1+ (1+ ( )( )( ) 1000 ) C= (1+10001 )(1+10002 )(1+10003 ) (1+1000 1999 ) Bµi 3.24: TÝnh: n −1 ¿2 (¿¿) , víi n 1− ¿ 4 D= 1− 1− 1− ¿ 25 ( )( )( N, n ≥1 ) Bµi 3.25: Cho E= − 1 1− (1 − )( ) 1+ 1+ 2+ 1+ 2+ 3+ +n ) ( vµ F= n+ víi n N* TÝnh E n F 1 1 1+ 1+ 1024 Bµi 3.26: Cho G= 1+ 1+ 1+ ( )( )( 16 )( 256 ) ( ) vµ H= 2047 TÝnh: G + H n Bµi 3.27: Cho n (22 −1)(22 + 1)+2 3+2 5+2 15 17+2 255 257+2 I= 16 256 65536 22 n víi n N Chøng minh: I < 1 1 Bµi 3.28: Cho d·y sè: ; ; ; ; 16 ; 3 3 a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi A lµ tÝch cña 11 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y Chøng minh c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña B= n Bµi 3.29: Cho 13 97 32 +22 A= 6 62 B n vµ B= −1 víi n n+ N là số tự nhiên ; b) Tìm n để M là số nguyên tố n Bµi 3.30: Cho 37 1297 62 +1 A= 3 3 n ( 13 )(1+ 31 )(1+ 31 ) (1+ 31 ) (1+ 31 ) B= 1+ lµ sè tù nhiªn 3− A n a) Chøng minh : M = A 3−2 A n víi n N (12) a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c th× 5A – 2B chia hÕt cho 45 n Bµi 3.31: Cho 13 97 32 +22 A= 3 32 n n .( víi n N ) Chøng minh: A < (4) TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: Bµi 4.1: TÝnh: A= 1+( 1+ 2)+(1+ 2+ 3)+ +(1+2+3+ + 98) Bµi 4.2: TÝnh: B= 98+2 97+3 96+ +98 Bµi 4.3: Bµi 4.4: Bµi 4.5: Bµi 4.6: Bµi 4.7: Bµi 4.8: 2+2 3+3 4+ .+98 99 2+2 3+3 4+ .+98 99 TÝnh: 1 1 + + + + 300 301 302 101 400 C= 1 1 + + + + 102 103 104 299 400 TÝnh: 1 100 − 1+ + + .+ 100 D= 99 + + + + 100 TÝnh: 1 1 + + + + 51 52 53 100 E= 1 1 + + + + 99 100 ( ) TÝnh 5 15 15 5− + − 15 − + 27 11 121 F= : 8 16 16 8− + − 16 − + 27 11 121 TÝnh 1 1 + ) :2 1,2 : ( ) ( 15 5 G= − 43 , 32+ − :4 ( ) 56 25 TÝnh 98 99 92 + + + .+ + 92 − − − − .− 99 98 97 10 11 100 H= : 1 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 TÝnh 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 29 41 2941 I= : 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 TÝnh 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 13 169 91 K= : 4 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 2− Bµi 4.9: 12 − Bµi 4.10: (13) Bµi 4.11: TÝnh L= 2+ +3 +4 8+5 10 4+6 8+9 12+ 12 16+15 20 1,6: 1 , 25 1, 08 − : 25 M= + +0,6 0,5 : 5 , 64 − − 2 25 17 ( ) ( ( Bµi 4.12: TÝnh Bµi 4.13: TÝnh N=8 11 94 Bµi 4.14: TÝnh P=10101 Bµi 4.15: Bµi 4.16: 5( 1591 −6 ) ) 38 11 :8 1517 43 ) 5 + − (111111 222222 11 13 37 ) TÝnh 1 1 1+ + + + .+ 99 Q= 1 1 + + + .+ + 99 97 95 97 99 TÝnh 1 1 + + + .+ 200 R= 198 199 + + + + + 199 198 197 (14)