Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In hoặc I.. Ma trận A là ma tr[r]
(1)Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (2) Nội dung chương Nội dung Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (3) Ma trận Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (4) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n trên R là bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (5) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n trên R là bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (6) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n trên R là bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), đó aij ∈ R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (7) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n trên R là bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), đó aij ∈ R aij hay Aij là phần tử vị trí dòng i cột j A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (8) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa Một ma trận cấp m × n trên R là bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), đó aij ∈ R aij hay Aij là phần tử vị trí dòng i cột j A Mm×n (R) là tập hợp tất ma trận cấp m × n trên R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (9) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (10) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) ∈ M2×3 (R); Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (11) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) ∈ M2×3 (R); B= Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (12) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) ∈ M2×3 (R); B = ∈ M3×2 (R) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (13) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= ∈ M2×3 (R); B = ∈ M3×2 (R) Ma trận có các phần tử gọi là ma trận không , ký hiệu 0m×n (hay 0) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (14) Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ A= ∈ M2×3 (R); B = ∈ M3×2 (R) Ma trận có các phần tử gọi là ma trận không , ký hiệu 0m×n (hay 0) Ví dụ 03×4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 = 0 0 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (15) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (16) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (17) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Mn (R): Tập hợp tất các ma trận vuông cấp n trên R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (18) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Mn (R): Tập hợp tất các ma trận vuông cấp n trên R Ví dụ −1 A = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (19) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Mn (R): Tập hợp tất các ma trận vuông cấp n trên R Ví dụ −1 A = −1 ∈ M3 (R); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (20) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng số cột) thì A gọi là ma trận vuông a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Mn (R): Tập hợp tất các ma trận vuông cấp n trên R Ví dụ −1 A = −1 ∈ M3 (R); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 03 = 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (21) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , , ann gọi là đường chéo chính hay đường chéo A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (22) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , , ann gọi là đường chéo chính hay đường chéo A a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (23) Ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghĩa Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , , ann gọi là đường chéo chính hay đường chéo A a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Ví dụ A = −2 −3 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (24) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (25) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (26) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm ngoài đường chéo thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (27) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm ngoài đường chéo thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) Ví dụ A = −3 , 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (28) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm ngoài đường chéo thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) Ví dụ A = −3 , 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 B = −2 −1 −4 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (29) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm ngoài đường chéo thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) Ví dụ A = −3 , 0 0 B = −2 −1 −4 C = diag(−1, 0, 5) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (30) Ma trận • Nếu các phần tử nằm đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A gọi là ma trận tam giác trên • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo A (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A gọi là ma trận tam giác • Nếu phần tử nằm ngoài đường chéo thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , , an ) 0 Ví dụ A = −3 , B = −2 −1 −4 0 −1 0 0 C = diag(−1, 0, 5) = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (31) Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (32) Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ I2 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 ; Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (33) Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ I2 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 ; 0 I3 = 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (34) Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ I2 = 0 ; 0 I3 = 0 Nhận xét Ma trận A là ma trận đường chéo và vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 / 84 (35) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 10 / 84 (36) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n Khi đó, aij = bij , ∀i, j thì A và B gọi là hai ma trận nhau, ký hiệu A = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 10 / 84 (37) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n Khi đó, aij = bij , ∀i, j thì A và B gọi là hai ma trận nhau, ký hiệu A = B x+1 3y − Ví dụ Tìm x, y, z để = 2x − z y − 2z + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 10 / 84 (38) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n Khi đó, aij = bij , ∀i, j thì A và B gọi là hai ma trận nhau, ký hiệu A = B x+1 3y − Ví dụ Tìm x, y, z để = 2x − z y − 2z + Giải Ta có x + = 3y − 4; 2x − = y − 1; z = 2z + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 10 / 84 (39) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n Khi đó, aij = bij , ∀i, j thì A và B gọi là hai ma trận nhau, ký hiệu A = B x+1 3y − Ví dụ Tìm x, y, z để = 2x − z y − 2z + Giải Ta có x + = 3y − 4; 2x − = y − 1; z = 2z + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1; x = y = 2; ⇔ z = −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 10 / 84 (40) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có từ A cách xếp các dòng A thành các cột tương ứng, nghĩa là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 11 / 84 (41) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có từ A cách xếp các dòng A thành các cột tương ứng, nghĩa là a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 11 / 84 (42) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có từ A cách xếp các dòng A thành các cột tương ứng, nghĩa là a11 a12 a1n a11 a21 am1 a21 a22 a2n thì A> = a12 a22 am2 A= am1 am2 amn a1n a2n amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 11 / 84 (43) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có từ A cách xếp các dòng A thành các cột tương ứng, nghĩa là a11 a12 a1n a11 a21 am1 a21 a22 a2n thì A> = a12 a22 am2 A= am1 am2 amn a1n a2n amn Ví dụ −1 A = −8 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 11 / 84 (44) Ma trận 1.3 Các phép toán trên ma trận b) Chuyển vị ma trận Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi ma trận chuyển vị A, ký hiệu > A , là ma trận cấp n × m, có từ A cách xếp các dòng A thành các cột tương ứng, nghĩa là a11 a12 a1n a11 a21 am1 a21 a22 a2n thì A> = a12 a22 am2 A= am1 am2 amn a1n a2n amn Ví dụ −1 −1 −8 =⇒ A> = A = −8 −3 −3 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 11 / 84 (45) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (46) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (47) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Ví dụ −2 là ma trận đối xứng A= −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (48) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Ví dụ −2 là ma trận đối xứng A= −2 −2 −3 là ma trận phản xứng B= −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (49) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Ví dụ −2 là ma trận đối xứng A= −2 −2 −3 là ma trận phản xứng B= −1 Tính chất Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (50) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Ví dụ −2 là ma trận đối xứng A= −2 −2 −3 là ma trận phản xứng B= −1 Tính chất Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) (A> )> = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (51) Ma trận • Nếu A> = A thì ta nói A là ma trận đối xứng • Nếu A> = −A thì nói A là ma trận phản xứng Ví dụ −2 là ma trận đối xứng A= −2 −2 −3 là ma trận phản xứng B= −1 Tính chất Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) (A> )> = A; ii) A> = B > ⇔ A = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 12 / 84 (52) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (53) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (54) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j Ma trận (−1)A ký kiệu là −A gọi là ma trận đối A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (55) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j Ma trận (−1)A ký kiệu là −A gọi là ma trận đối A Ví dụ Nếu A = thì −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (56) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j Ma trận (−1)A ký kiệu là −A gọi là ma trận đối A Ví dụ Nếu A = thì −3 2A = ; −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (57) Ma trận c) Nhân số với ma trận Cho ma trận A ∈ Mm×n (R), α ∈ R Ta định nghĩa αA là ma trận có từ A cách nhân tất các hệ số A với α, nghĩa là (αA)ij = αAij , ∀i, j Ma trận (−1)A ký kiệu là −A gọi là ma trận đối A Ví dụ Nếu A = thì −3 2A = ; −6 −3 −4 −1 −A = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 13 / 84 (58) Ma trận Tính chất Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 14 / 84 (59) Ma trận Tính chất Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 14 / 84 (60) Ma trận Tính chất Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA> ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 14 / 84 (61) Ma trận Tính chất Cho A là ma trận và α, β ∈ R, ta có i) (αβ)A = α(βA); ii) (αA)> = αA> ; iii) 0.A = và 1.A = A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 14 / 84 (62) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (63) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (64) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (65) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (66) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu A và B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (67) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu A và B Ví dụ −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + −4 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 15 / 84 (68) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu A và B Ví dụ −3 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + − −4 −3 −4 −3 = Chương Ma trận và Hệ PTTT 3 −4 10 −6 06/04/2010 15 / 84 (69) Ma trận d) Tổng hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó tổng A và B, ký hiệu A + B là ma trận xác định bởi: (A + B)ij = Aij + Bij Như vậy, để tính A + B thì: • A và B cùng cấp; • Các vị trị tương ứng cộng lại Ký hiệu A − B := A + (−B) và gọi là hiệu A và B Ví dụ −3 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + − −4 −3 −4 −3 = = Chương Ma trận và Hệ PTTT 3 −4 10 −6 −6 −6 06/04/2010 15 / 84 (70) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (71) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (72) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (73) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (74) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (75) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (76) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (77) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (78) Ma trận Tính chất Với A, B, C ∈ Mm×n (R) và α, β ∈ R, ta có i) A + B = B + A (tính giao hoán); ii) (A + B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp); iii) 0m×n + A = A + 0m×n = A; iv) A + (−A) = (−A) + A = 0m×n ; v) (A + B)> = A> + B > ; vi) α(A + B) = αA + αB; vii) (α + β)A = αA + βA; viii) (−α)A = α(−A) = −(αA) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 16 / 84 (79) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (80) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (81) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (82) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (83) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (84) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Như vậy, để tính AB thì: • Số cột A số dòng B; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (85) Ma trận e) Tích hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R) Khi đó, tích A với B (ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p (R) xác định bởi: (AB)ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ain Bnj b11 b1j b1n a11 a12 a1n b21 b2j b2n ai1 ai2 ain an1 an2 ann bn1 bnj bnn Như vậy, để tính AB thì: • Số cột A số dòng B; • Phần tử thứ i, j AB dòng i A nhân cột j B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 17 / 84 (86) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (87) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (88) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (89) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = ; 11 −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (90) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = −1 = ; 11 −1 BA Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (91) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = −1 = ; 11 −1 −1 BA = 3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (92) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = BA = −1 = ; 11 −1 10 5 −1 ; = 5 −1 −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (93) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = BA = −1 = ; 11 −1 10 5 −1 ; = 5 −1 −5 BC Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (94) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = BA = BC = −1 = ; 11 −1 10 5 −1 ; = 5 −1 −5 −1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (95) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = BA = BC = −1 = ; 11 −1 10 5 −1 ; = 5 −1 −5 −1 −1 = −2 ; −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (96) Ma trận Ví dụ Với A = −1 −1 ,C= ,B= , 3 −1 ta có: AB = BA = BC = −1 = ; 11 −1 10 5 −1 ; = 5 −1 −5 −1 −1 = −2 ; −1 −3 AC và CB không xác định Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 18 / 84 (97) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (98) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (99) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (100) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (101) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (102) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n iii) (AB)> = B > A> Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (103) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n iii) (AB)> = B > A> iv) (AB)C = A(BC) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (104) Ma trận Tính chất Với A ∈ Mm×n (R), B, B1 , B2 ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R), D1 , D2 ∈ Mq×n (R), ta có i) Im A = A và AIn = A Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có In A = AIn = A ii) 0p×m A = 0p×n và A0n×q = 0m×q Đặc biệt, với A ∈ Mn (R), ta có 0n×n A = A0n×n = 0n×n iii) (AB)> = B > A> iv) (AB)C = A(BC) v) A(B1 + B2 ) = AB1 + AB2 (D1 + D2 )A = D1 A + D2 A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 19 / 84 (105) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (106) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (107) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (108) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (109) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (110) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (111) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Ví dụ Cho A = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A2 , A3 , từ đó suy A200 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (112) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Ví dụ Cho A = Giải A2 = AA = 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A2 , A3 , từ đó suy A200 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (113) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Ví dụ Cho A = Giải A2 = AA = 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A2 , A3 , từ đó suy A200 = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (114) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Ví dụ Cho A = Giải = AA = A3 = A2 A = A2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A2 , A3 , từ đó suy A200 1 1 = 1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (115) Ma trận f) Lũy thừa ma trận Cho A ∈ Mn (R) Ta gọi lũy thừa bậc k A là ma trận thuộc Mn (R), ký hiệu Ak , xác định sau: A0 = In ; A1 = A; A2 = AA; ; Ak = Ak−1 A Như Ak = A A} | {z k lần Ví dụ Cho A = Giải = AA = A3 = A2 A = A2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A2 , A3 , từ đó suy A200 1 1 = = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 20 / 84 (116) Ma trận Suy A200 = 200 × Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (117) Ma trận Suy A200 = Ví dụ Cho A = 200 × 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Tính A100 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (118) Ma trận Suy A200 = Ví dụ Cho A = 200 × 1 1 Tính A100 1 Ví dụ Cho A = 1 Tính An với n > 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (119) Ma trận Suy A200 = Ví dụ Cho A = 200 × 1 1 Tính A100 1 Ví dụ Cho A = 1 Tính An với n > 0 Tính chất Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N Khi đó: i) I k = I; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (120) Ma trận Suy A200 = Ví dụ Cho A = 200 × 1 1 Tính A100 1 Ví dụ Cho A = 1 Tính An với n > 0 Tính chất Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N Khi đó: i) I k = I; ii) Ak+l = Ak Al ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (121) Ma trận Suy A200 = Ví dụ Cho A = 200 × 1 1 Tính A100 1 Ví dụ Cho A = 1 Tính An với n > 0 Tính chất Cho A ∈ Mn (R) và k, l ∈ N Khi đó: i) I k = I; ii) Ak+l = Ak Al ; iii) Akl = (Ak )l Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 21 / 84 (122) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (123) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (124) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A −2 Ví dụ Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + Tính f (A) −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (125) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A −2 Ví dụ Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + Tính f (A) −1 −9 Giải Ta có A = , −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (126) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A −2 Ví dụ Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + Tính f (A) −1 −9 Giải Ta có A = , f (A) = 3A2 − 2A + 2I2 −3 −9 −2 Suy f (A) = −2 +2 −3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (127) Ma trận g) Đa thức ma trận Cho A ∈ Mn (R) và f (x) = αm xm + αm−1 xm−1 + + α1 x + α0 là đa thức bậc m trên R (αi ∈ R) Khi đó ta định nghĩa f (A) = αm Am + αm−1 Am−1 + + α1 A + α0 In và ta gọi f(A) là đa thức theo ma trận A −2 Ví dụ Cho A = và f (x) = 3x2 − 2x + Tính f (A) −1 −9 Giải Ta có A = , f (A) = 3A2 − 2A + 2I2 −3 −9 −2 Suy f (A) = −2 +2 −3 −1 27 −33 = −11 16 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 22 / 84 (128) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (129) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (130) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (131) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (132) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (133) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (134) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Ví dụ −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (135) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Ví dụ −2 d ↔d −− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (136) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Ví dụ −2 d1 ↔d2 −−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (137) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Ví dụ −2 d1 ↔d2 −−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 d :=2d −−2−−−→ Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 24 / 84 (138) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng , viết tắt là phép BĐSCTD trên A, là ba loại biến đổi sau: Loại Hoán vị hai dòng i và j (i 6= j) Ký hiệu : di ↔ dj Loại Nhân dòng i cho số α 6= Ký hiệu: di := αdi Loại Cộng vào dòng i với β lần dòng j (j 6= i) Ký hiệu: di := di + βdj Với ϕ là phép biến đổi sơ cấp, ký hiệu ϕ(A) ma trận có từ A qua ϕ Ví dụ −2 d1 ↔d2 −−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 d2 :=2d2 −−−−−→ Chương Ma trận và Hệ PTTT −4 06/04/2010 24 / 84 (139) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 −1 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (140) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= −2 −1 −3 d ↔d −− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (141) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= d ↔d −− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 −1 −3 −1 −3 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (142) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= d ↔d −− −−→ −2 −1 −3 −1 −3 −2 d :=2d −−2−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (143) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= d ↔d −− −−→ d :=2d −−2−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 −1 −3 −1 −3 −2 12 −2 −6 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (144) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ A= d ↔d −− −−→ d :=2d −−2−−−→ −2 −1 −3 −1 −3 −2 12 −2 −6 −2 d :=d +2d −−1−−−1−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (145) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ −2 −1 A= 3 d1 ↔d3 −1 −−−−→ −2 d :=2d2 12 −2 −−2−−−→ −2 −3 d1 :=d1 +2d3 12 −2 −−−−−−−−→ −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −3 −6 −6 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 25 / 84 (146) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj 1) A −−−−→ A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (147) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (148) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd i 2) A −−i−−−→ A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (149) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd di := di i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (150) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd di := di i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di +βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (151) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd di := di i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di +βdj di :=di −βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (152) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; d :=αd di := di i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di +βdj di :=di −βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A Định nghĩa Cho A, B ∈ Mm×n (R) Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, B có từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (153) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := di d :=αd i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di −βdj di :=di +βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A Định nghĩa Cho A, B ∈ Mm×n (R) Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, B có từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk cho ϕ1 A −→ A1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (154) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := di d :=αd i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di −βdj di :=di +βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A Định nghĩa Cho A, B ∈ Mm×n (R) Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, B có từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk cho ϕ1 ϕ2 A −→ A1 −→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (155) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Tương đương dòng Nhận xét di ↔dj di ↔dj 1) A −−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−→ A; di := di d :=αd i 2) A −−i−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−α−→ A; di :=di −βdj di :=di +βdj 3) A −−−−−−−−→ A0 ⇒ A0 −−−−−−−−→ A Định nghĩa Cho A, B ∈ Mm×n (R) Ta nói A tương đương dòng với B, ký hiệu A ∼ B, B có từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó Vậy, A ∼ B ⇔ Tồn các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk cho ϕ1 ϕ2 ϕ k A −→ A1 −→ −→ Ak = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 26 / 84 (156) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (157) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (158) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (159) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng) iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (160) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng) iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu) −2 3 −2 ∼ = B Ví dụ A = 2 −2 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (161) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng) iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu) −2 3 −2 ∼ = B Ví dụ A = 2 −2 −6 Vì B có từ A qua các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3 , d2 := d2 + 2d1 , d3 := 3d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (162) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Nhận xét Quan hệ tương đương dòng là quan hệ tương đương trên Mm×n (R), nghĩa là ∀A, B, C ∈ Mm×n (R), ta có: i) A ∼ A (tính phản xạ) ii) A ∼ B ⇒ B ∼ A (tính đối xứng) iii) A ∼ B và B ∼ C ⇒ A ∼ C (tính bắc cầu) −2 3 −2 ∼ = B Ví dụ A = 2 −2 −6 Vì B có từ A qua các phép BĐSCTD sau: d1 ↔ d3 , d2 := d2 + 2d1 , d3 := 3d3 Hỏi Làm cách nào kiểm tra hai ma trận tương đương dòng với nhau? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 27 / 84 (163) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Phần tử khác không đầu tiên dòng kể từ bên trái gọi là phần tử sở dòng đó −1 1 −2 Khi đó: Ví dụ Cho ma trận 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 28 / 84 (164) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Phần tử khác không đầu tiên dòng kể từ bên trái gọi là phần tử sở dòng đó −1 1 −2 Khi đó: Ví dụ Cho ma trận 0 0 Dòng có phần tử sở là −1, dòng có phần tử sở là 3, dòng không có phần tử sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 28 / 84 (165) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Phần tử khác không đầu tiên dòng kể từ bên trái gọi là phần tử sở dòng đó −1 1 −2 Khi đó: Ví dụ Cho ma trận 0 0 Dòng có phần tử sở là −1, dòng có phần tử sở là 3, dòng không có phần tử sở Định nghĩa Một ma trận gọi là ma trận bậc thang nó thỏa tính chất sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 28 / 84 (166) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Phần tử khác không đầu tiên dòng kể từ bên trái gọi là phần tử sở dòng đó −1 1 −2 Khi đó: Ví dụ Cho ma trận 0 0 Dòng có phần tử sở là −1, dòng có phần tử sở là 3, dòng không có phần tử sở Định nghĩa Một ma trận gọi là ma trận bậc thang nó thỏa tính chất sau: • Dòng không có phần tử sở (nếu tồn tại) thì nằm cùng; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 28 / 84 (167) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.2 Ma trận bậc thang Định nghĩa Cho A ∈ Mm×n (R) Phần tử khác không đầu tiên dòng kể từ bên trái gọi là phần tử sở dòng đó −1 1 −2 Khi đó: Ví dụ Cho ma trận 0 0 Dòng có phần tử sở là −1, dòng có phần tử sở là 3, dòng không có phần tử sở Định nghĩa Một ma trận gọi là ma trận bậc thang nó thỏa tính chất sau: • Dòng không có phần tử sở (nếu tồn tại) thì nằm cùng; • Phần tử sở dòng nằm bên phải so với phần tử sở dòng trên Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 28 / 84 (168) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 a1k2 a2k2 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a1kr a2kr arkr 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 06/04/2010 29 / 84 (169) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 a1k2 a2k2 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a1kr a2kr arkr 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 06/04/2010 29 / 84 (170) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 a1k2 a2k2 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a1kr a2kr arkr 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 06/04/2010 29 / 84 (171) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 a1k2 a2k2 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a1kr a2kr arkr 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 06/04/2010 29 / 84 (172) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 a1k2 a2k2 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a1kr a2kr arkr 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 06/04/2010 29 / 84 (173) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 Ví dụ A = 0 a1k2 a2k2 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 1 ; a1kr a2kr arkr 0 0 B= 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT a1n a2n arn 0 06/04/2010 29 / 84 (174) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Như ma trận bậc thang có dạng a1k1 0 0 0 0 Ví dụ A = 0 a1k2 a2k2 0 0 0 0 0 1 ; a1kr a2kr arkr 0 0 B= 0 a1n a2n arn 0 A là trận bậc thang, B không là ma trận bậc thang Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 29 / 84 (175) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 30 / 84 (176) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 30 / 84 (177) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang • Các phần tử sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 30 / 84 (178) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang • Các phần tử sở • Trên cột có chứa phần tử sở, các hệ số ngoài phần tử sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 30 / 84 (179) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang • Các phần tử sở • Trên cột có chứa phần tử sở, các hệ số ngoài phần tử sở Ví dụ C = 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 −7 ; 0 D= 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 0 0 06/04/2010 30 / 84 (180) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận bậc thang rút Định nghĩa Ma trận A gọi là ma trận bậc thang rút thỏa các điều kiện sau: • A là ma trận bậc thang • Các phần tử sở • Trên cột có chứa phần tử sở, các hệ số ngoài phần tử sở Ví dụ C = 0 0 0 −7 ; 0 D= 0 0 0 0 C là ma trận bậc thang rút gọn D không là ma trận bậc thang rút gọn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 30 / 84 (181) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang B thì B gọi là dạng bậc thang A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 31 / 84 (182) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang B thì B gọi là dạng bậc thang A Ví dụ Cho −2 A = −2 −5 −4 , −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 B = −1 −8 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 31 / 84 (183) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang B thì B gọi là dạng bậc thang A Ví dụ Cho −2 A = −2 −5 −4 , −6 −2 B = −1 −8 0 0 Khi đó B là dạng bậc thang A vì B có từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 31 / 84 (184) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 2.3 Hạng ma trận Dạng bậc thang Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang B thì B gọi là dạng bậc thang A Ví dụ Cho −2 A = −2 −5 −4 , −6 −2 B = −1 −8 0 0 Khi đó B là dạng bậc thang A vì B có từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 Hỏi Dạng bậc thang ma trận có không? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 31 / 84 (185) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (186) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (187) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) ≤ r(A) ≤ m, n; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (188) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = ⇔ A = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (189) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = ⇔ A = 0; iii) r(A> ) = r(A); Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (190) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Hạng ma trận Nhận xét Một ma trận A thì có nhiều dạng bậc thang, nhiên các dạng bậc thang A có chung số dòng khác Ta gọi số dòng khác dạng bậc thang A là hạng A, ký hiệu r(A) Mệnh đề Cho A, B ∈ Mm×n (R) Khi đó: i) ≤ r(A) ≤ m, n; ii) r(A) = ⇔ A = 0; iii) r(A> ) = r(A); iv) Nếu A ∼ B thì r(A) = r(B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 32 / 84 (191) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang rút gọn B thì B gọi là dạng bậc thang rút gọn A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 33 / 84 (192) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang rút gọn B thì B gọi là dạng bậc thang rút gọn A Nhận xét Dạng bậc thang rút gọn ma trận A là và ký hiệu RA Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 33 / 84 (193) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang rút gọn B thì B gọi là dạng bậc thang rút gọn A Nhận xét Dạng bậc thang rút gọn ma trận A là và ký hiệu RA −2 Ví dụ Cho A = −2 −5 −4 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 33 / 84 (194) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Định nghĩa Nếu A tương đương dòng với ma trận bậc thang rút gọn B thì B gọi là dạng bậc thang rút gọn A Nhận xét Dạng bậc thang rút gọn ma trận A là và ký hiệu RA −2 Ví dụ Cho A = −2 −5 −4 −6 RA = Khi đó 17 −18 −7 0 RA có từ A thông qua các phép biến đổi: d2 := d2 + 2d1 , d3 = d3 − 3d1 , d2 := −1d2 , d1 := d1 − 2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 33 / 84 (195) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss Tìm dạng bậc thang A = (a)ij ∈ Mm×n (R) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 34 / 84 (196) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss Tìm dạng bậc thang A = (a)ij ∈ Mm×n (R) Bước 1: i := 1, j := Bước 2: Nếu i > m j > n thì kết thúc Bước 3: Nếu aij = thì sang Bước Nếu aij 6= thì thực các phép BĐSCTD sau: dk := dk − akj di aij với k > i Sau đó i := i + 1, j := j + và quay Bước Bước 4: Nếu akj = với k > i thì j := j + và quay Bước Nếu akj 6= với k > i nào đó thì chọn k và thực phép BĐSCTD: di ↔ dk và quay Bước Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 34 / 84 (197) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (198) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải A −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (199) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải d2 :=d2 −d1 A −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (200) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải 0 −2 −5 −2 d2 :=d2 −d1 A −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (201) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải 0 −2 −5 −2 A d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (202) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải 0 −2 −5 −2 0 A d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (203) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải 0 −2 −5 −2 0 A d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (204) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải A d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (205) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang R ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Từ đó xác định hạng A Giải A −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→ 0 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 0 −2 −5 −2 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 35 / 84 (206) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − d2 −−−−−−− −→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 −2 −5 −2 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (207) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − d2 −−−−−−− −→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 −2 −5 −2 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (208) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − d2 −−−−−−− −→ 0 0 −2 −5 −2 0 0 d4 :=d4 − d3 −−−−−−− −→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (209) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→ 0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→ 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 −2 −5 −2 0 0 0 −2 −5 −2 = R 0 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (210) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→ 0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→ 0 0 −2 −5 −2 0 0 0 −2 −5 −2 = R 0 0 0 Ta có A ∼ R và R có dạng bậc thang với dòng khác nên A có hạng là r(A) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (211) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng d4 :=d4 − 32 d2 −−−−−−−−→ 0 d4 :=d4 − 52 d3 −−−−−−−−→ 0 0 −2 −5 −2 0 0 0 −2 −5 −2 = R 0 0 0 Ta có A ∼ R và R có dạng bậc thang với dòng khác nên A có hạng là r(A) = Lưu ý Trong quá trình đưa ma trận dạng bậc thang, ta có thể dùng các phép BĐSCTD phù hợp để tránh việc tính toán các số lẻ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 36 / 84 (212) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm hạng A= 2 ma trận sau: 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 37 / 84 (213) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm hạng ma trận sau: 3 A= B= −2 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 37 / 84 (214) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm hạng ma trận sau: 3 A= B= −2 −1 −3 1 −1 −1 C= −3 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 37 / 84 (215) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm tất giá trị m để A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) r(A) = với 1 m m+1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 38 / 84 (216) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm tất giá trị m để A= r(A) = với 1 m m+1 Ví dụ Tìm tất giá trị m để r(B) = với m m B= m m m m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 38 / 84 (217) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss-Jordan Tìm dạng bậc thang rút gọn A = (a)ij ∈ Mm×n (R) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 39 / 84 (218) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss-Jordan Tìm dạng bậc thang rút gọn A = (a)ij ∈ Mm×n (R) Chỉ khác Thuật toán Gauss Bước 3, ta cần thực các phép biến đổi sau: dk := dk − di := Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) akj di với k 6= i; aij di aij Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 39 / 84 (219) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Thuật toán Gauss-Jordan Tìm dạng bậc thang rút gọn A = (a)ij ∈ Mm×n (R) Chỉ khác Thuật toán Gauss Bước 3, ta cần thực các phép biến đổi sau: dk := dk − di := akj di với k 6= i; aij di aij Ví dụ Tìm ma trận dạng bậc thang rút gọn ma trận −1 −2 −2 A= 14 42 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 39 / 84 (220) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 40 / 84 (221) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 40 / 84 (222) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 06/04/2010 40 / 84 (223) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 06/04/2010 40 / 84 (224) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 0 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 40 / 84 (225) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 12 −1 52 0 0 52 06/04/2010 40 / 84 (226) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 12 −1 52 0 0 52 06/04/2010 40 / 84 (227) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 0 0 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 12 −1 52 0 0 52 d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3 −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 40 / 84 (228) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3 −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 12 −1 52 0 0 52 0 −1 1 = RA 0 0 0 06/04/2010 40 / 84 (229) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giải 7 −1 −2 −2 14 42 13 −3 d2 :=d2 −d1 d3 :=d3 −2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −6d1 d1 :=d1 + 21 d2 d4 :=d4 − 23 d2 −−−−−−−−→ d2 :=− 12 d2 d1 :=d1 − 21 d3 d2 :=d2 − 25 d3 −−−−−−−−→ d4 :=d4 − 25 d3 0 0 0 0 −2 −5 −2 0 −3 −5 −3 12 −1 52 0 0 52 0 −1 1 = RA 0 0 0 Ta thấy RA là ma trận dạng bậc thang rút gọn A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 40 / 84 (230) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm dạng ma a) 0 trận bậc thang rút gọn các ma trận sau: ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 41 / 84 (231) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm dạng ma a) 0 trận bậc thang rút gọn các ma trận sau: ; b) ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 41 / 84 (232) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm dạng ma trận bậc thang rút 2 b) a) 1 ; 0 3 −1 −1 1 −2 ; c) −1 −9 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) gọn các ma trận sau: 6 ; Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 41 / 84 (233) Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ Tìm dạng ma trận bậc thang rút gọn các ma trận sau: 2 b) ; a) 1 ; 0 3 −1 −1 −2 −1 −2 −2 ; d) c) −1 1 13 −9 −2 −6 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 41 / 84 (234) Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker - Capelli Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 42 / 84 (235) Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Mở đầu 2x1 x1 4x 2x1 − 2x2 + 2x2 − 10x2 − 14x2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + x3 − x3 + 5x3 + 7x3 − x4 + x4 − 5x4 − 7x4 + x5 − 2x5 + 7x5 + 11x5 Chương Ma trận và Hệ PTTT = 1; = 1; = 1; = −1 06/04/2010 43 / 84 (236) Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , (∗) đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 44 / 84 (237) Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , (∗) đó • aij ∈ R: các hệ số; • bi ∈ R: các hệ số tự do; • x1 , x2 , , xn : các ẩn số nhận giá trị R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 44 / 84 (238) Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là hệ có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , (∗) đó • aij ∈ R: các hệ số; • bi ∈ R: các hệ số tự do; • x1 , x2 , , xn : các ẩn số nhận giá trị R Nếu (*) có các hệ số tự thì ta nói (*) là hệ phương trình tuyến tính trên R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 44 / 84 (239) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 45 / 84 (240) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) X= x1 x2 , xn Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 45 / 84 (241) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) X= x1 x2 , xn Chương Ma trận và Hệ PTTT B= b1 b2 bm 06/04/2010 45 / 84 (242) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn X= x1 x2 , xn B= b1 b2 bm Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự hệ (∗) Khi đó hệ (∗) viết dạng AX = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 45 / 84 (243) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn X= x1 x2 , xn B= b1 b2 bm Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự hệ (∗) Khi đó hệ (∗) viết dạng AX = B Đặt a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 à = (A|B) = am1 am2 amn bm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 45 / 84 (244) Hệ phương trình tuyến tính Đặt a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= , am1 am2 amn X= x1 x2 , xn B= b1 b2 bm Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn, B là cột các hệ số tự hệ (∗) Khi đó hệ (∗) viết dạng AX = B Đặt a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 à = (A|B) = am1 am2 amn bm à gọi là ma trận mở rộng (hay ma trận bổ sung) hệ (∗) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 45 / 84 (245) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (246) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Định nghĩa Hai hệ phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (247) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Định nghĩa Hai hệ phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Nhận xét Khi giải hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (248) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Định nghĩa Hai hệ phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Nhận xét Khi giải hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (249) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Định nghĩa Hai hệ phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Nhận xét Khi giải hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho • Nhân hai vế phương trình cho số khác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (250) Hệ phương trình tuyến tính 3.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Ta nói u = (α1 , α2 , , αn ) là nghiệm hệ phương trình (∗) ta thay x1 := α1 , x2 := α2 , xn := αn thì tất các phương trình (∗) thỏa Định nghĩa Hai hệ phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm Nhận xét Khi giải hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta các hệ tương đương: • Hoán đổi hai phương trình cho • Nhân hai vế phương trình cho số khác • Cộng vào phương trình bội phương trình khác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 46 / 84 (251) Hệ phương trình tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (252) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (253) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; x + y + z = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT (1) 06/04/2010 47 / 84 (254) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; x + y + z = (1) Giải à Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (255) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − 2x − x + −1 −2 −3 1 Giải à = −1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) y − 2z = −3; y + z = 1; (1) y + z = −1 −2 −3 d2 :=d2 −2d1 −− −−−−−−→ d3 :=d3 −d1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (256) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − 2x − x + −1 −2 −3 1 Giải à = −1 1 y − 2z = −3; y + z = 1; (1) y + z = −1 −2 −3 d2 :=d2 −2d1 −− −−−−−−→ d3 :=d3 −d1 d :=d +d −−− −−1−−− → d3 :=d3 −2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (257) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1) x + y + z = −1 −2 −3 −1 −2 −3 d :=d −2d1 1 −−2−−−2−−−→ Giải à = −1 d3 :=d3 −d1 1 d1 :=d1 +d2 −−−−−−−−→ d3 :=d3 −2d2 0 −7 −7 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (258) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1) x + y + z = −1 −2 −3 −1 −2 −3 d :=d −2d1 1 −−2−−−2−−−→ Giải à = −1 d3 :=d3 −d1 1 d3 := −1 d d1 :=d1 +d2 −−−−−− −−−−−−−−→ −−→ d3 :=d3 −2d2 d1 :=d1 −3d3 0 −7 −7 d2 :=d2 −5d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 47 / 84 (259) Hệ phương trình tuyến tính Định lý Nếu hai hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng tương đương dòng với thì hai hệ phương trình đó tương đương Ví dụ Giải phương trình x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; x + y + z = −1 −2 −3 d :=d −2d1 1 −−2−−−2−−−→ Giải à = −1 d3 :=d3 −d1 1 d3 := −1 d d1 :=d1 +d2 −−−−−−−−→ −−−−−−−−→ d3 :=d3 −2d2 d1 :=d1 −3d3 0 −7 −7 d2 :=d2 −5d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT (1) −1 −2 −3 0 1 1 06/04/2010 47 / 84 (260) Hệ phương trình tuyến tính 0 Ta có à ∼ Suy 0 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 48 / 84 (261) Hệ phương trình tuyến tính 0 Ta có à ∼ Suy 0 1 x + 0y + 0z = 1; 0x + y + 0z = 2; (1) ⇔ 0x + 0y + z = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 48 / 84 (262) Hệ phương trình tuyến tính 0 Ta có à ∼ Suy 0 1 x 0x (1) ⇔ 0x x y ⇔ z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + 0y + 0z = 1; + y + 0z = 2; + 0y + z = = 1; = 2; = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 48 / 84 (263) Hệ phương trình tuyến tính 0 Ta có à ∼ Suy 0 1 x 0x (1) ⇔ 0x x y ⇔ z + 0y + 0z = 1; + y + 0z = 2; + 0y + z = = 1; = 2; = Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT (2) 06/04/2010 48 / 84 (264) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (265) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 d :=d −2d à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (266) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 1 −2 d :=d −2d1 −5 à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 14 −10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (267) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 1 −2 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (268) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 1 −2 −9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −5 −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −10 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (269) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 1 −2 −9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −5 −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −10 0 0 Như vậy, (2) ⇔ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) x − 9z = 9; y + 7z = −5 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (270) Hệ phương trình tuyến tính Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính, ta có 1 −2 3 à = 10 1 −2 −9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −5 −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −10 0 0 Như vậy, (2) ⇔ x − 9z = 9; y + 7z = −5 Như nghiệm (2) là x = + 9t; y = −5 − 7t; z = t Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 49 / 84 (271) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT (3) 06/04/2010 50 / 84 (272) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) (3) tính, ta có Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 50 / 84 (273) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = (3) tính, ta có d :=d −2d à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 50 / 84 (274) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = (3) tính, ta có 1 −2 d :=d −2d1 −5 à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −5d1 14 −15 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 50 / 84 (275) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = (3) tính, ta có 1 −2 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −15 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 50 / 84 (276) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = (3) tính, ta có 1 −2 −9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −5 −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −15 0 −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 50 / 84 (277) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; 5x + 7y + 4z = Giải Ma trận hóa hệ phương trình tuyến 1 −2 à = (3) tính, ta có 1 −2 −9 d1 :=d1 −d2 d :=d −2d1 −5 −−− −5 −−−−−→ à −−2−−−2−−−→ d3 :=d3 −2d2 d3 :=d3 −5d1 14 −15 0 −5 Hệ (3) vô nghiệm vì 0x + 0y + 0z = −5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT Tiếp tục Gauss-Jordan 06/04/2010 50 / 84 (278) Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có nghiệm u = (0, 0, , 0) Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 51 / 84 (279) Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có nghiệm u = (0, 0, , 0) Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Định lý Nghiệm phương trình tuyến tính có trường hợp sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 51 / 84 (280) Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có nghiệm u = (0, 0, , 0) Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Định lý Nghiệm phương trình tuyến tính có trường hợp sau: • Vô nghiệm; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 51 / 84 (281) Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có nghiệm u = (0, 0, , 0) Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Định lý Nghiệm phương trình tuyến tính có trường hợp sau: • Vô nghiệm; • Duy nghiệm; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 51 / 84 (282) Hệ phương trình tuyến tính Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0; a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0; am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, luôn có nghiệm u = (0, 0, , 0) Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Định lý Nghiệm phương trình tuyến tính có trường hợp sau: • Vô nghiệm; • Duy nghiệm; • Vô số nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 51 / 84 (283) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (284) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (285) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (286) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang R Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (287) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang R Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm Cụ thể: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (288) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang R Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm Cụ thể: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (289) Hệ phương trình tuyến tính 3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính Có phương pháp • Gauss • Gauss - Jordan Phương pháp Gauss Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang R Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang R mà ta kết luận nghiệm Cụ thể: - Trường hợp Ma trận R có dòng là (0 0 0| = 0) Kết luận hệ phương trình vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 52 / 84 (290) Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp Ma trận R có dạng c11 c12 c1n c22 c2n 0 cnn 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) α1 α2 αn Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 53 / 84 (291) Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp Ma trận R có dạng c11 c12 c1n c22 c2n 0 cnn 0 0 α1 α2 αn Khi đó hệ phương trình có nghiệm Việc tính nghiệm thực từ lên trên Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 53 / 84 (292) Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp Ma trận R có dạng c11 c12 c1n c22 c2n 0 cnn 0 0 α1 α2 αn Khi đó hệ phương trình có nghiệm Việc tính nghiệm thực từ lên trên - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 53 / 84 (293) Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp Ma trận R có dạng c11 c12 c1n c22 c2n 0 cnn 0 0 α1 α2 αn Khi đó hệ phương trình có nghiệm Việc tính nghiệm thực từ lên trên - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử sở là ẩn tự (lấy giá trị tùy ý) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 53 / 84 (294) Hệ phương trình tuyến tính - Trường hợp Ma trận R có dạng c11 c12 c1n c22 c2n 0 cnn 0 0 α1 α2 αn Khi đó hệ phương trình có nghiệm Việc tính nghiệm thực từ lên trên - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử sở là ẩn tự (lấy giá trị tùy ý) • Ẩn tương ứng với cột có phần tử sở tính từ lên trên và theo các ẩn tự Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 53 / 84 (295) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + 2x2 x2 + 2x1 3x1 + 2x2 4x1 + 3x2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) sau: + + + + 3x3 2x3 2x4 2x3 + 4x4 + 3x4 + x3 + x4 Chương Ma trận và Hệ PTTT = 7; = 6; = 7; = 18, 06/04/2010 54 / 84 (296) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + 2x2 x2 + 2x1 3x1 + 2x2 4x1 + 3x2 sau: + + + + 3x3 2x3 2x4 2x3 + 4x4 + 3x4 + x3 + x4 = 7; = 6; = 7; = 18, Giải Ta có à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 54 / 84 (297) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + 2x2 x2 + 2x1 3x1 + 2x2 4x1 + 3x2 sau: + + + + 3x3 2x3 2x4 2x3 + 4x4 + 3x4 + x3 + x4 2 = 7; = 6; = 7; = 18, Giải Ta có à = (A|B) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 2 18 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 54 / 84 (298) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + 2x2 x2 + 2x1 3x1 + 2x2 4x1 + 3x2 sau: + + + + 3x3 2x3 2x4 2x3 + 4x4 + 3x4 + x3 + x4 2 = 7; = 6; = 7; = 18, Giải Ta có à = (A|B) = 2 18 d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 54 / 84 (299) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình x1 + 2x2 x2 + 2x1 3x1 + 2x2 4x1 + 3x2 sau: + + + + 3x3 2x3 2x4 2x3 + 4x4 + 3x4 + x3 + x4 2 = 7; = 6; = 7; = 18, Giải Ta có à = (A|B) = d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d1 −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 2 18 −3 −4 −5 −4 −8 −10 −5 −10 −15 Chương Ma trận và Hệ PTTT −8 −14 −10 06/04/2010 54 / 84 (300) Hệ phương trình tuyến tính d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −4 −5 −4 −8 −10 −5 −10 −15 Chương Ma trận và Hệ PTTT −8 −14 −10 06/04/2010 55 / 84 (301) Hệ phương trình tuyến tính d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 −3 −4 −5 −4 −8 −10 −5 −10 −15 −8 −14 −10 d :=d −d −−2−−− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 55 / 84 (302) Hệ phương trình tuyến tính d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d2 :=d2 −d3 −−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −4 −4 −8 −5 −10 −4 −8 −5 −10 −5 −10 −15 −10 −15 Chương Ma trận và Hệ PTTT −8 −14 −10 −14 −10 06/04/2010 55 / 84 (303) Hệ phương trình tuyến tính d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d2 :=d2 −d3 −−−−−−−→ −3 −4 −4 −8 −5 −10 −4 −8 −5 −10 −5 −10 −15 −10 −15 −8 −14 −10 −14 −10 d :=d +4d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 +5d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 55 / 84 (304) Hệ phương trình tuyến tính d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d2 :=d2 −d3 −−−−−−−→ d :=d +4d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 +5d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −4 −4 −8 −5 −10 −4 −8 −5 −10 0 10 0 10 10 −5 −10 −15 −10 −15 Chương Ma trận và Hệ PTTT −8 −14 −10 −14 −10 10 20 06/04/2010 55 / 84 (305) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 20 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 56 / 84 (306) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 56 / 84 (307) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 4 1 10 10 06/04/2010 56 / 84 (308) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 0 0 4 1 10 10 d :=d −8d −−4−−−4−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 56 / 84 (309) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 d4 :=d4 −8d3 −−−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 4 1 10 0 4 10 −6 06/04/2010 56 / 84 (310) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 d4 :=d4 −8d3 −−−−−−−−→ 0 0 0 4 1 10 0 4 10 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7; x2 + 4x3 + 5x4 = 6; x3 + x4 = 2; 2x4 = −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 56 / 84 (311) Hệ phương trình tuyến tính 0 4 10 10 10 10 20 d ↔d −−−3−−−4−→ d3 := 10 d3 d4 :=d4 −8d3 −−−−−−−−→ 0 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7; x2 + 4x3 + 5x4 = 6; x3 + x4 = 2; 2x4 = −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 4 1 10 0 4 x1 x2 ⇔ x x4 10 −6 = 2; = 1; = 5; = −3 06/04/2010 56 / 84 (312) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 + 2x2 − 3x3 x1 + 3x2 − 13x3 3x x3 + 5x2 + 2x1 + 3x2 + 4x3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4 Chương Ma trận và Hệ PTTT = 1; = −1; = 5; = 4, 06/04/2010 57 / 84 (313) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 + 2x2 − 3x3 x1 + 3x2 − 13x3 3x x3 + 5x2 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4 = 1; = −1; = 5; = 4, Giải Ta có à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 57 / 84 (314) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 + 2x2 − 3x3 x1 + 3x2 − 13x3 3x x3 + 5x2 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4 = 1; = −1; = 5; = 4, Giải Ta có à = (A|B) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −13 22 −2 −7 Chương Ma trận và Hệ PTTT −1 06/04/2010 57 / 84 (315) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 + 2x2 − 3x3 x1 + 3x2 − 13x3 3x x3 + 5x2 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4 = 1; = −1; = 5; = 4, Giải Ta có à = (A|B) = 2 −3 −13 22 −2 −7 −1 d2 :=d2 −d1 d :=d −3d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −2d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 57 / 84 (316) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 + 2x2 − 3x3 x1 + 3x2 − 13x3 3x x3 + 5x2 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 22x4 − 2x4 − 7x4 = 1; = −1; = 5; = 4, Giải Ta có à = (A|B) = d2 :=d2 −d1 d :=d −3d1 −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −2d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −13 22 −2 −7 −3 −10 17 −1 10 −17 −1 10 −17 Chương Ma trận và Hệ PTTT −1 −2 06/04/2010 57 / 84 (317) Hệ phương trình tuyến tính −3 −10 17 −1 10 −17 −1 10 −17 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT −2 06/04/2010 58 / 84 (318) Hệ phương trình tuyến tính −3 −10 17 −1 10 −17 −1 10 −17 −2 d :=d +d −−3−−− −−→ d4 :=d4 +d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 58 / 84 (319) Hệ phương trình tuyến tính 1 −3 −10 17 −2 −1 10 −17 −1 10 −17 1 −3 −10 17 −2 0 0 0 0 d :=d +d −−3−−− −−→ d4 :=d4 +d2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 58 / 84 (320) Hệ phương trình tuyến tính 1 −3 −10 17 −2 −1 10 −17 −1 10 −17 1 −3 −10 17 −2 0 0 0 0 d :=d +d −−3−−− −−→ d4 :=d4 +d2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Chọn x3 = t, x4 = s, ta tính x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10t − 17s; x1 = − 2x2 + 3x3 − 5x4 = − 17t + 29s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 58 / 84 (321) Hệ phương trình tuyến tính 1 −3 −10 17 −2 −1 10 −17 −1 10 −17 1 −3 −10 17 −2 0 0 0 0 d :=d +d −−3−−− −−→ d4 :=d4 +d2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1; x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Chọn x3 = t, x4 = s, ta tính x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10t − 17s; x1 = − 2x2 + 3x3 − 5x4 = − 17t + 29s Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với hai ẩn tự Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 58 / 84 (322) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x 3x1 + 3x3 − 10x4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = 2; = −3; = 5; = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 59 / 84 (323) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x 3x1 + 3x3 − 10x4 = 2; = −3; = 5; = Giải Ta có à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 59 / 84 (324) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x 3x1 + 3x3 − 10x4 = 2; = −3; = 5; = Giải Ta có −2 −4 3 −5 à = (A|B) = −2 −3 3 −10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT −3 06/04/2010 59 / 84 (325) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x 3x1 + 3x3 − 10x4 = 2; = −3; = 5; = Giải Ta có −2 −4 3 −5 à = (A|B) = −2 −3 3 −10 −3 d2 :=d2 −3d1 d3 :=d3 +2d1 −−−−−−−−→ d4 :=d4 −3d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 59 / 84 (326) Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 3x1 + 3x2 − 5x3 + x4 −2x + x + 2x − 3x 3x1 + 3x3 − 10x4 = 2; = −3; = 5; = Giải Ta có −2 −4 3 −5 à = (A|B) = −2 −3 3 −10 −2 −4 d2 :=d2 −3d1 −14 13 d :=d +2d1 −−3−−−3−−−→ −3 −11 d4 :=d4 −3d1 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT −3 −9 06/04/2010 59 / 84 (327) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −14 13 −3 −11 −6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT −9 06/04/2010 60 / 84 (328) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −14 13 −3 −11 −6 −9 d ↔d −−−2−−−3−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 60 / 84 (329) Hệ phương trình tuyến tính d ↔d −−−2−−−3−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −2 −4 −14 13 −3 −11 −6 −2 −4 −3 −11 −14 13 −6 Chương Ma trận và Hệ PTTT −9 −9 06/04/2010 60 / 84 (330) Hệ phương trình tuyến tính d ↔d −−−2−−−3−→ −2 −4 −14 13 −3 −11 −6 −2 −4 −3 −11 −14 13 −6 −9 −9 d :=d +3d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 +2d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 60 / 84 (331) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −14 13 −9 −3 −11 −6 −2 −4 −3 −11 d ↔d −−−2−−−3−→ −14 13 −9 −6 −2 −4 −3 −11 d :=d +3d2 −−3−−−3−−−→ 0 10 −20 18 d4 :=d4 +2d2 0 10 −20 20 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 60 / 84 (332) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −14 13 −9 −3 −11 −6 −2 −4 −3 −11 d ↔d −−−2−−−3−→ −14 13 −9 −6 −2 −4 −3 −11 d :=d +3d2 −−3−−−3−−−→ 0 10 −20 18 d4 :=d4 +2d2 0 10 −20 20 d : =d −d −− −−−4−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 60 / 84 (333) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −14 13 −9 −3 −11 −6 −2 −4 −3 −11 d ↔d −−−2−−−3−→ −14 13 −9 −6 −2 −4 −3 −11 d :=d +3d2 −−3−−−3−−−→ 0 10 −20 18 d4 :=d4 +2d2 0 10 −20 20 −2 −4 −3 −11 d4 : =d4 −d3 −− −−−−−→ 0 10 −20 18 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 60 / 84 (334) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −3 −11 0 10 −20 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 18 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 61 / 84 (335) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −3 −11 0 10 −20 0 0 18 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 − 3x2 + 8x3 − 11x4 10x3 − 20x4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT = 2; = 9; = 18; = 06/04/2010 61 / 84 (336) Hệ phương trình tuyến tính −2 −4 −3 −11 0 10 −20 0 0 18 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 − 3x2 + 8x3 − 11x4 10x3 − 20x4 = 2; = 9; = 18; = Hệ này vô nghiệm Do đó hệ đã cho vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 61 / 84 (337) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (338) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (339) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang rút gọn RA Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (340) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang rút gọn RA Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm Cu thể: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (341) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang rút gọn RA Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm Cu thể: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (342) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang rút gọn RA Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm Cu thể: - Trường hợp Ma trận RA có dòng (0 0 0| = 0) Kết luận hệ phương trình vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (343) Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan Bước Lập ma trận mở rộng à = (A|B) Bước Đưa ma trận à dạng bậc thang rút gọn RA Bước Tùy theo trường hợp dạng bậc thang rút gọn RA mà ta kết luận nghiệm Cu thể: - Trường hợp Ma trận RA có dòng (0 0 0| = 0) Kết luận hệ phương trình vô nghiệm - Trường hợp Ma trận RA có dạng α1 α2 0 αn 0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 62 / 84 (344) Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm là x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 63 / 84 (345) Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm là x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 63 / 84 (346) Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm là x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử sở là ẩn tự (lấy giá trị tùy ý) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 63 / 84 (347) Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm là x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử sở là ẩn tự (lấy giá trị tùy ý) • Ẩn tương ứng với cột có phần tử sở tính theo các ẩn tự Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 63 / 84 (348) Hệ phương trình tuyến tính Khi đó hệ phương trình có nghiệm là x1 = α1 , x2 = α2 , , xn = αn - Trường hợp Khác trường hợp trên, đó hệ có vô số nghiệm, và: • Ẩn tương ứng với các cột không có phần tử sở là ẩn tự (lấy giá trị tùy ý) • Ẩn tương ứng với cột có phần tử sở tính theo các ẩn tự Số ẩn tự gọi là bậc tự hệ phương trình Xem lại ví dụ đầu tiên Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 63 / 84 (349) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 64 / 84 (350) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) r(Ã) = r(A) + Hơn nữa, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 64 / 84 (351) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) r(Ã) = r(A) + Hơn nữa, • r(Ã) = r(A) + thì hệ vô nghiệm; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 64 / 84 (352) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) r(Ã) = r(A) + Hơn nữa, • r(Ã) = r(A) + thì hệ vô nghiệm; • r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm nhất; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 64 / 84 (353) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) r(Ã) = r(A) + Hơn nữa, • r(Ã) = r(A) + thì hệ vô nghiệm; • r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm nhất; • r(Ã) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự là n − r(A) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 64 / 84 (354) Hệ phương trình tuyến tính 3.4 Định lý Kronecker- Capelli Định lý Nếu à = (A|B) là ma trận mở rông hệ gồm n ẩn dạng AX = B thì r(Ã) = r(A) r(Ã) = r(A) + Hơn nữa, • r(Ã) = r(A) + thì hệ vô nghiệm; • r(Ã) = r(A) = n thì hệ có nghiệm nhất; • r(Ã) = r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự là n − r(A) Ví dụ Giải và biện luận hệ m 3x1 + 5x2 2x1 + 3x2 5x1 + 9x2 13x1 + 22x2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) phương trình tuyến tính sau theo tham số + 3x3 + x3 + 6x3 + 13x3 − 4x4 + x4 − 15x4 − 22x4 Chương Ma trận và Hệ PTTT = = = = 1; 0; 2; 2m, 06/04/2010 64 / 84 (355) Hệ phương trình tuyến tính à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 65 / 84 (356) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 2m 06/04/2010 65 / 84 (357) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 2m d :=d −d −−1−−− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 65 / 84 (358) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 2 −5 1 d1 :=d1 −d2 −−−−−−−→ −15 13 22 13 −22 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 2m 2m 06/04/2010 65 / 84 (359) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 2 −5 1 d1 :=d1 −d2 −−−−−−−→ −15 13 22 13 −22 2m 2m d2 :=d2 −2d1 d : =d −5d 3 −−− −−− −−− → d4 : =d4 −13d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 65 / 84 (360) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 2 −5 1 d1 :=d1 −d2 −−−−−−−→ −15 13 22 13 −22 2 −5 d2 :=d2 −2d1 −1 −3 11 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→ −1 −4 10 d4 : =d4 −13d1 −4 −13 43 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 2m 2m −2 −3 2m − 13 06/04/2010 65 / 84 (361) Hệ phương trình tuyến tính −4 1 à = (A|B) = −15 13 22 13 −22 2 −5 1 d1 :=d1 −d2 −−−−−−−→ −15 13 22 13 −22 2 −5 d2 :=d2 −2d1 −1 −3 11 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→ −1 −4 10 d4 : =d4 −13d1 −4 −13 43 2m 2m −2 −3 2m − 13 d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 65 / 84 (362) Hệ phương trình tuyến tính à = (A|B) = 13 22 d1 :=d1 −d2 −−−−−−−→ 13 22 d2 :=d2 −2d1 −1 d3 : =d3 −5d1 −−− −−−−−−→ −1 d4 : =d4 −13d1 −4 −1 d3 :=d3 −d2 −−−−−−−−→ 0 d4 : =d4 −4d2 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −4 1 −15 13 −22 −5 1 −15 13 −22 −5 −3 11 −4 10 −13 43 −5 −3 11 −1 −1 −1 −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 2m 2m −2 −3 2m − 13 −2 −1 2m − 06/04/2010 65 / 84 (363) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 66 / 84 (364) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 −1 −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT −2 −1 2m − 06/04/2010 66 / 84 (365) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 −1 −1 −2 −1 2m − d :=d −d −−4−−− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 66 / 84 (366) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 d :=d −d −−4−−− −−→ 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 −1 −1 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 0 −2 −1 2m − −2 −1 2m − Biện luận: • Với 2m − 6= ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 66 / 84 (367) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 d :=d −d −−4−−− −−→ 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 −1 −1 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 0 −2 −1 2m − −2 −1 2m − Biện luận: • Với 2m − 6= ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm • Với m = 2: Hệ tương đương với hệ sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 66 / 84 (368) Hệ phương trình tuyến tính d :=d −d −−− −−3−−− → d4 : =d4 −4d2 d :=d −d −−4−−− −−→ 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 −1 −1 2 −5 −1 −3 11 0 −1 −1 0 0 −2 −1 2m − −2 −1 2m − Biện luận: • Với 2m − 6= ⇔ m 6= 2: Khi đó hệ vô nghiệm • Với m = 2: Hệ tương đương với x1 + 2x2 + 2x3 − x2 − 3x3 − x3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) hệ sau: − 5x4 = 1; + 11x4 = −2; − x4 = −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 66 / 84 (369) Hệ phương trình tuyến tính Chọn x4 = t ta tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 67 / 84 (370) Hệ phương trình tuyến tính Chọn x4 = t ta tính x3 = − x4 = − t; x2 = − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t; x1 = − 2x2 − 2x3 + 5x4 = − 21t Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 67 / 84 (371) Hệ phương trình tuyến tính Chọn x4 = t ta tính x3 = − x4 = − t; x2 = − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t; x1 = − 2x2 − 2x3 + 5x4 = − 21t Vậy m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với ẩn tự (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1 − 21t, −1 + 14t, − t, t) với t ∈ R tùy ý Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 67 / 84 (372) Hệ phương trình tuyến tính Chọn x4 = t ta tính x3 = − x4 = − t; x2 = − 3x3 + 11x4 = −1 + 14t; x1 = − 2x2 − 2x3 + 5x4 = − 21t Vậy m = 2, hệ đã cho có vô số nghiệm với ẩn tự (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1 − 21t, −1 + 14t, − t, t) với t ∈ R tùy ý Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số m x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2; x1 − x2 + 4x3 − x4 = m; 4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m + 4, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 67 / 84 (373) Hệ phương trình tuyến tính à = (A|B) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (374) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 −1 m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) m m − 6m + Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (375) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 −1 m m m − 6m + d2 :=d2 −d1 d : =d −d −−3−−−− −−1→ d4 : =d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (376) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 m −1 m m − 6m + 1 −1 d2 :=d2 −d1 −2 d : =d3 −d1 −−3−−−− −−→ −2 −3 m − d4 : =d4 −4d1 −1 m − m − 6m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (377) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 m −1 m m − 6m + 1 −1 d2 :=d2 −d1 −2 d : =d3 −d1 −−3−−−− −−→ −2 −3 m − d4 : =d4 −4d1 −1 m − m − 6m d :=d +2d −−3−−−3−−−→ d4 : =d4 +d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (378) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 m −1 m m − 6m + 1 −1 d2 :=d2 −d1 −2 d : =d3 −d1 −−3−−−− −−→ −2 −3 m − d4 : =d4 −4d1 −1 m − m − 6m 1 −1 −2 d :=d +2d2 −−3−−−3−−−→ 0 1 m+1 d4 : =d4 +d2 0 m − m − 6m + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (379) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 m −1 m m − 6m + 1 −1 d2 :=d2 −d1 −2 d : =d3 −d1 −−3−−−− −−→ −2 −3 m − d4 : =d4 −4d1 −1 m − m − 6m 1 −1 −2 d :=d +2d2 −−3−−−3−−−→ 0 1 m+1 d4 : =d4 +d2 0 m − m − 6m + d :=d −d −−4−−− −−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (380) Hệ phương trình tuyến tính 1 −1 −3 à = (A|B) = −1 −1 m −1 m m − 6m + 1 −1 d2 :=d2 −d1 −2 d : =d3 −d1 −−3−−−− −−→ −2 −3 m − d4 : =d4 −4d1 −1 m − m − 6m 1 −1 −2 d :=d +2d2 −−3−−−3−−−→ 0 1 m+1 d4 : =d4 +d2 0 m − m − 6m + 1 −1 −2 d :=d4 −d3 −−4−−− −−→ 0 1 m+1 0 m − m − 7m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 68 / 84 (381) Hệ phương trình tuyến tính 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (382) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (383) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: 1) Với m − 6= ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm x4 = m Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (384) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: 1) Với m − 6= ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm x4 = m; x3 = m + − x4 = 1; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (385) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: 1) Với m − 6= ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm x4 = m; x3 = m + − x4 = 1; x = + 2x3 − 2x4 = − 2m; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (386) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: 1) Với m − 6= ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm x4 = m; x3 = m + − x4 = 1; x = + 2x3 − 2x4 = − 2m; x1 = − x2 + x3 − 2x4 = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (387) Hệ phương trình tuyến tính 0 −1 −2 1 0 m−7 m+1 m − 7m Biện luận: 1) Với m − 6= ⇔ m 6= 7, hệ có nghiệm x4 = m; x3 = m + − x4 = 1; x = + 2x3 − 2x4 = − 2m; x1 = − x2 + x3 − 2x4 = −1 Vậy, m 6= hệ đã cho có nghiệm là: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−1, − 2m, 1, m) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 69 / 84 (388) Hệ phương trình tuyến tính 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 70 / 84 (389) Hệ phương trình tuyến tính 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau: x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1; x3 + x4 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 70 / 84 (390) Hệ phương trình tuyến tính 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau: x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1; x3 + x4 = Chọn x4 = t ta tính x3 = − x4 = − t; x2 = + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t; x1 = − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 70 / 84 (391) Hệ phương trình tuyến tính 2) Với m = 7, hệ tương đương với hệ sau: x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1; x2 − 2x3 + 2x4 = 1; x3 + x4 = Chọn x4 = t ta tính x3 = − x4 = − t; x2 = + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t; x1 = − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy m = hệ đã cho có vô số nghiệm với ẩn tự (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−8 + t, 17 − 4t, − t , t) với t ∈ R tùy ý Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 70 / 84 (392) Ma trận khả nghịch Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 71 / 84 (393) Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R Cho x ∈ R, hỏi tồn hay không y cho xy = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 72 / 84 (394) Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R Cho x ∈ R, hỏi tồn hay không y cho xy = Hỏi Trên tập hợp ma trận thì sao? Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 72 / 84 (395) Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R Cho x ∈ R, hỏi tồn hay không y cho xy = Hỏi Trên tập hợp ma trận thì sao? Định nghĩa Cho A ∈ Mn (R) Ta nói A khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = In Nếu B thỏa điều kiện trên gọi là ma trận nghịch đảo A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 72 / 84 (396) Ma trận khả nghịch 4.1 Định nghĩa Mở đầu Xét trên tập số thực R Cho x ∈ R, hỏi tồn hay không y cho xy = Hỏi Trên tập hợp ma trận thì sao? Định nghĩa Cho A ∈ Mn (R) Ta nói A khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = In Nếu B thỏa điều kiện trên gọi là ma trận nghịch đảo A Nhận xét Ma trận nghịch đảo ma trận khả nghịch là Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo A là A−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 72 / 84 (397) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (398) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Khi đó A−1 = Chương Ma trận và Hệ PTTT −5 −1 06/04/2010 73 / 84 (399) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (400) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (401) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (402) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT −1 A α 06/04/2010 73 / 84 (403) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = −1 A α Mệnh đề Cho A, B ∈ Mn (R) Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (404) Ma trận khả nghịch Ví dụ Cho A = Khi đó A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch và có nghịch đảo là A−1 Khi đó i) A−1 khả nghịch và (A−1 )−1 = A ii) A> khả nghịch và (A> )−1 = (A−1 )> iii) ∀α ∈ R \ {0}, αA khả nghịch và (αA)−1 = −1 A α Mệnh đề Cho A, B ∈ Mn (R) Nếu A và B khả nghịch thì AB khả nghịch, (AB)−1 = B −1 A−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 73 / 84 (405) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (406) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (407) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (408) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch ii) r(A) = n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (409) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch ii) r(A) = n iii) A ∼ In Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (410) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch ii) r(A) = n iii) A ∼ In iv) Tồn các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In : ϕ1 ϕ k A −→ A1 −→ −→ Ak = I n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (411) Ma trận khả nghịch 4.2 Nhận diện và tìm ma trận khả nghịch Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi đó các khẳng định sau tương đương: i) A khả nghịch ii) r(A) = n iii) A ∼ In iv) Tồn các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In : ϕ1 ϕ k A −→ A1 −→ −→ Ak = I n Hơn nữa, đó qua chính các phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk , ma trận đơn vị In biến thành ma trận nghịch đảo A−1 : ϕ1 ϕ k In −→ B1 −→ −→ Bk = A−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 74 / 84 (412) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (413) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (414) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ −→ ( Ap | Bp ) −→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (415) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ −→ ( Ap | Bp ) −→ Trong quá trình biến đổi có thể xảy hai trường hợp: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (416) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ −→ ( Ap | Bp ) −→ Trong quá trình biến đổi có thể xảy hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn p cho dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít dòng hay cột Khi đó A không khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (417) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ −→ ( Ap | Bp ) −→ Trong quá trình biến đổi có thể xảy hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn p cho dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít dòng hay cột Khi đó A không khả nghịch • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai dãy biến đổi trên không có dòng hay cột Khi đó ma trận cuối cùng dãy trên có dạng (In |B) Ta có A khả nghịch và A−1 = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (418) Ma trận khả nghịch Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) và dùng các phép BĐSCTD biến A dạng ma trận bậc thang rút gọn: ϕ1 ϕp (A |In ) −→ ( A1 | B1 ) −→ −→ ( Ap | Bp ) −→ Trong quá trình biến đổi có thể xảy hai trường hợp: • Trường hợp 1: Tồn p cho dãy biến đổi trên, ma trận Ap có ít dòng hay cột Khi đó A không khả nghịch • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai dãy biến đổi trên không có dòng hay cột Khi đó ma trận cuối cùng dãy trên có dạng (In |B) Ta có A khả nghịch và A−1 = B Lưu ý Nếu bài toán yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, ta cần tính hạng ma trận (dùng Gauss) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 75 / 84 (419) Ma trận khả nghịch Ví dụ Xét tính khả nghịch A= Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) A và tìm A−1 (nếu có) 12 14 19 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 76 / 84 (420) Ma trận khả nghịch Ví dụ Xét tính khả nghịch A= A và tìm A−1 (nếu có) 12 14 19 Giải (A|I4 ) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 76 / 84 (421) Ma trận khả nghịch Ví dụ Xét tính khả nghịch A= A và tìm A−1 (nếu có) 12 14 19 Giải (A|I4 ) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 4 7 12 14 19 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 0 0 06/04/2010 76 / 84 (422) Ma trận khả nghịch Ví dụ Xét tính khả nghịch A= A và tìm A−1 (nếu có) 12 14 19 Giải (A|I4 ) = 4 7 12 14 19 0 0 0 0 d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 76 / 84 (423) Ma trận khả nghịch Ví dụ Xét tính khả nghịch A= A và tìm A−1 (nếu có) 12 14 19 Giải (A|I4 ) = d2 :=d2 −2d1 d :=d −3d1 −−3−−−3−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 7 12 14 19 0 0 0 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 0 0 06/04/2010 76 / 84 (424) Ma trận khả nghịch 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 06/04/2010 77 / 84 (425) Ma trận khả nghịch 0 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 d : =d −2d 1 −− −−− −−→ d3 : =d3 −d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (426) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (427) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 d1 :=d1 −7d3 d :=d +2d 2 −− −−− −−→ d4 :=d4 −2d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (428) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 d1 :=d1 −7d3 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→ d4 :=d4 −2d3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 −7 0 −1 12 1 −4 −1 1 −1 −1 0 −2 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (429) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 d1 :=d1 −7d3 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→ d4 :=d4 −2d3 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 −7 0 −1 12 1 −4 −1 1 −1 −1 0 −2 −2 d1 :=d1 +d4 d2 :=d2 −d4 −−−−−−−→ d3 :=d3 −d4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (430) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 d1 :=d1 −7d3 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→ d4 :=d4 −2d3 d1 :=d1 +d4 d2 :=d2 −d4 −−−−−−−→ d3 :=d3 −d4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 −7 0 −1 12 1 −4 −1 1 −1 −1 0 −2 −2 0 10 −9 1 0 −2 −3 −1 1 −3 −1 0 −2 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (431) Ma trận khả nghịch 0 d1 : =d1 −2d2 −−−−−−−→ d3 : =d3 −d2 d1 :=d1 −7d3 d2 :=d2 +2d3 −− −−−−−→ d4 :=d4 −2d3 d1 :=d1 +d4 d2 :=d2 −d4 −−−−−−−→ d3 :=d3 −d4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 1 −2 −1 −2 1 −1 −3 0 −4 0 0 −2 0 0 −2 −1 −2 1 −1 −1 −4 0 −7 0 −1 12 1 −4 −1 1 −1 −1 0 −2 −2 0 10 −9 1 0 −2 −3 −1 = (I4 |A−1 ) 1 −3 −1 0 −2 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 77 / 84 (432) Ma trận khả nghịch Như vậy, A khả nghịch và A−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 −9 −2 −3 −1 = −3 −1 −2 −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 78 / 84 (433) Ma trận khả nghịch Như vậy, A khả nghịch và A−1 10 −9 −2 −3 −1 = −3 −1 −2 −2 Ví dụ Xét tính khả nghịch A và tìm A−1 (nếu có) 1 A= −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 78 / 84 (434) Ma trận khả nghịch Như vậy, A khả nghịch và A−1 10 −9 −2 −3 −1 = −3 −1 −2 −2 Ví dụ Xét tính khả nghịch A và tìm A−1 (nếu có) 1 A= −1 −3 Giải (A|I4 ) = −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 0 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 0 0 06/04/2010 78 / 84 (435) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (436) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −5 −8 −2 −6 −7 −11 −3 −9 −12 −19 −4 Chương Ma trận và Hệ PTTT 0 0 0 06/04/2010 79 / 84 (437) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 −3 −5 −8 −2 −6 −7 −11 −3 −9 −12 −19 −4 0 0 0 d :=d −2d 3 −− −−− −−→ d4 :=d4 −3d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (438) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d :=d −2d 3 −− −−− −−→ d4 :=d4 −3d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 −3 −5 −8 −2 0 −6 −7 −11 −3 −9 −12 −19 −4 0 0 −3 −5 −8 −2 0 −2 0 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (439) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d :=d −2d 3 −− −−− −−→ d4 :=d4 −3d2 0 −3 −5 −8 −2 0 −6 −7 −11 −3 −9 −12 −19 −4 0 0 −3 −5 −8 −2 0 −2 0 −3 d : =d −d −−4−−−4−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (440) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d :=d −2d 3 −− −−− −−→ d4 :=d4 −3d2 d4 : =d4 −d3 −−−−−−−→ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −3 −5 −6 −7 −9 −12 −3 −5 0 0 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −8 −2 −11 −3 −19 −4 0 −8 −2 1 −2 5 −3 −8 −2 −2 −1 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (441) Ma trận khả nghịch d2 :=d2 −2d1 d3 : =d3 −3d1 −−−−−−−→ d4 :=d4 −4d1 d :=d −2d 3 −− −−− −−→ d4 :=d4 −3d2 d4 : =d4 −d3 −−−−−−−→ −3 −5 −6 −7 −9 −12 −3 −5 0 0 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −8 −2 −11 −3 −19 −4 0 −8 −2 1 −2 5 −3 −8 −2 −2 −1 Ta có r(A) < Suy A không khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 79 / 84 (442) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (443) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (444) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (445) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (446) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (447) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (448) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D ⇔ X = A−1 DA0−1 Ví dụ Giải phương trình Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) X= −2 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (449) Phương trình ma trận Phương trình ma trận Định lý Cho các ma trận A, A0 ∈ Mn (R) khả nghịch và B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi đó i) AX = B ⇔ X = A−1 B; ii) XA = C ⇔ X = CA−1 ; iii) AXA0 = D ⇔ X = A−1 DA0−1 Ví dụ Giải phương trình X= −2 Giải Phương trình có dạng AX = B Ta có A khả nghịch, nên −1 −2 −6 −1 X=A B= = −5 16 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 80 / 84 (450) Phương trình ma trận Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch, nên −2 −1 −19 11 −1 X = BA = = −5 −21 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 81 / 84 (451) Phương trình ma trận Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch, nên −2 −1 −19 11 −1 X = BA = = −5 −21 13 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa 1 1 −2 2 X = 3 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 81 / 84 (452) Phương trình ma trận Ví dụ Giải phương trình X = −2 Giải Phương trình có dạng XA = B Ta có A khả nghịch, nên −2 −1 −19 11 −1 X = BA = = −5 −21 13 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa 1 1 −2 2 X = 3 −1 Giải Phương trình có dạng AXB = C Ta có A, B khả nghịch, nên X = A−1 CB −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 81 / 84 (453) Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 82 / 84 (454) Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 −1 −2 −2 −1 = −1 −4 −1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 82 / 84 (455) Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 −1 −2 −2 −1 = −1 −4 −1 −1 −1 −5 −2 = −4 −1 −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 82 / 84 (456) Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 −1 −2 −2 −1 = −1 −4 −1 −1 −1 −5 −2 = −4 −1 −2 17 −13 = −11 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 82 / 84 (457) Phương trình ma trận X = A−1 CB −1 −1 −2 −2 −1 = −1 −4 −1 −1 −1 −5 −2 = −4 −1 −2 17 −13 = −11 −4 Ví dụ Tìm ma trận X thỏa Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 −2 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT X= −2 −1 06/04/2010 82 / 84 (458) 5 Phương trình ma trận x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4 x5 x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 83 / 84 (459) 5 Phương trình ma trận x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4 Ta có x x 6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 83 / 84 (460) 5 Phương trình ma trận x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4 Ta có x x 6 −1 x1 + 2x3 − x5 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 Suy hệ phương trình −2x − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) x2 + 2x4 − x6 −2x2 − 3x4 + x6 = 1; = −2; = −1 = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 83 / 84 (461) 5 Phương trình ma trận x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4 Ta có x x 6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6 x1 + 2x3 − x5 = 1; x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1 −2x2 − 3x4 + x6 = 1 −1 −1 −2 à = −2 −3 −1 −2 −3 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 83 / 84 (462) 5 Phương trình ma trận x1 x2 Giải Đặt X = x3 x4 Ta có x x 6 −1 x1 + 2x3 − x5 x2 + 2x4 − x6 X= −2 −3 −2x1 − 3x3 + x5 −2x2 − 3x4 + x6 x1 + 2x3 − x5 = 1; x2 + 2x4 − x6 = −2; Suy hệ phương trình −2x1 − 3x3 + x5 = −1 −2x2 − 3x4 + x6 = 1 −1 −1 −2 à = −2 −3 −1 −2 −3 1 0 −1 0 ∼ 0 −1 0 −1 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 83 / 84 (463) Phương trình ma trận 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 0 0 −1 0 −1 −1 −3 Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 84 / 84 (464) Phương trình ma trận 0 0 0 −1 0 −1 −1 −3 Suy x1 x2 x3 x4 x x6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = = = = = = −1 − t; − s; + t; −3 + s; t; s t, s ∈ R Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 84 / 84 (465) Phương trình ma trận 0 0 0 −1 0 −1 −1 −3 Suy x1 x2 x3 x4 x x6 −1 − t; − s; + t; t, s ∈ R −3 + s; t; s −1 − t 4−s Vậy X = + t −3 + s với t, s tự t s Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = = = = = = Chương Ma trận và Hệ PTTT 06/04/2010 84 / 84 (466)