Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị được một ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép thế + Trường hợp 2: Nếu biến đổi được một phương trình của hệ thành phươn[r]
(1)Heä phöông trình hai aån I HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN a1x b1y c1 Bài toán: Giải và biện luận hệ phương trình: a2 x b2 y c2 Caùch giaûi: b1 Tính các định thức: D a1 b1 a2 b2 ; Dx c1 b1 c2 b2 ; Dy a c1 a c2 b2 Ta coù: i/ D : Hệ có nghiệm (x; y) với x D ii/ : Dx Dy D Dx ,y y D D Heä phöông trình voâ nghieäm iii/ D Dx Dy : Heä phöông trình coù theå voâ nghieäm, coù theå voâ soá nghieäm ( neân thay giaù trò cuï theå vaøo heä phöông trình roài keát luaän ) Caùc ví duï: VD1: Cho heä phöông trình: x my 3m (I) mx y 2m 1 Giaûi vaø bieän luaän heä (I) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x0; y0), tìm các giá trị nguyên m cho x0 và y0 là số nguyên VD2: Cho heä phöông trình: mx 4y m2 x (m 3)y 2m Với các giá trị nào m thì hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x y ? Với các giá trị m đã tìm được, hãy tìm giá trị nhỏ tổng x + y ( ÑH An Ninh 98 ) VD3: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình (1 sin a)x cos a.y cos a cos a.x (1 sin a)y sin a VD4: Tìm các giá trị b cho với a R thì hệ phương trình có nghiệm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (2) x 2ay b ax (1 a)y b ( ĐH Công Đoàn 98 ) Baøi taäp laøm theâm: (a2 1)x (a 1)y a B1 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình (a 1)x (a 1)y a mx 2y m B2 Cho heä phöông trình 2x my 2m a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b) Khi hệ có nghiệm (x; y), hãy tìm hệ thức liên hệ x và y độc lập m ax y b B3 Cho heä phöông trình x ay c c a) Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình b) Tìm b cho với a, luôn tìm c để hệ phương trình có nghiệm II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI f(x;y) Daïng: (1), đó: f(x;y) và g(x;y) là các biểu thức đối xứng theo x; y g(x;y) Nhận dạng: Khi thay x y và thay y x thì hệ không đổi Tức là: f(x;y) f(y; x) thay x y và thay y x g(x;y) g(y; x) x y xy 11 Chaúng haïn: heä phöông trình 2 x y 3(x y) 28 Caùch giaûi: F(S;P) b1 Dùng ẩn số phụ: Đặt S = x + y , P = xy Ta được: (2) G(S;P) b2 Giaûi heä phöông trình (2) + Neáu S0 , P0 laø moät nghieäm cuûa heä (2) thì nghieäm x, y cuûa heä (1) laø nghieäm cuûa heä x y S0 xy P0 + Khi đó x, y là nghiệm phương trình: t2 – S0.t + P0 = (3) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (3) b3 Keát luaän Chuù yù: a) Heä (1) coù nghieäm (x; y) Heä (2) coù nghieäm (S0; P0) S2 4P b) Neáu S20 4P0 thì phöông trình (3) coù nghieäm phaân bieät t1 S0 S20 4P0 vaø t2 S0 S02 4P0 x t1 x t2 Khi đó hệ (1) có hai nghiệm tương ứng vaø y t2 y t1 c) Neáu S20 4P0 thì phöông trình (3) coù nghieäm keùp t1 t2 Khi đó hệ (1) có nghiệm tương ứng x y S0 S0 d) Do tính đối xứng, “ neáu (x0; y0) laø moät nghieäm cuûa heä (1) thì (y0; x0) cuõng laø moät nghieäm cuûa heä (1)” Do đó: Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm này có dạng (x0; x0) e) Các biểu thức đối xứng thông dụng: x2 y2 x y 2xy S2 2P x y x y 3xy x y S3 3SP x y x y 4xy x2 y2 6x2 y2 S4 4P(S2 2P) 6P2 S4 4S2P 2P2 f) Đôi cần đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa ( ẩn mẫu ) Caùc ví duï: x2 y xy2 30 VD1: Giaûi heä phöông trình 3 x y 35 ( ÑH Moû – Ñòa chaát 98 ) x xy y 2m VD2: Ch heä phöông trình 2 x y xy m(m 1) (I) ( ÑHQG Haø Noäi 99 ) Chứng minh với m, hệ phương trình (I) luôn luôn có nghiệm Tìm m để hệ (I) có nghiệm VD3: Tìm các giá trị a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm x2 y2 2(1 a) (x y) ( ĐH Y Dược TpHCM 98 ) Baøi taäp laøm theâm Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (4) 1 x y 5 x y B1 Giaûi heä phöông trình x2 y2 x2 y2 ( ĐH Ngoại thương 97, khối D ) x y m B2 Cho heä phöông trình 2 x y m ( Baùo chí, Tuyeân truyeàn 98, khoái D ) Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y m B3 Cho heä phöông trình 2 x y xy 2m m ( ÑH Su phaïm Quy Nhôn 99 ) Giải hệ phương trình với m = Chứng minh với m, hệ phương trình trên luôn có nghiệm x2 y2 B4 Giaûi heä phöông trình ( ĐH Ngoại thương 98 ) 2 x x y y 13 (x y)(1 xy ) B5 Giaûi heä phöông trình (x2 y2 )(1 ) 49 x2 y2 x y x2 y2 B6 Cho heä phöông trình xy(x 1)(y 1) m ( ĐH Ngoại thương 99, khối A ) ( ĐH Ngoại thương 97, khối A ) Giaûi heä phöông trình m = 12 Xác định m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y xy 11 B7 Giaûi heä phöông trình 2 x y 3(x y) 28 2 x y xy B8 Giaûi heä phöông trình 4 2 x y x y 21 ( ÑHQGHCM 2000, khoái D ) ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 2000, khoái B ) 2 2x 2y 3x 3y B9 Giaûi heä phöông trình 2 x y xy 19 x y B10 Giaûi heä phöông trình 4 x y 97 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (5) III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI f(x;y) f(y; x) Daïng: 1 2 Nhaän daïng: Khi thay x y và thay y x thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và ngược lại Ta coù: f(x;y) 1 thay x y f(y; x) và thay y x 2 x2 2x 3y Chaúng haïn: heä phöông trình y 2y 3x Caùch giaûi: b1 Biến đổi f(x;y) f(y; x) 1 2 f(x;y) f(x;y) f(y; x) f(x;y) (x y).g(x;y) x y f(x;y) g(x;y) f(x;y) A B b2 Giaûi heä phöông trình (A) vaø (B) Chú ý: Có thể biến đổi hệ (B) hệ phương trình đối xứng loại để giải sau: g(x;y) g(x;y) B C ( Hệ (C) là hệ đối xứng loại ) f(x;y) f(x;y) f(y; x) b3 Keát luaän Caùc ví duï: 2x VD1: Giaûi heä phöông trình 2y y x x y Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ÑHQG Haø Noäi 99, khoái B ) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (6) 2 x y 7x mx VD2: Cho heä phöông trình 2 y x 7y my ( ÑHSöphaïm Vinh 99 ) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm VD3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm xy x m(y 1) xy y m(x 1) y2 3y x2 VD4: Giaûi heä phöông trình 3x x y2 ( ÑH Haøng haûi 97 ) ( ÑH khoái B 2003 ) Baøi taäp laøm theâm: x 3x 8y B1 Giaûi heä phöông trình y 3y 8x ( ÑHQG Haø Noäi 98 ) 4y x 3y x B2 Giaûi heä phöông trình y 3x 4x y ( ÑHQG Haø Noäi 97 ) y x 4x ax B3 Cho heä phöông trình x y 4y ay ( ÑHQG TpHCM 96 ) Xác định a để hệ phương trình có nghiệm x 7x 3y B4 Giaûi heä phöông trình y 7y 3x y (x y) 2m B5 Cho heä phöông trình x (y x) 2m Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 2x 3x y B6 Giaûi heä phöông trình 2 2y 3y x Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ÑHQG Haø Noäi 2000) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (7) 2x y B7 Giaûi heä phöông trình 2y2 x y x ( HV Chính trò 2001 ) B8 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x 12 y a y 1 x a ( ÑH Söphaïm HCM 2001 ) xy x m(y 1) B9 Cho heä phöông trình xy y m(x 1) ( ÑH Haøng haûi 97 ) Giaûi heä phöông trình m = –1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y x 4x ax B10 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x y 4y ay IV HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP f (x;y),f2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc f1(x;y) g1(x;y) Daïng: (I), với: f2 (x;y) g2 (x;y) g1(x;y),g2 (x;y) : hai đa thức đẳng cấp cùng bậc + Đa thức hai biến x và y có dạng: P(x; y) an xn an1xn1y an2 xn2 y2 a1xyn1 a0 yn + Trong đó: n là số nguyên dương n N * và các hệ số a0 ,a1, ,an không đồng thời gọi là đa thức dẳng cấp bậc n Caùch giaûi: b1 Giaûi heä (I) x = b2 Giaûi heä (I) x F(x; t) KHỬ x t t0 h(t) + Đặt y = t.x , ta được: (II) Giaûi phöông trình G(x; t) F(x; t0 ) Theá t0 , x0 tìm y0 Giaûi heä (III) y0 t0 x0 + Thay t = t0 vaøo (II), ta coù: (III) x x0 G(x; t ) 0 b3 Keát luaän Chuù yù: 3.1 Theo caùch giaûi neâu treân, ta coù theå giaûi heä (I) nhö sau: b1 Giaûi heä (I) y = Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (8) b2 Giải hệ (I) y Đặt x = t.y ( làm tương tự trên ) b3 Keát luaän 3.2 Đối với hệ đẳng cấp bậc hai, ta có thêm phương pháp giải sau: b1 Sử dụng phép biến đổi tương đương, khử y2 ( khử x2 ) Từ đó tính y theo x ( tính x theo y ) b2 Sử dụng phép thế, ta phương trình bậc trùng phương b3 Giaûi phöông trình baäc truøng phöông noùi treân vaø keát luaän Caùc ví duï: ìïx - y = VD1: Giaûi heä phöông trình ïí (QGHN 97) ïïîxy(x - y) = ì ï 2y(x2 - y2 ) = 3x ï VD2: Giaûi heä phöông trình í ( Moû ñòa chaát 97 ) ï ï îx(x + y ) = 10 x2 2xy 3y2 VD3: Giaûi heä phöông trình 2 2x 13xy 15y ( ÑH Ngaân haøng 2001 ) ì ï 3x2 + 2xy + y2 = 11 ï VD4: Cho heä phöông trình í (QGHCM 98 ) ï x + 2xy + 3y = m + 17 ï î Giaûi heä phöông trình m = Xác định m để hệ phương trình có nghiệm Baøi taäp laøm theâm: 3x2 5xy 4y2 3 B1 Giaûi heä phöông trình 2 9y 11xy 8x x2 3y2 2xy B2 Giaûi heä phöông trình 2 2x 2xy y 2 3x 2xy 16 B3 Giaûi heä phöông trình 2 x 3xy 2y 3 y x B4 Giaûi heä phöông trình 2 2x y 3xy 16 ( ÑH Kieán truùc HCM 95 ) ( ÑH SöphaïmHCM 2000 ) ( ÑH Haøng haûi 2000 ) ( ÑH Kieán truùc HaøNoäi 98 ) 2 6x xy 2y 56 B5 Giaûi heä phöông trình 2 5x xy y 49 Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (9) V HEÄ PHÖÔNG TRÌNH KHAÙC Caùch giaûi: Dùng các phép biến đổi, đưa hệ phương trình đã biết cách giải Thường gặp các trường hợp nhö sau: + Trường hợp 1: Nếu biểu thị ẩn theo các ẩn còn lại thì ta dùng phép + Trường hợp 2: Nếu biến đổi phương trình hệ thành phương trình tích số thì ta phân tích hệ đã cho thành nhiều hệ đơn giản + Trường hợp 3: Nếu phát hệ có biểu thức đồng dạng thì ta dùng aån soá phuï Caùc ví duï: ïìx + y = m VD1: Cho heä phöông trình ï í ïïî(x + 1)y2 + xy = m(y + 2) Giaûi heä phöông trình m = Tìm m để hệ có nhiều hai nghiệm ( ÑHQGHCM 97 ) ì ïx2 - y2 + a(x + y) = x - y + a VD2: Cho heä phöông trình ïí (HV Kyõ thuaät QS 98 ) ï x + y + bxy = ï î Giaûi heä a = b = Xác định a, b để hệ có nhiều nghiệm phân biệt ìïxy - 3x - 2y = 16 VD3: Giaûi heä phöông trình ïí ïïîx + y2 - 2x - 4y = 33 1 x y x y VD4: Giaûi heä phöông trình 2y x ( ÑHGTVT 99 ) ( ÑH 2003, khoái A ) Baøi taäp laøm theâm: x2 3x2 y y2 B1 Giaûi heä phöông trình 2x y Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh ( ĐH Hồng Đức 99 ) - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page (10) (x y)(2 B2 Giaûi heä phöông trình (x y)(2 ) xy ) xy x2 y2 3x 4y B3 Giaûi heä phöông trình 2 3x 2y 9x 8y ( ÑH Söphaïm HaøNoäi 99 ) 2x y 2 5(4x2 y2 ) 2x y 2 B4 Giaûi heä phöông trình 3 2x y 2x y B5 Giaûi heä phöông trình x y z xy yz zx 12 2 2 3 x y z ( ĐH Xâydựng 97 ) ( ÑH Thuûy saûn 98 ) B6 Giaûi heä phöông trình 2x y x y 1 2x y a) b) c) 2 x y 10 x y 3(x y) x 3xy y 10 x y d) 2 x y 34 2 x2 y2 2xy x y y x 30 3(x y) x2 y2 x 4y 17 e) f) g) h) x xy 4y xy x x y y 35 x y B7 Giaûi heä phöông trình x y 40 a) xy z x y 2 x y z b) xy yz zx 27 1 1 1 x y z B8 Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình x y m a) 2 x y 2x x y z 13 c) x2 y2 z2 61 xy zx 3yz 2x y m b) xy 2y 3y B9 Giaûi heä phöông trình x2 2x y a) x y 2 2 3 x 5y x 2xy 3y x 2xy 3y b) c) d) x x y y x x y y 2 2x y Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page 10 (11) Tài liệu luyện thi Đại học 2008 - Trần Chí Thanh - chithanhtranvl@gmail.com Lop12.net Page 11 (12)