SKKN phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 12 qua bài toán về tính đơn điệu của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 12 QUA BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Thị Nga Chức vụ: Giáo viên Mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………… .2 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Năng lực 2.1.2 Năng lực tư lập luận toán học 2.1.3 Tính đơn điệu hàm số 2.1.3.1 Định nghĩa .2 2.1.3.2 Định lý 2.3.1.3 Định lý 2.3.1.4 Định lí 3.(mở rộng định lí 2) 2.3 Các giải pháp 2.3.1 Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu hàm số 2.3.2 Dựa vào đồ thị hàm số để xác định tính đơn điệu 2.3.3 Dựa vào bảng biến thiên hàm số để xác định tính đơn điệu 2.3.4 Khai thác từ đồ thị hàm số y=f’(x) .7 2.3.5 Sử dụng toán chứa tham số để đào sâu kiến thức tính đơn điệu hàm số 11 2.3.6 Một số tập đề nghị 12 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm .13 Kết luận – Kiến nghị 15 3.1 Kết luận .15 3.2 Kiến nghị 16 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… …17 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Từ năm học 2016-2017, đề thi mơn Tốn Kỳ thi trung học phổ thơng quốc gia thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả tư logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn giáo viên Trong đề thi Đại học cao đẳng năm trước đề thi THPTQG năm gần đề tham khảo Bộ giáo dục năm 2021 câu hỏi tính đơn điệu hàm số xuất hiên tất mức độ kiến thức từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng đặc biệt có câu mức độ vận dụng cao Trong đề thi THPTQG lượng câu hỏi nhiều rộng đối tượng học sinh yếu đa phần em lựa chọn theo hình thức may rủi.Chính mà chất lượng thi em hồn tồn bị động, kéo theo tâm lý ý thức học tập gần khơng có Với hình thức thi trắc nghiêm dạng tốn khơng bó hẹp số dạng theo lối mịn mà biến hố đa dạng có tốn liên qua đến tính đơn điệu hàm số dành cho học sinh yếu đến học sinh giỏi mà sách giáo khoa chưa đáp ứng kịp, sách tham khảo chưa nhiều cho dạng tốn giáo viên học sinh khó khăn để tìm nguồn tài liệu giảng dạy học tập khai thác chủ đề Vì vậy, nhằm giúp em học sinh lớp 12 ôn thi thật tốt đạt kết kì thi Tốt nghiệp THPT tới, tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh lớp 12 qua toán tính đơn điệu hàm số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh tốn liên quan tính đơn điệu hàm số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nhằm tổng kết phân loại đồng thời đưa cách giải toán mức độ nhận biết thơng hiểu liên quan đến tính đơn điệu xuất đề thi Tốt nghiệp THPT năm gần 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài 1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng điều tra theo hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, vấn giáo viên học sinh trường THPT Quảng Xương II 1.4.3 Phương pháp thống kê tốn học: Xử lí số liệu thu sau trình giảng dạy Làm sáng tỏ số khó khăn sai lầm thường gặp học sinh giải toán trắc nghiệm lớp 12 Đồng thời phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đề biện pháp khắc phục NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Năng lực Năng lực vấn đề trừu tượng tâm lí học Năng lực hiểu phức hợp đặc điểm tâm lí cá nhân người đáp ứng yêu cầu hoạt động điều kiện để thực thành công hoạt động Như vậy, nói đến lực nói đến tiềm ẩn cá thể, thứ phi vật chất Song thể qua hành động đánh giá qua kết hoạt động Thông thường, người gọi có lực người nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo loại hoạt động đạt kết tốt hơn, cao so với trình độ trung bình người khác 2.1.2 Năng lực tư lập luận toán học Năng lực tư tổng hợp khả ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải vấn đề, xử lý linh cảm trình phản ánh, phát triển tri thức vận dụng chúng vào thực tiễn Năng lực tư lập luận toán học thể qua việc thực hành động: + So sánh phân tích, tổng hợp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dich + Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lý trước kết luận + Giải thích chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện toán học Năng lực tư lập luận toán học cấp trung học phổ thông biểu sau : + Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát sụ tương dồng khác biệt tình tương đối phức tạp lý giải kết việc quan sát +Sử dụng phương pháp lập luận quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác nhautrong việc giải vấn đề 2.1.3 Tính đơn điệu hàm số 2.1.3.1 Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y  f  x  hàm số xác định K Ta nói: + Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K 2.1.3.2 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x  �0, x �K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x  �0, x �K 2.1.3.3 Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x �K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x �K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f '  x   0, x �K hàm số f khơng đổi K 2.1.3.4 Định lí 3.(mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x  �0, x �K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x  �0, x �K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K + Nếu f '  x  �0 với x �K f '  x   số hữu hạn điểm x �K hàm số f đồng biến K + Nếu f '  x  �0 với x �K f '  x   số hữu hạn điểm x �K hàm số f nghịch biến K Các bước xét tính đơn điệu hàm số *) Tìm tập xác định *) Tính đạo hàm, tìm nghiệm đạo hàm điểm mà đạo hàm không xác định *) Lập bảng biến thiên *) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số y=f(x) đồ thị hàm số y=f’(x) Hàm số y=f(x) đồng biến khoảng (a;b) đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng Hàm số y=f(x) nghịch biến khoảng (a;b) đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng 2.3 Các giải pháp 2.3.1 Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Trong dạng giáo viên cần ôn lại bước tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm số; giáo viên cần xây dựng ví dụ đa dạng, có ví dụ dạng tự luận, có ví dụ dạng trắc nghiệm để học sinh thấy mối liên hệ tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm phần quan trọng nội dung kỳ thi THPT Quốc gia x2 Ví dụ 1: (SGK giải tích 12) Hàm số y  đồng biến khoảng: 1 x A  1; � C  �;1  1;� B � D R \  1 Phân tích hướng giải Theo định lý 1, quy tắc xét tính đơn điệu trên, để hàm số đồng biến ta cần tìm x để g '  x   HD: Cách 1:TXĐ: �\  1 ; y '  (1  x) >0 với x R \ {1} Đáp án C Cách 2: HS sử dụng máy tính kiểm tra khoảng phương án Thử đáp án A x2 + Bấm MODE 7, Nhập hàm y  (sử dụng phím x màu đỏ máy 1 x tính) + Bấm “=” Start bấm số 1 , bấm “=” End bấm số 20 , + Bấm “=” Step bấm (20  (1)) :19 , bấm “=” + Trên hình máy tính cột F  X  tăng ko xác định x  Vì đáp án A loại Thử đáp án B Để nguyên hình + Bấm AC Bấm “=” Start bấm số 20 , bấm “=” End bấm số 20 , + Bấm “=” Step bấm (20  (20)) :19 , bấm “=” + Trên hình máy tính cột F  X  tăng ko xác định x  Vì đáp án B loại Thử đáp án C: Để nguyên hình + Bấm AC Bấm “=” Start bấm số 20 , bấm “=” End bấm số , + Bấm “=” Step bấm (1  (20)) :19 , bấm “=” + Trên hình máy tính cột F  X  tăng ko xác định x  Tiếp tục + Bấm “=” Start bấm số , bấm “=” End bấm số 20 , + Bấm “=” Step bấm (20  (1)) :19 , bấm “=” + Trên hình máy tính cột F  X  tăng ko xác định x  Vì đáp án C Đáp án D Sai cách viết tâp hợp Chú ý: Xét tính đồng biến, nghịch biến khoảng   ;   đáp án + Sau thử đáp án A mà khơng thỏa mãn để ngun hình Nhấn AC nhấn “=”, “=” thay đổi giá trị đầu mút lại đáp án lại + Nếu nhiều đáp án thỏa mãn đồng biến nghịch biến chọn đáp án rộng + Nếu  � chọn  số nhỏ số đầu mút nhỏ đáp án đơn vị Nếu  � chọn  số lớn số đầu mút lớn đáp án đơn vị Nhận xét: Cách phù hợp cho học sinh trung bình, Cách phù hợp với học sinh yếu bị hổng kiến thức, giúp em trinh phục dạng câu hỏi mà đánh chờ may rủi Ví dụ 2: (SGK giải tích 12) Các khoảng nghịch biến hàm số y   x3  x  là: A  1;3 B  �;0   2;� C ( ;0)  (2;) D  0;2  Phân tích hướng giải Theo định lý 1, quy tắc xét tính đơn điệu trên, để hàm số đồng biến ta cần tìm x để g '  x   HD: Cách 1: y’=-3x+-6x Bảng xét dấu x � � y’ + Đáp án B Cách 2: Tương tự ví dụ dùng máy tính kiểm tra đáp án Ví dụ 3: (SGK giải tích 12) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến R? x A y   x  B y  x  x C y  D y  x  cos x x2 Phân tích hướng giải Theo định lý 1, quy tắc xét tính đơn điệu trên, để hàm số đồng biến ta cần tìm x để g '  x   HD: Đáp án D Nhận xét : Trong ví dụ trên, giáo viên việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắc xét tính đơn điệu hàm số mà cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Đó học sinh phải nhận thức hàm số đồng biến, nghịch biến K phải xác định K có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, khơng có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến hợp khoảng Đối với học sinh yếu tốn mà giáo viên cho học sinh luyện theo cách nhiều lần để quen qui trình làm, từ em chủ động, tích cực làm 2.3.2 Dựa vào đồ thị hàm số để xác định tính đơn điệu Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị, biết thiết lập mối liên hệ khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số đồ thị Từ học sinh hiểu sâu nhận biết, vận dụng vào toán dễ dàng hơn; học sinh có động lực nghiên cứu, đam mê u thích nội dung Ví dụ 4: ( Đề tham khảo BGD năm 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho đồng biến khoảng đây? y 1 O 1 x 2 A  0;1 B  �;1 C  1;1 D  1;0  Phân tích hướng giải Trong tốn muốn tìm khoảng đồng biến học sinh quan sát đồ thị tìm khoảng mà đồ thị lên tính từ trái qua phải đối sốt phương án để chọn đáp án HD: Đáp án A ứng phần đồ thị xuống nên hàm số nghịch biến  0;1 Đáp án B đồ thị vừa lên, vừa xuống � loại đáp án B Đáp án C đồ thị vừa lên, vừa xuống � loại đáp án C Đáp án D ứng phần đồ thị lên nên hàm số đồng biến  1;0  Đáp án D Nhận xét : Đây dạng toán giúp em cịn yếu kiến thức trinh phục mà khơng đánh Trong dạng tốn học sinh thường nhầm khoảng trục Ox thành khoảng trục Oy Ví dụ 5: ( Mã 101 đề thi THPT QG 2017) ax  b Đường cong hình bên đồ thị hàm số y  cx  c với a, b, c, d số thực Mệnh đề đúng? A y '  0, x �R B y '  0, x �R C y '  0, x �1 D y '  0, x �1 Phân tích hướng giải Dựa vào đồ thị nhân thấy đồ thị xuống từ trái qua phải nên hàm số nghịch biến Từ kết uận dấu y� HD: Đáp án D Ta thấy đường thẳng x = đường tiệm cận đứng hàm số nên tập xác định hàm số là: D  R \  1 Mà đồ thị cho thấy hàm số nghịch biến D � y '  0, x �D hay y '  0, x �1 Nhận xét: Trong ví dụ này, học sinh phải nhận thức đồ thị lên khoảng K ứng với hàm số đồng biến K đồ thị xuống khoảng K ứng với hàm số nghịch biến K Ngồi thơng qua ví dụ giúp học sinh nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến K 2.3.3 Dựa vào bảng biến thiên hàm số để xác định tính đơn điệu Trong giải pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu bảng biến thiên, biết thiết lập mối liên hệ khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số bảng biến thiên Từ học sinh hiểu sâu nhận biết, vận dụng vào toán dễ dàng hơn; học sinh yếu bớt phải tính tốn dễ lấy điểm Ví dụ 6: (Đề Sở GD ĐT Thanh Hóa năm 2021) Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên hình sau Hàm số y  f ( x ) đồng biến khoảng đây? A  �; 2  B  1;3 C  2;2  D  �;0  Phân tích hướng giải Trong tốn muốn tìm khoảng đồng biến học sinh quan sát bảng biến thiên tìm khoảng mà đồ thị ứng phần mũi tên lên phải đối soát phương án để chọn đáp án HD: Đáp án A tương ứng phần mũi tên lên nên hàm số đồng biến  �; 2  Các đáp lại B, C, D chứa khoảng đồng biến khoảng nghịch biến nên bị loại Đáp án cần chọn A Ví dụ 7: (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  �; 2  B Hàm số đồng biến khoảng  2;0  C Hàm số đồng biến khoảng  �;0  D Hàm số nghịch biến khoảng  0;2  Phân tích hướng giải Tương tự ví dụ học sinh đọc bảng biến thiên hàm số tương ứng với dấu đạo hàm (áp dụng định lý 2) HD: Chọn D Theo bảng xét dấu y '  x �(0;2) nên hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Nhận xét: Trong ví dụ này, rèn luyện cho học sinh cách đọc bảng biến thiên ứng với phần mũi tên lên khoảng K hàm số đồng biến K ứng với phần mũi tên xuống khoảng K hàm số nghịch biến K Ngồi làm dạng học sinh khơng phải tính tốn giúp học sinh yếu có thêm động lực để học hiệu 2.3.4 Khai thác từ đồ thị hàm số y=f’(x) Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích, quy lạ quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) cho xác định dấu f’(x) thơng qua xác định khoảng đồng biế, nghịch biến Trong giải pháp này, giáo viên nên đưa ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để học sinh nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin gặp toán tương tự Ví dụ 8: (Chuyên Bến Tre - 2020)  x  hàm số Cho hàm số y  f  x  biết hàm số f  x  có đạo hàm f � y f�  x  có đồ thị hình vẽ Đặt g  x   f  x  1 Kết luận sau đúng? A Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;4  B Hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;1 C Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  2; � D Hàm số g  x  nghịch biến khoảng  4;6  Phân tích hướng giải Trong tốn muốn tìm khoảng đồng biến học sinh  x   hàm số quan sát đồ thị hàm số f’(x), ứng phần đồ thị dương ta có f �  x   hàm số nghịch biến đồng biến,ứng phần đồ thị âm ta có f �  x  f �  x  1 HD: g  x   f  x  1 Ta có: g � Hàm số g  x  đồng biến x 1 x4 � � � g� ��  x  � f �  x  1  � � 1 x 1 � 0 x2 � Hàm số g  x  nghịch biến  x 1 � 2 x4 � � g� ��  x  � f �  x  1  � � x 11 x0 � � Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  0;2  ;  4; � nghịch biến khoảng  2;4  ;  �;0  Nhận xét: Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ giải toán Cụ thể học sinh phải thực thao tác sau: - Tìm g’(x), - Tìm x để g’(x)>0 hay f’(x+1)>0 g’(x)