Lý thuyết tích vô hướng của 2 vecto và ứng dụng

Chương TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ TỪ 0◦ §1 ĐẾN 180◦ I Tóm tắt lí thuyết Giá trị lượng giác góc từ 0◦ đến 180◦ Định nghĩa Với góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦ ), ta xác định điểm M nửa đường ‘ = α giả sử điểm M có tọa độ M x0 ; y0 Khi trịn đơn vị cho xOM ta định nghĩa: y M y0 • sin góc α y0 , ký hiệu sin α = y0 ; • cơ-sin góc α x0 , ký hiệu cos α = x0 ; α y0 y0 • tang góc α (x0 = 0), ký hiệu tan α = ; x0 x0 −1 x0 x0 x0 (y0 = 0), ký hiệu cot α = y0 y0 Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi giá trị lượng giác góc α • cơ-tang góc α ! Chú ý • Nếu α góc tù cos α < 0, tan α < 0, cot α < • tan α xác định α = 90◦ • cot α xác định α = 0◦ α = 180◦ Tính chất Về dấu giá trị lượng giác • sin α > với 0◦ < α < 180◦ • cos α > với 0◦ < α < 90◦ cos α < với 90◦ < α < 180◦ • tan α > với 0◦ < α < 90◦ tan α < với 90◦ < α < 180◦ • cot α > với 0◦ < α < 90◦ cot α < với 90◦ < α < 180◦ Như vậy, cos α, tan α, cot α dấu với 0◦ < α < 90◦ 90◦ < α < 180◦ Tính chất Mối quan hệ hai góc bù 99 O x 100 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ • sin α = sin(180◦ − α) • cos α = − cos(180◦ − α) • tan α = − tan(180◦ − α) với α = 90◦ • cot α = − cot(180◦ − α) với α = 0◦ , 180◦ Tính chất Mối quan hệ hai góc phụ (với 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ) • sin(90◦ − α) = cos α • cos(90◦ − α) = sin α • tan(90◦ − α) = cot α với α = 0◦ • cot(90◦ − α) = tan α với α = 90◦ Tính chất Các cơng thức sin α cos α • tan α = • cot α = cos α sin α • sin2 α + cos2 α = • + tan2 α = cos2 α • tan α cot α = 1 • + cot2 α = sin α Góc hai vec-tơ Định nghĩa → − −→ − → − − → − Cho hai vec-tơ → a b khác vec-tơ Từ điểm O bất kỳ, ta vẽ OA = → a b − −→ → → − ◦ ◦ ‘ với số đo từ đến 180 gọi góc hai vec-tơ a OB = b Góc AOB → − → − → − → − − − − b Ta ký hiệu góc hai vec-tơ → a b → a , b Nếu → a , b = 90◦ → − → − → − → − − − − ta nói → a b vng góc với nhau, ký hiệu → a ⊥ b b ⊥ → a B b → − a → − a O → − → − − − Từ định nghĩa ta có → a , b = b ,→ a → − → − − − Tính chất Nếu → a b hướng → a , b = 0◦ → − → − − − Tính chất Nếu → a b ngược hướng → a , b = 180◦ ! II Các dạng tốn Dạng Tính giá trị lượng giác Sử dụng công thức phần lý thuyết để tính giá trị lượng giác ! Cần ý dấu giá trị lượng giác tính Ví dụ Cho sin α = Tính cos α, tan α, cot α biết 0◦ < α < 90◦ Lời giải Ta có sin2 α + cos2 α = ⇒ cos2 α = − sin2 α 1 15 Với sin α = cos2 α = − = √16 16 15 Vì 0◦ < α < 90◦ nên cos α = √16 sin α 15 cos α √ Từ suy tan α = = , cot α = 15 cos α 15 sin α A GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 101 Ví dụ Cho cos α = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc α Lời giải Ta có sin2 α + cos2 α = ⇒ sin2 α = − cos2 α Với cos α = − sin2 α = − = 9√ 2 Vì sin α dương nên sin α = √ √ sin α cos α = −2 2, cot α = =− Từ suy tan α = cos α sin α Ví dụ Cho tan x = Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x 1 Lời giải Trước hết, ta có tan x cot x = ⇒ cot x = = tan x 1 1 2 Mặt khác, + tan x = ⇒ cos x = = = 2 cos x √ + tan x + Vì tan x cos x dấu nên cos x = √ Áp dụng công thức sin2 x + cos2 x = ⇒ sin2 x = − cos2 x = − = Từ suy sin x = 5 Ví dụ Cho cot x = −3 Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x 1 =− cot x √ 1 10 2 Mặt khác + cot x = ⇒ sin x = = Suy sin x = +√ (−3) 10 10 sin x cos x −3 10 Do cot x = ⇒ cos x = sin x cot x = sin x 10 Lời giải Trước hết ta có tan x cot x = ⇒ tan x = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho cos α = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc α √ √ √ 5 Lời giải Đáp số: sin α = , tan α = − , cot α = − Bài Cho sin x = Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x biết 90◦ < x < 180◦ √ √ √ 7 Lời giải Đáp số: cos x = − , tan x = − , cot x = − √ Bài Cho tan α = Tính lượng giác cịn √ giá trị √ √lại góc α Lời giải Đáp số: cot α = , cos α = , sin α = 3 √ Bài Cho cot β = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc β √ √ √ 21 Lời giải Đáp số: tan β = − , sin β = , cos β = − 7 Bài Cho tan 180◦ − a = − Tính giá trị lượng giác góc a √ 5 Lời giải Đáp số: tan a = , cot a = 2, cos a = , sin a = 5 102 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ √ Bài Cho cos 180◦ − α = Tính giá trị cịn lại góc α √ √3 √ 2 5 Lời giải Đáp số: cos α = − , sin α = , tan α = − , cot α = − 3 2 Bài Cho sin 180◦ − α = với 0◦ < α < 90◦ Tính giá trị lượng giác góc α √ √ √ 21 21 21 Lời giải Đáp số: sin α = , cos α = , tan α = , cot α = 5 21 Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Từ giả thiết đề cho (thường giá trị góc hay giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức dạng xuất giá trị cho giả thiết để tính ! Cần ý điều kiện áp dụng (nếu có) Ví dụ Tính A = a cos 60◦ + 2a tan 45◦ − 3a sin 30◦ 1 Lời giải Ta có A = a + 2a − 3a = a 2 Ví dụ Cho x = 30◦ Tính A = sin 2x − cos x Lời giải A = sin 2.(30◦ ) − cos 30◦ = sin 60◦ − cos 30◦ √ √ √ 3 = −3 = − 2 Ví dụ Cho cos x = Tính giá trị biểu thức P = sin2 x + cos2 x = Lời giải Ta có P = − cos2 x + cos2 x Ví dụ Cho tan x = Tính A = = − cos2 x Å ã2 11 = 4−3 = 3 sin x + cos x sin x − cos x sin x cos x + tan x + Lời giải Ta có A = cos x cos x = = sin x cos x tan x − − cos x cos x cot x − tan x Ví dụ Cho sin x = Tính B = cot x + tan x cos x sin x sin2 x − cos2 x − x cos x = sin2 x − = − Lời giải Ta có B = sin x cos x = sin cos x sin x sin2 x + cos2 x + sin x cos x sin x cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính a A = − cos2 0◦ + sin2 30◦ − tan2 45◦ b B = cos 2x + sin 3x với x = 45◦ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 103 Bài Tính a A = tan 10◦ tan 20◦ tan 80◦ b B = cot 20◦ + cot 40◦ + · · · + cot 140◦ + cot 160◦ Lời giải Hướng dẫn: a Ta có: tan 10◦ = cot 80◦ , tan 20◦ = cot 70◦ , tan 30◦ = cot 60◦ , tan 40◦ = cot 50◦ Do đó, ta tính A = b Ta có: cot 20◦ = − cot 160◦ , cot 40◦ = − cot 140◦ , nên ta tính B = sin a − cos a Bài 10 Cho cot a = −3 Tính A = cos a + sin a Lời giải Đáp số: A = −1 Bài 11 Biết tan a = Tính B = sin3 a + cos2 a sin a cot a sin3 a − cos a Lời giải Đáp số: B = tan α + cot α Bài 12 Cho cos α = Tính C = 4 tan α − cot α Lời giải Đáp số: C = 23 Bài 13 Biết sin x + cos x = Tính D = sin x cos x Lời giải Hướng dẫn: Ta có = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + sin x cos x = + sin x cos x Từ suy sin x cos x = − Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng linh hoạt công thức cở bản, phép biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn chứng minh   a = sin x Ví dụ 10 Cho b = cos x sin x Chứng minh a2 + b2 + c2 =   c = cos x cos y Lời giải Ta có: a2 + b2 + c2 = sin2 x + cos2 x(1 − cos2 y) + cos2 x cos2 y = sin2 x + cos2 x − cos2 x cos2 y + cos2 x cos2 y = Ví dụ 11 Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x d) Lời giải 1 + = 1 + tan x + cot x 104 CHƯƠNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 2 a) Ta có sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x Do sin2 x + cos2 x = nên ta suy sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x 2 b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = cos2 x − sin2 x Do sin2 x + cos2 x = nên cos2 x − sin2 x = cos2 x + sin2 x − sin2 x = − sin2 x Tương tự ta có cos2 x − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x Å ã sin2 x 2 − cos x = − sin x = sin x − = sin x = tan2 x sin2 x cos2 x cos2 x cos2 x 1 + tan x + + cot x + = + tan x + cot x (1 + tan x) (1 + cot x) Mặt khác (1 + tan x) (1 + cot x) = + tan x cot x + tan x + cot x = + tan x + cot x 1 + tan x + cot x Từ suy + = = 1 + tan x + cot x + tan x + cot x d) Ta có Ví dụ 12 Cho A, B,C góc tam giác Chứng minh đẳng thức sau: a) sin (A + B) = sinC b) cos (A + B) + cosC = c) sin C A+B = cos 2 d) tan (A − B +C) = − tan 2B Lời giải Do A, B,C góc tam giác nên ta có A + B +C = 180◦ a) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ −C Từ suy sin (A + B) = sin (180◦ −C) = sinC b) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ −C Từ suy cos (A + B) = cos (180◦ −C) = − cosC ⇒ cos (A + B) + cosC = C A + B 180◦ −C c) Ta có A + B +C = 180◦ ⇔ = = 90◦ − Å2 ã2 A+B C C Từ suy sin = sin 90◦ − = cos 2 d) Ta có tan (A − B +C) = tan (A + B +C − 2B) = tan (180◦ − 2B) = − tan 2B Ví dụ 13 Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào x a) A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x − sin6 x tan2 x b) B = − cos2 x cos6 x Lời giải GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 105 a) Ta có: A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin6 x sin2 x + cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x = sin6 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin4 x sin2 x + cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x Ä ä = sin2 x sin2 x + cos2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x = b) Điều kiện cos x = − sin6 x tan2 x − cos2 x cos6 x − sin6 x sin2 x = − cos4 x cos6 x − sin x sin2 x cos2 x = − cos6 x cos6 x − sin x − sin2 x cos2 x = cos6 x − sin2 x + sin2 x(1 − sin2 x) − sin2 x cos2 x = cos6 x cos2 x + sin2 x cos2 x − sin2 x cos2 x = cos6 x cos x = cos6 x = B= Ví dụ 14 Tìm m để biểu thức P = sin6 x + cos6 x − m sin4 x + cos4 x có giá trị khơng phụ thuộc vào x Lời giải Ta có: sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x = − sin2 x cos2 x sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x − sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = − sin2 x cos2 x Từ suy P = − sin2 x cos2 x − m − sin2 x cos2 x = − m + (2m − 3) sin2 x cos2 x Do P có giá trị khơng phụ thuộc vào x 2m − = ⇔ m = Ví dụ 15 Cho a, b số dương thỏa mãn hệ thức sin2018 x cos2012 x + 1008 = 1008 a b (a + b)1008 sin4 x cos4 x + = Chứng minh a b a+b 106 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Lời giải Ta có: sin4 x cos4 x + = ⇔ (a + b) a b a+b Ç sin4 x cos4 x + a b å =1 Ç å Ä ä2 sin4 x cos4 x ⇔ (a + b) + = sin2 x + cos2 x a b a b ⇔ cos4 x + sin4 x − sin2 x cos2 x = b a Ç… å2 … b a ⇔ cos2 x − sin2 x = a b … … b a 2 ⇔ cos x = sin x a b sin2 x cos2 x ⇔ = a b sin2 x cos2 x = = > a® b a+b ® 2018 sin2 x = at sin x = a1009t 1009 ⇒ , ta có Đặt t = a+b cos2 x = bt cos2018 x = b1009t 1009 sin2018 x cos2012 x a1009t 1009 b1009t 1009 1009 = Vậy 1008 + 1008 = + = (a + b)t a b a1008 b1008 (a + b)1008 Từ suy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 14 Cho A = sin α, B = cos α sin β ,C = cos α cos β sin γ, D = cos α cos β cos γ Chứng minh A2 + B2 +C2 + D2 = Bài 15 Chứng minh đẳng thức lượng giác sau: a) + sin2 x = + tan2 x − sin2 x b) cos x + tan x = + sin x cos x c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x Bài 16 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) A = sin4 x(3 − sin2 x) + cos4 x(3 − cos2 x) Ä ä b) B = sin8 x − cos8 x + cos6 x − sin6 x + sin4 x c) C = sin8 x + cos8 x + sin4 x cos4 x + sin2 x cos2 x sin4 x + cos4 x Ä ä Bài 17 Tìm m đển biểu thức P = sin6 x + cos6 x + m sin6 x + cos6 x + sin2 2x không phụ thuộc vào x 5−m Lời giải Sử dụng đẳng thức rút gọn biểu thức P ta P = + m + sin 2x Từ suy P khơng phụ thuộc vào x m = π Bài 18 Cho f (x) = sin6 x + sin2 2x + cos6 x Tính f 2017 π Lời giải Rút gọn f (x) ta có f (x) = ∀x ∈ R, từ suy f = 2017 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 107 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 19 Cho cos a + sin a = Tính giá trị lượng giác góc a sin α = − Từ ta Lời giải Hướng dẫn: cos α + sin α = ⇔ cos √ α √ 5 Đáp số: tan a = − , cot a = −2, cos a = − , sin a = Bài 20 Cho cos4 x − sin4 x = Tính giá trị lượng giác góc x biết x góc tù 7 Lời giải Hướng dẫn: cos x − sin4 x = ⇔ cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = ⇔ cos2 x − sin2 x = 8 2 (1) Ta lại có sin x + cos x = (2) Giải hệ phương trình gồm (1) (2) ta tìm giá trị sin x cos x √ √ √ 15 15 Đáp số: cos x = − , sin x = , tan x = − , cot x = − 15 4 15 2 ◦ ◦ Bài 21 Tính C = sin 10 + sin 20 + · · · + sin 170◦ + sin2 180◦ Lời giải Hướng dẫn: sin 10◦ = sin 170◦ , sin 20◦ = sin 160◦ , , suy C = sin2 10◦ + sin2 20◦ + · · · + sin2 80◦ + sin2 90◦ Mặt khác ta có sin 80◦ = cos 10◦ , sin 70◦ = cos 20◦ , , có cặp nên ta tính C = Bài 22 Cho sin x + cos x = Tính sin4 x + cos4 x = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + sin x cos x = + sin x cos x, suy Lời giải Trước hết ta có 16 −7 sin x cos x = 32 sin4 x + cos4 x = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos4 x − sin2 x cos2 x = sin2 x + cos2 x − 2(sin x cos x)2 Å ã2 463 −7 = 1−2 = 32 512 Bài 23 Cho sin4 x + cos4 x = Tính cos4 x + sin4 x Lời giải Ta có sin4 x + cos4 x = ⇐⇒ − cos2 x + cos4 x = ⇐⇒ cos4 x − cos2 x − ⇐⇒ cos2 x = =0 4 từ ta cos4 x + sin4 x = cos4 x + − cos2 x Å ã 3 = +3 1− = 16 4 Bài 24 Cho sin x sin y − cos x cos y = Chứng minh rằng: 1 + = 2 2 sin x + cos x sin y + cos y tan x Biến đổi vế trái đẳng thức cần chứng minh theo tan x, tan y ta suy điều phải chứng minh Lời giải Từ giả thiết suy tan x = cot y ⇔ tan y = 108 Bài 25 Cho cos2 α + cos α − = Biết A = biểu thức a + b CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ sin α cos α − sin α = a + b tan α với a, b ∈ Q Tính giá trị cos α − 1 Lời giải Điều kiện cos α − = ⇔ cos α =  cos α =  Ta có cos2 α + cos α − = ⇔  cos α = − Do cos α = nên cos α = − sin α 2 sin α cos α − sin α = sin α = cos α = − tan α Mặt khác A = cos α − cos α  a = Từ suy ⇒ a+b = − b = − 3 156 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Chọn vị trí đứng điểm C, gọi A vị trí mắt người đứng C, O vị trí gốc cây, B vị trí đỉnh ‘ AOB,CO ‘ Các yếu tố đo thước dây giác kế CAB, Dùng thước dây đo độ dài CO = d, áp dụng vào tam giác AOC để tính AO ‘ góc AOC Dùng giác kế đo góc BAO, từ áp dụng định lý sin để tính BO √ √ ‘ = OC , suy góc A Ta có: AO = AC2 +CO2 = l + d cos AOC OA ‘ C AOC ◦ ‘ Dễ thấy β = 90 − AOC Áp dụng định lý sin cho√ tam giác ABO ta có: OB OA sin α l + d sin α OA ⇒ OB = = = sin α sin(180◦ − α − β ) sin(α + β ) ‘ sin ABO Giả sử người cao 1, 6m, đứng cách 10m nhìn gốc góc 30◦ √ 641 ‘ = OC = √50 ⇒ cos AOC Ta có: OA = 1, 62 + 102 = OA 641 ◦ ‘ AOC ≈ 9, Suy β = 90 − 9, = 80, 9◦ 1, 62 + 102 sin 30◦ Khi chiều cao là: OB = ≈ 5, 42m sin(30◦ + 80, 9◦ ) Ví dụ Muốn đo chiều cao tháp Chàm Por Klong Garai Ninh D Thuận người ta lấy hai điểm A, B mặt đất có khoảng cách AB = 12m thẳng hàng với chân C tháp để đặt hai giác kế Chân giác kế có chiều cao h = 1, 3m Gọi D đỉnh tháp hai điểm A , B thẳng hàng với điểm C ’ thuộc chiều cao CD tháp Người ta đo góc DA C = ◦ ◦ ’ 49 góc DB C = 35 Hãy tính chiều cao CD = C D +C C C tháp C B α β O 49◦ 35◦ A B A B Lời giải Ta có CC = 1, 3m Áp dụng định lý sin A B D ta 12 sin 131◦ BD sin(180◦ − C’ A D) = AB BD ⇔ = sin 131◦ sin(180◦ − C’ A D − 35◦ ) 12 ⇔BD= sin 14◦ sin 14◦ 12 sin 131◦ cos 35◦ Xét B C D có C D = B D cos 35◦ = ≈ 30, 7m sin 14◦ BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Bài Bạn Tèo có dụng cụ thước thẳng dài bạn muốn đo bán kính đường trịn lớn tượng đài cơng viên Sơng Ray (tâm đường tròn lớn bị che khuất tượng đuốc) Bạn Tèo loay hoay làm cách để đo bán kính đường trịn Hãy tìm cách giúp bạn Tèo hồn thành công việc Lời giải HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Lấy ba điểm A, B,C khác thuộc đường tròn Đo độ dài đoạn thẳng BC = a, AC = b, AB = c Áp dụng cơng thức Hê-rơng tính diện tích tam giác ABC: a+b+c S = p(p − a)(p − b)(p − c) với p = abc Suy bán kính đường trịn là: R = 4S 157 C B A Bài Một ô tô từ A đến C A C núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B từ B đến C, đoạn đường tạo thành tam giác ABC có AB = 14km, BC = 18km góc B = 100◦ , biết 1km đường ô tô phải tốn 0, lít xăng a) Tính số xăng mà xe tiêu thụ chạy đoạn đường từ A đến C mà phải qua B b) Giả sử khơng có núi có đường thẳng từ A đến C tơ chạy hết đường tốn lit xăng? Lời giải A a) Tính số xăng mà xe tiêu thụ chạy đoạn đường từ A đến C mà phải qua B 14 Tổng đoạn đường xe từ A đến C AB + BC = 14 + 18 = 32km 100◦ B Do số xăng mà xe tiêu thụ 32.0, = 3, 2lit b) Áp dụng định lý cơsin ta có: ‘ AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.BC cos(ABC) ◦ 2.14.18 cos 100 = = 18 C 142 + 182 − Bài Người ta dự định xây cầu bắc qua sông tương đối rộng chảy xiết Trong đợt khảo sát người ta muốn đo khoảng cách hai điểm A B hai bên bờ sơng Khó khăn người ta khơng thể qua sơng phương tiện Em đặt vào vị trí người khảo sát để giải tình Biết em có dụng cụ ngắm đo góc thước dây Lời giải Để tính chiều dài đoạn AB ta tạo tam giác mà có AB B cạnh Ta chọn điểm C nằm bờ (có thể phía với A với B) ta xem tam giác ba yếu tố ta đo dụng cụ có Giả sử điểm C nằm bờ với điểm A hình vẽ Các yếu tố đo A α β ‘ = α ACB ‘ = β cạnh AC hai góc BAC C Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta có: AC AC sin β AB = ⇔ AB = sin β sin(α + β ) sin(α + β ) Bài Một cột điện cao 20m đóng triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang góc 17◦ Người ta nối dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc Tìm chiều dài dây cáp biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc 72m Lời giải 158 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ ‘ = 180◦ − (90◦ − 17◦ ) = 107◦ Ta có ACD D AB Trong tam giác ABC vuông B có AC = ≈ 75, 3m cos 17◦ Áp dụng định lý cos tam giác ACD, ta có: ‘ = 75, 32 + 202 − AD2 = AC2 + CD2 − 2.AC.CD cos ACD 2.75, 3.20 cos 107◦ ≈ 6950, ⇒ AD ≈ 83, 4m 20 C A 17◦ 72 B Bài Hai tàu thủy P Q cách 300m TỪ P Q thẳng hàng với chân A tháp hải đăng AB ‘ = 35◦ , BQA ‘ = 48◦ Tính chiều cao bờ biển người ta nhìn chiều cao AB tháp góc BPA tháp Lời giải Ta có: AQ = AB cot 48◦ AP = AB cot 35◦ PQ = AP − AQ = AB (cot 35◦ − cot 48◦ ) PQ ≈ 568, 5m ⇒ AB = ◦ cot 35 − cot 48◦ B 48◦ A 35◦ Q 300 P Bài Một đua thuyền xuất phát từ điểm A hình vẽ bên di chuyển theo hướng tây nam góc 52◦ tới điểm B, sau di chuyển theo hướng đông nam 40◦ tới điểm C, cuối quay trở lại điểm A Điểm C cách điểm A khoảng 8km Tính gần tổng khoảng cách đường đua N W E S A 52◦ B 40◦ D C ‘ = CBD ‘ = 40◦ Do đó, ABC ‘ = 180◦ − (52◦ + Lời giải Vì đường thẳng BD AC song song, suy BCA 40◦ ) = 88◦ a b c Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta được: = = ◦ ◦ sin 52 sin◦88 sin 40◦ ◦ sin 52 sin 40 Vì b = theo đề, nên: a = ≈ 6, 308km c = ≈ 5, 145km ◦ sin 88 sin 88◦ Tổng khoảng cách đươgf đua là: + 6, 308 + 5, 145 = 19, 453km HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 159 Ä→ → − → − − → −ä Bài Hai lực f1 f2 cho trước tác dụng lên vật tạo thành góc nhọn f1 , f2 = α Hãy lập −s cơng thức tính cường độ hợp lực → Lời giải − → → − −→ → − Đặt AB = f1 , AD = f2 vẽ hình bình hành ABCD B C − → − → −→ → − → − − Khi AC = AB + AD = f1 + f2 = → s → −s → − → → − → − −s = − f1 Vậy → AC = f1 + f2 Theo định lí cơsin tam giác ABC, ta có: −s AC2 = AB2 + BC2 − 2.AB.BC cos B, hay → α → − → − = f1 + f2 − 2 A D → − f2 → − → − f1 f2 cos(180◦ − α) … → − → − − → − → −s = Do đó: → f1 + f2 + f1 f2 cos α Bài 10 Một hành khách ngồi máy bay, bay độ cao 10km nhìn xuống hai thị trấn mặt đất Góc hợp phương ngang hai thị trấn 28◦ 55◦ (hình vẽ) Tính khoảng cách hai thị trấn A 55◦ 28◦ 10km O C ‘ = 55◦ − 28◦ = 27◦ Lời giải Ta có CAD ‘ = 90◦ − 55◦ = 35◦ cos OAC ‘ = AO ⇔ AC = 10 ≈ 12, 2km Xét tam giác ACO có OAC AC cos 35◦ ◦ ◦ ◦ ‘ = 180 − OCA ‘ = 125 ADC ‘ = 180 − (125◦ + 27◦ ) = 28◦ Trong tam giác ACD có ACD Áp dụng định lý sin tam giác ACD, ta có CD AC 12, sin 27◦ = ⇔ CD = ≈ 11, 79km sin 27◦ sin 28◦ sin 28◦ Vậy khoảng cách hai thị trấn khoảng 11, 9km D 160 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ §5 I ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II Đề số 1a Bài Cho A(1, 5); B(4, −1);C(−4, −5) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC Lời giải − → − → − →− → a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Ta có AB = (3, −6); BC = (−8, −4) , suy AB.BC = 0, nên tam giác ABC vuông B Vậy trực tâm H(x, y) điểm B(4, −1) 1,0 điểm b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ã −3 Gọi I(x, y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , I trung điểm AC, có tọa độ I ,0 1,0 điểm Å c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC Vì tam giác ABC vng B nên hình chiếu A lên BC B(4, −1) 1,0 điểm Bài Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8; A = 120◦ a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính độ dài cạnh BC bán kính tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải a) Tính diện tích tam giác ABC √ 1 Ta có S = AB.AC sin A = 6.8 sin 120◦ = 12 (đvdt) 1,0 điểm 2 b) Tính độ dài cạnh BC bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lí sin ta có √ −1 BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC cos A = 36 + 64 − 2.6.8 = 148, suy BC = 37 √ 0,5 điểm 4S Ta có R = = √ abc 37 0,5 điểm Bài Tính giá trị biểu thức sau P = tan 6◦ tan 12◦ tan 18◦ tan 78◦ tan 84◦ Lời giải Ta có tan 6◦ tan 84◦ = tan 12◦ tan 78◦ = tan 18◦ tan 72◦ = = tan 42◦ tan 48◦ Suy P = 1,0 điểm ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 161 Bài Chứng minh m2a = m2b + m2c a2 = S cott, ma , mb , mc trung tuyến ứng với cạnh a, b, c S diện tích tam giác ABC Lời giải Từ điều kiện tốn ta có b2 + c2 − b2 c2 a2 = c2 + a2 − + a2 + b2 − 2 Suy b2 + c2 = 5a2 1,0 điểm 2S Theo định lí hàm cơsin ta có b2 + c2 = a2 + 2bc cos A Do 2a2 = bc cos A ⇒ cos A = 2a2 ⇒ sin A S cot A = a2 1,0 điểm Bài Cho A(2, 6); B(−3, −4); C(5, 0) Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC √ √ − → − → Lời giải Ta có AB = (−5, −10); AC = (3, −6), suy AB = 5; AC = 5; 0,5 điểm DB AB DB DC = , suy = = Gọi tọa độ điểm D(x, y) Ta có AB AC DC AC −→ −→ Do DB = − DC, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm D(2, −3) 0,5 điểm Gọi tọa độ tâm đường trịn√nội tiếp tam giác ABC J(x, y) Ta có độ dài đoạn BD = 5 JD JA JD BD Khi = suy = = BD AB JA AB 0,5 điểm 5− → − → Do JD = − JA, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm J(2, 1) 0,5 điểm II Đề số 1b Bài Cho A(−5, 6); B(−4, −1);C(4, 3) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC Lời giải a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC −→ − → → −→ − Gọi H(x, y) Ta có AH.BC = BH.AC = 0, suy 2x + y = −4 x − 3y = −11, giải hệ phương trình ta H(−3, 2) 1,0 điểm b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x, y) Khi IA = IB IA = IC Do đó, ta có (x + 5)2 + (y − 6)2 = (x + 4)2 + (y + 1)2 (x + 5)2 + (y − 6)2 = (x − 4)2 + (y − 3)2 −16 −18 , ) 5 1,0 điểm suy 3x − y = x − 7y = 22, giải hệ phương trình ta I( 162 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ c) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng BC −→ − → Gọi M(x, y) hình chiếu vng góc điểm A lên cạnh BC Ta có AM = (x+5, y−6) BC = (8, 4); −→ BM = (x + 4, y + 1) −→ − → − → −→ Khi ta có AM.BC = BM = t.BC Suy t = M(−2, 0) 1,0 điểm Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4; A = 60◦ a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính độ dài cạnh BC bán kính tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải a) Tính diện tích tam giác ABC √ 1 Ta có S = AB.AC sin A = 3.4 sin 60◦ = 3 (đvdt) 1,0 điểm 2 b) Tính độ dài cạnh BC bán kính tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lí sin ta có √ BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC cos A = + 16 − 2.3.4 = 13, suy BC = 13 √ 0,5 điểm 4S 39 Ta có R = = abc 13 0,5 điểm Bài Biết sin α + cos α = Tính giá trị biểu thức P = tan2 α + cot2 α −3 Lời giải Ta có sin α + cos α = ⇒ (sin α + cos α)2 = ⇒ sin α cos α = 0,5 điểm sin4 α + cos4 α 49 Ta lại có P = = 0,5 điểm sin α cos α Bài Chứng minh góc tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin B = sin A cosC, tam giác cân a b c Lời giải Từ điều kiện toán, áp dụng định lí sin = = = 2R, ta có sin A sin B sinC b = 2.a cosC = 2a a2 + b2 − c2 a2 + b2 − c2 = 2ab b Suy c2 = 5a2 ⇒ a = c 1,0 điểm 2S Theo định lí hàm cơsin ta có b2 + c2 = a2 + 2bc cos A Do 2a2 = bc cos A ⇒ cos A = 2a2 ⇒ sin A S cot A = a2 1,0 điểm Bài Cho A(2, 5); B(−3, −5); C(5, −1) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC √ √ − → − → Lời giải Ta có AB = (−5, −10); AC = (3, −6), suy AB = 5; AC = 5; 0,5 điểm DB DC DB AB Gọi tọa độ điểm D(x, y) Ta có = , suy = = AB AC DC AC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 163 −→ −→ Do DB = − DC, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm D(2, − ) 0,5 điểm Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC J(x, y) 5√ Ta có độ dài đoạn BD = JA JD BD JD = suy = = Khi BD AB JA AB 0,5 điểm 1− 10 → − → Do JD = − JA, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm J(2, ) 0,5 điểm III Đề số 2a Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, BC = Tính diện tích S ∆ABC? Lời giải a+b+c 2+3+4 Ta có: p = = = ⇒ p−a = , p−b = , p−c = 2 √ 2 15 Vậy S = p(p − a)(p − b)(p − c) = Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, BC = Tính đường cao Lời giải a+b+c 2+3+4 Ta có: p = = = ⇒ p−a = , p−b = , p−c = 2 √ 2 √ 2S 15 15 Ta có : S = aha ⇒ = = Vậy S = p(p − a)(p − b)(p − c) = a Bài (1 điểm) Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, BC = Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Lời giải √ abc abc 15 Ta có S = ⇒R= = 4R 4S √ Bài (1 điểm) Tính giá trị biểu thức A = sin4 135◦ + cos3 150◦ − cot2 120◦ Lời giải √ Ta có sin 135◦ = sin4 45◦ = , √ cos 150◦ = − cos 30◦ = − , cot 120◦ = − cot 60◦ = − √ Ç √ å4 Ç √ å3 Å ã √ √ Vậy ta có A = + − −3 − = Bài (3 điểm) Cho ∆ABC biết A(1; 2), B(−1; 1), C(5; −1) a) Tìm tọa độ chân đường cao A1 hạ từ đỉnh A ∆ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC Lời giải a) Gọi A1 (x; y) chân đường cao hạ  từ đỉnh A ∆ABC −−→ − → −−→ − → 6(x − 1) − 2(y − 2) =  AA1 ⊥BC AA1 BC = ⇔x=y= ⇔ −−→ − → ⇔ −−→ − → ⇔ x + y − = BA1 BC BA1 BC −2 1 Vậy tọa độ A1 ( ; ) 2 164 CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ b)Gọi H(x; y) trực tâm ∆ABC ® −→ − → −→ − → AH⊥BC AH.BC = x=2 ⇔ −→ − ⇔ → ⇔ −→ − → y=5 BH⊥CA BH⊥CA Vậy tọa độ H(2; 5) Bài (2 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB Có AC, BD hai dây cung thuộc nửa đường tròn cắt −→ − → −→ −→ E Chứng minh AE.AC + BE.BD = AB2 Lời giải −→ − → −→ − → − → −→ − → −→ − → −→ − → Ta có AE.AC = AE.(AB + BC) = AE.AB + AE.BC = AE.AB (1) → −→ → −→ −→ −→ − → −→ −→ −→ − −→ − BE.BD = BE.(BA + AD) = BE.BA + BE.AD = BE.BA (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: −→ − → −→ −→ −→ −→ − → −→ −→ − → − → AE.AC + BE.BD = (AE − BE)AB = (AE + EB)AB = AB2 = AB2 IV Đề số 2b Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có AB = Lời giải √ √ + 1, AC = 2, BC = Tính góc A ∆ABC? b2 + c2 − a2 = ⇔ A = 60◦ 2bc − →− → Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a Tính AB.AC theo a, b, c Lời giải − → − → − → Ta có: BC = AC − AB (1) Bình phương vơ hướng hai vế (1) ta được: − → − → − → − →− → − →− → BC2 = (AC − AB)2 ⇔ BC2 = AC2 + AB2 − 2.AC.AB = AC2 + AB2 − 2.AB.AC − →− → Suy AB.AC = (AB2 + AC2 − BC2 ) = (c2 + b2 − a2 ) 2 ◦ Bài (1 điểm) Tính tổng S = cos 10 + cos 30◦ + + cos 150◦ + cos 170◦ Lời giải Ta viết lại S dạng: S = (cos 10◦ + cos 170◦ ) + (cos 30◦ + cos 150◦ ) + (cos 50◦ + cos 130◦ ) + (cos 70◦ + cos 110◦ ) + cos 90◦ = (cos 10◦ − cos 10◦ ) + (cos 30◦ − cos 30◦ ) + (cos 50◦ − cos 50◦ ) + (cos 70◦ − cos 70◦ ) = Theo định lý cos tam giác ta có: cos A = Bài (1 điểm) Cho ∆ABC biết AB = 2, BC = 3, CA = đường cao AD Tính độ dài đoạn CD Lời giải Ta có : S∆ABC = BC.AD = p(p − a)(p − b)(p − c) √ p(p − a)(p − b)(p − c) 15 ⇔ AD = = a √ Trong ∆ACD ta có: CD = AC2 − AD2 = … ã2 Å… − cos α + cos α Bài (2 điểm) Chứng minh − = tan2 α + cos α − cos α Lời giải Ta biến đổi VT đẳng thức:  2 đ ï √ √ ò 2 −2 cos α −2 cos α ( − cos α) − ( + cos α)   VT = » √ = = √ √ |sin α| − cos2 α ( + cos α)( − cos α) cos2 α = tan2 α (ĐPCM) sin2 α Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh AC = b, BC = a AB = c − →− → a) Tính AB.AC theo a, b, c = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 165 b) Gọi M trung điểm BC G trọng tâm ∆ABC Tính độ dài AM AG c) Tính cos góc tạo AG BC theo a, b, c Lời giải − → − → − → a) Ta có : BC = AC − AB (1) Bình phương hai vế (1) ta được: − → − → − → − →− → BC2 = (AC − AB)2 ⇔ BC2 = AC2 + AB2 − 2.AC.AB − →− → Vậy ta có: AC.AB = (AC2 + AB2 − BC2 ) = (a2 + b2 − a2 ) 2 −→ − → − → b) Theo đẳng thức véctơ trung điểm ta có: AM = (AC + AB) (2) Bình phương hai vế (2) ta được: −→2 − → − → − →− → AM = (AC + AB)2 = (AC2 + AB2 + 2.AC.AB) ï ò 1 2 2 = c + b + b + c − a = 2b2 + 2c2 − a2 4 1√ ⇔ AM = 2b + 2c2 − a2 (*) 1√ 2 1√ 2b + 2c2 − a2 = 2b + 2c2 − a2 Suy : AG = AM = 3 c) Gọi α góc tạo AG BC −→ − → AG.BC −→ − → −→ − → Khi AG.BC = AG BC cos α ⇔ cos α = −→ − → (3) AG BC → − →ä Ä− → − →ä −→ − → Ä− AB + BC AC − AB = AC2 − AB2 = b2 − c2 (4) Ta có AG.BC = 3 2 b −c b2 − c2 = √ Thế (4) vào (3) ta được: cos α = √ + 2b2 − a2 a 2c 2 2c + 2b − a a V Đề số 3a Bài (2,5đ) Cho tam giác ABC có AB = 4a, AC = 5a, BC = 6a a) Tính cos A b) Tính độ dài đường trung tuyến hạ từ B c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải C 5a M A a) cos A = 6a I 4a AB2 + AC2 − BC2 (4a)2 + (5a)2 − (6a)2 = = 2AB.AC 2.4a.5a B (0, 25 × 2) b) Trung tuyến hạ từ đỉnh B: 2(AB2 + BC2 ) − AC2 2[(4a)2 + (6a)2 ] − (5a)2 79a2 m2b = = = 4 √ a 79 (0, 25) ⇒ mb = (0, 25 × 2) 166 CHƯƠNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ c) Nửa chu vi tam giác p = AB + BC + AC 15a = 2 (0, 25) √ 15 7a2 Diện tích tam giác SABC = p(p − AB)(p − AC)(p − BC) = Bán kính đường trịn nội √tiếp2 tam giác ABC: 15 7a √ S 7a S = p.r ⇔ r = = = (0, 25 × 2) 15a p 2 (0, 25 × 2) Bài (1đ) Lắp đường dâu cao từ vị trí A đến vị trí B phải tránh núi, người ta phẳi nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 15km từ vị trí C nối thẳng đến vị trí B dài 10km Góc tạo hai đoạn dây AC CB 75◦ Hỏi việc nối thẳng từ A đến B người ta tốn thêm km dây? Lời giải C 75◦ 10km 15km A B AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.BC cosC = 152 + 102 − 2.15.10 cos 75◦ ≈ 247, (0, 25 × 2) ⇒ AB ≈ 15, 73km (0, 25) Như so với việc nối thẳng từ A đền B người ta tốn thêm 25 − 15, 73 ≈ 9, 27 km dây (0, 25) ‘ = 120◦ Tính độ dài cạnh BC, đường Bài (2,5đ) Cho tam giác ABC có AB = 4a, AC = 6a góc BAC trung tuyến AM, diện tích tam giác IBC (I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Lời giải I C 6a M 120◦ A 4a B Ta có: 2 ◦ BC2 = AB2 + √ AC − 2AB.AC cos A = (4a) + (6a) − 2.4a.6a cos 120 = 76a ⇒ BC = 2a 19 (0, 25) Đường trung tuyến AM: 2(AB2 + AC2 ) − BC2 2((4a)2 + (6a)2 ) − 76 AM = = = 7a2 (0, 25 × 2) 4 (0, 25 × 2) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 167 √ ⇒ AM = a (0, 25) Bán kính đường trịn √ tam giác ABC: √ ngoại tiếp 2a 19 2a 57 BC = √ = = IB (0, 25 × 2) R= sin A 3 2 Diện tích tam giác IBC bằng: 1 (0, 25) SIBC = IB.IC sin BIC = IB2 sin 120◦ 2 √ √ 76a2 19a2 ⇒ SIBC = = (0, 25) 3 Bài (2đ) Tính góc A ∆ABC biết b(b2 − a2 ) = c(a2 − c2 ) Lời giải Ta có b(b2 − a2 ) = c(a2 − c2 ) ⇔ b(b2 − b2 − c2 + 2bc cos A) = c(b2 + c2 − 2bc cos A − c2 ) (0, 25 × 2) ⇔ −bc2 + 2b2 c cos A = cb2 − 2bc2 cos A ⇔ bc2 (2 cos A − 1) + cb2 (2 cos A − 1) = 2 ⇔ (2 cos A − 1)(bc + cb ) = (0, 25 × 2) (0, 25) ⇔ (2 cos A − 1) = (0, 25)( Do bc2 + cb2 > 0) (0, 25 × 2) ⇔ cos A = ⇒ A = 60◦ Bài (2đ) Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B sinC = = Chứng minh tam giác ABC ma mb mc sin A sin B = ma mb a b Ta có sin A = sin B = 2R 2R b a.mb a = ⇒ ma = (0, 5) ⇒ ma mb b a.mb ⇒ m2a = b Do đó, Lời giải Xét 2(b2 + c2 ) − a2 a2 m2b = b2 2 2(b + c ) − a a2 (2(a2 + c2 ) − b2 ) ⇔ = (0, 25 × 2) 4b2 ⇔ 2b2 (b2 + c2 ) − a2 b2 = 2a2 (a2 + c2 ) − a2 b2 ⇔ 4b4 − 4a4 + 2b2 c2 − 2a2 c2 = ⇔ (b2 − a2 )[2(b2 + c2 ) + c2 ] = ⇔ b2 − c2 = (0, 25) ⇔ b = c (0, 25) sin B sinC = (0, 25) mb mc Ta a = b = c suy tam giác ABC (0, 25) Chứng minh tương tự với 168 VI CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Đề số 3b Bài (2,5đ) Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 3a, BC = 4a a) Tính cos A b) Tính độ dài đường trung tuyến hạ từ C c) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải C 3a 4a I 2a M AB2 + AC2 − BC2 (2a)2 + (3a)2 − (4a)2 a) cos A = = =− 2AB.AC 2.2a.3a A B (0, 25 × 2) b) Trung tuyến hạ từ đỉnh C: 2(AC2 + BC2 ) − AB2 2[(3a)2 + (4a)2 ] − (2a)2 23a2 = = (0, 25 × 2) m2c = 4 √ a 23 (0, 25) ⇒ mc = AB + BC + AC 9a c) Nửa chu vi tam giác p = = (0, 25) 2 √ 15a2 (0, 25 × 2) Diện tích tam giác SABC = p(p − AB)(p − AC)(p − BC) = Bán kính đường tròn nội √ tiếp2 tam giác ABC: 15a √ S 15a S = p.r ⇔ r = = = (0, 25 × 2) 9a p Bài (1đ) Hai tàu thủy P Q cách 400m đồng thời thẳng hàng với chân A tháp hải đăng ‘ = 19◦ BQA ‘ = 68◦ Tính bờ biển Từ P Q, người ta nhìn chiều cao AB tháp góc BPA chiều cao AB tháp hải đăng? Lời giải B 68◦ A Q Ta có: AP = AB cot 19◦ (0, 25); ◦ AQ = AB cot 68 (0, 25) mà AP − AQ = PQ = 400m 400 ⇒ AB = ≈ 90, 68m (0, 5) cot 19◦ − cot 68◦ 19◦ 400m P ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 169 ‘ = 120◦ Tính độ dài cạnh BC, đường trung Bài (2đ) Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a góc BAC tuyến AM, diện tích tam giác IBC (I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Lời giải I C 2a M 120◦ a A B Ta có: = AB2√+ AC2 − 2AB.AC cos A = (a)2 + (2a)2 − 2.a.2a cos 120◦ = 7a (0, 25 × 2) ⇒ BC = a Đường trung tuyến AM: 2(AB2 + AC2 ) − BC2 2((a)2 + (2a)2 ) − 3a2 = = (0, 25 × 2) AM = 4 √ a ⇒ AM = (0, 25) Bán kính đường √ tròn ngoại √ tiếp tam giác ABC: BC a a 21 R= = √ = = IB (0, 25) sin A 3 2 Diện tích tam giác IBC bằng: 1 SIBC = IB.IC sin BIC = IB2 sin 120◦ (0, 25) 2 √ √ √ a2 21 a2 ⇒ SIBC = = (0, 25) BC2 Bài (2đ) Tính góc A ∆ABC biết 1 + = a+b a+c a+b+c Lời giải Ta có: 1 + = a+b a+c a+b+c 2a + b + c ⇔ = (0, 25) (a + b)(a + c) a + b + c ⇔ (2a + b + c)(a + b + c) = 3(a + b)(a + c) (0, 25) ⇔ 2a2 + 3ab + 3ac + 2bc + b2 + c2 = 3a2 + 3ab + 3bc + 3ac ⇔ a2 = b2 + c2 − bc (0, 5) ⇒ cos A = (0, 5) ⇒ A = 60◦ (0, 25) (0, 25) 170 CHƯƠNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ  + cosC 2b + a   =  − cosC 2b − a Bài (2đ) Cho tam giác ABC thỏa Chứng minh tam giác ABC  b3 + c3 − a3   =a b+c−a + cosC 2b + a Lời giải Xét = − cosC 2b − a Ta có: + cosC − cosC a2 + b2 − c2 1+ (a + b)2 − c2 2ab = = c2 + (a − b)2 a2 + b2 − c2 1− 2ab VT = (0, 25) Suy ra: (a + b)2 − c2 2b + a = c2 − (a − b)2 2b − a ⇔ ((a + b)2 − c2 )(2b − a) = (2b + a)(c2 + (a − b)2 ) ⇔ 2b(a + b)2 + 2b(a − b)2 − 4bc2 − a(a + b)2 + a(a − b)2 = (0, 25) ⇔ 2b[(a + b)2 + (a − b)2 ] − 4bc2 − a[(a + b)2 − (a − b)2 ] = ⇔ 4a2 b + 4b3 − 4bc2 − 4ab = ⇔ a2 + b2 − c2 − a2 = ⇔ b2 = c2 ⇒ b = c (0, 25) b3 + c3 − a3 Xét = a3 b+c−a Ta có b3 + c3 − a3 = a2 b+c−a ⇔ b3 − c3 − a3 = a2 (b + c − a) ⇔ b3 − c3 = a2 b + a2 c ⇔ b3 − c3 = (b2 + c2 − 2bc cos A)b + (b2 + c2 − 2bc cos A)c 2 (0, 25 × 2) ⇔ c b − 2b c cos A + b c − 2bc cos A = ⇔ (1 − cos A)(b2 c + bc2 ) = ⇔ cos A = ⇒ A = 60◦ (0, 25) (0, 25) Do đó, tam giác ABC có cạnh kề góc 60◦ suy tam giác ABC (0, 25) ... − c2 Từ suy 2a2 c2 + 2b2 c2 − c4 = 2a2 b2 + 2b2 c2 − b4 ⇒ 2a2 (c2 − b2 ) = c4 − b4 = (c2 + b2 )(c2 − b2 ) Do  b = c nên c2 − b2 = 0, b2 + c2 = 2a2 a2 + c2 − b2    cot B = 2a2 4S Từ ⇒ cot... b |2 − (→ a b )2 = |a1 b2 − a2 b1 | Q = |→ Lời giải Ä äÄ ä Q2 = a21 + a 22 b21 + b 22 − (a1 b1 + a2 b2 )2 = a21 b 22 + a 22 b21 − 2a1 b2 a2 b1 = (a1 b2 − a2 b1 )2 Suy Q = a1 b2 − a2 b1 Ví dụ Trong... CHƯƠNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Dùng kết trên, ta có … Ä− →− → ? ?2 S= AB2 AC2 − AB.AC 2? ?? 1 b2 c2 − (b2 + c2 − a2 ) = 2? ?? 1 (2bc + b2 + c2 − a2 )(2bc − b2 − c2 + a2 ) = 2? ??4 1 = [(b + c )2 − a2 ][a2