1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Các dạng bài tập Hệ phương trình

11 26 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 479,25 KB

Nội dung

Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế + Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phươn[r]

(1)Heä phöông trình hai aån I HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN a1x  b1y  c1 Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình:  a2 x  b2 y  c2 Caùch giaûi: b1 Tính các định thức: D a1 b1 a2 b2 ; Dx  c1 b1 c2 b2 ; Dy  a c1 a c2 b2 Ta coù: i/ D  : Hệ có nghiệm (x; y) với x  D  ii/  : Dx   Dy   D Dx ,y y D D Heä phöông trình voâ nghieäm iii/ D  Dx  Dy  : Heä phöông trình coù theå voâ nghieäm, coù theå voâ soá nghieäm ( neân thay giaù trò cuï theå vaøo heä phöông trình roài keát luaän ) Caùc ví duï: VD1: Cho heä phöông trình:  x  my  3m (I)  mx  y  2m  1 Giaûi vaø bieän luaän heä (I) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x0; y0), tìm các giá trị nguyên m cho x0 và y0 là số nguyên VD2: Cho heä phöông trình: mx  4y  m2    x  (m  3)y  2m  Với các giá trị nào m thì hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x  y ? Với các giá trị m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ tổng x + y ( ÑH An Ninh 98 ) VD3: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình (1  sin a)x  cos a.y  cos a  cos a.x  (1  sin a)y  sin a VD4: Tìm các giá trị b cho với a  R thì hệ phương trình có nghiệm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (2)  x  2ay  b  ax  (1  a)y  b ( ĐH Công Đoàn 98 ) Baøi taäp laøm theâm: (a2  1)x  (a  1)y  a  B1 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình  (a  1)x  (a  1)y  a  mx  2y  m  B2 Cho heä phöông trình  2x  my  2m  a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b) Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ x và y độc lập m ax  y  b B3 Cho heä phöông trình   x  ay  c  c a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b) Tìm b cho với a, luôn tìm c để hệ phương trình có nghiệm II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI f(x;y)  Daïng:  (1), đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y g(x;y)  Nhận dạng: Khi thay x y và thay y x thì hệ không đổi Tức là: f(x;y)  f(y; x)  thay x y     và thay y x g(x;y)  g(y; x)   x  y  xy  11 Chaúng haïn: heä phöông trình  2  x  y  3(x  y)  28 Caùch giaûi: F(S;P)  b1 Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy Ta được:  (2) G(S;P)  b2 Giaûi heä phöông trình (2) + Neáu S0 , P0 laø moät nghieäm cuûa heä (2) thì nghieäm x, y cuûa heä (1) laø nghieäm cuûa heä  x  y  S0   xy  P0 + Khi đó x, y là nghiệm phương trình: t2 – S0.t + P0 = (3) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (3) b3 Keát luaän Chuù yù: a) Heä (1) coù nghieäm (x; y)  Heä (2) coù nghieäm (S0; P0)  S2  4P  b) Neáu S20  4P0  thì phöông trình (3) coù nghieäm phaân bieät t1  S0  S20  4P0 vaø t2  S0  S02  4P0  x  t1  x  t2 Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng  vaø   y  t2  y  t1 c) Neáu S20  4P0  thì phöông trình (3) coù nghieäm keùp t1  t2  Khi đó hệ (1) có nghiệm tương ứng x  y  S0 S0 d) Do tính đối xứng, “ neáu (x0; y0) laø moät nghieäm cuûa heä (1) thì (y0; x0) cuõng laø moät nghieäm cuûa heä (1)” Do đó: Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm này có dạng (x0; x0) e) Các biểu thức đối xứng thông dụng: x2  y2   x  y   2xy  S2  2P x  y   x  y   3xy  x  y   S3  3SP   x  y   x  y   4xy x2  y2  6x2 y2  S4  4P(S2  2P)  6P2  S4  4S2P  2P2 f) Đôi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn mẫu ) Caùc ví duï:  x2 y  xy2  30 VD1: Giaûi heä phöông trình  3  x  y  35 ( ÑH Moû – Ñòa chaát 98 )  x  xy  y  2m  VD2: Ch heä phöông trình  2  x y  xy  m(m  1) (I) ( ÑHQG Haø Noäi 99 ) Chứng minh với m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm Tìm m để hệ (I) có nghiệm VD3: Tìm các giá trị a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm  x2  y2  2(1  a)  (x  y)  ( ĐH Y Dược TpHCM 98 ) Baøi taäp laøm theâm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (4) 1  x  y   5  x y  B1 Giaûi heä phöông trình   x2  y2     x2 y2 ( ĐH Ngoại thương 97, khối D ) x  y  m B2 Cho heä phöông trình  2 x  y   m ( Baùo chí, Tuyeân truyeàn 98, khoái D ) Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x  y  m  B3 Cho heä phöông trình  2  x y  xy  2m  m  ( ÑH Su phaïm Quy Nhôn 99 ) Giải hệ phương trình với m = Chứng minh với m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm  x2  y2  B4 Giaûi heä phöông trình  ( ĐH Ngoại thương 98 ) 2  x  x y  y  13  (x  y)(1  xy )   B5 Giaûi heä phöông trình  (x2  y2 )(1  )  49  x2 y2  x  y  x2  y2  B6 Cho heä phöông trình   xy(x  1)(y  1)  m ( ĐH Ngoại thương 99, khối A ) ( ĐH Ngoại thương 97, khối A ) Giaûi heä phöông trình m = 12 Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm  x  y  xy  11 B7 Giaûi heä phöông trình  2  x  y  3(x  y)  28 2  x  y  xy  B8 Giaûi heä phöông trình  4 2  x  y  x y  21 ( ÑHQGHCM 2000, khoái D ) ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 2000, khoái B ) 2 2x  2y  3x  3y   B9 Giaûi heä phöông trình  2  x y  xy  19  x  y  B10 Giaûi heä phöông trình  4  x  y  97 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (5) III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI f(x;y)   f(y; x)  Daïng: 1 2 Nhaän daïng: Khi thay x y và thay y x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại Ta coù: f(x;y)  1 thay x y   f(y; x)  và thay y x 2  x2  2x  3y  Chaúng haïn: heä phöông trình  y  2y  3x  Caùch giaûi: b1 Biến đổi f(x;y)   f(y; x)  1 2  f(x;y)   f(x;y)  f(y; x)   f(x;y)   (x  y).g(x;y)  x  y  f(x;y)     g(x;y)    f(x;y)  A B  b2 Giaûi heä phöông trình (A) vaø (B) Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) hệ phương trình đối xứng loại để giải sau: g(x;y)  g(x;y)  B     C ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại )  f(x;y)  f(x;y)  f(y; x)  b3 Keát luaän Caùc ví duï:  2x   VD1: Giaûi heä phöông trình  2y    y x  x y Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ÑHQG Haø Noäi 99, khoái B ) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (6) 2  x  y  7x  mx VD2: Cho heä phöông trình  2 y  x  7y  my ( ÑHSöphaïm Vinh 99 ) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  xy  x  m(y  1)   xy  y  m(x  1)  y2  3y   x2  VD4: Giaûi heä phöông trình  3x  x   y2 ( ÑH Haøng haûi 97 ) ( ÑH khoái B 2003 ) Baøi taäp laøm theâm:  x  3x  8y B1 Giaûi heä phöông trình  y  3y  8x ( ÑHQG Haø Noäi 98 ) 4y   x  3y  x B2 Giaûi heä phöông trình  y  3x  4x  y ( ÑHQG Haø Noäi 97 ) y  x  4x  ax B3 Cho heä phöông trình   x  y  4y  ay ( ÑHQG TpHCM 96 ) Xác định a để hệ phương trình có nghiệm  x  7x  3y B4 Giaûi heä phöông trình  y  7y  3x y  (x  y)  2m B5 Cho heä phöông trình   x  (y  x)  2m Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 2x  3x  y  B6 Giaûi heä phöông trình  2 2y  3y  x  Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ÑHQG Haø Noäi 2000) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (7)  2x  y  B7 Giaûi heä phöông trình  2y2  x   y x ( HV Chính trò 2001 ) B8 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm  x  12  y  a    y  1  x  a ( ÑH Söphaïm HCM 2001 )  xy  x  m(y  1) B9 Cho heä phöông trình   xy  y  m(x  1) ( ÑH Haøng haûi 97 ) Giaûi heä phöông trình m = –1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y  x  4x  ax B10 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm   x  y  4y  ay IV HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP f (x;y),f2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc f1(x;y)  g1(x;y) Daïng:  (I), với:  f2 (x;y)  g2 (x;y) g1(x;y),g2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc + Đa thức hai biến x và y có dạng: P(x; y)  an xn  an1xn1y  an2 xn2 y2    a1xyn1  a0 yn + Trong đó: n là số nguyên dương  n  N * và các hệ số a0 ,a1, ,an không đồng thời gọi là đa thức dẳng cấp bậc n Caùch giaûi: b1 Giaûi heä (I) x = b2 Giaûi heä (I) x  F(x; t)  KHỬ x  t  t0  h(t)   + Đặt y = t.x , ta được:  (II)  Giaûi phöông trình G(x; t)  F(x; t0 )  Theá t0 , x0 tìm y0 Giaûi heä (III)  y0  t0 x0 + Thay t = t0 vaøo (II), ta coù:  (III)   x  x0  G(x; t )  0  b3 Keát luaän Chuù yù: 3.1 Theo caùch giaûi neâu treân, ta coù theå giaûi heä (I) nhö sau: b1 Giaûi heä (I) y = Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (8) b2 Giải hệ (I) y  Đặt x = t.y ( làm tương tự trên ) b3 Keát luaän 3.2 Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải sau: b1 Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( khử x2 ) Từ đó tính y theo x ( tính x theo y ) b2 Sử dụng phép thế, ta phương trình bậc trùng phương b3 Giaûi phöông trình baäc truøng phöông noùi treân vaø keát luaän Caùc ví duï: ìïx - y = VD1: Giaûi heä phöông trình ïí (QGHN 97) ïïîxy(x - y) = ì ï 2y(x2 - y2 ) = 3x ï VD2: Giaûi heä phöông trình í ( Moû ñòa chaát 97 ) ï ï îx(x + y ) = 10  x2  2xy  3y2  VD3: Giaûi heä phöông trình  2 2x  13xy  15y  ( ÑH Ngaân haøng 2001 ) ì ï 3x2 + 2xy + y2 = 11 ï VD4: Cho heä phöông trình í (QGHCM 98 ) ï x + 2xy + 3y = m + 17 ï î Giaûi heä phöông trình m = Xác định m để hệ phương trình có nghiệm Baøi taäp laøm theâm: 3x2  5xy  4y2  3 B1 Giaûi heä phöông trình  2 9y  11xy  8x   x2  3y2  2xy  B2 Giaûi heä phöông trình  2 2x  2xy  y  2 3x  2xy  16 B3 Giaûi heä phöông trình  2  x  3xy  2y  3 y  x  B4 Giaûi heä phöông trình  2 2x y  3xy  16 ( ÑH Kieán truùc HCM 95 ) ( ÑH SöphaïmHCM 2000 ) ( ÑH Haøng haûi 2000 ) ( ÑH Kieán truùc HaøNoäi 98 ) 2 6x  xy  2y  56 B5 Giaûi heä phöông trình  2 5x  xy  y  49 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (9) V HEÄ PHÖÔNG TRÌNH KHAÙC Caùch giaûi: Dùng các phép biến đổi, đưa hệ phương trình đã biết cách giải Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép + Trường hợp 2: Nếu biến đổi phương trình hệ thành phương trình tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản + Trường hợp 3: Nếu phát hệ có biểu thức đồng dạng thì ta dùng aån soá phuï Caùc ví duï: ïìx + y = m VD1: Cho heä phöông trình ï í ïïî(x + 1)y2 + xy = m(y + 2) Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ có nhiều hai nghiệm ( ÑHQGHCM 97 ) ì ïx2 - y2 + a(x + y) = x - y + a VD2: Cho heä phöông trình ïí (HV Kyõ thuaät QS 98 ) ï x + y + bxy = ï î Giaûi heä a = b = Xác định a, b để hệ có nhiều nghiệm phân biệt ìïxy - 3x - 2y = 16 VD3: Giaûi heä phöông trình ïí ïïîx + y2 - 2x - 4y = 33 1  x   y  x y VD4: Giaûi heä phöông trình  2y  x   ( ÑHGTVT 99 ) ( ÑH 2003, khoái A ) Baøi taäp laøm theâm:  x2  3x2 y  y2  B1 Giaûi heä phöông trình  2x  y  Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ĐH Hồng Đức 99 ) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (10)  (x  y)(2   B2 Giaûi heä phöông trình  (x  y)(2   ) xy ) xy  x2  y2  3x  4y  B3 Giaûi heä phöông trình  2 3x  2y  9x  8y  ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 99 )  2x  y 2  5(4x2  y2 )   2x  y 2   B4 Giaûi heä phöông trình  3 2x  y  2x  y  B5 Giaûi heä phöông trình  x  y  z    xy  yz  zx  12 2 2    3  x y z ( ĐH Xâydựng 97 ) ( ÑH Thuûy saûn 98 ) B6 Giaûi heä phöông trình 2x  y   x  y  1 2x  y  a)  b)  c)  2  x  y  10  x  y  3(x  y)  x  3xy  y  10 x  y  d)  2  x  y  34 2  x2  y2  2xy   x y  y x  30 3(x  y)  x2  y2  x  4y  17 e)  f) g) h)     x  xy  4y   xy   x x  y y  35  x  y  B7 Giaûi heä phöông trình  x  y  40  a)  xy  z  x  y   2  x  y  z   b)  xy  yz  zx  27 1 1    1  x y z B8 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình x  y  m a)  2  x  y  2x   x  y  z  13  c)  x2  y2  z2  61  xy  zx  3yz  2x  y  m b)   xy  2y  3y B9 Giaûi heä phöông trình  x2  2x  y  a)   x  y  2 2 3 x  5y    x  2xy  3y   x  2xy  3y  b)  c)  d)   x x  y y   x x  y y  2 2x  y   Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page 10 (11) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page 11 (12)

Ngày đăng: 08/06/2021, 12:53

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w