giáo trình toán tin ứng dụng

GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Chương : CƠ SỞ LOGIC I Khái niệm mệnh đề chân trị Các khái niệm Mệnh đề toán học phát biểu để diễn đạt ý tưởng trọn vẹn ta khẳng định cách khách quan sai Tính chất cốt yếu mệnh đề sai, vừa vừa sai Giá trị sai mệnh đề gọi chân trị mệnh đề Về mặt ký hiệu, ta thường dùng mẫu tự (như p, q, r, ) để ký hiệu cho mệnh đề, chúng dùng để ký hiệu cho biến logic, tức biến lấy giá trị sai Chân trị “đúng” thường viết 1, chân trị “sai” viết Mệnh đề sơ cấp – mệnh đề phức hợp Mệnh đề sơ cấp “nguyên tử” theo nghĩa phân tích thành hay nhiều (từ hai trở lên) mệnh đề thành phần đơn giản Mệnh đề phức hợp mệnh đề tạo thành từ hay nhiều mệnh đề khác cách sử dụng liên kết logic từ “không” dùng việc phủ định mệnh đề, từ nối: “và”, “hay”, “hoặc”, “suy ra”, v.v II Các phép toán mệnh đề Bảng chân trị Các phép toán logic định nghĩa bảng chân trị (truth table) Bảng chân trị xác định chân trị mệnh đề phức hợp theo trường hợp chân trị mệnh đề sơ cấp tạo thành mệnh đề phức hợp Tác dụng bảng chân trị • Kê liên hệ chân trị mệnh đề phức hợp với chân trị mệnh đề sơ cấp cấu thành nó, • liệt kê liên hệ chân trị mệnh với mệnh đề đơn giản cấu thành chúng Phép phủ định Cho p mệnh đề, dùng ký hiệu ¬p để mệnh đề phủ định mệnh đề p “Sự phủ định” định nghĩa bảng chân trị sau đây: P ¬p 0 Ký hiệu ¬ đọc “không” Mệnh đề phủ định ¬ p có chân trị (1) mệnh đề p có chân trị sai (0), ngược lại ¬ p có chân trị sai (0) p có chân trị (1) Phép hội Cho p q hai mệnh đề Ta ký hiệu mệnh đề “p hay q” p Λ q Phép “và”, ký hiệu Λ , định nghĩa bảng chân trị sau đây: p q pΛq 0 0 1 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG NG TIN HỌ HỌC Biên soạn so : Gv Phạm Phúc Thịnh 0 1 Nhận xét: Bằng ằng cách lập l bảng chân trị, ta có: • Các mệnh đề p vvà p Λ p có chân trị • Mệnh đề pΛ¬ Λ¬ p có chân trị (tức mệnh ệnh đề sai) Phép tuyển Cho p q hai mệnh m đề Ta ký hiệu mệnh đề “p hay q” làà p∨q p Phép “hay”, ký hiệu ∨ , định nghĩa ĩa b bảng chân trị sau đây: p q p∨q 0 0 1 1 1 Nhận xét : • Cho p ột mệnh m đề,ta có mệnh đề p ∨¬ p luôn đ • Người ta òn sử s dụng phép “tuyển loại” việc ệc liên li kết mệnh đề Cho p q hai mệnh m đề Ta ký hiệu mệnh đề “p tuyển loại q” p⊕q Phép “tuyển ển loại”, lo ký hiệu ⊕, định nghĩa ĩa bở bảng chân trị sau đây: p q 0 0 1 1 1 p q ệnh đề p ⊕q phụ thuộc vào chân trị mệnh m đề p, q : mệnh Chân trị mệnh đề p ⊕q úng m mệnh đề p q có mệnh đề đúng, m mệnh đề sai Phép kéo theo Phép kéo theo, ký hiệu hi → , đưa để mô hình ình cho loại lo phát biểu điều kiện có dạng : “nếu u th ” Cho p q mệnh đề, ta sẽẽ viế viết p→ q để diễn đạt phát biểu “nếu p thìì q” Phép toán kéo theo → định nghĩa ĩa bở bảng chân trị sau đây: p q p→q 0 1 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG NG TIN HỌ HỌC Biên soạn so : Gv Phạm Phúc Thịnh 0 1 Mệnh đề p → q, đư đọc “nếu p q”, đượcc phát biểu bi dạng khác sau đây: “q nếuu p”; “p ch q”; “p điều kiện đủ cho q” “q llà điều kiện cần cho p” Phép kéo theo chiều Phép kéo theo chiều chi hay phép tương đương, ký hiệu bởi↔ ↔, đưa để mô hình cho loại phát biểu điều ki kiện hai chiều có dạng : “ vàà ch ” Cho p q mệnh đề, ta viết p ↔q ↔ để diễn đạt phát biểu “p chỉỉ ếu q” Phép toán tương t đương định nghĩa ĩa bở bảng chân trị sau đây: p q p↔q 0 1 0 1 Mệnh đề p ↔q, đư đọc “p q”, ợc phát biểu bi dạng khác sau đây: “pp ch q”; “p la‘ điều kiện cần va‘ đủ cho q” q” Ðộ ưu tiên củaa toán tử t logic Tương tự đối ối với vớ phép toán số học, để tránh phải dùng ùng nhiều nhi dấu ngoặc biểu thứcc logic, ta đưa thứ tự ưu tiên việcc tính toán Ở ta có toán tử logic:¬ (không) , ∧ (và), ∨ (hay), → (kéo theo), ↔ ( tương ng đương) đươ ¬ ∧,∨ →↔ đó, toán tử liệt kê k dòng có độ ưu tiên III Dạng mệnh đề vvà luật logic Trong phép tính mệnh ệnh đề ta có biểu thức logic ợc xây dựng d từ : • Các mệnh đề hay giá tr trị • Các biến mệnh ệnh đề • Các phép toán logic, c dấu ngoặc “( )” để rõ thứ tự thực ác phép toán Giả sử E, F biểu thức ức logic, ¬ E, E ∧ F, E → F, E ↔ F c biểu thức logic Ví dụ: Biểu thức ức E(p,q,r) = (((¬ ((( p) ∨ q)→ (r ∧ s)) mộtt biểu th thức logic p, q, r biến mệnh đề Bảng chân trị ột bi biểu thức logic Bảng chân trị mộ biểu thức logic bảng liệt kêê chân trị tr biểu thức logic theo trường hợp vềề chân tr trị tất biến mệnh đề bi biểu thức logic hay theo giá trị bộộ biến biế mệnh đề Ví dụ 1: Bảng ng chân trị tr biểu thức logic p→ q ¬ p ∨ q theo biến mệnh đề p,q sau: GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh P q p→ →q ¬p ¬p∨q 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Sự tương đương logic Hai biểu thức logic E F theo biến mệnh đề gọi tương đương logic E F luôn có chân trị trường hợp chân trị biến mệnh đề Khi ta viết: E ⇔ Fđọc “E tương đương với F” Như vậy, theo định nghĩa ta kiểm tra xem biểu thức logic có tương đương hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Biểu thức đúng, biểu thức sai Biểu thức logic E gọi chân trị E luôn (đúng) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E ta có: E ⇔1 Biểu thức logic E gọi sai chân trị E luôn (sai) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E ta có: E ⇔ Ta kiểm tra xem biểu thức logic có phải (hằng sai) hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Lưu ý: Giả sử E F biểu thức logic Khi đó, E tương đương logic với F (tức ta có E ⇔ F) biểu thức logic E ↔ F (tức E ↔F ⇔1) Nếu E ⇔ F F ⇔ G E ⇔ G Các luật logic Các luật logic sở để ta thực biến đổi biểu thức logic để có biểu thức logic tương đương logic với biểu thức logic có trước a Các luật phép phủ định • ¬¬ p ⇔ p (luật phủ định phủ định) • ¬1⇔0 • ¬0⇔1 b Luật giao hoán • p∧q⇔q∧p • p∨q⇔q∨p c Luật kết hợp • p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r • p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r d Luật phân bố • p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) • p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) e Luật De Morgan GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC • ¬ (p ∧ q) ⇔¬ p ∨¬ q • ¬ (p ∨ q) ⇔¬ p ∧¬ q Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh f Luật phần tử bù • p ∨¬ p ⇔ • p ∧¬ p ⇔ g Luật kéo theo • p → q ⇔¬ p ∨ q h Luật tương đương • p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) i Các luật đơn giản phép tuyển • p ∨ p ⇔ p (tính lũy đẳng phép tuyển) • p ∨ ⇔ (luật gọi luật thống trị) • p ∨ ⇔ p (luật gọi luật trung hòa) • p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (luật gọi luật hấp thụ) j Các luật đơn giản phép hội • p ∧ p ⇔ p (tính lũy đẳng phép hội) • p ∧ ⇔ p (luật gọi luật trung hòa) • p ∧ ⇔ (luật gọi luật thống trị) • p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (luật gọi luật hấp thụ) Những luật chọn lựa để làm sở cho thực biến đổi logic, suy luận chứng minh Các qui tắc thay Dưới qui tắc ta suy biểu thức logic hay tìm biểu thức logic tương đương với biểu thức logic cho trước a Qui tắc Trong biểu thức logic E, ta thay biểu thức biểu thức logic tương đương với biểu thức ta biểu thức E’ tương đương với biểu thức E b Qui tắc Giả sử biểu thức logic E Nếu ta thay biến mệnh đề p biểu thức logic tuỳ ý ta biểu thức logic E’ c Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Chứng minh (p → q) ⇔ (¬ q →¬ p) Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức ((p → q) ∧ p) → q Ví dụ 3: Chứng minh biểu thứcp ∧ q → plà Ví dụ 4: Chứng minh biểu thứcp → p ∨ qlà mệnh đề Nhận xét:Các ví dụ cho ta thấy quan hệ khác mệnh đề phức hợp hay mệnh đề : quan hệ “suy ra” Khi mệnh đề p → q đúng, ta nói p suy q (về mặt logic) Chúng ta dùng ký hiệu ⇒ để quan hệ “suy ra” Quan hệ suy nầy có tính truyền (hay bắc cầu), tính chất đối xứng IV.Quy tắc suy diễn Định nghĩa GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Tuy có nhiều kỹ thuật, nhiều phương pháp chứng minh khác nhau, chứng minh toán học ta thường thấy lý luận dẫn xuất có dạng: Nếu p1 p2 pn q Dạng lý luận nầy xem hợp lý (được chấp nhận đúng) ta có biểu thức (p1∧ p2∧ ∧ pn) → q Ta gọi dạng lý luận luật suy diễn Người ta thường viết luật suy diễn theo cách sau : • Cách 1: Biểu thức (p1∧ p2∧ ∧ pn) → q ⇔ • Cách 2: Dòng suy diễn (p1∧ p2∧ ∧ pn) ⇒ q • Cách 3: Mô hình suy diễn p1 pn ∴q Các biểu thức logic p1, p2, , pn luật suy diễn gọi giả thiết (hay tiền đề), biểu thức q gọi kết luận Ví dụ : Giả sử p q biến logic Xác định xem mô hình sau có phải luật suy diễn hay không? p→q p ∴q Giải: Lập bảng chân trị ta có: ((p→ q) ∧ p)→ q P Q 0 1 1 1 0 1 1 1 p→ q (p→ q)∧ p Bảng chân trị cho thấy biểu thức ((p→ q) ∧ p)→ q Do đó, mô hình suy luận luật suy diễn Kiểm tra qui tắc suy diễn Ðể kiểm tra qui tắc suy diễn xem có hay không ta sử dụng phương pháp sau đây: a Phương pháp 1: Lập bảng chân trị Thiết lập biểu thức logic tương ứng qui tắc suy diễn lặp bảng chân trị biểu thức để xem có phải hay không Trong trường hợp biểu thức logic ta kết luận qui tắc suy diễn Ngược lại, ta kết luận qui tắc suy diễn sai Ví dụ: Kiểm tra qui tắc suy diễn sau đây(p→ q) ∧ p ⇒ q b Phương pháp 2: Chứng minh cách sử dụng luật logic Thiết lập biểu thức logic tương ứng qui tắc suy diễn chứng minh biểu thức cách áp dụng luật logic qui tắc thay GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Ví dụ: Kiểm tra qui tắc suy diễn sau đây: (p→ q) ∧ p ⇒ q Ghi chú: Ðể kiểm tra qui tắc suy diễn ta kết hợp phương pháp áp dụng luật suy diễn biết trước Các qui tắc suy diễn a Qui tắc Modus Ponens (p→ q) ∧ p →q viết dạng mô hình suy diễn p→q p −−−−−−−− ∴q b Qui tắc Modus Tollens (p→ q) ∧ q → ¬ p viết dạng mô hình suy diễn p→q ¬q −−−−−− ∴¬ p c Tam đoạn luận (p→ q) ∧ (q→ r) ∧ (p→ r) viết dạng mô hình suy diễn p→q q→ r −−−−−−− ∴ p→ r d Qui tắc chứng minh phản chứng p → q ⇒ (p → ¬q) → Qui tắc nầy cho phép ta chứng minh (p → ¬q) → thay cho p → q Nói cách khác, ta thêm giả thiết phụ vào tiền đề p mà chứng minh có mâu thuẫn ta kết luận q từ tiền đề p e Qui tắc chứng minh theo trường hợp (p1→ q) ∧ (p2→ q) ∧ ∧ (pn→ q) ⇒ (p1∨ p2∨ ∨ pn) → q viết dạng mô hình suy diễn p1→ q p2→ q pn→ q −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ (p1∨ p2∨ ∨ pn) → q f Kiểm tra phép suy luận cụ thể Ðể kiểm tra suy luận cụ thể hay không, ta vào qui tắc suy diễn (luật suy diễn) V Ðịnh nghĩa vị từ lượng từ Ðịnh nghĩa vị từ: GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Một vị từ phát biểu p(x, y, …) phụ thuộc theo biến x, y, … lấy giá trị miền xác định A, B, … Khi thay biến vị từ giá trị cụ thể a, b, … thuộc miền xác định ta mệnh đề p(a, b, …) có chân trị sai Gọi B tập hợp gồm có hai giá trị : Sai (ký hiệu 0), Ðúng (ký hiệu 1) Một vị từ p(x, y, …) lấy giá trị tập B Ví dụ: P(n) ≡ “n số nguyên tố” vị từ tập hợp số tự nhiên (hoặc tập hợp số nguyên) Ta thấy rằng: P(1) = 0, tức P(1) ≡ “1 số nguyên tố” mệnh đề sai P(2) = 1, tức P(2) ≡ “2 số nguyên tố” mệnh đề P(12) = 0, tức P(12) ≡ “12 số nguyên tố” mệnh đề sai P(17) = 1, tức P(17) ≡ “17 số nguyên tố” mệnh đề Các phép toán vị từ Cho p(x, y, …) vị từ theo biến x, y, … Phủ định p, ký hiệu ¬p, vị từ mà thay biến x, y, … phần tử cụ thể a, b, … tương ứng ta mệnh đề ¬(p(a, b, …)) Nói cách khác, vị từ ¬p định nghĩa bởi:(¬ p) (x, y, …) = ¬(p(x, y, …)) Cho p(x, y, …) q(x, y, …) vị từ theo biến x, y, … Phép hội p q, ký hiệu p→ q, vị từ mà thay biến x, y, … phần tử cụ thể a, b, … tương ứng ta mệnh đề p(a, b, …) → q(a, b, …) Nói cách khác, vị từ p∧q định nghĩa bởi:(p ∧ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ∧ q (x, y, …) Một cách tương tự, phép toán tuyển, kéo theo tương đương vị từ p q định nghĩa sau: (p ∨ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ∨ q (x, y, …) (p → q) (x, y, …) = p (x, y, …) → q (x, y, …) (p ↔ q) (x, y, …) = p (x, y, …) ↔ q (x, y, …) VI.Các lượng từ mệnh đề có lượng từ Khái niệm Lượng từ “với mọi” “tồn tại” (hay “có một”)là từ dùng để diễn tả vị từ giá trị thuộc miền xác định hay với phần giá trị thuộc miền xác định Cho P(n) vị từ theo biến số tự nhiên n • Phát biểu “với n ∈N, P(n)” có nghĩa P có giá trị toàn miền xác định Ký hiệu “ ∀ “ để thay cho lượng từ “với mọi” • Phát biểu “Có (ít nhất) n ∈N, P(n)” có nghĩa P có giá trị hay số giá trị thuộc miền xác định Ký hiệu “∃ “ để thay cho lượng từ “có một” Lượng từ nầy đọc cách khác “tồn tại” Trong nhiều phát biểu người ta dùng cụm từ “tồn nhất”, ký hiệu ∃!, lượng từ hóa đặc biệt Các Ví dụ: • Cho vị từ P(n) ≡ “n số nguyên tố” Mệnh đề “Với số tự nhiên n ta có n nguyên tố” viết sau:∀ n ∈N : P(n)và mệnh đề nầy có chân trị (sai) • Mệnh đề “Với số nguyên n ta có 2n-1 số lẻ” viết dạng ký hiệu sau:∀ n ∈Z : 2n-1 lẻvà mệnh đề nầy có chân trị (đúng) GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh • Mệnh đề “Ta có x > 0, với số thực x khác 0” viết ∀ x ∈R - { 0} : x2> mệnh đề nầy có chân trị (đúng) Qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ Dựa vào cách xác định chân trị mệnh đề có lượng từ, ta có qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ sau đây: • ¬ (∀ x : P(x)) ≡∃ x : ¬ P(x) (1) • ¬ (∃ x : P(x)) ≡∀ x : ¬ P(x) (2) Ghi : Từ qui tắc ta nói chung qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ sau: Nếu mệnh đề có lượng từ ta thay lượng từ ∀ lượng từ ∃ , lượng từ ∃ lượng từ ∀ , biểu thức vị từ thay phủ định ta mệnh đề phủ định mệnh đề có lượng từ ban đầu Qui tắc nầy áp dụng cho mệnh đề với nhiều lượng từ Một số qui tắc dùng suy luận a Thay đổi thứ tự lượng từ hóa biến Cho vị từ p(x, y) theo biến x, y Nếu lượng từ hóa biến x, y ta lượng từ hóa biến y trước lượng từ hóa biến x sau mệnh sau đây: • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) • x, ∀ y : p(x,y) Tương tự ta có mệnh đề lượng từ hóa từ vị từ p(x, y) ta lượng từ hóa biến x trước lượng từ hóa biến y sau: • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) • y, ∀ x : p(x,y) b Ðịnh lý: Giả sử p(x, y) vị từ theo biến x, y mệnh đề sau • (∀ x, ∀ y : p(x,y) ) ↔ (∀ y, ∀ x : p(x,y) ) • (∃ x, ∃ y : p(x,y) ) ↔ (∃ y, ∃ x : p(x,y) ) • (∃ x, ∀ y : p(x,y) ) → (∀ y, ∃ x : p(x,y) ) c Qui tắc đặc biệt hóa phổ dụng Giả sử mệnh đề có lượng từ biến x với miền xác định A, lượng từ hóa bị buộc lượng từ phổ dụng ∀ , mệnh đề Khi thay x a ∈ A ta mệnh đề d Qui tắc tổng quát hóa phổ dụng Qui tắc: Nếu ta thay biến x vị từ P(x) phần tử a cố định tùy ý miền xác định biến x mà mệnh đề nhận có chân trị đúng, tức P(a) = 1, mệnh đề lượng từ hóa∀ x : P(x)là mệnh đề Từ qui tắc ta chứng minh số tính chất suy diễn phát biểu mệnh đề sau đây: • Mệnh đề 1: Cho p(x) q(x) vị từ theo biến x lấy giá trị tập hợp A (miền xác định biến x tập hợp A), a phần tử cố định tùy ý thuộc A Khi ta có qui tắc suy diễn sau đây: ∀ x : p(x) → q(x) GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh p(a) −−−−−−−−−−−−−−−−− ∴ q(a) • Mệnh đề 2: Cho p(x), q(x) r(x) vị từ theo biến x lấy giá trị tập hợp A (miền xác định biến x tập hợp A) Ta có qui tắc suy diễn sau đây: ∀ x : p(x) → q(x) ∀ x : q(x) → r(x) −−−−−−−−−−−−−− ∴∀ x : p(x) → r(x) Dịch câu thông thường thành biểu thức logic: Dịch câu phát biểu ngôn ngữ tự nhiên (câu hỏi thông thường) thành biểu thức logic có vai trò quan trọng xây dựng ngôn ngữ lập trình, chương trình dịch xử lý ngôn ngữ tự nhiên Quá trình dịch câu từ ngôn ngữ tự nhiên thành biểu thức làm tính tự nhiên ngôn ngữ đa số ngôn ngữ không rõ ràng, biểu thức logic lại rõ ràng chặt chẽ từ cú pháp thể đến ngữ nghĩa câu Điều dẫn đến phải có tập hợp giả thiết hợp lý dựa hàm xác định ngữ nghĩa cuả câu Một câu chuyển dịch thành biểu thức logic, xác định giá trị chân lý biểu thức logic, thao tác biểu thức logic, biến đổi tương đương biểu thức logic Chúng ta minh hoạ việc dịch câu thông thường thành biểu thức logic thông qua sau a Ví dụ Dịch câu “Bạn không lái xe máy bạn cao 1.5 mét bạn 18 tuổi” thành biểu thức logic Giải : Ta gọi p câu : Bạn lái xe máy q câu : Bạn cao 1.5m r câu : Bạn 18 tuổi Khi đó: Câu hỏi dịch là: (q ∧ ¬r) → ¬p b Ví dụ Dịch câu “Tất sinh viên học tin học học môn toán học rời rạc” Giải: Gọi P(x) câu “x cần học môn toán học rời rạc” x xác định không gian sinh viên học tin học Khi phát biểu: ∀ x P(x) c Ví dụ: Dịch câu “Có sinh viên lớp tất phòng nhà ký túc xá” Giải: Gọi tập sinh viên lớp không gian xác định sinh viên x, tập nhà ký túc xá không gian xác định nhà y, tập phòng không gian xác định phòng z Ta gọi P(z,y) “z thuộc y”, Q(x,z) “x z” Khi ta phát biểu: ∃ x ∃ y ∀ z (P(z,y) → Q(x,z)); VII Tập hợp - Các phép toán tập hợp Khái niệm tập hợp 10 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Để tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Bool với số biến nhỏ ta sử dụng biểu đồ Karnaugh VII Biểu đồ Karnaugh Khái niệm Cho hàm Boole f theo n biến Biểu đồ Karnaugh hàm f hình chữ nhật n gồm ô cho: • Mỗi ô tương ứng với dòng bảng f • Một ô đánh dấu dòng tương ứng với bảng chân trị, giá trị f • Các ô cho tương ứng với dòng cho hai dòng tương ứng vớihai ô cạnh sai khác giá trị biến hình vẽ sau cách tổ chức biểu đồ Karnaugh cho hàm Boole theo biến Các ô xác định tương ứng với dòng dựa vào cách đánh địa biến hình vẽ Chẳng hạn ô (1) có địa x, y, z , đó, tương ứng với dòng {x=0,y=0,z=0} bảng chân trị Hoặc, ô (2) có địa x, y, z tương ứng với dòng {x=0,y=1,z=0} Rõ ràng ô (1) (2) hai ô cạnh tương ứng với hai dòng bảng chân trị sai khác giá trị biến y Chú ý: • Có nhiều cách bố trí vị trí biến khác nhau, phải đảm bảo yêu cầu biểu đồ Karnaugh • Hai ô nằm biên coi hai ô cạnh (tưởng tượng biểu đồ Karnaugh lại) Định nghĩa Cho biểu đồ Karnaugh hàm Boole f theo n biến Ta định nghĩa: • Một tế bào hình chữ nhật gồm 2k ( ≤k ≤n ) ô đánh dấu liền • Một tế bào lớn tế bào mà không bị phủ tế bào khác Ví dụ : Hàm Boole có biến f(x;y;z) có bảng chân trị sau : biểu đồ Karnaugh hàm Boole f hình 2, ta có Các tê bào x y.z , xyz , x y.z , xyz (tế bào ô); xy, yz, xz (tế bào ô) Các tế bào lớn xy, yz, xz (tế bào ô) Phương pháp Karnaugh tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Boole Cho hàm Boole f (dưới dạng công thức bảng chân trị), để tìm công thức đa thức tối tiểu f , ta thực theo bước sau: Trang 37 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh • Bước Xây dựng biểu đồ Karnaugh f • Bước Xác định tất tế bào lớn biểu đồ Karnaugh vừa xây dựng • Bước Tìm số lượng tế bào lớn để phủ kín ô đánh dấu biểu đồ Karnaugh, ghép chúng lại với phép +, ta công thức đa thức tổi tiểu cần tìm Các ví dụ a Ví dụ : Cho hàm Boole f có bảng chân trị Hãy tìm công thức đa thức tối tiểu f Bước Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f: Bước Xác định tất tế bào lớn: xy, yz, xz Bước Tìm số lượng tế bào lớn để phủ ô đánh dấu Tưởng tượng tách riêng tế bào lớn, hình ảnh tế bào lớn sau: Như thực chất việc chọn tế bào lớn để phủ kín ô đánh dấu biểu đồ Karnaugh việc chọn tế bào lớn xếp chồng chúng lên cho hình thu giống biểu đồ Karnaugh ban đầu Trong ví dụ trên, rõ ràng trường hợp này, ta phải chọn tế bào lớn Như vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là:f =xy +yz +xz b Ví dụ : Cho hàm Boole f (x,y,z)= x y.z + x y + x y.z Hãy tìm công thức đa thức tối tiểu f Bước Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f: Trang 38 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Bước Xác định tất tế bào lớn: x.z; x y; y.z Bước Tìm số lượng tế bào lớn để phủ ô đánh dấu Mặc dù có tế bào lớn, trường hợp này, để phủ kín ô đánh dấu đồ Karnaugh, ta cần chọn tế bào lớn: x.z; y.z Như vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là: x.z + y.z c Áp dụng cho hàm boole biến Đối với hàm Boole theo biến, biểu đồ Karnaugh bao gồm 16 ô xếpnhư đây: Chú ý: Đối với biểu đồ Karnaugh hàm Boole biến, hai ô (của cột) coi cạnh nhau, ô góc coi cạnh Điều biểu đồ Karnaugh gấp lại theo chiều ngang dọc Ví dụ : Hãy tìm công thức đa thức tối tiểu f sau f(x,y,,z,t)= x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t + x y.z.t Bước Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f: x x t z t z t y y y Trang 39 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Bước Xác định tất tế bào lớn: Bước Tìm số lượng tế bào lớn để phủ ô đánh dấu Ở đây, dễ thấy ta bỏ tế bào lớn Như vậy, công thức đathức tối tiểu hàm Boole ban đầu là: f(x,y,,z,t)= x.z + y.z + x y.t d Khi áp dụng phương pháp biểu đồ Karnaugh, cần lưu ý điểm sau: • Vẽ biểu đồ Karnaugh phải tuyệt đối xác Chỉ nhầm lẫn việc đánh dấu ô dẫn tới kết hoàn toàn sai lệch bước • Việc xác định tế bào lớn phải thận trọng, xác định không xác tế bào lớn công thức thu cuối công thức dạng đơn giản (Do tế bào lớn có nhiều ô hơn, số biến biểu diễn lại hơn) • Khi chọn tế bào lớn để phủ ô đánh dấu cần ưu tiên chọn tế bào lớn bắt buộc (không thể không chọn) trước Với ô đánh dấu thuộc tế bào lớn tế bào lớn bắt buộc phải chọn Bên cạnh có hai tế bào lớn phủ qua ô ta ưu tiên chọn tế bào lớn có nhiều ô để phủ Trang 40 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Nếu Q có chân trị T, xác định chân trị biến mệnh đề P, R, S biểu thức mệnh đề sau (Q → ((¬P∨R) ∧ ¬S)) ∧ (¬S → (¬R∧Q)) Cho đoạn chương trình sau • if n>5 then n:=n+2 ; • if ((n+2 = 8) or (n-3=6)) then n:= 2*n + ; • if ((n-3=16) and (n div 5=1)) then n:= n + ; • if ((n21) and (n-7=15)) then n:= n - ; • if ((n div = 2) or (n+1=20)) then n:=n+1 ; Ban đầu biến nguyên n gán trị Hãy xác định giá trị n trường hợp sau : a Sau câu lệnh ( nghĩa qua câu lệnh gán lại n = 7) b Sau tất lệnh ( sử dụng kết câu lệnh trước để tính toán cho câu sau) Cho đoạn chương trình sau : • if n-m = then n:= n-2 ; • if ((2*m=n) and (n div =1) then n:= 4*m - ; • if ((n0) and (t=3)) ; Với cách gán giá trị biến sau, xác định trường hợp vòng lặp kết thúc a x= 7, y= 2, w= 5, t= b x= 0, y= 2, w= -3, t= c x= 0, y= -1, w= 1, t= d x= 1, y= -1, w= 1, t= Cho a b hai số nguyên dương Biết rằng, mệnh đề sau có mệnh đề mệnh đề sai Hãy tìm cặp số (a, b) có a a+1 chia hết cho b b a = 2b + c a+b chia hết cho d a+7b số nguyên tố Không lập bảng chân trị, sử dụng công thức tương đương logic, chứng minh Trang 41 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh biểu thức mệnh đề sau a (P∧Q)→P b P→(¬ P → P) c P→((Q→ (P∧Q)) d ¬ (P ∨ ¬Q)→¬ P e ((P→Q) ∧ (Q→R)) → (P→R) Không lập bảng chân trị, sử dụng công thức tương đương logic, xét xem biểu thức mệnh đề G có hệ F không ? a F = P∧(Q∨R) G = (P∧Q)∨R b F = (P→Q)∧(Q→R) G = P→ (Q →R) c F = P∧Q G = (¬P→Q) ∨ (P→ ¬Q) Không lập bảng chân trị, chứng minh tương đương logic sau đây: a (P∨Q)∧¬ (¬P∧Q) ⇔ P b ¬(¬((P∨Q)∧R) ∨ ¬Q) ⇔ Q∧R c ((P∨Q) ∧ (P ∨ ¬Q)) ∨ Q ⇔ P∨Q d ¬(P∨Q) ∨ ((¬P ∧Q) ∨ ¬Q) ⇔ ¬(Q∧P) e (P→Q) ∧ (¬Q ∧ (R ∨ ¬Q)) ⇔ ¬ (Q∨P) f P ∨ (P ∧ (P∨Q) ⇔ P g P ∨ Q ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R) ⇔ P∨Q∨R h/ ((¬P ∨ ¬Q) → (P∧Q∧R ) ⇔ P∧Q h P ∧ ((¬Q → (R∧R)) ∨ ¬ (Q ∨ (R∧S) ∨ (R ∧ ¬S))) ⇔ P i (P∨Q∨R) ∧ (P ∨ S ∨ ¬Q) ∧ (P ∨ ¬S ∨ R) ⇔ P ∨ (R ∧ (S ∨ ¬Q) Cho P(x,y) câu “x thành phố y” Hãy xác định giá trị chân lý mệnh đề sau: a) P(Viên Chăn, Lào) b) P(Hà Nội, Việt Nam) 10 c) P(Hà Nội, Trung Quốc) d) P(Bắc Kinh, Trung Quốc) Cho P(x, y) mệnh đề chứa biến: “x học học phần y” Với x ∈ X: tập hợp sinh viên lớp, y ∈ Y: tập học phần phải học kỳ Hãy diễn đạt mệnh đề sau: d) ∃x ∀y P(x,y) a) ∃x ∃y P(x,y) g) ∃x∀yP ( x, y ) b) ∀x ∃y P(x,y) e) ∀x∃y P ( x, y ) h) ∀y ∃x P(x,y) c) ∃x∀y P ( x, y ) f) ∀x ∀y P(x,y) i) ∃y ∀x P(x,y) 11 Cho F(x,y) mệnh đề chứa biến “x lừa gạt y” tập X tập người gian Hãy diễn tả câu sau dùng lượng từ: a Mọi người lừa gạt b Tôi lừa gạt tất người c Không lừa gạt tất người d Tôi lừa gạt dù có người e Không lừa gạt 12 Dùng lượng từ diễn đạt câu nói sau, phủ định chúng dịch phủ định trở lại câu thông thường: a Mọi người thích môn toán rời rạc b Có người chưa nhìn thấy máy tính c Có người học tất môn toán Trang 42 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh d Chưa có nhìn thấy máy tính lượng tử e Có lớp học mà người giỏi môn toán f Trong lớp học có học sinh không học giỏi môn toán 13 Cho A, B, C tập hợp Chứng minh rằng: (A - B) - C = (A - C) - (B - C) 14 Cho A, B, C tập hợp Chứng minh rằng: (B - A) ∪ (C - A)= (B ∪ A) - A 15 Chứng minh A, B tập hợp thì: (A ∩ B) ∪ (A ∩ ‫ܤ‬ത) = A (ký hiệu ‫ܤ‬ത phần bù B tức {x/ x ∉ B} 16 Cho A, B, C tập hợp Chứng minh തതതതതതതതതതതതത a (A ∩ B ∩ C) = Aഥ ∪ Bഥ ∪ Cഥ b (A – C) ∩ (C – B) = ∅ c (A - B) – C ⊆ A - C 17 Cho tập hợp B = {a1, a2, a3, a4} Gọi P(B) tập hợp tất tập hợp tập hợp A a Hãy liệt kê tất phần tử P(B) b P(B) có phần tử? 18 Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh tập hợp A có n phần tử có thảy 2n tập 19 Bằng phương pháp quy nạp chứng minh 111 111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n với số tự nhiên n 20 Bằng phương pháp quy nạp chứng minh công thức sau với số tự nhiên n a 12 + 12 + + (2n-1)2 = 22 ೙ ଷ n(2n-1)(2n+1) ଵି௔మ శభ Trong lớp học ngoại ngữ, tập hợp A học viên nữ có phần tử, tập hợp B học viên từ 20 tuổi trở lên có phần tử Có học viên nữ từ20 tuổi trở lên Tìm số phần tử tập hợp A ∪ B b 21 ܵ௡ ൌ ଶ೙శభ ଵ Trên bãi để xe, có 42 xe gồm taxi xe buýt Có 14 xe màu vàng 37 xe buýt xe màu vàng Hỏi bãi để xe có xe buýt vàng? 23 Một lớp học có 40 học sinh, có 15 em học môn Toán, 16 em học môn Văn 17 em học môn Tiếng Anh Có em học hai môn Văn Toán, em học hai môn Toán Anh, em học hai môn Văn Anh, em học ba môn Hỏi có học sinh a Chỉ học môn Toán b Chỉ học môn Văn? c Chỉ học môn Anh? d Không học môn nào? 24 Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng cho ba đường nà đồng qui hai đờng song song Hỏi mặt phẳng chia làm phần ? 25 Hãy nghĩ thuật toán đệ quy tìm số hạng thứ n dãy xác định sau: a0=1, a1 = an = an-1 + an-2 với n = 2, 3, 4, BÀI TẬP CHƯƠNG Trang 43 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG NG TIN HỌ HỌC Biên soạn so : Gv Phạm Phúc Thịnh Một tập thể gồm m 14 người ng gồm nam nữ đóó có An vvà Bình , người ta muốn chọn tổ công tác ggồm người Tìm số cách chọn tổ cho có tổ trưởng , tổ viên đóó An B Bình không đồng thời có mặt Cho A tập hợp ợp tập tậ có phần tử a Có tập ập hợp h A b Có tập ập hợp h khác rỗng A mà có số phần ần tử số chẵn Một nhóm gồm 10 học ọc sinh, nam nữ Hỏii có nhi cách xếp 10 học sinh ên thành hàng dọc d cho học sinh nam phải ải đứ đứng liền Cho tập E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, có c số tự nhiên gồm ồm chữ ch số khác từ E mà chia hếtt cho 5? Có chuỗii bit có độ dài nhỏ 6 Xem đoạn chương trình ình PASCAL d đây, i, j, k làà biến bi nguyên For i := to 12 For j := to 10 For k := 15 downto Writeln ( (i-j)*k ); Lệnh Writeln đượcc thực thự lần? Giả sử n ng số cho trước Xác định giá trị biếnn nguyên nguy counter sau thực đoạn chương ương trình tr PASCAL (Ở i, j vàà k biến bi nguyên) Counter := 0; For i := to N For j := i to N For k := to N Counter := Counter + Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập l số tự nhiên gồm số có chữ ch số khác Hỏi a Có tất bao nhi nhiêu số ? b Có sốố chẵn, ch số lẻ ? c Có sốố bé h 432000? Năm học sinh nam vàà học h sinh nữ xếp vào chỗ ngồi Có cách xếp chỗ ngồii cho hai hhọc sinh nữ ngồi vào cạnh ạnh ? 10 Hãy tính số từ khác (có th thể vô nghĩa) thu ng cách hoán vị v chữ từ TOANHOCTUOITRE 11 Hãy tính số từ khác (có th thể vô nghĩa) thu ng cách hoán vị chữ từ TOANHOCTUOITRE m mà ba chữ ữ T đứng đứ cạnh 12 Chứng minh đẳng ng thứ thức sau: a C n + C n + + C nn−1 + C nn = n b C n0 − C n1 + + ( −1) n−1 C nn−1 + ( −1) n C nn = 13 Chứng minh C nm C mk = C nk C nm−−kk = C nm − k C nk− m + k 14 Có cách xếp k bit m bit (k ≤ m)trên vòng tròn đư đánh số từ đến Trang 44 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh m+k (vị trí m+k kề với vị trí 1) cho bit kề 15 Trong 45 học sinh làm kiểm tra bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) 16 đội tham gia giải vô dịch bóng đá hai đội phải gặp lần biết đến cuối giải khôngcó trận hòa Chứng minh đội tìm đội ABCD thỏa mãn A thắng B,C,D ; B thắng C,D ; C thắng D 17 Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận 18 Cho số nguyên phân biệt a1, a2, a3, a4, a5 Xét tích : P=(a1-a2)(a1-a3)(a1-a4)(a1-a5)(a2-a3)(a2-a4)(a2-a5)(a3-a4)(a3-a5)(a4-a5) Chứng minh P chia hết cho 288 19 Bên tam giác ABC cạnh đặt điểm Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ 0,5 20 Người đưa thư tên Phong phân công đưa thư làng nhỏ mang tên Mười nhà Làng này, có đường phố có 10 nhà, đánh số từ đến 10 Trong tuần nọ, Phong không đưa thư hai nhà làng; nhà khác anh đưa thư ba lần Mỗi ngày làm việc anh đưa thư nhà Tổng số nhà mà Phong đưa thư là: • Thứ hai : 18 • Thứ ba : 12 • Thứ tư : 23 • Thứ năm : 19 • Thứ sáu : 32 • Thứ bảy : 25 Chủ nhật: Phong không làm việc Hỏi Hai nhà không nhận thư tuần này? 21 cho X ={0,1, ,10} Chứng tỏ S tập gồm phần tử X có phần tử S có tổng 10 BÀI TẬP CHƯƠNG Trong quan hệ sau, cho xứng, bắc cầu: a Quan hệ R Z : xRy b Quan hệ R Z : xRy c Quan hệ R Z : xRy biết quan hệ có tính phản xạ, đối xứng, phản x + y chẵn x - y lẻ x2 + y2 chẵn Các quan hệ tập người tương đương ? a {(a, b)|a, b tuổi} b {(a, b)|a, b có bố mẹ} c {(a, b)|a, b nói thứ tiếng} A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5), (6, 6)} a Kiểm tra R quan hệ tương đương b Tìm lớp tương đương 1ത, 2ത, 3ത Trang 45 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Xét tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 6, 9}, định nghĩa quan hệ R A sau R = {(x, y)|x − y bội số 3} a Liệt kê phần tử R b Chứng minh R quan hệ tương đương A c Các lớp tương đương R ? Gọi R quan hệ hai “có số dư với phép chia cho 4” tập hợp N a Chứng minh R quan hệ tương đương tập hợp N b Quan hệ tương đương R N chia tập hợp N thành lớp tương đương? Hãy vẽ sơ đồ Ven biểu diễn lớp tương đương quan hệ R Cho tập hợp X = {1, 2, 3, 4, 5} P = P(X) tập hợp tập X Gọi R quan hệ hai P xác định bởi: A R B N (A) = N (B) N (C) số phần tử tập hợp C ⊂ X a Chứng minh R quan hệ tương đương P b Tìm lớp tương đương quan hệ ~ P, có đại diện phần tử {1, 3} P Ký hiệu C* tập hợp số phức có phần thực khác Gọi R quan hệ hai C* xác định (a + bi) R (c + di) ac > Chứng minh R quan hệ tương đương C* Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} quan hệ hai R xác định X sau: x,y∈X, xRy (x+y)÷2 (ký hiệu ÷ diễn tả ý “chia hết cho”) a Tập R có phần tử nào? b Quan hệ hai R có tính chất gì? c R có phải quan hệ tương đương X? Nếu phải tìm lớp tương đương phần tử 1, Tập thương X/R có phần tử nào? X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5} Xét quan hệ R X định nghĩa sau: (a,b) R (c,d) a+b = c+d a Chứng minh R quan hệ tương đương X b Tìm lớp tương đương 10 Cho tập hợp X = {1, 3, 9, 18, 36} Gọi ≤ quan hệ “chia hết” X a Chứng minh ≤ quan hệ thứ tự X b Quan h• thứ tự ≤ X có ph•i quan hệ thứ tự toàn ph•n không? 11 Cho R quan hệ hai tập hợp C số phức xác định sau: Với a + bi, c + di ∈ C, (a + bi) R (c + di) a ≤ c b ≤ d a Chứng minh R quan hệ thứ tự C b R có phải quan hệ thứ tự toàn phần không? 12 Tìm phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ tập A= {2,3,4,5,6,12,30,60} quan hệ chia hết N* 13 Cho tập hợp thứ tự (X, ≤) với X = {35, 36, 37, 38, 39} ≤ quan hệ “chia hết cho” X (a ≤ b a chia hết cho b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ X 14 Giả sử A = P(E) với E = {1, 2, 3} Trong tập hợp A với thứ tự bao hàm, tìm sup inf tập hợp B A đây: a B = {{1}, {2}} b B = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}} c B = { ∅, {1}, {2}, {1, 2}} Trang 46 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh 15 Cho tập hợp X = {2, 5, 8, 10, 20, 40} R quan hệ “chia hết” X định nghĩa sau : a R b a chia hết b a Chứng tỏ R quan hệ thứ tự b Tìm phần tử tối đại tối tiểu X c Tìm phần tử lớn nhỏ (nếu có) X 16 Tìm phần tử chặn chặn (nếu có) tập A = {7, 11} B = {2, 4, 6, , 2n, } tập hợp thứ tự {N*, ≤}, ≤ quan hệ “chia hết” tập hợp N* 17 Giả sử {R, ≤} tập hợp thứ tự, ≤ quan hệ “nhỏ bằng” (thông thường) tập hợp số thực R Tìm phần tử chặn phần tử chặn tập hợp A = [−7, 3) = {x ∈ R : −7 ≤ x < 3} R 18 Cho tập X={a,b,c,d} a Hãy liệt kê phần tử tập tất tập hợp X ( kí hiệu P(X)) b Chứng minh quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự P(X) c Tìm phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu tập Y={{a}; {a,b}; {a,b,c}; {a,b,d}} d Tương tự câu hỏi c) tập P(X); P(X)\X 19 Cho A = {1,2,3,4,5} Cho R S hai quan hệ (2 ngôi) A có ma trận biểu diễn 1 1  MR = 1  0 0 0 0 1  1 1  0 0 0  1 0  MS = 0  0 1 1 0 1  1 0  0 0 1 1  a Chứng minh R S quan hệ thứ tự A b Vẽ biểu đồ Hasse cho (A,R) (A,S) 20 Cho (A, ≤) tập hợp thứ tự, A= {2, 4, 5, 10, 12, 20, 25} quan hệ “chia hết” a Vẽ biểu đồ Hasse cho (A, ≤) b Dựa vào biểu đồ Hasse tìm phần tử cực đại, cực tiểu (A, ≤) 21 Cho (A, ≤) tập hợp thứ tự, A tập chuỗi nhị phân có độ dài 3, ≤ quan hệ “nhỏ bằng” thông thường a Vẽ biểu đồ Hasse cho (A, ≤) b Dựa vào biểu đồ Hasse tìm phần tử cực đại, cực tiểu (A, ≤) c Dựa vào biểu đồ Hasse tìm phần tử tối đại, tối tiểu (A, ≤) BÀI TẬP CHƯƠNG Kiểm tra tính giao hoán tính kết hợp phép toán sau : a Phép toán * N cho : a * b = a+b+2, ∀ a,b ∈ N b Phép toán * X = { x ∈ R | x > 0} định : a* b = ab/(a+b) c Phép toán * R định : a* b = a+b+ab Chứng minh a (a+b).(a+b’)=a Trang 47 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh b (a.b)+(a’.c)=(a+c).(a’+b) Cho S tập hợp ước nguyên dương 70, với phép toán •, + ’ định nghĩa S sau: a • b = UCLN(a, b), a + b = BCNN(a, b), a’ = 70/a Chứng tỏ S với phép toán •, + ’ lập thành đại số Boole Cho hàm Boole F1, F2, F3 xác định bảng sau: F2 X y z F1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Vẽ mạch cổng logic thực hàm Boole F3 1 1 1 Dùng đồ Karnaugh, tìm dạng đa thức tối tiểu hàm Boole ba biến sau: a F = x yz + x y z b F = xyz + xy z + + x yz + x y z c F = xy z + + x y z + x y z + x yz + x y z d F = xyz + x y z + x y z + x yz + x y z + x y z Dùng đồ Karnaugh, tìm dạng đa thức tối tiểu hàm Boole ba biến sau: a F = wxyz + wx yz + wx y z + w x y z + w x y z b F = wxy z + wx y z + w x yz + wx y z + w x y z + w x y z c F = wxyz + wxy z + wx y z + w x y z + w x y z + wx y z + w x y z + w x yz d F = wxyz + wxy z + wx y z + w x yz + w x y z + wxyz + w x yz + w x y z + w x y z Cho hàm Boole f(x,y)= x y + x y + x y a Tìm đa thức tối tiểu f(x,y) b Vẽ mạch logic biểu diễn hàm f(x,y) đa thức tối tiểu f(x,y) Trang 48 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh MỤC LỤC CHƯƠNG : I CƠ SỞ LOGIC Khái niệm mệnh đề chân trị 1 Các khái niệm Mệnh đề sơ cấp – mệnh đề phức hợp II Các phép toán mệnh đề 1 Bảng chân trị Phép phủ định Phép hội Phép tuyển Phép kéo theo Phép kéo theo chiều Ðộ ưu tiên toán tử logic III Dạng mệnh đề luật logic Bảng chân trị biểu thức logic Sự tương đương logic 4 Các luật logic Các qui tắc thay IV Quy tắc suy diễn Định nghĩa Kiểm tra qui tắc suy diễn Các qui tắc suy diễn V Ðịnh nghĩa vị từ lượng từ Ðịnh nghĩa vị từ: Các phép toán vị từ VI Các lượng từ mệnh đề có lượng từ Khái niệm Qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ Một số qui tắc dùng suy luận Dịch câu thông thường thành biểu thức logic: 10 VII Tập hợp - Các phép toán tập hợp 10 Khái niệm tập hợp 10 Biểu diễn tập hợp 11 Tập hợp con, tập hợp 11 Các phép toán tập hợp 11 VIII Khái niệm Ánh xạ 12 Định nghĩa 12 Ánh xạ 12 Ánh xạ hợp 12 Ảnh ảnh ngược 12 Phân loại ánh xạ 13 IX Lực lượng tập hợp 13 Định nghĩa lực lượng tập hợp 13 Định nghĩa tập hợp hữu hạn-vô hạn 13 Trang 49 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Tập hợp đếm 13 Quy nạp toán học – Định nghĩa đệ quy 14 Quy nạp toán học 14 Các định lý quy nạp 14 Thuật toán đệ quy 14 X CHƯƠNG : I PHÉP ĐẾM 16 Phép Đếm 16 Định nghĩa: 16 Tính chất: 16 II Nguyên lý cộng 16 Mệnh đề: 16 Nguyên lý cộng : 16 Nguyên lý nhân : 17 III Nguyên lý Dirichlet tổng quát: 17 Mệnh đề: 17 Các ví dụ : 17 Một số ứng dụng nguyên lý Dirichlet 17 IV CHỈNH HỢP 18 Ðịnh nghĩa 18 Công thức chỉnh hợp 18 V TỔ HỢP 19 Ðịnh nghĩa 19 Công thức tổ hợp 19 VI CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: 19 Ðịnh lý 19 Hệ 19 Hệ 19 VII MỘT SỐ TÍNH CHẤT KHÁC CỦA TỔ HỢP 19 VIII HOÁN VỊ LẶP VÀ TỔ HỢP LẶP 20 Hoán vị lặp 20 IX Tổ hợp lặp 20 Ðịnh nghĩa: 20 Công thức tính tổ hợp lặp: 20 Các hệ quả: 20 CHƯƠNG : I QUAN HỆ 22 Quan hệ hai 22 Định nghĩa 22 Cách xác định quan hệ: 22 Biểu diễn quan hệ dạng ma trận 22 II Quan hệ tương đương 23 Khái niệm 23 Trang 50 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Lớp tương đương tập hợp thương 23 Đồng dư 23 III Phép toán số học Zn 24 Tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên 24 Phép chia số nguyên 24 Ước Số Chung Lớn Nhất Bội Số Chung Nhỏ Nhất 25 Số nguyên tố định lý số học 26 IV Quan hệ thứ tự 26 Định nghĩa quan hệ thứ tự 26 Định nghĩa phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại 27 Định nghĩa chận trên, chận tập hợp: 27 Định nghĩa tập có thứ tự tốt: 27 V Biểu đồ Hasse 27 Đồ thị định hướng (directed graph) 27 Đồ thị định hướng (directed graph) 28 CHƯƠNG : I ĐẠI SỐ BOOLE 30 Phép toán 30 Định nghĩa phép toán2 30 Định nghĩa phép toán 30 Các ý 30 Các tính chất đại số phép toán 30 Định nghĩa phân bố bên trái, phải phép toán 31 Định nghĩa Cấu trúc đại số 32 II Đại số boole 32 Định nghĩa đại số Boole 32 III Hàm boole 33 Định nghĩa hàm Boole 33 Các phép toán hàm Boole: 33 IV Biểu diễn hàm Boole: 34 Định nghĩa: 34 Mệnh đề: 34 V Mạng cổng 34 Cổng Logic 34 Một số cổng logic thường gặp 35 Mạch logic 35 VI Công thức đa thức tối tiểu 36 VII Biểu đồ Karnaugh 37 Khái niệm 37 Chú ý: 37 Định nghĩa 37 Phương pháp Karnaugh tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Boole 37 Các ví dụ 38 Trang 51 [...]... tiếp của a Trang 29 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Chương 4 : ĐẠI SỐ BOOLE I Phép toán 1 Định nghĩa phép toán2 ngôi Cho X là một tập hợp khác rỗng Một phép toán hai ngôi trên tập hợp X là một ánh xạ T đi từ XxX vào X Ký hiệu của ánh xạ được gọi là ký hiệu của phép toán hay là một toán tử Ảnh của cặp (a,b) qua ánh xạ T được gọi là kết quả thực hiện phép toán T trên 2 phần... Định nghĩa 1 Trang 30 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Ta nói một phép toán 2 ngôi T trên một tập hợp X có tính giao hoán nếu ∀ x,y ∈ X : x T y = y T x Ta nói một phép toán 2 ngôi T trên một tập hợp X có tính kết hợp nếu ∀ x,y,z ∈ X : x T (y T z) = (x T y) T z b Định nghĩa 2 Cho X là một tập hợp khác rỗng, * là một phép toán 2 ngôi trên X • Phép toán * được gọi là lũy... giá trị củaa f có 4 giá tr trị (ứng với 4 trường hợp về giá trị của ủa x, y, z) llà 1 Chúng chỉ ra 4 tích cơ bảnn trong d.n.f của c f, và từ đó ta có:f(x,y,z) = Một cách khác để giải ải quy quyết bài toán nầy là sử dụng các tính chất ất ccủa các phép toán Bool, ta có : xy + =xy(z+ + (y+ )z = V Mạng các cổng 1 Cổng Logic xx F(x , x , …, Trang 34 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG NG TIN HỌ HỌC Biên soạn so : Gv... Fibonacci thứ n} Ta đã chỉ ra rằng số các phép toán dùng trong thuật toán đệ quy nhiều hơn khi dùng phương pháp lặp Tuy nhiên đôi khi người ta vẫn thích dùng thủ tục đệ quy hơn ngay cả khi nó tỏ ra kém hiệu quả so với thủ tục lặp Đặc biệt, có những bài toán chỉ có thể giải bằng thủ tục đệ quy mà không thể giải bằng thủ tục lặp Trang 15 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Chương... 1 0 1 1 1 1 1 và g(x,y,z) = xy + z 2 Các phép toán hàm Boole: Từ các phép toán cộng, nhân và bù trên B ta định nghĩa các phép toán cộng, nhân và bù trên các hàm Bool theo n biến như sau: ҧ 1, x2, …, xn) = 1 - f(x1, x2, …, xn) = bù của f(x1, x2, …, xn) • ܎(x • (f+g) (x1, x2, …, xn) = f(x1, x2, …, xn) + g(x1, x2, …, xn) Trang 33 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG NG TIN HỌ HỌC Biên soạn so : Gv Phạm Phúc Thịnh... factorial(n) := 1 else factorial(n) := n * factorial(n-1) Trang 14 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Thông thường để tính một dãy các giá trị được định nghĩa bằng đệ quy, nếu dùng phương pháp lặp thì số các phép tính sẽ ít hơn là dùng thuật toán đệ quy (trừ khi dùng các máy đệ quy chuyên dụng) Ta sẽ xem xét bài toán tính số hạng thứ n của dãy Fibonacci procedure fibonacci (n:... chung là * phân bố trên T Trang 31 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh Ví dụ: • Trên tập hợp các số thực R, phép toán * (nhân) là phân bố trên phép toán + Nhưng phép + không phân bố trên phép * • Cho E là một tập hợp Trên P(E) ta biết có 2 phép toán được ký hiệu là ∪ và ∩ Theo các tính chất của các phép toán tập hợp, ta có phép toán ∩ phân bố trên ∪ , tức là A ∩ (B ∪ C) = (A... A ~B c Định nghĩa 3 : Một tập hợp tương đương với tập hợp N được gọi là tập hợp đếm được Trang 13 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh d Định nghĩa 4 : Tập hợp không đếm được là một tập hợp vô hạn và không là tập hợp đếm được/ X Quy nạp toán học – Định nghĩa đệ quy 1 Quy nạp toán học a Khái niệm Quy nạp là kết luận đi từ trường hợp riêng đi tới trường hợp tổng quát Nghĩa... Dirichlet tổng quát, trong số 25 triệu máy điện thoại ít nhất có ]25.000.000/10.000.000[ = 3 có cùng một số Để đảm bảo mỗi máy có một số cần có ít nhất 3 mã vùng 3 Một số ứng dụng của nguyên lý Dirichlet Trang 17 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC Biên soạn : Gv Phạm Phúc Thịnh • Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau Số người... nầy chứng tỏ rằng ước số chung lớn nhất của ủa 2 ssố nguyên a và b (a, b không đồng ồng thời th bằng 0) tồn tại, dương, và duy nhất t Ta ký hiệu hiệ ước số chung lớn nhất của a vàà b là: (a,b) Nếu m ≠ 0 thì (m,0) = |m| c Ghi chú : Trong đại số, người ời ta định nghĩa ước số chung lớn nhất của ủa 2 ssố nguyên a và b là một số nguyên d thỏa mãn ãn 2 điều kiện: Trang 25 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG TIN HỌC