Sử dụng phương pháp graph trong dạy học toán ở trường thpt nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

Sử dụng phương pháp graph trong dạy học toán ở trường thpt nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -

LÊ THỊ NGỌC ANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ

HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI

Thái Nguyên - 2008

6 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của đề tài 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH 6

1.2 Đặc điểm môn toán trong trường phổ thông và quan điểm

1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 11 1.3.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph 11

2

1.3.2 Cơ sở triết học của việc ứng dụng graph trong dạy học: tiếp cận cấu trúc hệ thống 22 1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng

phương pháp graph trong dạy học 22 1.3.4 Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy

1.4 Ứng dụng của phương pháp graph trong dạy học 28 1.4.1 Sử dụng phương pháp graph trong dạy học 28 1.4.2 Chuyển hoá graph thành phương pháp graph dạy

2.2.2 Thiết kế graph một số chuyên đề toán học 62 2.2.3 Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập

2.3 Sử dụng graph trong dạy học toán ở trường THPT 70

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 79

3.2 Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 79

1

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

- Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Luật Giáo dục 2005)

- Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

- Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

- Nhiệm vụ đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh không chỉ là định hướng mà còn đòi hỏi cần nghiên cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phương pháp dạy học tích cực Việc kết hợp các phương pháp truyền thống với các phương pháp dạy học đặc thù như phương pháp mô hình hoá, phương pháp graph là một giải pháp tốt

- Công nghệ dạy học hiện đại đã trở thành một xu thế chung của thế giới trong việc đổi mới giáo dục

- Graph là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học khác nhau như: khoa học, kỹ thuật, kinh tế học, hoá học… Bởi vì graph toán học là phương pháp khoa học có tính khái quát cao,

- Đối với phương pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hướng nhưng chưa có học viên cao học nào nghiên cứu một cách chi tiết

- Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp

graph trong dạy học toán ở trường THPT nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phương pháp dạy học có

nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết thực vào việc đổi mới phương pháp dạy học Toán học ở trường phổ thông

3

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hướng vận dụng phương pháp graph để xây dựng một số graph nội dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trường THPT theo chương trình mới

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Chương trình toán THPT, học sinh THPT, GV giảng dạy Toán ở các trường THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trường THPT theo phương pháp graph

- Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chương trình toán THPT như: Thống kê, xác suất…

4 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng phương pháp graph trong dạy học một số nội dung của chương trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, phát triển tư duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới

- Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy học

- Chỉ ra nội dung môn toán trong chương trình toán THPT có thể vận dụng lý thuyết graph

- Thiết kế các graph (nội dung và hoạt động)

- Kiểm tra hiệu quả các graph đã thiết kế để dạy học Toán bằng thực nghiệm sư phạm

7 Phương pháp nghiên cứu 7.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan đến: đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị dạy học toán 10, 11, 12

- SGK, phân phối chương trình, sách GV…

- Các tài liệu về lý thuyết graph và những ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống và trong dạy học

- Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương pháp graph và việc đổi mới phương pháp dạy học

7.2 Thực nghiệm sư phạm

- Biên soạn giáo án có sử dụng graph hoạt động và graph nội dung về môn Toán THPT phù hợp với chương trình lên lớp

- Tiến hành thực nghiệm

- Đánh giá kết quả thực nghiệm

8 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu

Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài

6

Chương I

CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH

1.1.1 Nhu cầu đổi mới PPDH

Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi phải cấp bách nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nước ta đang chuyển đổi từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lý của nhà nước Công cuộc đổi mới này đề ra những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục, điều đó đòi hỏi chúng ta, cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những thay đổi mới căn bản về phương pháp dạy học Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước ta còn có những nhược điểm phổ biến:

Thầy thuyết trình tràn lan;

Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; Thầy áp đặt, trò thụ động;

Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, sáng tạo của người học;

Không kiểm soát được việc học

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục và Đào tạo từ một số năm nay với những tư tưởng chủ đạo được phát biểu dưới nhiều hình thức khác nhau, như “Phát huy tính tích cực”, “Phương pháp dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá người học”v.v… [6]

7

1.1.2 Định hướng đổi mới PPDH

Định hướng đổi mới PPDH đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII (12- 1996), được thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong các chỉ thị của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999)

Luật giáo dục 2005, chương I, điều 24 đã ghi “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho mỗi học sinh”

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc”; Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng bộ Giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho từng học sinh” [10]

Đổi mới PPDH được coi là một trong những nhiệm vụ chiến lược Chính vì vậy PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động, kết hợp tốt học với hành Đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng

8

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học; tăng cường thực hành, thực tập; ứng dụng mạnh mẽ công nghệ thông tin và các thành tựu khác của khoa học, công nghệ vào việc dạy và học

Đổi mới và hiện đại hoá phương pháp giáo dục, chuyển từ truyền đạt tri thức thụ động, giáo viên giảng, học sinh ghi sang hướng dẫn người học tư duy trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho người học phương pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách hệ thống và có tư duy phân tích, tổng hợp và phát triển được năng lực của mỗi cá nhân; tăng cường tính chủ động, tính tự chủ của học sinh…

Hiện nay, trên thế giới đã có rất nhiều chuyên gia và GV áp dụng và chuyển hoá các phương pháp khoa học, các thành tựu của kỹ thuật tiên tiến và

công nghệ mới thành phương pháp dạy học đặc thù Trong đó, tiếp cận - chuyển hoá lý thuyết graph toán học thành phương pháp dạy học là một

trong những hướng có nhiều triển vọng

1.2 Đặc điểm môn toán trong trường phổ thông và quan điểm đổi mới phương pháp dạy học toán

1.2.1 Đặc điểm môn toán

Toán học nói chung và môn toán ở trường THPT nói riêng là môn học mang tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng Tính trừu tượng của toán học và của môn toán trong nhà trường do chính đối tượng của toán học quy định

Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lượng, hình dạng và lôgic trong thế giới khách quan

Tính trừu tượng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học tính trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi

9

Sự trừu tượng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng từ những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình hành…

Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu tượng của môn học này quyết định

Ví dụ: xét tương quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tương

quan của hàm bậc nhất Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn:

+ Trong vật lí ta có tương quan sau:

- Tương quan giữa quãng đường trong một chuyển động đều với

vận tốc v cho trước tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt

- Tương quan giữa hiệu điện thế U với cường độ dòng điện trong

trường hợp điện trở R không đổi: U = IR

+ Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với

tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d

Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học Nó là nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phương pháp dạy học toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo

Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng

sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) tiếp tục khẳng định: “Phải đổi mới phương

pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”

Các quan điểm trên đây đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục Như vậy quan điểm chung về hướng đổi mới PPDH đã được khẳng định Cốt lõi của việc đổi mới PPDH môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Vậy quan điểm chung về đổi mới PPDH môn toán hiện nay ở trường THPT là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Trong những năm gần đây, đã có những công trình khoa học xét quá trình dạy học dưới mức độ định lượng bằng những công cụ của toán học hiện đại Việc này có tác dụng nâng cao hiệu quả của hệ dạy học cổ truyền, đồng thời mở ra những hệ dạy học mới tăng cường tính khách quan hoá (vạch kế hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và sáng tạo)…

Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hướng từ giáo viên đến học sinh mà còn theo hướng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngược) hoặc giữa học sinh với các phương tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…)

11

hoặc giữa học sinh với học sinh Như vậy, giữa giáo viên và học sinh; giữa phương tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các đường (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông tin nhanh nhất, hiệu quả nhất

Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động,

biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo, hình thành và ổn định phương pháp tự học

Đối với giáo viên đổi mới PPDH là:

-Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hướng tới dạy người học phát triển và giải quyết vấn đề

- Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học

- Nâng cao hơn việc sử dụng phương tiện dạy học, thành tựu của công nghệ thông tin, tăng cường tri thức toán gắn với thực tiễn

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học 1.3.1 Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph

Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó

Người ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của graph Số đỉnh của graph G được kí hiệu bằng V(G) hay V Số cạnh của graph G được kí hiệu bằng E(G) hay E

Trong mỗi graph các cạnh của graph thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào, đều không phải là điều quan trọng, mà điều quan trọng là graph có bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào Xét một đỉnh của graph, số cạnh tới đỉnh đó được gọi là bậc (degree) của đỉnh

12

Một graph được gọi là phẳng nếu nó có thể vẽ được trên một mặt phẳng mà không có cạnh nào cắt nhau (ở một điểm không phải là điểm mút của các cạnh) Hình vẽ như thế được gọi là một biểu diễn phẳng của graph

Mỗi graph có thể có nhiều biểu diễn phẳng khác nhau, nhưng phải chỉ rõ được mối quan hệ giữa các đỉnh Graph có thể biểu diễn được dưới dạng sơ đồ, dạng biểu đồ quan hệ hoặc dạng bảng (ma trận)

Grap con (Đỉnh C là graph con)

13

Ví dụ:

V= {A, B, C, D, E, G}

E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)}

Hai đỉnh u và v trong graph (vô hướng) được gọi là liền kề nếu (u,v) E Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v Cạnh e cũng là cạnh nối các đỉnh u và v Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e

Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó

Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)= 0

Ví dụ:

Deg(A)=3; deg(B)=2

Deg(C)=4; deg(D)=4 Deg(F)=1( Flà đỉnh treo)

Deg(G)=0 (G là đỉnh cô lập)

* Graph có hướng:

Một graph có hướng G= (V,E) gồm một tập V≠Ø mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các cặp sắp thứ tự của các phần tử thuộc V

D

14

Đỉnh u được gọi là nối tới v hay v được gọi là nối tới u trong graph có hướng nếu (u,v) là một cung của graph Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cung này

Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hướng G, kí hiệu deg+(v) là số các cung có đỉnh cuối là v

Bán bậc ra của đỉnh v trong graph có hướng G, kí hiệu deg-(v) là số các cung có đỉnh đầu là v

Ví dụ:

Deg+(A)= 1; deg-(A)= 4 Deg+(B)= 2; deg-(B)= 2 Deg+(C)= 2;deg-(C)= 0 Deg+(D)= 1; deg-(D)= 0 Deg+(E)= 0; deg-(E)= 0 D là đỉnh treo, E là đỉnh cô lập

Nếu deg+

(v)= deg-(v)= 0 thì v là đỉnh cô lập Nếu deg+

n cạnh và mỗi đỉnh của Kn có bậc là n-1

E B

B

A

V1

V3

C3

16

+ Graph lập phương

Graph lập phương n đỉnh Qn là graph với các đỉnh biểu diễn 2n xâu nhị phân độ dài n và hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi hai xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh này chỉ khác nhau một bit

+ Graph hai phía

Graph đơn G = (V, E) sao cho V = V1 V2 , V1 V2 = Ø, V1 ≠ Ø, V2 ≠ Ø và mỗi cạnh của G được nối với một đỉnh trong V1 và một đỉnh trong V2 được gọi là graph phân đôi

Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v1 V1, v2 V2; (v1, v2) E thì G được gọi là graph phân đôi đầy đủ Nếu V1= m, V2= n thì graph phân đôi đầy đủ G ký hiệu là Km,n Vậy Km,n có m.n cạnh, các đỉnh V1 có bậc n và V2 có bậc m

Ví dụ: K2,3

1.3.1.2 Graph Euler và graph Hamilton:

Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương, trong graph G = (V, E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2,…,en của graph

Q2

17

sao cho e1=(x0, x1); e2=(x1, x2);…;en=(xn-1, xn) với x0= u và xn= v Khi graph không có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh x1, x2,…, xn

Đường đi gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Đường đi gọi là chu trình đơn nếu nó không chứa cùng một cạnh (hoặc cung)

quá một lần

Một graph (vô hướng) được gọi là liên thông nếu có đường đi giữa mọi

cặp đỉnh phân biệt của graph

Ví dụ:

Đường đi Euler và graph Euler [11]:

Định nghĩa: Chu trình (đường đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung)

của graph (có hướng hoặc vô hướng) G được gọi là chu trình (đường đi) Euler

Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hướng)có chứa một chu trình (đường đi) Euler được gọi là graph Euler (nửa Euler)

G

HZ

I

C D

E B

18

Graph G1 trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C, D, E, B, A Graph G3 không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G3 là nửa Euler Graph G2 không có chu trình cũng như đường đi Euler

Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]:

Định nghĩa: Chu trình (đường đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph

(vô hướng hoặc có hướng) G được gọi là chu trình (đường đi) Hamilton Một graph có chứa một chu trình (đường đi) Hamilton được gọi là graph Hamilton (nửa Hamilton)

1.3.1.3 Khái niệm “cây” trong lý thuyết graph

Định nghĩa: Cây (tree) là một graph vô hướng liên thông, không chứa

Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông

Cây T = (V, F) với F E được gọi là cây khung của đồ thị G

Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất

Đây là bài toán tối ưu trên graph tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống

Cho G = (V, E) là graph vô hướng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E có trọng số m(e) 0 Giả sử T = (VT, ET) là cây khung của đồ thị G (VT = V) Ta gọi độ dài m(T) của cây khung T là tổng trọng số các cạnh của nó Bài toán đặt ra là trong tất cả các cây khung của đồ thị G hãy tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất Cây khung như vậy được gọi là cây khung nhỏ nhất

Ví dụ 1: Tìm cây khung cực tiểu cho graph sau theo thuật toán Kruskal

T2 T3

2 V1

7

20

Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V1, V2, V3, V4

Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số { (V2,V4), (V2, V3), (V3, V4), (V3, V1), (V1, V2)} Thêm vào graph cạnh (V2, V4)

Vì số cạnh của T là 1< 4-1=3 nên ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V2, V3) Số cạnh của T tăng thành 2 vẫn nhỏ hơn 4-1, ta tiếp tục thêm vào T cạnh (V3, V1) ( không thêm cạnh (V3, V4), vì nhƣ vậy sẽ tạo thành chu trình)

Vậy ta đƣợc cây khung cực tiểu:

R

J C

21

Một cây có gốc thường được vẽ với gốc R ở trên cùng và cây phát triển từ trên xuống, gốc r gọi là đỉnh mức 0 Các đỉnh kề với r được xếp ở phía dưới và gọi là đỉnh mức 1 Đỉnh ngay dưới mức 1 gọi là đỉnh mức 2,…

Tổng quát trong một cây có gốc thì v là đỉnh mức k khi và chỉ khi đường đi từ r đến v có độ dài bằng k

Mức lớn nhất của một đỉnh bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây Cây có gốc trên thường được vẽ như sau để làm rõ mức của đỉnh:

J

G

O D

H

Q K

M L

P

Cây đa phân

22

Trong toán học, cây đa phân có thể dùng để hệ thống hoá khái niệm, mô hình hoá tài liệu giáo khoa (có thể là nội dung một phần kiến thức, một bài hoặc một chương)

Cây nhị phân: Một cây có gốc T được gọi là cây nhị phân nếu bậc ở tất

cả các đỉnh đều không lớn hơn 2, hay mỗi đỉnh của T chỉ có tối đa hai con

cấu thành nên đối tượng

Việc ứng dụng graph trong dạy học là tiếp cận cấu trúc - hệ thống graph để phân tích đối tượng nghiên cứu thành các yếu tố cấu trúc, xác định các đỉnh của graph trong một hệ thống mang tính lôgic khoa học, qua đó thiết lập các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc trong một tổng thể

Tính đặc thù phương pháp luận của tiếp cận cấu trúc hệ thống được biểu thị ở chỗ hướng nghiên cứu vào việc khám phá tính chỉnh thể của đối tượng

Cây nhị phân (binary tree)

23

và các cơ chế đảm bảo tính chỉnh thể đó Tiếp cận cấu trúc - hệ thống nhằm hướng nghiên cứu vào tính tổng thể của đối tượng, làm sáng tỏ các mối liên hệ đa dạng, phức tạp Giúp người học có thể nắm được lý thuyết một cách tổng thể

1.3.3 Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc sử dụng phương pháp graph trong dạy học

PPDH môn toán phải dựa vào những thành tựu của tâm lý học, đặc biệt là tâm lí học phát triển, tâm lí học sư phạm và tâm lí học tư duy để xác định mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học

Trong quá trình dạy học, hoạt động học tập của học sinh là quá trình tiếp nhận thông tin Những thông tin được giới thiệu tạo cho học sinh tri giác sẽ khái quát hóa, trừu tượng hoá và cuối cùng là mô hình hoá thông tin để ghi nhớ theo mô hình

Sử dụng graph trong dạy học thực chất là hành động mô hình hoá, tạo ra

những đối tượng nhân tạo tương tự về một mặt nào đó với đối tượng hiện thực để tiện cho việc nghiên cứu

Rõ ràng graph giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát hơn Học sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu được cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của nội dung học tập

Mô hình là vật thể được dựng lên một cách nhân tạo dưới dạng sơ đồ,

cấu trúc vật lý, dạng ký hiệu hay công thức tương ứng với đối tượng nghiên cứu (hay hiện tượng) nhằm phản ánh và tái tạo dưới dạng đơn giản và sơ lược nhất cấu trúc, tính chất, mối liên hệ và quan hệ giữa các bộ phận của đối tượng nghiên cứu Mô hình là vật đại diện thay thế cho vật gốc, có những tính chất tương tự với vật gốc, nhờ đó khi nghiên cứu mô hình người ta sẽ nhận được những thông tin về những tính chất hay quy luật của vật gốc

24

Mô hình hoá thực ra là đơn giản hoá thực tại bằng cách, từ một tập hợp

tự nhiên các hiện tượng, trạng thái về hệ gắn bó qua lại với nhau, ta tách ra những yếu tố nào cần nghiên cứu, rồi dùng ký hiệu quy ước diễn tả chúng thành những sơ đồ, đồ thị, biểu đồ và công thức để mô phỏng một mặt nào đó của thực tại Mô hình hoá là một hành động học tập, giúp con người diễn đạt lôgíc khái niệm một cách trực quan Qua mô hình các mối quan hệ của khái niệm được quá độ chuyển vào trong (tinh thần) Như mô hình là “cầu nối” giữa vật chất và tinh thần

Graph giúp HS có một điểm tựa tâm lý rất quan trọng trong sự lĩnh hội, học tập Từ những hình ảnh trực quan hay lời nói của GV mô tả về đối tượng nghiên cứu, bằng các thao tác tư duy học sinh sẽ chuyển những thông tin đó sang “ngôn ngữ graph”, tức là học sinh tự thiết lập các graph trong não Học sinh sẽ dễ dàng hiểu sâu được cái bản chất nhất, chủ yếu nhất, quan trọng nhất của nội dung học tập Theo tâm lý học nhận thức, mọi hình ảnh (kể cả âm thanh) học sinh tri giác được đều được mô hình hoá bằng các thao tác tư duy, do đó graph đã giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong khâu khái quát hoá

Hình ảnh trực quan là điểm tựa quan trọng cho sự ghi nhớ và tái hiện tri thức của học sinh về nội dung bài học Ngôn ngữ graph ngắn gọn, súc tích chứa đựng nhiều thông tin sẽ giúp cho học sinh xử lý thông tin nhanh chóng và chính xác hơn Đối với việc ghi nhớ, học sinh không phải thuộc lòng mà chỉ cần ghi nhớ những dấu hiệu cơ bản của đối tượng nghiên cứu và các quy luật về mối quan hệ của các yếu tố trong một hệ thống nhất định Còn đối với việc vận dụng tri thức, học sinh phải thực hiện một thao tác tư duy là chuyển từ “ngôn ngữ graph” sang ngôn ngữ “ngữ nghĩa”, việc làm này giúp cho học sinh vận dụng kiến thức chính xác và hiệu quả hơn

Sử dụng graph trong dạy học còn có tác dụng rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy khái quát (tư duy hệ thống) Đây là một hoạt động có hiệu

Năm 1958, tại Pháp Claude Berge đã viết cuốn “Lý thuyết graph và những ứng dụng của nó” Trong cuốn sách tác giả đã trình bày những khái niệm và định lý toán học cơ bản của lý thuyết graph, đặc biệt là những ứng dụng của lý thuyết graph trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Hiện nay, nhiều trường đại học trên thế giới có những nhóm tác giả đang nghiên cứu về lý thuyết graph, về sự chuyển hoá của lý thuyết graph vào những lĩnh vực khoa học khác nhau, đơn cử:

- Trường đại học Antrep - Bỉ có nhóm nghiên cứu của giáo sư Dirk Janssens; trường Đại học kỹ thuật Beclin - Đức có nhóm nghiên cứu của giáo sư Hartmut Ehrig; trường Đại học tổng hợp Layden - Hà Lan có giáo sư Grzegorz Rozenberg …

- Ở Hoa Kỳ có nhiều tác giả đã nghiên cứu sâu về lý thuyết graph làm cơ sở cho lý thuyết mạng máy tính và chuyển hoá vào các ngành khoa học khác Trong đó nổi bật nhất là những công trình nghiên cứu của Jonathan L Gross

Năm 1965, V.X.Poloxin dựa theo cách làm của A.M.Xokhor đã dùng phương pháp graph để diễn tả trực quan những diễn biến của một tình huống dạy học, tức đã diễn tả bằng một sơ đồ trực quan trình tự những hoạt động của giáo viên và học sinh trong việc thực hiện một thí nghiệm hoá học Ông cũng mô tả trình tự các thao tác dạy học trong một tình huống dạy học bằng graph

Năm 1972, V.P.Grakumop đã sử dụng phương pháp graph để mô hình hoá các tình huống của dạy học nêu vấn đề Theo ông, trong việc tạo ra các mẫu của tình huống nêu vấn đề và giải quyết vấn đề, thì việc vận dụng lý thuyết graph có thể giúp ích rất nhiều cho các nhà lý luận dạy học

Năm 1973 cũng tại Liên Xô (cũ) tác giả Nguyễn Như Ất đã vận dụng phương pháp graph kết hợp với phương pháp ma trận như một phương pháp hỗ trợ để xây dựng logic cấu trúc các khái niệm “tế bào học” trong giáo trình môn sinh học đại cương trường phổ thông của nước Việt Nam

27

1.3.4.2 Ở Việt Nam

Từ năm 1971, giáo sư Nguyễn Ngọc Quang là người đầu tiên nghiên cứu chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học và đã công bố nhiều công trình trong lĩnh vực này Trong các công trình đó, giáo sư đã nghiên cứu những ứng dụng cơ bản của lý thuyết graph trong khoa học giáo dục, đặc biệt trong giảng dạy hoá học Sau đó cũng đã có nhiều tác giả đi sâu nghiên cứu trong lĩnh vực này

Năm 1980, tác giả Trần Trọng Dương đã nghiên cứu đề tài: “Áp dụng phương pháp graph và algorit hoá để nghiên cứu cấu trúc và phương pháp giải, xây dựng hệ thống bài toán về lập công thức hoá học ở trường phổ thông”

Năm 1983, Nguyễn Đình Bào nghiên cứu sử dụng graph để hướng dẫn ôn tập môn toán, Nguyễn Anh Châu đã nghiên cứu sử dụng graph hướng dẫn ôn tập môn văn Các tác giả này đã sử dụng sơ đồ graph để hệ thống hoá kiến thức mà học sinh đã học trong một chương hoặc trong một chương trình nhằm thiết lập mối liên hệ các phần kiến thức đã học, giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn Năm 1984, Phạm Tư đã nghiên cứu đề tài “Dùng graph nội dung của bài lên lớp để dạy và học chương Nitơ - Photpho ở lớp 11 trường phổ thông trung học” Với thành công của ông, lý thuyết graph đã được vận dụng như một phương pháp dạy học hoá học thực sự có hiệu quả

Năm 1987, Nguyễn Chính Trung đã nghiên cứu “Dùng phương pháp

graph lập chương trình tối ưu để dạy môn sử”

Năm 1993, Hoàng Việt Anh đã nghiên cứu “Vận dụng phương pháp sơ đồ - graph vào giảng dạy địa lý các lớp 6 và 8 ở trường trung học cơ sở” Tác giả đã sử dụng phương pháp graph để phát triển tư duy của học sinh trong học tập địa lý và rèn luyện kỹ năng khai thác sách giáo khoa cũng như các tài liệu tham khảo khác

28

Trong lĩnh vực dạy học sinh học ở trường phổ thông Nguyễn Phúc Chỉnh là người đầu tiên đi sâu nghiên cứu một cách hệ thống về lý thuyết graph và ứng dụng lý thuyết graph trong dạy học Giải phẫu – Sinh lý người (2005)

1.4 Ứng dụng của phương pháp graph trong dạy học 1.4.1 Sử dụng phương pháp graph trong dạy học

Sử dụng phương pháp graph trong dạy học đang là một hướng đi trong việc đổi mới phương pháp dạy học

Graph có tác dụng mô hình hoá các đối tượng nghiên cứu và mã hoá các đối tượng đó bằng một loại “ngôn ngữ” vừa trực quan, vừa cụ thể và cô đọng Vì vậy dạy học bằng graph có tác dụng nâng cao hiệu quả truyền thông tin nhanh chóng và chính xác hơn Giúp học sinh thu nhận kiến thức một cách khoa học hơn, hiểu vấn đề một cách khái quát hơn

Xử lý thông tin là sử dụng các thao tác tư duy nhằm phân tích thông tin, phân loại thông tin và sắp xếp thông tin vào những hệ thống nhất định (thiết lập mối quan hệ giữa các thông tin) Hiệu quả những thao tác đó phụ thuộc vào chất lượng thông tin và năng lực nhận thức của từng học sinh Tuy nhiên nhờ các graph mã hoá các thông tin theo những hệ thống logic hợp lý đã làm cho việc xử lý thông tin hiệu quả hơn rất nhiều

Lưu trữ thông tin là việc ghi nhớ kiến thức của học sinh Những cách dạy học cổ truyền thường yêu cầu học sinh ghi nhớ một cách máy móc (học thuộc lòng) vì vậy học sinh dễ quên Graph sẽ giúp học sinh ghi nhớ một cách khoa học, tiết kiệm “bộ nhớ” trong não học sinh Hơn nữa việc ghi nhớ các kiến thức bằng graph mang tính hệ thống sẽ giúp cho việc tái hiện và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt hơn

29

1.4.2 Chuyển hoá graph thành phương pháp graph dạy học

Trong nhận thức khoa học, có thể phân loại các phương pháp khoa học thành ba nhóm: phương pháp khái quát, phương pháp riêng rộng và phương pháp đặc thù Hệ thống các phương pháp khoa học gắn bó với nhau, thâm nhập vào nhau và sinh thành ra nhau, chúng có thể chuyển hoá cho nhau để hình thành ra những phương pháp mới phù hợp với mục tiêu và nội dung đặc thù của từng hoạt động

Phương pháp graph toán học là phương pháp khoa học thuộc loại riêng rộng, có tính khái quát cao, tính ổn định vững chắc và có thể dùng mã hoá các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu Vì vậy trong những năm cuối thế kỷ XX, trên thế giới đã xuất hiện xu hướng chuyển hoá phương pháp graph của toán học thành phương pháp dạy học nhiều bộ môn không phải là toán học, nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp tư duy và tự học có hiệu quả

Từ năm 1971, giáo sư Nguyễn Ngọc Quang đã nghiên cứu chuyển hóa các phương pháp khoa học thành phương pháp dạy học, thông qua xử lý sư phạm là một trong những hướng của chiến lược đổi mới và hiện đại hoá phương pháp dạy học Quá trình chuyển hoá phương pháp graph toán học thành phương pháp graph dạy học thông qua xử lý sư phạm được thực hiện theo công thức sau:

1.4.3 Những ứng dụng của graph trong dạy học

* Dùng graph để hệ thống hoá khái niệm:

“Trong việc dạy học toán, cũng như ở việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách

Ψ graph dạy học Phương pháp Phương pháp graph

toán học

30

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học” (Hoàng Chúng 197, tr 116)

Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm

Có thể dùng graph để hệ thống hoá các khái niệm trong một tổng thể, qua đó mở rộng hiểu biết về đối tƣợng cần nghiên cứu một cách khái quát Điều đó giúp học sinh hiểu khái niệm một cách không hình thức, không máy móc

Ví dụ:

Để hình thành khái niệm trung điểm đoạn thẳng phải định nghĩa “đoạn thẳng” Để đi đến định nghĩa đoạn thẳng phải dựa vào khái niệm “nằm giữa” và “điểm”, hơn nữa khái niệm cách đều phải dựa vào khái niệm cơ bản là độ dài đoạn thẳng

Để hình thành khái niệm hình vuông thì phải dựa vào khái niệm hình chữ nhật và hình thoi, để có khái niệm hình chữ nhật phải có khái niệm hình bình hành, khái niệm tứ giác và tứ giác lồi

Đoạn thẳng Nằm

giữa

Cách đều

Độ dài đoạn thẳng

31

* Dùng graph cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa:

Nếu nội dung bài học chỉ được truyền tới người học dưới dạng văn bản thì người học sẽ có thể kém hứng thú, có khi dẫn đến việc hiểu sai nội dung việc ghi nhớ rất khó khăn

Xây dựng mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức trong một hệ thống nhất định (trong một chương trình, một chương hay một bài) Cấu trúc hoá tài liệu giáo khoa cho phép tạo nên hệ thống kiến thức cho học sinh Điều này giúp cho hoạt động dạy học có hiệu quả hơn, vì nó cho biết mối quan hệ hữu cơ giữa những bộ phận kiến thức trong mối liên hệ logic với nhau Học sinh có thể định hướng được các hoạt động trí tuệ và kích thích sự tìm tòi để chiếm lĩnh hệ thống tri thức mới Những tri thức mà học sinh tự tìm tòi chiếm lĩnh được sẽ nhớ lâu hơn, tái hiện chính xác hơn

Cấu trúc hoá nội dung tài liệu giáo khoa được xem như một cách làm có hiệu quả Cách làm này vừa phù hợp điều kiện hoàn cảnh nước ta hiện nay, vừa đón trước được xu thế phát triển của khoa học thế giới

Ví dụ: Với nội dung bài “Phương trình đường thẳng” ta có thể cấu trúc

hoá nội dung dưới dạng sơ đồ Việc làm này sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng thể đối với bài toán, thấy được những nội dung cơ bản và các yếu tố cấu trúc trong nội dung đó

Hình thoi

Hình vuông Hình chữ nhật

Tứ giác lồi

32

* Dùng graph hướng dẫn học sinh tự học:

Chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là ghi nhớ kiến thức, đối phó với thi cử sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chú trọng hình thành năng lực tự học dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn tổ chức của giáo viên Những gì mà học sinh nghĩ được, làm được, giáo viên không làm thay, nói thay

Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là biện pháp nâng cao hiệu quả mà còn là mục tiêu của dạy học Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen,

Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

đường thẳng

ỨNG DỤNG

Hình 1.1

Thông qua hoạt động học tập bằng graph, học sinh sẽ hình thành tư duy hệ thống Từ đó có thể phát huy tính độc lập, sáng tạo của học sinh Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nghiên cứu nội dung của bài khoá trong sách giáo khoa hoặc quan sát mô hình, vật mẫu cụ thể… để đi đến các yếu tố cấu trúc của đối tượng nghiên cứu rồi lập graph để thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc đó Hình thức này giúp cho học sinh có một phương thức tự học theo sách giáo khoa một cách chủ động

Ngoài ra học sinh còn có thể tự học ở nhà, bằng graph học sinh có thể lập được dàn ý cơ bản của các nội dung học tập Từ đó tạo điểm tựa để học sinh ghi nhớ và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, có hệ thống

Ví dụ: Giáo viên có thể cho học sinh nghiên cứu nội dung của bài: “Khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, yêu cầu học sinh xác định kiến thức trọng tâm của nội dung (các bước khảo sát hàm số…), tìm những yếu tố cấu trúc của các kiến thức đó rồi lập graph thể hiện các mối quan hệ của các yếu tố cấu trúc đó

34

1.4.4 Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học

Trong lý luận dạy học, vận dụng lý thuyết graph đã trở thành một tiếp cận mới thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học, cho phép GV quy hoạch được quá trình dạy học tổng quát cũng như từng mặt của nó Dùng graph có thể thiết kế tối ưu hoạt động dạy - học và điều khiển hợp lý quá trình này tiến tới công nghệ hoá một cách có hiệu quả quá trình dạy học trong nhà trường theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

Thay vì hỗ trợ cho môi trường dạy - học thụ động, việc lập graph khuyến khích học sinh tham gia tích cực vào tư duy, mổ xẻ và phát triển ý tưởng Học sinh không chỉ dừng ở việc nắm tri thức một cách đơn lẻ mà xâu chuỗi, kết nối một cách có hệ thống các tri thức đó lại để hiểu rõ hơn mối quan hệ giữa chúng Quan trọng hơn là học sinh sẽ học được một qui trình điều tra, hình

Khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị hàm số

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Sự biến thiên

b Tìm cực trị

c Tìm giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu

có) a Xét chiều biến

thiên

Suy ra chiều biến thiên của hàm số

Xét dấu của đạo hàm Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

xác định Tính đạo hàm

d Lập bảng biến thiên 3 Vẽ đồ thị

Hình 1.2