Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp THCS năm học 2014-2015 Môn Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-Câu (3,0 điểm)
a)Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2
+y2−xy=x+y+2
b) Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta ln có (a+b+c)3−(a+b − c)3−(b+c −a)3−(a −b+c)3 Chia hết cho 96
Câu (4,0 điểm)
a) Chứng minh với số nguyên dương n ta có √1+(1
n+
1
n+2)
=1+1
n−
1
n+2 b) Tính tổng S=√1+(1+1
3)
+√1+(1 2+
1 4)
2
+√1+(1 3+
1 5)
2
+ +√1+( 2014+
1 2016)
2
Câu (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
√2x2− x=2x − x2
b) Giải hệ phương trình
¿
(x2−1)y+(y2−1)x=2(xy−1) 4x2+y2+2x − y −6=0
¿{ ¿ Câu (7,0 điểm)
Cho BC dây cung cố định đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A điểm di động cung lớn BC,( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF đường cao tam giác ABC;EF cắt BC P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC Q cắt AB R
a) Chứng minh tứ giác BQCR tứ giác nội tiếp
b) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM hai tam giác đồng dạng
c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PQR ln qua điểm cố định
Câu (2,0 điểm)
Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x2
+y2+z2=3
Chứng minh 3x √yz+
y
3 √xz+
z
3
√xy≥xy+yz+xz
- Hết -Hướng dẫn
(2)a)Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2+y2−xy=x+y+2
b) Chứng minh với ba số tự nhiên a,b,c có số lẻ hai số chẵn ta ln có (a+b+c)3−(a+b − c)3−(b+c −a)3−(a −b+c)3 Chia hết cho 96
Hướng dẫn a)
x2+y2−xy=x+y+2⇔2x2+2y2−2 xy−2x −2y+2=6
y −1¿2=6
x −1¿2+¿ ¿
x − y¿2+¿
⇔¿
PT có nghiệm (x ; y)∈{(2;0);(3;2);(−1;0)} hốn vị
Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y x+y+z=a+b+c Ta có (x+y+z)3− x3− y3− z3=3(x+y)(y+z)(x+z) Câu (4,0 điểm)
c) Chứng minh với số nguyên dương n ta có √1+(1
n+
1
n+2)
=1+1
n−
1
n+2 d) Tính tổng S=√1+(1+1
3)
+√1+(1 2+
1 4)
2
+√1+(1 3+
1 5)
2
+ +√1+( 2014+
1 2016)
2
Hướng dẫn a)
n+2¿2 ¿
n+2¿2 ¿ +4
n(n+2)−
n(n+2) ¿
n+2¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ 1+(1
n+
1
n+2)
=1+
n2+
1 ¿ Nên √1+(1
n+
1
n+2)
=1+1
n−
1
n+2 b) S=1+1−1
3+1+ 2−
1 4+1+
1 3−
1
5+ +1+ 2004 −
1
2016=2015+ 2−
1 2015 −
1 2016 Câu (4,0 điểm)
a) Giải phương trình
√2x2− x=2x − x2
(3)
¿
(x2−1)y
+(y2−1)x=2(xy−1) 4x2
+y2+2x − y −6=0 ¿{
¿ Hướng dẫn
a) ĐKXĐ:
x(2x −1)≥0
x(2− x)≥0
⇒
x=0 ¿ 2≤ x ≤2
¿ ¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
√2x2− x =x ¿
√2x2− x=−(x+1) ¿
¿ ¿ ¿ ¿√2x
2− x=2x − x2⇔2x2− x − x
√2x2− x
+(1+x)√2x2− x − x(1+x)=0
⇔(√2x2− x − x)(
√2x2− x+1+x) =0⇔
¿ Giải x=1 x=1
b)
¿
(x2−1)y
+(y2−1)x=2(xy−1);(1) 4x2+y2+2x − y −6=0;(2)
¿{ ¿
từ PT (1) ta có :
y=2− x
¿ xy=1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿x
2y+xy2−
(x+y)−2(xy−1)=0⇔(x+y)(xy−1)−2(xy−1)=0
⇔(x+y −2)(xy−1)=0⇔ ¿ thay vào PT (2) giải có nghiệm
(xy)∈{(1;1);(−0,5;2);(√3+1
2 ;√3+1);(
−√3−1
2 ;1−√3);(
−4 ;
(4)M R
Q
D P
E
F
O
B
C A
a) Do tứ giác BCEF nội tiếp suy ∠AFE =∠BCQ mà ∠AFE=∠BRQ ( so le )
Suy ∠BCQ =∠BRQ nên tứ giác BQCR nội tiếp
b) EM trung tuyến tam giác vuông BEC nên tam giác ECM cân M suy
∠EMD=2∠ACB mà tứ giác BCEF; ACDF nội tiếp nên ∠ACB =∠AFE =∠BFD suy
∠EMD=2∠ACB =∠AFE +∠BFD⇒∠EMD+∠DFE=1800 suy tứ giác DMEF nội tiếp suy ∠BDF =∠PEM mà ∠BDF =∠BAC =∠MDE nên tam giác EPM,và DEM đồng dạng (g.g)
c)do DMEF nội tiếp suy ∠PFD =∠EMD mà ∠PDF =∠EDM nên tam giác PFD đồng dạng tam giác EMD (g.g) suy PDDF=ED
MD; ∠RED =∠AEF =∠FRD nên tam giác FDR cân D suy FD=DR;tương tự tam giác DEQ cân D nên DE=DQ
mà FD=DR; DE=DQ suy PDDR =DQ MD ;
suy tam giác PDR đồng dang tam giác QDM ( c.g.c) suy ∠PRQ =∠PMQ suy tứ giác PRMQ nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua điểm M cố định Câu ( 2.0 điểm)
Cho số thực dương x,y,z thảo mãn x2+y2+z2=3
Chứng minh 3x √yz+
y
3 √xz+
z
3
√xy≥xy+yz+xz
Hướng dẫn
A=3x √yz+
y
3 √xz+
z
3 √xy=
x√3x
3 √xyz+
y√3 y
3 √xyz+
z√3z
3 √xyz Ta có 3=x2+y2+z2≥3√3x2 y2z2⇔xyz≤1 Nên A ≥ x√3x+y√3 y+z√3 z
Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy dãy :
√x2;√3 y2;√3 z2
Dãy :
(5)(x√3x+y√3 y+z√3z)(√3x2+√3 y2+√3 z2)≥(x+y+z)2≥3(xy+yz+xz) (*) Ấp dụng Côsi √3 x2.1 1≤x2+1+1
3 ;
3
√y2 1≤ y2+1+1
3 ;
3
√z2.1 1≤z2+1+1 Nên √3 x2.+3
√y2
+√3z2≤x
+y2+z2+6
3 =3
Thay Vào (*) Ta có
A ≥ x3
√x+y√3 y+z√3 z ≥xy+yz+xz Hay 3x
√yz+
y
3 √xz+
z
3
√xy≥xy+yz+xz
Dấu “=” xảy
¿
x2=y2=z2=1
√x=√3 y=√3z x2
+y2+z2=3
⇔x=y=z=1 ¿{ {
¿ Cách khác
3
√yz 1≤ y+z+1
3 ;
3
√xz 1≤ x+z+1
3 ;
√yx 1≤ y+x+1
3 Nên
A=3x √yz+
y
3 √xz+
z
3
√xy≥3(
x y+z+1+
y x+z+1+
z
y+x+1)=3(
x2 xy+xz+x+
y2 xy+yz+y+
z2
yz+xz+z)=B x+y+z¿2
¿
x+y+z¿2 ¿
x+y+z¿2 ¿
x+y+z¿2 ¿
¿3≥xy+yz+xz ¿
x+y+z¿2≤3(x2+y2+z2)=9⇒x+y+z ≤3=x2+y2+z2; ¿
3¿ 3¿ ¿ 3¿
B ≥¿
Có thể cịn cách khác cách giải chưa xác mong bạn bổ sung