Đang tải... (xem toàn văn)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhauchữ số đầu tiên khác 0 trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.. Giải: Mỗi số ứng với chỉnh hợp chập 5 của 6 phần tử đ[r]
(1)PHÂN LOẠI THEO Ý NGHIÃ THỰC TẾ I Các Chữ Đôi Một Khác Nhau Bài (DHAn ninh - 1997) Từ bảy chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể thành lập bao nhiêu sồ chẵn, số có năm chữ số khác HD: A4 Chữ số hàng đơn vị là có 1.6.5.4.3= số Chữ số hàng đơn vị là hoặc co cách chọn chữ số hàng đơn vị, cách chọn chữ số hàng vạn(Khác 0).Vậy có 3.5.5.4.3 = 3.5.A5 số A 3.5.A53 Tất có + =1260 số Bài (DH Huế - 1997) Có bao nhiêu số tự nhiên(được viết hệ đém thập phân) gồm năm chữ số mà các chữ số đêù lớn và đôi khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên nói trên HD: Mỗi chữ số tương ứng với hoán vị phần tử 5,6,7,8,9.Vậy có P5=1.2.3.4.5=120 số Sự xuất các chữ số 5,6,7,8,9 hàng(đơn vị, trăm…) là nên tổng các chữ số hàng đơn vị 120 số nêu trên là: 120 810 (5+6+7+8+9) Suy tổng 120 số là: 840(1.100+1.101+1.102+1.103+1.104)=840.11111=933240 Bài (DHQG Hà Nội - 1997) Có 100.000 vé xổ số đánh số từ 00.000 đến 99.999 Hỏi số các vé gồm năm chữ số khác là bao nhiêu? HD: Theo đầu bài chữ số hàng chục nghìn có thể Suy có 10.9.8.7.6=A10 30240 vé gồm chữ số khác Bài (DH Thái Nguyên) Cho các số 1,2,5,7,8 Có bao nhiêu cách lập số có ba chữ khác từ năm số trên cho: a) Số tạo thành là số chẵn b) Số tạo thành không có chữ số c) Số tạo thành nhỏ 278 HD: a) Có cách chọn hàng đơn vị nên có 2.4.3=24 số chẵn b) Chỉ chọn số, có 4.3.2 =24 số không có chữ số c) Chữ số hàng trăm là 2:Nếu là 1thì có 4.3= A4 =12 số.Nếu là thì số tạo thành có đúng số (275,271,258,257,251,218,217,215) nhỏ 278 Bài (DH Y Hà Nội) Cho mười chữ số 0,1,2,…,9 Có bao nhiêu số lẻ chữ số khác nhau, nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho Gải: Các chữ số hàng đơn vị(chữ số đầu tiên bên phải) chọn từ các số 1,3,5,7,9.Chữ số đầu tiên bên trái A4 chọn từ các số 1,2,3,4,5.Bốn chữ số có =8.7.6.5=1680 cách chọn Bài (DH Lâm nghiệp - 1997) Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9 Có thể lập bao nhiếu số có chữ số mà số các chữ số khác Có thể lập bao số có chữ số khác nhau, đó thiết có mặt chữ số Giải: 1.Chữ số hang trăm phải khác nên có cách chọn.Hai chữ số còn lại có 6.5= A 26 =30 cách chọn Vậy có tất 6.30=180 cách chọn (2) Chữ số hàng nghìn phải khác 0, là thì chữ số còn lại có 6.5.4= A6 =120 cách hay có 120 số Nếu chữ số hàng nghìn là 4,5,6,8,9(5 cách chọn) thì chữ số còn lại phải có số là 5(1 cách chọn nhất), và hai số có 5.4= A 25 =20 cách chọn Vậy có 5.1.20=100 số Tổng cộng có 120+100=220 số Bài (CĐSP-TP.HCM - 1997) Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Từ các chữ số đã cho lập bao nhiêu: Số chẵn có chữ số khác Số chia hết cho gồm chữ số khác Giải: Số chẵn tận cùng là có 5.4.3= A 35 =60 số Số chẵn tận cùng là thì chữ số hàng phải khác 0, nên có A 24=2 3=96 Vậy có tất 60+96=156 số chẵn 2.Số chia hết cho phải có tận cùng là - Nếu tận cùng là có 4=A 25=20 số - Nếu tận cùng là và chữ số hàng trăm phải khác nên có 4.4=16 số Vậy số các số cần tìm là 20+16=36 số Bài (ĐHSPVinh - 1999) Cho chữ số 0.1.2,3,4,5,6,7 Từ chữ số trên có thể lập bao nhiêu số, số gồm bốn chữ số, đôi khác và không chia hết cho 10 Giải: Gọi số cần tìm có dạng abcd Theo đầu bài a và d phải khác nên a và d có 7.6 cách chọn.Còn b,c có 6.5 cách chọn Vậy số các số cần tìm là 7.6.6.5=1260 số Bài (ĐHQGTPHCM - 2000) Có bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác đôi đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ Có bao nhiêu số gồm chữ số khác đôi đó có đúng chữ số chẵn, chữ số lẻ(Chữ số đầu tiên phải khác 0)? Giải: Chữ số đầu tiên là chữ số le nên có cách chọn, chữ số cuối cùng là chữ số chẵn nên có cách chọn, đó chữ số đứng có A 48 =42000 số Từ chữ số chẵn chọn C35 cách, số lẻ Với chữ số có P6=6! hoán vị, đó số các số Bài 10 (ĐHSP Vinh - 2000) Tìm tất các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó chữ số sau lớn chữ số đứng liền trước Giải: Chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0, vì nó nhỏ nên xét từ đến Rõ ràng các chữ số phải khác nên lấy chữ số tạo nên số( Theo thứ tự tăng dần) Vậy các số tự nhiên cần tìm là: C59=126 Bài 11 (Viện ĐH Mở HN - 2000) Cho chữ số 1,2,3,4 a) Có thể lập bao nhiếu số hàng nghìn gồm chữ số khác từ chữ số đó b) Tính tổng các chữ số tìm câu a) Giải: a) Có P4=4.3.2.1 = 24 số b) Nhận thấy 24 số câu a) gồm 12 cặp số mà tổng cặp là 5555( Chẳng hạn 1234và 4321) Vậy tổng phải tìm là 12.5555 = 66660 Bài 12 (Học viện quốc tế - 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, thiết lập tất các số có chín chữ số khác nhau.Hỏi các số đó có bao nhiêu số mà chữ số ứng vị trí chính Giải: (3) Số hoán vị phần tử là 9! Số là bình đẳng các chữ số khác nên các số có vị trí chính là 9! 8! 40320 Bài 13 (ĐH Quốc gia TPHCM - 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau(chữ số đầu tiên khác 0) đó có mặt chữ số không có mặt chữ số Giải: Khi chữ số o hàng đơn vị, chữ số còn lại chọn từ chữ số 2,3,4,5,6,7,8 có A 58=8 4=6720 cách chọn Chữ số có thể vị trí(Vì chữ số đầu tiên khác 0)nên có A58=33600 số thoả mản đầu bài Bài 14 (ĐH sư phạm - 2001) Tính tổng các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi thành lập từ chữ số1,3,4,5,7,8 Giải: Mỗi số ứng với chỉnh hợp chập phần tử đã cho Vậy có A 56=720 số 720 =120 Suy tổng Mỗi các chữ số đã cho có số lần xuất hàng đơn vị là và là các chữ số hàng đơn vị 120 số xét là 120(1 + + + + + 8) = 3360 Đó là tổng các chữ số hàng trục, trăm, nghìn,…nên tổng 720 số xét là 3360(1+10+102+103+104+105) = 3360.(11111) = 37332960 Bài 15 (ĐH Ngoại thương sở hai- TPHCM - 2001) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất các số có sáu chữ số khác Hỏi các số thiết lập có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh Giải: Vì có vị trí nên số nên số đứng trước thì có trường hợp số đứng sau Cũng có trường hợp số đứng sau số Trong trường hợp, bốn vị trí còn lại có 4.3.2.1 = p4 cách chọn Vậy có (5+5) P4 = 240 số mà và đứng cạnh Có tất p6 = 6! = 720 số co9s chữ số Suy số các số thỏa mãn đầu bài là 720 - 240 = 480 II) Các chữ số có thể trùng Bài 16 (ĐH Quốc gia TPHCM - 1998) Xét dãy số gồm chữ số (mỗi số chọn từ các chữ số 0, 1, 2,…., 8, 9) thoả mãn các tính chất sau: - Chữ số vị trí thứ là số chẵn - Chữ số vị trí cuối cùng không chia hết cho - Các chữ số vị trí thứ 4, thứ và thứ đôi khác Hỏi có tất bao nhiêu số tự nhiên vậy(có giải thích)? Giải: Xét dãy số (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7) thỏa mản yêu cầu đề bài Vì a3 chẵn nên có cách chọn (0, 2, 4, 6, 8) Vì a7 không chia hết cho nên có cách chọn(trừ 0,5) Vì a4, a5, a6 đôi khác nên có A 310 cách chọn Vì a1, a2 tùy ý nên số có 10 cách chọn Vậy có 5.8 A 310 10.10=2880000 dãy số thỏa mãn đầu bài Bài 17 (ĐHSP VINH - 1998) Viết các số cĩ sáu chữ số các chữ số 1, 2, 3, 4, 5( chữ số xuất hai lần, các chữ số còn lại xuất hieän moät laàn) Coù bao nhieâu caùch vieát Giải: 6.5 Giả sử chữ số viết hai lần, ta có C6 = cách chọn vị trí để viết Bốn vị trí còn lại viết từ các chữ số 2,3,4,5 có p4 cách viết Vậy có C26 P cách viết có hai chữ số Vì vai trò chữ số 1,2,3,4,5 là nên có C 26 p4 =1800 cách viết (4) Bài 18 (ĐH Xây dựng - 1998) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ 10000 tạo thành chữ số 0, 1, 2, 3, Giải: Số có chữ số: Có số (0, 1, 2, 3, 4) Số có chữ số(dạng ab ): Số có hàng chục khác có 4.5 = 20 số Số có chữ số(dạng abc ):Số có hàng trăm khác có 4.5.5 = 100 số Số có chữ số(dạng abcd ): Số có hàng nghìn khác có 4.5.5.5 = 500 số Không thể có số có chữ số nhỏ 10000 Vậy có + 20 + 100 + 500 = 625 số Baøi 19 (ÑH Sö phaïm Vinh - 2000) Có bao nhiêu tự nhiên khác gồm chữ số cho tổng các chữ số số la số chẵn Giải: Chữ số đầu tiên bên trái khác nên có cách chọn, xét chữ số số có 10 cách chọn, riêng chữ số hàng đơn vị có 10 cách chọn có cách thỏa mãn điều kiện đề bài Vậy có: 9.105.5 = 4500000 số Baøi 20 (ÑH Sö phaïm Haø Noäi - 2000) Có thể lập bao nhiêu chữ số gồm chữ số từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 đó chữ số và có mặt hai lần còn các chữ số khác xuất lần Giải: Số hoán vị phần tử là P8 = 8! tức là có 8! số đó có các số trùng vì bị đổi chỗ chữ số 1 !=10080 số thì là số, đổi chỗ chữ số Vậy có 2 Baøi 21 (ÑH Thaùi nguyeân - 2000) Có bao nhiêu số gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số lẽ Giải (tương tự bài 19) Chữ số đầu tiên bên trái khác nên có cách chọn, các chữ số còn lại có 10 cách chọn, riêng chữ số hàng đơn vị có 10 cách chon cho tổng các chữ số số là số lẻ Vậy có 9.10.10.10.5 Baøi 22 (ÑH Thaùi Nguyeân - 2000) Từ ba chữ số 1,2,3 có thể tạo bao nhiêu chữ số gồm chữ số, đó mặt đủ ba chữ số trên? Baøi 23 (ÑH Hueá - 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số cho không có chữ số nào lập lại đúng ba lần Baøi 24 (ÑH Quoác gia TPHCM - 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết chữ số có mặt đúng hai lần, chữ số 3có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần III BAØI TOÁN CHỌN Baøi 25.( ÑH Sö phaïm Quy Nhôn - 1997) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là điểm số 37 điểm đã chọn trên d và d2 Giaûi: Giaû sử 37 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng Số tam giác tạo là C 37 Nhưng qua 17điêm trên d không tạo tam giác nàolại kể là C 37 tam giác, 20 điểm trên d coi là tạo C 20 tam giác Vậy số tam giác thực có dươc là: (5) (37.36.35 20.19.18 17.16.150) 5950 2.3 Bài 26 (ĐHThái Nguyên - 1997) Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Cần chọn nhóm gồm học sinh Hỏi có bao nhiêu cách: a) Chọn học sinh b) Chọn học sinh gồm nam và nữ c) Chọn học sinh đó có ít nam Giải: a) Mỗi cách chọn nhóm gồm học sinh là tổ hợp chập 40, có 40.39.38 A40 9880 1.2.3 cách chọn 15.14 105 C 15 1.2 b) Có C125 cách chọn nam vaø cách chọn nữ Theo quy tắc nhân có 25.105= 2625 cách C 37 C 20 C 17 choïn 15.14.13 455 1.2.3 caùch choïn hoïc sinh.Theo caâu a)coù 9800 caùch choïn hoïc sinh baát kì Suy soá caùch choánc ít nhaát hoïc sinh nam laø: 9800 – 455 = 9425 Bài 27 (Học viên khoa học quân - 1997) Có10 câu hỏi gồm câu lý thuyết và câu bài tập để cấu tạo thành đề thi gồm câu có lý thuyết và bài tập Hỏi có bao nhiêu khả cấu tạo đề thi Giaûi: C c) coù 15 c =4.15=16 caùch Chọn đề thi cho hai câu lý thuyết và hai câu bài tậpcó c c 6 12 caùch vaäy coá 16+12=28 caùch Baøi 28 (ÑH Kieán truùc Haø Noäi -1998) Một đội xây dựng gồm 10 công nhân kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư làm tổ trưởng coâng nhaân laøm toå phoù vaø coâng nhaân toå vieân.Hoûi coù bao nhieâu caùch thaønh laäp toå coâng taùc Giaûi: c COÙ cách chọn kỹ sư làm tổ trưởng10 = C110 cách chọn1 công nhân làm tổ phó.Với cách chọn tổ trưởng tổ phó có C59 cách chọn nhân tổ viên Vậy có: 9.8.7.6.5 3.10.C 3.10 3780 1.2.3.4.5 caùch laïp toå coâng taùc Baøi 29 (ÑH Quoác gia TP.HCM - 1998) Một đa giác lồi n cạnh thì có bao nhiêu đường chéo? Giaûi: Vì là đa giác nên không có đỉnh nào thẳng hàng Qua n đỉnh đó kẻ C 2n đường thẳng kẻ Cn2 đường thẳng phân biệt chứa các cạnh và đường chéo Do có n cạnh nên số đường chéo là: n n 1 n n Cn n n Baøi 30 (ÑH Hueá - 1999) Chọn đề thi có câu lý thuyết và câu bài tập c 14 (6) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng và viên bi vàng Chọn viên từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không có đủ màu Giaûi: Xét khả có đủ màu: 4.3 2 5.6 180 C 4C5C6 1.2 Có đỏ, trắng,1 vàng: caùch 5.6 C 4.C 5.C 4 1.2 240 caùch Có đỏ trắng 1vàng: 6.5 1 4.5 300 C 4C5C6 1.2 Có đỏ 1trắng vàng: caùch Vì coù C 1365 cách chọn viên hộp nên cách chọn để lấy viên không đủ màu là: 1365 - (180 + 240 + 300) = 645 Baøi 31 (ÑH caûnh saùt nhaân daân - 1999) Cho tam giác ABC Xét tập hợp đường thẳng song song với AB, đường thẳng song song với BC và đường thăng song song với CA Hỏi các đường thẳng này tạo bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình thang (khoâng keå hình binh haïnh) Giaûi: 1 c c 120 c Một tam giác tạo đường thẳng thuộc họ khác Vậy có: = Mỗt hình thang tạo đường cùng họ, 2đường kín thuộc 2họ còn lại, có 1 1 c 4c 5c c c c 4c c 720 hình thang Baøi 32 (ÑHSö phaïm Haø noäi - 1999) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ (trong đó có cặp anh em sinh đôi) Cần chọn nhóm học sinh số 50 học sinh trên dư Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhoùm khoâng coù caëp anh em sinh ñoâi naøo Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? Giaûi: Để chọn học sinh 50 học sinh có: 50 49 48 C50 2 3 caùch 15 Co ù48 cách chọn học sinh để ghép cùng hai anh em sinh đôi Avà A’ để tạo nên nhóm học sinh đó có A, A’ Suy số nhóm người có anh em sinh đôi nào đó là 48 4 = 192 Vậy số nhóm người 192 19408 c khoâng coù caëp sinh ñoâi naøo laø 50 Baøi 33 (ÑH Sö phaïm vinh - 1999) Một tổ sinh viên co20 em, đó có em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp và em biết tiếng Đức Cần lập nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp và em biết tiếng Ñöùc Hoûi coù bao nhieđu caùch laôp nhoùm ñi thöïc teẩ toơ sinh vieđn aây Keát quaû 7 6 6 5 4 4 4 C C C 19600 7 12 3 2 3 4 2 Coù C8 caùch Baøi 34 (Hoïc vieân kó thuaät quaân sö - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày cần cử người làm nhiệm vụ địa phương A, người địa điểm B, còn người thường trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công Giaûi: (7) Cứ người làm nhiệm vụ địa A có C9 cách Số người còn lại là thường trực đồn Vậy có 9.8.7 6.5 C93 C62 1260 1.2.3 1.2 caùch Baøi 35 (ÑH Hueá - 2000) Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau: Nếu phải có ít nữ ? Neáu choïn tuyø yù ? Giaûi: 45.44.43.42.41.40 C45 8145060 1.2.3.4.5.6 Neáu choïn tuyø yù coù caùch 1.Chọn học sinh đó có đúng nữ:15 C30 cách Suy chọn học sinh đó có ít nữ có 6 C45 (C30 15.C305 ) 8145060 2731365 5413695 caùch Baøi 36 ( ÑH Thaùi Nguyeân - 2000 ) Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người cho: a)có đúng nam người đó b)có ít nam và ít nữ 5người đó Giaûi: a)chọn 2namvà nữ có C10 C10 5400 cách b)chọn nam và có C10 C10 5400 cách chọn nam và nữe có C10 C10 2100 cách vây muốn chọn người:có ít namvà ít 1nữ (tức là có hoặc nam) có: 5400 + 4500 +2100 = 12900 caùch Baøi 37: ( ÑH Caàn Thô - 2000 ) Có viên bi xanh, 5viên bi đỏ, 4viên bi vàng có kích thước khác a) Có bao nhiêu cách chọn viên bi, đó có đúng 2viên bi đỏ b) có bao nhiêu cách chọn viên bi,trong đó số bi xanh băng số bi đỏ Giaûi: a) Chọn bi đỏ C5 cách, chọn bi số + = 13 viên bi xanh vàng có: C13 cách 5.4 13.12.11.10 C52 C134 7150 1.2 1.2.3.4 Vaäy coù caùch b) Chọn 3trong bi xanh,3 bi đỏ có: 9.8.7 5.4.3 840 1.2.3 1.2.3 caùch Baøi 38 (ÑH Quoác gia TP.HCM - 2000) Thầy giáo có 12 sách đôi khác gồm văn học, âm nhạc và hội hoạ Ông laáy để tăng học sinh A, B,C, D,E ,F em 1.Coù bao nhieâu caùch neáu thaày chæ muoán saùch vaên hoïc vaø aâm nhaïc C93 C53 (8) 2.Có bao nhiêu ccách để sau tăng, thầy ít 1cuốn văn học, ít âm nhạc và ít 1cuốn hội hoạ Giaûi: học sinh nhận 6trong sách (văn học và âm nhạc ),vây có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách thầy lại thể loại 1cuốn,6 học sinh nhận từ cuốn, có 9.8.7.6.5.4 = 60580 caùch Bài 39 ( Học viện Kĩ thuật quân - 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, 5khá, 8trung bình.Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành tổ, tổ8 người cho tổ cộhc sinh giỏi và tổ có ít hai học sinh khá Giaûi: * Cần tìm số cách chọn học sinh có 1hoặc giỏi,2hoặc 3khá, còn lại là trung bình(từ3 giỏi, 5khá, trung bình): * gioûi, 2khaù, 5trung bình: C3 C5 C8 3.10.56 1680 caùch * gioûi, 3khaù, 4trung bình: C3 C5 C8 3.10.7 2100 caùch 2 * 2gioûi, 2khaù, 4trung bình: C3 C5 C8 3.10.7 2100 caùch C C C 3.10.56 1680 * 2gioûi, 3khaù, 3trung bình: caùch Vaäy coù ( 1680 + 2100 ) =7560 caùch Baøi 40 (ĐH Ngoại thương- 2001) Trên mặt phẳng có hình 10 cạnh lồi A1 A2 A10 Xét các tam giác có có ba đỉnh nó là đỉnh hình 10 cạnh lồi Hỏi số tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà cạnh nó không phải là cạnh hình 10 cạnh lồi Giải: 10.9.8 C103 120 1.2.3 *Có tất tam giác Trong đó có 10.6 = 60 tam giác chứa đúng cạnhcủa hình 10 cạnh ( tam giác chứa cạnh A1 A2 , ,6 tam giác cạmh A10 A1 ) và 10 tam giác chứa đúng 2cạnh hình 10 cạnh Vậy có 120 – 60 – 10=50 tam giác thoả mãn đàu bài Bài 41 (Học viện kỹ thuật quân - 1998) Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi xung quanh bàn tròn hỏi có bao nhiêu cách săp xếp để không có học sinh cùng giới ngồi cạnhh Giải: * Đánh số các ghế từ tới 2n Nếu nam ngồi ghế lẻ, nữ ghồi ghế chẵn có Pn n ! cách xếp cho nam, Pn cách 2 xếp cho nữ, có (n !) cách xếp đổi lại nam ngồi ngệ chẵn, nữ ngồi ngế lẻ có (n !) cách xếp Tổng cộng có cách xếp Bài 42 (ĐH Cần Thơ - 1999) Xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ vào bàn, bàn có ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi, nếu: Các học sinh ngồi ý Các học sinh nam ngồi 1một bàn Giải: * Có P10 10! cách xếp học sinh ngồi ý 2 Có P5 5! cách xếp học sinh nam vào bàn A,5 ! cách xếp năm học sinh nữ vào bàn B có (5!) cách xếp Nếu nam ngồi bàn B, nữ ngồi bàn A có (5!) cách xếp Vậy có 2.(5!) 28800 cách xếp Bài 43 (ĐH Hàng hải TPHCM - 1999) Có bao nhiêu cách xếp năm học sinh A, B,C,D, E vào ghế dài cho: a) C ngồi chính (9) b) A và E ngồi hai đầu ngế Giải a) C ngồi chính giữa, người còn lại đổi chỗ cho nên có P4 4! 4.3.2.1 24 cách xếp b)A và E có cách ngồi hai đầu ghế, người còn lại đổi chỗ cho nhau, có 2.P3 2.(1.2.3) 12 cách Nếu yêu cầu thoả mãn cùng lúc hai điều kiện a) và b) thì có 1.2.2 =4 cách Bài 44 (ĐH Luật Hà Nội - 1999) Một đoàn tàu có ba toa chở khách là toa I, toa II, toa III Trên sân ga có bốn hành khách chuẩn bị tàu Biết toa ít có chỗ trống a) Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên toa tàu đó b) Có bao nhiêu cách xếp cho vị khách lên tàu để có toa có vị khách nói trên Giải: * a) Cả khách lên toa I, có cách Có khách lên toa I, khách thứ lên toa II III, có C34 cách Có khách lên toa I, C24 cách, cách còn lại có cách chọn (cùng lên toa II III, người lên toa II III ) có C4 cách Vì có khách lên toa tau nên ít có toa có khách trở lên Giả sử đó là toa I Lập luận trên cho thấy có (1 C43 C42 ).3 99 cách (do vai trò các toa ) Bài 45.( ĐH Cần Thơ - 2001 ) Một nhóm gồm 10 học sinh: nam và nữ Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên thành hành dọc cho học sinh nam đứng liền Giải: * Đánh số các vị trí từ đến 10 Có bốn trường hợp các học sinh nam đứng liền ( từ đến 7, từ đến 8, từ đến 9, từ đến 10) Trong trường hợp, nữ sinh có 3! cách hoán vị, nam sinh có 7! Cách hoán vị Vậy có 4.3!.7! =120960 cách xếp 20 Bài 46 ( Học viện kỹ thuật quân - 1997 ) Đa thức P( x ) (1 x ) 2(1 x ) 3(1 x ) 20(1 x ) 2 20 viết lại dạng P( x ) a0 a1 x a2 x n20 x Tìm a15 Giải: 15 * Hệ số x là 15 15 15 20 15 n15=15 C15 15 +16 C 16 + 17 C 17 + 18 C 18 +19 C 19 +20 C 20 ¿ 15 C 15+16 C16 +17 C17 +18 C 18 +1919+ 20 C 20 17 16 18 17 16 19 18 17 16 20 19 18 17 16 ¿ 16+16 16+17 +18 +19 +20 =400995 2 3 ( x )12 x Bài 47 ( ĐHKinh tế quốc dân - 1997 ).Tìm số hạnh không chứa x khai triển Niutơn Giải: 15 −k k k+15 15 − k xy ¿ + = +C15 x y + 15 k Theo khai triển Niutơn theo giả thuyết thì 25= 2k + 15, 10 = 15 – k x + xy ¿ = +C15 ¿ ¿ 15 ! 25 10 =3003 → k =5 → hệ số x y là C15= ! 10 ! n Bài 48 (ĐH Sư phạm Hà Nội - 2000) Biết tổng các hệ số khai triển nhị thức ( x 1) 1024,hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên ) hố hạng ax 12 khai triển đó Giải n ( x 1)n Cnk x k k 0 n Thay x=1 1024 = k n C k o n C106 210 Bài 49 (ĐH Sư phạm Hà Nội - 2000) Trong khai triển nhị thức x √3 x + x −28 /15 ¿n ¿ (10) n n n hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết Cn Cn Cn 79(1) Giải ĐK: n-2 0 n 2 x −18/ 15 ¿12 − k + .=4 Ck12 x 48 k /15 −112/5 + n.(n 1) x /3 ¿k ¿ 1 n 79 n 12, (1) loại n= -13 <2 Có x √ x+ x− 28/ 15 ¿12= +C k12 ¿ ¿ 48k 112 0 k 7 Số không phụ thuộc x 15 Số không phụ thuộc x là C12 792 12 Bài 50 (Học viện kỹ thuật quân - 2000) Khai triển đa thức P( x ) (1 x ) thàng dạng a0 a1 x1 a2 x a12 x12 Tìm max (a1 a2 , a 12) Giải 12 P( x ) (1 x )12 ak x k a1 ak 12!2k 12!2k 1 23 k k !(12 k )! (k 1)!(11 k ) k k đó ak C12 Giả sử Suy a0 a1 a2 a7 a8 a9 a10 a11 a12 12! 22 12 ! 28 Vì a7 = Vậy max ( a1 , a2 , ., a 12 ¿=a8=126720 < =a8 ↔ < 7!5! 8! 4! 10 14 Bài 51 ( ĐH Thủy lợi - 2000) cho đa thức P( x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) có dạng khai triển là k 0 P( x ) a0 a1 x a2 x a14 x 14 tính hệ số a9 Giải: n 9 n n Ta có 1+ x ¿ =C n+C n x + +C n+ .+ Cn x + +C n x ¿ Từ đó suy a9 =C99 +C 910+ C911 +C 912+ C913 +C14 =3003 10 x Bài 52 (ĐH Sư phạm Hà Nội - 2001) Trong khai triển 3 thành đa thức 10 a0 a1 x a2 x a10 x ,(ak R), hãy tìm hệ số a k lớn (0 k 10) Giải 10 ( x ) C10k ( 13 )10 k ( 23 )k x k C10 27 310 10 k Giả sử k 10 ak ak C k 2k 22 k 10 C10 10 k 3 Vậy maxa k =a = 16 Bài 53 (ĐH Bách khoa Hà Nội - 1998) Viết khai triển Niutơn biểu thức (3 x 1) Tư đó chứng minh 16 316.C160 315.C161 314.C162 C16 216 Giải (3 x 1)16 {3x+(-1)}16 C160 (3x)16 C161 (3x )16 ( 1)1 C162 (3x )14 ( 1)2 C1616 (3x )0 ( 1)16 316.C x16 315 C161 x15 314.C162 x14 313.C163 x13 C1616 16 đẳng thức phải chứng minh Bài 54 ( ĐH Y dược TP HCM - 2000) Với n là các số nguyên dương chứng minh hệ thức sau: n n a Cn Cn Cn Cn 2 Cho x=1 (11) n 4 2n b C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n C2 n Giải n 2 n n a theo khai triển Niutơn (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x Thay x=1 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn , đpcm 2n 2 2n 2n b Cũng theo khai triển Niutơn (1 x ) C2 n C2 n x C2 n x C2 n x C20n C21n C22n C23n C22nn ( 1)2 n Thay x = -1 C21n C23n 2n C22nn C20n C22n C22nn Đpcm Bài 55 ( ĐH Hồng Đức - 2000) Cho k1n là các số tự nhiên và k n Chứng minh C50 Cnk C51 Cnk C55 C5k Cnk5 Giải n 5 n M (1 x )5 C50 C51 x C52 x C53 x C54 x C55 x Để thấy (1 x ) (1 x ) (1 x ) , và: N (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Ckk x k Cnn x n P (1 x )5n C51n C52n x C5kn x k C55nn x 5n k k k Nhận thấy C5n là hệ số x P Vì P =M.N mà số hạng chứa x M.N là C5n Cnk x k C51 x.Cnk x k C55 x Cnk x k nên C5kn C50 Cnk C51 Cnk C55 Cnk ( đpcm) Bài 56 (ĐH Sư phạm Vinh - 2001) CMR 2000 C2001 32.C2001 34.C2001 32000.C2001 22000.(22001 1)(1) Giải −3+ 1¿ 2001 2 VP (1) = 3+1 ¿2001 +¿ đó từ hai khai triển Niutơn là: 2001 2001 −2 =¿ 2001 2001 2001 ( x 1) C2001 C2001 x C2001 C2001 x (2) 2001 2001 ( x 1)2001 C2001 C2001 x C2001 x C2001 x (3) Cộng lại thay x = (1) Bài 57 (ĐH Hàng Hải - 2001) CMR C20n C22n 32 C24n 34 C22nn 32 n 22 n 1.(2 n 1)(1) Giải 2n 2 2n 2n Theo khai triển Niutơn (1 x ) C2 n C2 n x C2 n x C2 n x 2n 2 n 2n ta có (1 3) C2 n C2 n C2 n C2 n (3) 2n 2n 2 4 2n 2n (2)+(3): 2.(C2 n C2 n C2 n C2 n ) (1) xn Bài 58 (ĐH Đà Lạt - 2001) CMR với số x: Giải n k C (2 x 1)k , n n k 0 với n là số tự nhiên n ( X21 )n 21n C.X k (1) k 0 n (1) ( X 1)n Cnk X k (2) k 0 Đặt X = 2x - thì phải chứng minh (2) Chính là công thức khai triển Niutơn Vậy suy đpcm (12) Bài 59 (ĐH Kinh tế quốc dân - 2000) Chứng minh 2n 1.Cn1 2n 1.Cn2 3.2 n 3.Cn3 n.Cnn n.3n (1) Giải (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n Có Đạo hàm hai n 1 n n n.(1 x ) 0 Cn x.Cn n.x Cn (2) Thayx 12 : n 32 n Cn1 Cn2 232 Cn3 243 Cn4 2nn Cnn n.3n : Cn1 2n 1.Cn2 3.2 n 3.Cn3 n.Cnn (đpcm) n k.2 n k .Cnk n Ghi nhớ: Vế trái (1) có dạng k 1 nên cần xét đạo hàm (1+x) So sánh (1) và(2) xẽ biết cần thay x mây Bài 60 ( ĐH Tài chính kế toán HÀ Nội - 2000) Chứng minh với số tự nhiên n: Cn1 2.Cn2 3.Cn3 n.Cnn n.2n Giải n o 2 n n Có (1 x ) Cn Cn x Cn x Cn x Đạo hàm hai vế n(1 x )n 0 Cn1 x.Cn2 n.x n Cnn Thay x = đẳng thức phải chứng minh Bài 61 (ĐH Tài chính kế toán TP HCM - 1995) Tính chứng tỏ rằng: Giải I C1n Cn2 Cn3 x/2 Đặt x=sinx I (1) n .Cnn ( 1) n 1 I (1 x )n dx (n n là số nguyên dương ).Từ kết đó 2.4.6 (2 n 2).2 n 1.3.5 (2 n 1) x/2 I (1 sin t ) cost.dt= cos2n+1t.dt 0 Sử dụng phương pháp truy hồi có 2.4.6 (2 n 2).2 n 1.3.5 (2 n 1) n 2 n n 2n Theo khai triển Nutơn thì: (1 x ) 1 Cn x Cn x Cn x ( 1) Cn x Lấy tích phân hai vế, được: n1 I [x- 13 Cn1 x 15 Cn2 x ( 1)n Cnn 2x n 1 ]10 n n 1 C3n C5n ( 21)n .1Cn (2) Từ (1), (2) có đpcm Bài 62 (ĐH Bách khao Hà Nội - 1997 ) Gọi n là số nguyên dương a) Tính J x.(1 x )n dx Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)n Cnn 2n 2(n 1) b) CMR: Giải 1 J (1 x )n d (1 x ) (1) 2( n 1) a b Theo khai triển Niutơn (13) (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n taco : (1 x )n Cn0 Cn1 ( x ) Cn2 ( x )2 Cnn ( x )n x.(1 x )n x.Cn0 x Cn1 x Cn2 ( 1)n x n Cnn 1 x2 x4 x6 ( 1)n x n 2 n I x.(1 x ) , dx Cn0 Cn Cn Cn 2n 0 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ( 1)n Cnn (2) 2n Tư(1),(2) đpcm Bài 63 (ĐH Kiến trúc Hà Nội - 1999) CMR với n nguyên dương có 1 n 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn (1) n 1 n 1 Giải 1 VT (1) (Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cnn x n 1 ) 10 n 1 v `iF ( x ) f ( x ).dx , 0 (C n Cn1 x Cn2 Cnn x n )dx 1 (1 x )n 1 (1 x ) dx (1 x ) d (1 x ) n 1 0 n n n 1 n 1 đó f(x) là đạo hàm F (x) nên VT(1)= =VP(1)(đpcm) Bài 64 (ĐHDL Phương Đông - 1996) Chứng minh với k,n Z thỏa mãn k n, ta có: Cnk 3.Cnk 3.Cnk 3.Cnk Cnk3 Giải: C m Cnm Cnm Áp dụng liên tiếp công thức n để tách số hạng thành hai số hạng được: k k k Cn 3 Cn 2 Cn 2 (Cnk1 Cnk 11 ) (Cnk 11 Cnk 12 ) (Cnk Cnk ) (Cnk Cnk ) (Cnk Cnk )(Cnk Cnk ) (đpcm) Bài 65 (Học viện Công nghệ bưu chính viên thông - 1998) Tìm các số nguyên, dương x,y thỏa mãn: Cxy1 Cxy 1 Cxy Giải ĐK: y x 1; y x 5( x 1)! 6x! y !( x y )! ( y 1)!( x y 1) 5( y 1).( x 1) 6( x y).( x y 1)(1) 5.Cxy1 6.Cxy 1 Tương tự: 2.Cxy 1 5.Cxy 2( x y).( x y 1) 5y.(y 1)(2) Vì 6( x y).( x y 1) nên 5.( y 1).( x 1) 15y.( y 1) x 3y(3) 2 Thay (3) vào (2) 8y y 5y 5y y 3 , suy x =8 Vậy x =8, y =3 (14) Bài 66 ( Học viện Ngân hành, phân biệt TP.HCM - 1999 ) Tìm các số x nguyên dương thỏa nãm phương trình C 1x Cx2 6.C x3 9 x 14 (1) Giải: ĐK: x 3 x.( x 1) x.( x 1).( x 2) x 6 9 x 14 (1) x x 14 0 Vậy x = 7, loại x = < k k 2 k 1 Bài 67 ( Cao đẳng Sư phạm TP.HCM - 1999 ) Tìm số tự nhiên k thỏa mãn đẳng thức C14 C14 2.C14 (1) Giải: ĐK: k 14 k 12 14! 14! 14 2 k !(14 k )! (k 2)!(12 k )! (k 1)!(13 k )! (1) k 12k 32 0, k = 4, k = thỏa mãn ĐK n 2, taco : Bài 68.(ĐH An ninh nhân dân - 2001).CMR với n là số tự nhiên, Giải 1 1 n (1) 1.2 2.3 3.4 (n 1).n n 2 3 4 n (n 1) n 1.2 2.3 3.4 (n 1).n n 1 n A2 A3 An n 1 n 1 1 1 n n n n 1 (dpcm) n n Bài 69 (ĐH Bách khao Hà Nội - 2001).Giải hệ PT 2 Axy 5.Cxy 90 y y 5 Ax 2.Cx 80 Giải: DK:x,y là số nguyên dương, y x y y Đặt u= Ax , v C x để tìm n=20, v=10 x! y y 2 20 Ax ( x y)! y 2 x! x! 20 x.( x 1) 10 C y 20 ( x 2)! x ( x y )! y ! y 2 x 5(loaix 4) n n n Bài 70 (ĐH Y dược TP.HCM - 1998).Chứng minh với ≤ k ≤ n C2 n k C2 n k (C2 n ) (1) (15) Giải n n C2nn k C2nn k C2nn k C2nn ( k 1) là đúng dãy uk C2 n k C2 n k là dảy số giảm (uk u0 ) Dãy uk giảm (2n k )! (2n k )! (2n k 1)! (2n k 1)! n!(n k )! n!(n k )! n !(n k 1)! n !(n k 1)! (2n k )(n k ) (n k )(2n k 1) (2n k ).(n k ) ( 2k 1) (n k ).[(2n k ) ( 2k 1)] (2n k )( 2k 1) (n k )( 2k 1) 2n k n k n 0(dpcm) Cnn13 Bài 71 (ĐH Hàng Hải - 1999).Giải bất phương trình An 1 14.P3 Giải ĐK: n n 3 (n 1)! 14.P3Cnn13 An41 14.3! (n 1).n.(n 1).(n 2) (n 3)!2! n2 n 42 (n 6).(n 7) n n Kết hợp với ĐK: n 3 nlà số nguyên lớn 6 A2 x Ax2 C x3 10(1) x Bài 72 (ĐH Bách khoa Hà Nội - 2000) Giải bất phương trình Giải: ĐK: x 3, x N (2 x )! x! x! (1) 10 (2 x 2)! ( x 2)! x 3!( x 3)! (2 x 1).2 x x.( x 1) ( x 2) 10 ˆ x 4.DoDKx 3nenx=3,x=4 Bài 73 (ĐH Quốc gia Hà Nội - 2000) Cho k 2000 , k nguyên, chứng minh Giải: ˆ C115 C114 C113 C112 C11 C116 C115 , C11/ C11/ , nenS k k 1 1000 1001 C2001 C2001 C2001 C2001 (1) 0 10 11 Do C11 25 C11 C11 C11 C11 C11 (1) n Áp dụng khai triển Niutơn ( x 1)n Cnk x k k 0 với x=1, n=11 11 10 11 (1 1)n C11k C110 C111 C112 C11 C11 (2) k 0 Từ (1),(2) suy 2S=2 n S 210 1024 k Bài 74 (ĐH Sư phạm Vinh - 2001) Cho n là số nguyên dương cố định.CRM Cn lớn k là số tự nhiên n 1 lớn không vượt quá Giải (16) n! n! va Cnk k !(n k )! (k 1)!(n k 1)! là các số dương có tỉ số Vì Cnk n k 1 n k 1 ˆ nk Cnk nenC 1 k Cn k k Cnk k n 1 Từ đó suy đpcm Bài 75 (ĐH An ninh - 2001) Tìm các số âm các dãy số X11 X2 n Xn với Xn An44 143 (n 1,2,3, ) Pn 2 Pn Giải: (n 4)! 143 143 (n 3).(n 4) 0 n!(n 2)! 4.n1! 19 ˆ 4n2 28n 95 n V a yn 1; n 2nen 2 63 23 x1 ; x2 là các số phải tìm 10 11 S C116 C117 C118 C119 C11 C11 Baøi 76 (ĐH Quốc gia Hà Nội - 1997) Tính tổng Giải 1 ˆ C115 C114 C113 C112 C11 C116 C115 C11/ C11 nenS C110 xn 10 11 Do 2S C11 C11 C11 C11 C11 (1) n Áp dung khai triẻn Niutơn (x+1) n Cnk x k k o với x=1,n=11 n 10 11 ( x 1)n C11k C110 C111 C112 C11 C11 (2) 2n → S=210=1024 Từ (10,(2) 2s= Bài 77 (ĐH Bách khao Hà Nội - 1999) Cho n là số tự nhiên lớn 2, tính tổng S Cn1 2.Cn2 3.Cn3 4.Cn4 ( 1)n 1.n.Cnn k 0 Giaûi Theo khai triển Niutơn (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n n 1 2 n n Đạo hàm hai vế: n.(1 x ) 1.Cn x.Cn x Cn n.x Cn x n Cho x 1: Cn x.Cn 3.Cn n x n.Cn Vậy S = Bài 78 ( ĐH An ninh - 2000 ) Tính tổng: 2000 S C2000 2.C2000 3.C2000 2001.C2000 Giải: 2000 2 2000 2000 Có ( x 1) C2000 C2000 x C2000 x C2000 x (1) Đạo hàm hai vế (1): 2000 2000.( x 1)1999 0 C2000 x.C2000 2000.x1999 C2000 (2) (17) Trong (2) thay x = 2000 2000.21999 C2000 2.C2000 3.C2000 2000.C2000 S1 2000 S S1 C2000 C2000 C2000 C2000 S2 2000 2000 Trong (1) cho x = C2000 C2000 C2000 S2 1999 2000 1001.22000 Vậy S S1 S2 2000.2 Bài 79 ( ĐHDL Duy Tân - 2001 ) Tính tổng sau: 23 2 S C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 Giải: 26 25 1 S C6 x C6 C6 x C66 x 10 1 F ( x ) f ( x ).dx , 0 Vì đó f(x) là đạo hàm F(x) nên 1 0 S (26.C60 25.C61 x 4.C62 x C66 x ).dx ( x 2)6 dx ( x 2)6 d ( x 2) ( x 2)7 37 27 7 Bài 80 ( ĐH Đà Nẵng - 2001 ) Với số tự nhiên n, hãy tính tổng 1 1 S Cn0 Cn1 Cn2 2 Cn3 23 Cnn n n 1 Giải: 1 1 S (Cn0 x Cn1 22 Cn2 22.x Cnn n.x n1 ) n 1 Vì F(x) 1 f ( x ).dx , S (Cn0 Cn1 x Cn2 (2 x )2 Cnn (2 x )n ).dx đó f(x) là đạo hàm F(x) nên (1 x )n 1 3n 1 n n (1 x ) dx (1 2) d (1 x ) 2( n 1) 2.(n 1) 0 0 Bài 81 ( ĐH Sư phạm TP.HCM - 2001 ) Cho A là tập hợp có 20 phần tử a) Có bao nhiêu tập hợp A b) Có bao nhiêu tâp hợp khác rỗng A mà số phần tử là số chẵn Giải: a) Số tập hợp A có k phần tử (0 k 20) là số cách chọn k phần tử k ( không kể thứ tự ) từ 20 phần tử đã cho : C20 Vậy tập hợp A là: 20 20 S C200 C20 C20 C20 C20k k 0 (18) 20 k (1 x )20 C20 x k 20 k 0 Do nên với x = thì S C20 C20 C20 C2020 220 (1) k (1 1)20 C20 k 0 b) số phần tử là chẵn tức là k chẵn, số tập khác rỗng mà số phần tử là chẵn là: 20 Q C20 C204 C20 C20 Với x = -1 thì (1 x )20 (1 1)20 C20 C20 C20 C20 C2020 (2) 20 20 Cộng (1) với (2) được: 2(C20 C20 C20 C20 ) 2 2.(C20 Q) 220 Q 220 C20 219 2 Bài 82 ( ĐH Quốc gia Hà Nội - 2000 ) Giải PT Px Ax 72 6.( Ax 2.Px ) (1) Giải: x (2) x ! x.( x 1) 72 6 x x 1 2.x ! (1) (2) ( x x 12).( x ! 6) 0 x 4; x 3 là số nguyên dương (19)