Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm M, N, P thẳng hàng và lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì:... Do đó ta có điều phải chứng minh.[r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo Phó Thä ĐỀ CHÍNH THỨC kú thi chän häc sinh giái líp THcs cÊp tØnh n¨m häc 2010-2011 MÔN TOÁN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có trang Câu (4 điểm) x a) Cho 2011 x y 2011 y 2011 Tính giá trị biểu thức T x 2011 y 2011 b) Tính tổng 4 15 240 14399 3 119 121 S = 1 (mỗi số hạng tổng trên có dạng 4n 4n 2n 2n , với n N và n 60) Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình x 3x 2x y y 3y 2y z z3 3z 2z x Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên dương n để B n n n n là số chính phương b) So sánh M và N biết M 20102010 20112010 2011 , N 20102011 20112011 2010 Câu (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4a b 3c 8c A a b 2c 2a b c a b 3c Câu (7 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN là đường kính thay đổi đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d C và D a) Chứng minh AM.AC AN.AD b) Tìm giá trị nhỏ tích AC.AD c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc đường thẳng cố định d) Gọi I là giao điểm CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng ––––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––––– (2) Họ và tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có trang) I Một số chú ý chấm bài Hướng dẫn chấm thi đây dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số II §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Đáp án Điểm Câu (4 điểm) x a) Cho 2011 x y 2011 y 2011 Tính giá trị biểu thức T x 2011 y 2011 b) Tính tổng 4 15 240 14399 3 119 121 S = 1 4n 4n 2n 2n , với n N và n 60) (mỗi số hạng tổng trên có dạng a) (2 điểm) Từ giả thiết, suy x 2011 x 2011 x x y 2011 y 2011 2011 x x y 2011 y 2011 x x (1) 0,50 Tương tự ta có: x 2011 x 2011 y y (2) Từ (1) và (2) suy ra: x + y = hay x = – y Suy T = b) (2điểm) Với k là số tự nhiên khác ta có: 4k 4k 4k 2k 2k = 4k k 2k 2k 2k 2k 0,50 2k 0,50 0,50 2k 1 2k 1 0,75 Cho k nhận các giá trị 1, 2, …, 60 Ta được: Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 0,75 (3) 4 1 15 3 33 13 53 33 … 240 14399 119 121 Vậy S = 1213 1193 1213 665 0,5 Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình x 3x 2x y y 3y 2y z z3 3z 2z x Viết lại hệ đã cho dạng x 3x 2x y y 3y 2y z z3 3z 2z x 0,25 Đặt t = x – thì x = t + 2, vào phương trình thứ hệ ta t 2 t t y t 6t 12t 3t 12t 12 2t y 0,50 t 3t 2t y Khi đó có hệ phương trình t 3t 2t y y 3y 2y z z 3z 2z t 0,25 (I) Do vai trò bình đẳng hoán vị vòng quanh t, y, z nên ta có thể giả sử t , y, z t = max 1) Trường hợp t y z Từ hệ (I) ta có t 3t 2t t z 3z 2z z t 1 t 1 0 z 1 z 1 0 0,25 0,75 t 1 z 1 Do đó t = y = z = Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 (4) t 1 2) Trường hợp t z y Tương tự ta có: y 1 0,75 Do đó t = y = z = Nghiệm hệ phương trình đã cho là: 0,25 (x: y: z) = (3: 1: 1) Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên dương n để B = n4 + n3 + n2 + n + là số chính phương M 20102010 20112010 2011 , N 20102011 20112011 b) So sánh M và N biết a) (2 điểm) Đặt n4 + n3 + n2 + n + = k2 (1) (với k nguyên dương) Ta có (1) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + = 4k2 (2n2 +n)2 +2n2 +(n+2)2 = (2k)2 (2k)2 > (2n2 +n)2 (2k)2 (2n2 +n+1)2 (do k và n nguyên dương) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + (2n2 +n+1)2 (n+1)(n-3) n 3 n 1; 2; 3 Thay các giá trị n vào (1), có n = thoả mãn đề bài 2010 2010 b) (2 điểm) Đặt a 2010 , b 2011 Ta có: M (a b) 2011 , N (2010a +2011b) 2010 2010(a +b)+b 2010 N 2010 a b b 2010 M a b a b b 2010 a b a b 2010 0,25 0,75 0,75 0,25 2010 0,50 2010 0,50 Xét: b 1 a b b 2010 a b 2010 20112010 b 0,50 Vì N b 1 N M Nên M a b 0,50 Câu (2 điểm) Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x a b 2c y 2a b c z a b 3c Đặt Khi đó: 4a b 3c 8c a b 2c 2a b c a b 3c a y z 2x b 5x y 3z c z x (x,y,z > 0) 0,50 0,50 Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 (5) A 4(y z 2x) 2x y 8(z x) 4y 2x 4z 8x 17 x y z y x z x Do đó A 2 32 17 12 17 0,50 Dấu “=” xảy và khi: 2y 2x 2z 2 2x 43 t a b 10 t c t 0,50 (với t R, t > 0) Câu (7 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN là đường kính thay đổi đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d C và D a) Chứng minh AM.AC AN.AD b) Tìm giá trị nhỏ tích AC.AD c) Ch/minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc đường thẳng cố định d) Gọi I là giao điểm CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng Hình vẽ: Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 (6) C d B M E I F K P M A N B O D C A P N D a) (1,5 điểm) Ta có ANM ABM , ABM ACB Suy ra: ACB ANM Do đó AMN và ADC đồng dạng AM AN AM.AC AN.AD AD AC b) (2 điểm) Ta có: AC.AD CD.AB 2R CD (1) Lại có CD BD BC 2 BD.CD 2 AB 4R (2) Từ (1) và (2), suy CD.AD 8R Dấu “=” xảy MN vuông góc với AB c) (2 điểm) Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp MNC , K là trung điểm CD, S là giao điểm AK với MN Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên AMN ADC , 0,75 0,75 0,50 0,50 0,50 0,50 0,75 SAM KCA ANM Suy ra: MN vuông góc với AK Lại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với AO Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =R Vì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song song với d, cách d khoảng R cố định d) (1,5 điểm) Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm M, N, P thẳng hàng và thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì: Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 0,75 0,50 0,50 (7) AP CN BM PC NB MA = Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN D, ta có: AP AM CN CD PC CD và NB BM Do đó ta có điều phải chứng minh Áp dụng bài toán trên vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M, ta có: AB OI CM OI MA 1 BO IC MA IC 2CM (1) 0,25 OI FB IC 2CF (2) Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: MA FB = Từ (1) và (2) ta có CM CF Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo) Mà AB BC MF BC MFC 90 EFB EBA Ta có 0,25 (cùng phụ với góc EAB) EBA EMC (tứ giác AMEB nội tiếp) EFB EMC 0,25 Tứ giác MEDC nội tiếp MEC MDC 900 Do đó: ME EC (3) MEN 900 Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ME EN (4) Từ (3) và (4) suy M, E, N thẳng hàng ––––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––––– Hướng dẫn chấm thi môn Toán năm học 2010-2011 0,25 (8)